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Redondeo

N´umeros de M´aquina / Redondeo Juan David Rojas Gacha Universidad Piloto de Colombia [email protected]

21 de agosto de 2018

Juan David Rojas Gacha

M´ etodos Num´ ericos

Redondeo

Errores Redondeo Cifras de Precisi´ on

Definici´on (Errores) Si el n´ umero real p ∗ es una aproximaci´ on del n´ umero p, para medir el tama˜ no del error cometido en esta aproximaci´ on podemos utilizar: Error exacto de la aproximaci´ on: e = p − p ∗ . Error absoluto: ea = |e| = |p − p ∗ |. Errores relativos (si p 6= 0): er =

|p − p ∗ | p

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e˜r =

|p − p ∗ | p∗

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Errores Redondeo Cifras de Precisi´ on

Ejemplos Error

1

Calcula el error relativo que se comete cuando el n´ umero 1.503 aparece redondeado a 1.5.

2

Calcula los errores absoluto y relativo cuando el n´ umero .abcE7 aparece escrito como a.bcE7

3

Sup´on que en un c´alculo aparece el n´ umero 0.0001 cuando deb´ıa aparecer el 0. ¿Qu´e f´ ormula utilizar´ıas para calcular el ’error relativo’ ? Utilizando esa f´ ormula ¿qu´e valor obtienes?

4

∗ Determina el mayor √ intervalo en el que debe estar p para −6 aproximar a p = 2 con un error relativo de a lo sumo 10 .

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Errores Redondeo Cifras de Precisi´ on

N´umeros de M´aquina Vamos a llamar ”m´aquina” de t d´ıgitos en la mantisa y k d´ıgitos en el exponente en base b al conjunto de n´ umeros que se pueden representar en coma flotante utilizando esta base y los referidos d´ıgitos para la mantisa y el exponente. A estos n´ umeros los llamaremos n´ umeros de m´aquina de t d´ıgitos en la mantisa y k d´ıgitos en el exponente en base b.

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Errores Redondeo Cifras de Precisi´ on

N´umeros de M´aquina Vamos a llamar ”m´aquina” de t d´ıgitos en la mantisa y k d´ıgitos en el exponente en base b al conjunto de n´ umeros que se pueden representar en coma flotante utilizando esta base y los referidos d´ıgitos para la mantisa y el exponente. A estos n´ umeros los llamaremos n´ umeros de m´aquina de t d´ıgitos en la mantisa y k d´ıgitos en el exponente en base b. Ejemplo ¿Cu´al es el mayor n´ umero de m´aquina con 4 d´ıgitos en la mantisa, 3 d´ıgitos en el exponente en base 10? ¿El menor positivo mayor que 0?

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Errores Redondeo Cifras de Precisi´ on

Redondeo Sean b ≥ 2 un n´ umero natural, t ∈ N, t > 0, y x ∈ R − 0 descrito en coma flotante y base b por: x = ±b N

∞ X j=1

a−j

1 = ±0.a−1 a−2 . . . ENb , bj

donde a−k ∈ {0, 1, . . . , (b − 1)}.

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Errores Redondeo Cifras de Precisi´ on

Redondeo Sean b ≥ 2 un n´ umero natural, t ∈ N, t > 0, y x ∈ R − 0 descrito en coma flotante y base b por: x = ±b N

∞ X

a−j

j=1

1 = ±0.a−1 a−2 . . . ENb , bj

donde a−k ∈ {0, 1, . . . , (b − 1)}. Sean ∗

x = ±b

N

t X j=1

a−j

1 = ±0.a−1 a−2 . . . a−t ENb , bj

el n´ umero de m´aquina que resulta al ’truncar’ la mantisa a los t primeros d´ıgitos y Juan David Rojas Gacha

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Redondeo

 x ∗+ = ±b N 

∞ X j=1

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 a−j



1 1 + t bj b

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Redondeo

 x ∗+ = ±b N 

∞ X j=1

 a−j



1 1 + t bj b

Los n´ umeros x ∗ y x ∗+ son los dos de la m´aquina de base b y t d´ıgitos en la mantisa, que est´an m´as pr´ oximos a x.

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Redondeo

 x ∗+ = ±b N 

∞ X j=1

 a−j



1 1 + t bj b

Los n´ umeros x ∗ y x ∗+ son los dos de la m´aquina de base b y t d´ıgitos en la mantisa, que est´an m´as pr´ oximos a x.Vamos a definir el n´ umero redondeado de x con t d´ıgitos en la mantisa como el n´ umero real ( x ∗, si |x − x ∗ | < 0,5b N−t flt (x) = x ∗+ , si |x − x ∗ | ≥ 0,5b N−t Cuando el n´ umero de d´ıgitos t este fijado en el entorno de trabajo podemos escribir solamente fl(x). Juan David Rojas Gacha

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OBS. En el caso que b es par, entonces flt (x) = x ∗ , si y s´olo si, a−t−1 < b2

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OBS. En el caso que b es par, entonces flt (x) = x ∗ , si y s´olo si, a−t−1 < b2 Ejemplos Determine el valor redondeado del n´ umero π = 3,14159265 . . . en una m´aquina de cuatro d´ıgitos de mantisa y base 10. Determine el valor redondeado del n´ umero 0,1011010111E 62 en una m´aquina de cuatro d´ıgitos de mantisa y base 2.

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Proposici´on (Errores de Redondeo) Sean b ≥ 2 un n´ umero natural, t ∈ N, t > 0, y x ∈ R − {0}. Entonces: 0 Pt 0 0 0 0 0 1 1 fl (x) = ±b N t j=1 a−j b j = ±0.a−1 a−2 . . . a−t ENb , con 0 N ≤ N ≤ N + 1. 2

El error absoluto en el redondeo satisface la acotaci´on: |x − flt (x)| ≤ 0,5b N−t

3

Los errores relativos en el redondeo satisfacen la acotaci´on: |x − flt (x)| ≤ 0,5b −t+1 |x|

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y

|x − flt (x)| ≤ 0,5b −t+1 . |flt (x)|

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Ejemplos Mide los errores relativos del redondeo del n´ umero π en una m´aquina de cuatro d´ıgitos de mantisa y base 10. En una m´aquina de n´ umeros escritos en coma flotante con 13 d´ıgitos en la mantisa (en base 10), ¿cu´al es el m´aximo error relativo posible?

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Definici´on (Precisi´on de k d´ıgitos) Se dice que el n´ umero p ∗ es una aproximaci´ on del n´ umero p 6= 0 con una precisi´on de, al menos, m cifras significativas en la base b, siempre que el error relativo |p − p ∗ | ≤ 0,5 × b −m+1 . |p| Cuando k es el mayor entero para el que se cumple la desigualdad anterior, se dice que p ∗ aproxima a p con k cifras significativas.

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Ejemplo

Sea x = 0,1E 0 y app(x) = 0,9999E 0, calcule el n´ umero de cifras significativas de app(x). Calcule los errores relativos y diga el n´ umero de cifras significativas de los siguientes n´ umeros: a a˜ er Cifras 12.3 12.1 12.8 13.1 0.53241 0.53234

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´ Definici´on (Epsilon de la M´aquina) Si M es una m´aquina ideal de n´ umeros (t d´ıgitos en mantisa y ´ base b), se denomina Epsilon de la M´ aquina al menor n´ umero positivo e ∈ M tal que fl(1 + e) > 1. O en otros t´erminos, al menor n´ umero positivo tal que fl(1 + e) es el n´ umero de m´aquina 1 siguiente al 1, 1 + bt .

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´ Definici´on (Epsilon de la M´aquina) Si M es una m´aquina ideal de n´ umeros (t d´ıgitos en mantisa y ´ base b), se denomina Epsilon de la M´ aquina al menor n´ umero positivo e ∈ M tal que fl(1 + e) > 1. O en otros t´erminos, al menor n´ umero positivo tal que fl(1 + e) es el n´ umero de m´aquina 1 siguiente al 1, 1 + bt . ¿Cu´ales son los n´ umero de m´aquina para float y double IEEE-754?

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Observaci´on El ´epsilon de la m´aquina nos indica la m´axima precisi´on relativa que cabe esperar en la m´aquina. As´ı, a la hora de preguntar si dos n´ umeros de m´aquina est´an pr´ oximos debemos de tener en cuenta no pedir que el error relativo sea menor que el ´epsilon de la m´aquina, porque en ese caso estaremos pidiendo que sean id´enticos.

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