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• Sandra Zabala

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Clase 18 Volúmenes de sólidos de revolución Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de unos de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Calculo de volumen - Método del disco Volumen este disco de radio R y de anchura ꙍ es: Volumen del disco = 𝜋ꓣ2 𝑤

Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la gráfica.

Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen del disco es πꓣ2 w, la suma de Riemann asociada a la partición, y que queda un volumen aproximado del solido es:

V= lim ∑𝑛𝑖=1 𝜋𝑓 2 (𝑐𝑖 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑛→∞

Formula del volumen por discos

Por tanto recordando la definición integral definida de Riemann se obtiene que: 𝑏

𝑉 = ∫ 𝜋(𝑓(𝑥))2 𝑑𝑥 𝑎

Si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar: 𝑎

𝑉 = ∫ 𝜋(𝑓(𝑦))2 𝑑𝑦 𝑏

Volúmenes por el método del disco (o arandela) Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que sea perpendicular al eje de rotación. La region al hacerla girar alrededor del eje de rotación genera una sección trasversal típica de forma de disco o arandela dependiendo del caso. Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo. Establecer los límites de integración Por ultimo integrar para hallar el volumen deseado. https://leidyholguin.files.wordpress.com/2010/09/solidosderevolucion.pdf

Ejemplo 1: La región entre la curva 𝑦 = √𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 25 y el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 se gira alrededor del 𝑒𝑗𝑒 𝑥 para generar un sólido. Hallar se volumen. Solución: ayudados por la sugerencia anterior

Trazo de la region y de la sección típica: abajo se muestra la región R pedida:

Región que rota alrededor del 𝑒𝑗𝑒 𝑥

Extracción del radio principal: es claro que el método a utilizar es el método de los discos. Luego, la distancia del segmento r (radio principal) es f es decir: 𝒓 = √𝒙 Límites de integración: estos límites nos lo fueron dados en el enunciado del ejemplo: 0 ≤ 𝑥 ≤ 25 Formulación de la integral: aplicando la expresión correspondiente para volúmenes usando el método del disco tenemos: 𝑏

V= ∫𝑎 𝜋𝑟 2 𝑑𝑥 25

=∫0 𝜋(√𝑥)2 𝑑𝑥 25

=∫0 𝜋𝑥𝑑𝑥 𝑥2

=π[ 2 ] ⎢25 𝑜 =

Por tanto el volumen del solido es

625𝜋 2

625𝜋 2

𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑠

u3.

Ejemplo 2: Hallar el volumen generado por el área bajo la curva generada por el segmento de recta 𝑥

𝑦 = 1 + 3 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 12 Que gira en torno al eje x. Solución: primero realicemos las gráficas.

Planteamos la integral El área de cada sección tiene la forma 𝑥 𝐴(𝑥) = 𝜋(1 + )2 3 Luego el volumen del solido es 12 12 𝑋 2𝑥 𝑥 2 𝑉 = ∫ 𝜋(1 + )2 𝑑𝑥 = ∫ 𝜋(1 + + 𝑑𝑥 3 3 9 0 0

= 𝜋 [𝑥 +

𝑥 2 𝑥 3 𝑥=12 + ]⎢ = 124𝜋 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑠 3 27 𝑥=0

Ejercicios propuestos En los ejercicios 1-3 halla los volúmenes de los sólidos generado al rotar las regiones acotadas por las rectas y las curvas que se dan alrededor del eje x. 1. 𝑦 = √9 − 𝑥 2 , 𝑦 = 0

𝜋

2. 𝑦 = √𝑐𝑜𝑠 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 , 𝑥 = 0, 𝜋

3. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥, 𝑦 = 0, 𝑥 = − 4 , 𝑥 = 𝜋/4

𝑦=0

Método de arandela Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura.

Si la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones trasversales que también son PERPENDICULARES AL EJE DE ROTACION son arandelas en lugar de discos. (Es por esto el nombre del método). Lo anterior lo podemos apreciar en la figura de abajo)

Ahora hallamos la dimensiones de la arandela (Radio exterior R y radio interior r) usando la figura anterior. El radio exterior (radio más grande) lo determina la función g. como en la sección anterior (método del disco) hallamos el área de la arandela así:

Área de la arandela: 𝑨 = 𝑹𝝅𝟐 − 𝝅𝒓𝟐 En la figura anterior tenemos: 𝑹 = 𝒇(𝒙) 𝒚 𝒓 = 𝒈(𝒙) Entones: 𝑨 = (𝒙) = 𝝅(𝒇(𝒙))𝟐 − 𝝅(𝒈(𝒙))𝟐 Factorizando π, nos queda, 𝑨 = 𝝅 ((𝒇(𝒙))𝟐 − (𝒈(𝒙))𝟐 ). Ahora podemos establecer la siguiente definición Definición: el volumen del solido generado al girar la región R sobre el eje x (o algún eje paralelo a él) viene dado por: 𝒃

𝑽=∫

𝝅((𝒇(𝒙))𝟐 − (𝒈(𝒙))𝟐 ) 𝒅𝒙

𝒂

Si el eje de rotación es el eje y (o un eje paralelo a él) tiene una expresión análoga a la anterior. Luego podemos ver que 𝒅

𝑽= ∫ 𝒄

𝝅((𝒇(𝒚))𝟐 − (𝒈(𝒚))𝟐 ) 𝒅𝒙𝒅𝒚

Es una expresión valida que evalúa el volumen de un sólido generado al girar una región R sobre el eje y (o algún eje paralelo a él) con 𝒄 ≤ 𝒚 ≤ 𝒅

Ejemplo 1: 𝑥

Hallar el volumen generado por el área entre las curvas 𝑦 = √𝑥 y 𝑦 = 5 , cuando se gira en torno al eje x. Observemos el sólido generado

Al aplicar nuestras formulas obtenemos: 3 𝑥 2 2 𝑉 = ∫ 𝜋 ((√𝑥) − ( ) ) 𝑑𝑥 5 0

𝑉 = 𝜋 (𝑥 − 𝑉=

𝑥2 3 )| 25 0

66𝜋 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑠 25

0≤𝑥≤3

Ejemplo 2: Hallar el volumen generado por el área entre las curvas 𝑦 = √𝑥 y 𝑦 = 𝑥, cuando se gira en torno al 𝑒𝑗𝑒 𝑦. Observemos el sólido generado

Como nuestro diferencial esta sobre el eje y nuestras funciones a ser integradas son 𝑥 = 𝑦 , 𝑥 = 𝑦 2 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑦 ∈ [0,1] 1

𝑉 = ∫ 𝜋((𝑦)2 − (𝑦 2 )2 ) 𝑑𝑦 0

𝑦3 𝑦5 1 𝑉 = 𝜋( − )| 3 5 0 1 1 𝑉 = 𝜋( − ) 3 5 2 𝑉 = 𝜋 ( ) 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑠 15 Ejercicios propuestos En los ejercicios hallar los volúmenes de los sólidos generado al rotar las regiones acotadas por las rectas y las curvas que se dan alrededor del eje y. 𝑥

1. 𝑦 = √𝑥 2 − 9, 𝑦 = 0, 𝑦 = 2 2. 𝑦 = 4 − 𝑥 2 , 𝑦 = √𝑥 , 𝑦 = 0