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• Alfredo Jaraba Ahumada

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Superficies cilíndricas y cuadricas Adalberto Martínez Unimagdalena 2020

Cilindros Una sección transversal, o simplemente sección, es la curva del espacio que se obtiene cortando una superficie por un plano. Si un haz de planos paralelos corta a una superficie en curvas iguales, la superficie es llamada Cilindro. Un cilindro o superficie cilíndrica, es el conjunto de puntos (x, y, z) generados por todas las rectas generatrices que son paralelas a una recta L dada y que pasan por una curva C, denominada directriz. En particular las gráficas de las curvas de la forma 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐, 𝑔(𝑥, 𝑧) = 𝑑 y ℎ(𝑦, 𝑧) = 𝑒 son las curvas directrices de las superficies cilíndricas que se generan en el espacio R3 cuando sobre ellas se mueve una recta paralela al eje “faltante” en la ecuación. En este curso se trabajará especialmente con cilindros cuya directriz es una cónica o curva conocida y cuya directriz sea paralela a uno de los ejes coordenados. Un cilindro así, recibirá un nombre adjetivado por el tipo de curva que es la directriz. A la colección de líneas que se generan para formar una lámina, se le puede llamar bastidor. A continuación se muestran algunos ejemplos de superficies cilíndricas, cuyo eje es paralelo a uno de los ejes coordenado x, y o z.

Observe en los ejemplos anteriores, que primero se dibuja a curva directriz en el plano que le corresponde, luego se “proyecta esta curva en R3. Cuando se tiene la curva en R3, trazamos líneas paralelas al eje que falta y finalmente se completa la superficie cilíndrica.

Superficies cuádricas. Además de los cilindros, en R3 podemos encontrar algunas superficies que son comunes debido a su expresión analítica y a la forma que adoptan cuando son representadas en un sistema de coordenadas rectangulares, especialmente aquellas que provienen de la ecuación cuadrática general: 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑧 2 + 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑦𝑧 + 𝐹𝑥𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0 Donde A, B, C,…J, son constantes. Para fines prácticos en el curso omitiremos las superficies cuádricas que requieren de una rotación de los ejes coordenados, ello implica que D=E=F0, así nos ocuparemos de las superficies cuádricas de la forma: 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑧 2 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0

(1)

La gráfica de la ecuación de segundo grado describe un conjunto de puntos en R3 que forman una superficie cuádrica. Además de un cilindro o una esfera, las otras superficies cuádricas que consideramos en este curso son las siguientes: El elipsoide, el cono elíptico, el paraboloide elíptico, el paraboloide hiperbólico, el hiperboloide de una hoja y el hiperboloide de dos hojas. El elipsoide tiene una ecuación de la forma: (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 (𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 (𝒛 − 𝒛𝟎 )𝟐 + + =𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝐶𝑜𝑛

𝑎 > 0,

𝑏 > 0,

𝑐>0

En el caso particular que 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑟 > 0, se tiene una esfera con centro en (𝑥0 , 𝑦𝑜 , 𝑧0 ). Es decir, una esfera es un caso particular del elipsoide. La ecuación ordinaria de la esfera es: (𝒙 − 𝒉)𝟐 + (𝒚 − 𝒌)𝟐 + (𝒛 − 𝒍)𝟐 = 𝒓𝟐 Donde 𝐶(ℎ, 𝑘, 𝑙)son las coordenadas del centro y 𝑟 es la longitud del radio. El cono elíptico tiene una ecuación de la forma: (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 (𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 (𝒛 − 𝒛𝟎 )𝟐 + − =𝟎 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝑎 > 0,

𝑏 > 0,

𝑐>0

También se puede escribir así: (𝒛 − 𝒛𝟎 )𝟐 (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 (𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 = + 𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒃𝟐

El paraboloide elíptico tiene una ecuación de la forma: (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 (𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 + − 𝒄(𝒛 − 𝒛𝟎 ) = 𝟎 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝒂𝟐 𝒃𝟐

(4)

El Paraboloide hiperbólico tiene una ecuación de la forma: (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 (𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 − − 𝒄(𝒛 − 𝒛𝟎 ) = 𝟎 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝒂𝟐 𝒃𝟐

(5)

El hiperboloide de una hoja tiene una ecuación de la forma: (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 (𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 (𝒛 − 𝒛𝟎 )𝟐 + − =𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐

𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑐 > 0

(6)

𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑐 > 0

(6)

El hiperboloide de dos hojas tiene una ecuación de la forma: (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 (𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 (𝒛 − 𝒛𝟎 )𝟐 + − = −𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐

Las gráficas anteriores, que fueron empleadas como ilustraciones de las superficies, están centradas en (0, 0, 0) y orientadas a lo largo del eje 𝑧 (a excepción del hiperboloide de dos hojas que se orienta a lo largo del eje y), ello no significa que siempre sea así, sólo que es una manera sencilla de identificar su forma.

Ejemplos: 1. Identifique las siguientes superficies cuádricas y represéntelas gráficamente. A. 4𝑥 2 − 2𝑦 + 𝑧 2 = 0 B. 3𝑥 2 + 3𝑦 2 + 3𝑧 2 − 48𝑧 = 0 A. Solución: De 2𝑥 2 − 4𝑦 + 𝑧 2 = 0 podemos obtener 2𝑦 = 4𝑥 2 + 𝑧 2 o

𝑥2 1

𝑦

−2+

𝑧2 4

= 0, lo que corresponde

a un paraboloide elíptico que abre sobre el eje y. Para realizar su representación gráfica, podemos escribir la ecuación de la siguiente manera: 2𝑦 = 4𝑥 2 + 𝑧 2 Ahora analizamos las trazas de la superficie anulando una de las variables o haciéndola constante. Así, si 𝑧 = 0, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑦 = 2𝑥 2 que es una parábola con que abre en 𝑥𝑦 hacia las “𝑦 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠” Sí 𝑥 = 0, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑦 =

𝑧2 2

que también es una parábola en 𝑦𝑧 que abre hacia las “𝑦 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠”

Sí 𝑦 = 0, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 4𝑥 2 + 𝑧 2 = 0 que en este caso corresponde a un punto de coordenadas (0,0,0) Ver figura 5. B. Solución: Con la ecuación 3𝑥 2 + 3𝑦 2 + 3𝑧 2 − 48𝑧 = 0, hacemos el proceso de completar cuadrados para llevarla a una forma estándar de las anteriores ecuaciones: 3𝑥 2 + 3𝑦 2 + 3𝑧 2 − 48𝑧 = 0 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 3 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 16𝑧 = 0 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑧 2 2 2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 16𝑧 + 64 = 0 + 64 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 2 2 (𝑧 𝑥 +𝑦 + − 8)2 = 64 Esta última ecuación corresponde a una esfera con centro en (0, 0, 8) y radio 8.

Figura 5. Lado izquierdo: Paraboloide elíptico - Lado derecho: Esfera.

Ejercicios 1. Dibuje la gráfica de cada uno de los siguientes cilindros: A. 𝑧 2 + 4𝑦 2 = 16 E. 𝑦𝑧 = 1 2 2 B. 𝑥 + 𝑧 = 6 F. 𝑧 = 𝑥 3 − 3𝑥 C. 𝑥 2 − 6𝑥 + 2𝑦 = −7 G. 𝑦 = 2 sen 𝑥 + 3 D. 𝑧 = 𝑦(𝑦 + 2)(𝑦 − 1)(𝑦 − 3) H. 4𝑧 2 + 9𝑦 2 − 8𝑧 + 18𝑦 = 20

2. Halle la ecuación de la esfera cuyo centro es (4, -3, 0) y es tangente al plano 𝑥𝑧. 3. El centro de una esfera es (−2, −3, 4) y es tangente a la recta (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1, 2, 3) + 𝑡(0,2,1). ¿Cuál es la ecuación de la esfera? 4. ¿Cuál es la ecuación de la esfera que es tangente al plano 𝑧 = 5 y tiene su centro en la intersección de las rectas (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−2, −3, 1) + 𝜆(3, 5, 2) y (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (4, 3, −1) + 𝑡(3, 3, −1)? 5. Reduzca a una expresión estándar cuada una de las siguientes ecuaciones, escriba su nombre y dibuje la superficie cuádrica que le corresponde.

A. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 4𝑥 + 3𝑦 −

11 4

=0

B. 𝑧 = 3 + 𝑥 2 + 𝑦 2 C. 𝑥 2 − 8𝑥 + 𝑦 2 − 12𝑦 − 𝑧 2 + 51 = 0 D. 𝑥 2 − 3𝑦 2 + 12𝑦 − 9𝑧 − 21 = 0 E. 4𝑥 2 + 4𝑦 2 + 4𝑧 2 + 4𝑥 − 12𝑧 + 9 = 0 F. 5𝑥 2 + 3𝑦 2 − 30𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 + 42 = 0 G. 3𝑥 2 − 𝑦 2 + 2𝑧 2 + 2𝑦 + 8𝑧 + 7 = 0 H. 𝑦 2 + 2𝑧 2 − 4𝑥 2 + 8𝑥 + 4𝑦 + 12𝑧 + 14 = 0 I.

3𝑥 2 − 2𝑦 2 − 6𝑥 + 12𝑦 − 6𝑧 − 21 = 0

J.

5𝑥 2 − 15𝑦 2 + 3𝑧 2 − 6𝑧 + 18 = 0

RESUMEN DE SUPERFICIES CUADRICAS

1. Elipsoide.

(𝒙−𝒙𝟎 )𝟐

2. Cono elíptico

𝒂𝟐

+

(𝒚−𝒚𝟎 )𝟐

(𝒙−𝒙𝟎 )𝟐 𝒂𝟐

𝒃𝟐

+

+

(𝒛−𝒛𝟎 )𝟐 𝒄𝟐

(𝒚−𝒚𝟎 )𝟐

=

𝒃𝟐

=𝟏

Si 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 se tiene una esfera.

(𝒛−𝒛𝟎 )𝟐 𝒄𝟐

3. Paraboloides 3.1 paraboloide elíptico 𝒄(𝒛 − 𝒛𝟎 ) =

(𝒙−𝒙𝟎 )𝟐 𝒂𝟐

+

(𝒚−𝒚𝟎 )𝟐 𝒃𝟐

(𝒙−𝒙𝟎 )𝟐 𝒂𝟐

3.2paraboloide hiperbólico 𝒄(𝒛 − 𝒛𝟎 ) =

(𝒚−𝒚𝟎 )𝟐 𝒃𝟐

−

4. Hiperboloides 4.1 hiperboloide de una hoja 4.2 hiperboloide de dos hoja

(𝒙−𝒙𝟎 )𝟐 𝒂𝟐 (𝒙−𝒙𝟎 )𝟐 𝒂𝟐

+

+

(𝒚−𝒚𝟎 )𝟐 𝒃𝟐

(𝒚−𝒚𝟎 )𝟐 𝒃𝟐

−

−

(𝒛−𝒛𝟎 )𝟐 𝒄𝟐

(𝒛−𝒛𝟎 )𝟐 𝒄𝟐

=𝟏 = −𝟏