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Círculos

SECCIÓN 2.3

COMENTARIO: Ahora lea la sección A.5, Pantallas cuadradas, del apéndice.

EJEMPLO 5

Uso de un dispositivo de graficación para graficar un círculo Grafique la ecuación: x2 + y2 = 4

Solución

Figura 31

Ésta es la ecuación de un círculo con centro en el origen y radio 2. Para graficarla, debemos despejar y.

Y1 ⫽ 4 ⫺ x 2

2

x2 + y2 = 4 y2 = 4 - x2 y = ; 34 - x2

3

–3

–2

Y2 ⫽ ⫺ 4 ⫺ x 2

Se resta x2 de cada lado. Se aplica el método de la raíz cuadrada para despejar y.

Se tienen dos ecuaciones para graficar: primero se grafica Y1 = 34 - x2 y luego Y2 = - 34 - x2 en la misma pantalla cuadrada. (El círculo aparecerá ovalado si no se usa la pantalla cuadrada.) Vea la figura 31. 䉳

2.3 Evalúe su comprensión “¿Está preparado?”

Las respuestas están dadas al final de estos ejercicios. Si dio una respuesta equivocada, lea las pá-

ginas indicadas en azul. 1. Para completar cuadrados de la expresión x ⫹ 4x, se _________ el número __________. (p. 99) 2. Use el método de la raíz cuadrada para encontrar el conjunto de soluciones de la ecuación (x ⫺ 2)2 ⫽ 4. (pp. 98-99)

3. Falso o verdadero: si el discriminante de una ecuación cuadrática es negativo, la ecuación no tiene soluciones reales. (pp. 101-104)

Conceptos y vocabulario 4. Para un círculo, el _________ es la distancia del centro a cualquier punto sobre el círculo. 5. Falso o verdadero: un círculo con centro en el origen es simétrico respecto al eje x, el eje y y el origen.

6. El centro y radio del círculo (x ⫺ 2)2 ⫹ (y ⫹ 5)2 ⫽ 36 son _________ y _________.

Ejercicios En los problemas 7-10, encuentre el centro y el radio de cada círculo. Escriba la forma estándar de la ecuación. 7. y 8. 9. y 10. y y (4, 2)

(2, 3)

(1, 2) (0, 1)

(2, 1) (0, 1) (1, 2)

x (1, 0)

x

x

x

En los problemas 11-22, escriba la forma estándar de la ecuación y la forma general de la ecuación de cada círculo de radio r y centro (h, k); grafique cada círculo. 11. r = 2; 1h, k2 = 10, 02 12. r = 3; 1h, k2 = 10, 02 13. r = 1; 1h, k2 = 11, - 12 14. r = 2; 1h, k2 = 1 -2, 12

15. r = 2; 1h, k2 = 10, 22

16. r = 3; 1h, k2 = 11, 02

17. r = 5; 1h, k2 = 14, - 32

18. r = 4; 1h, k2 = 12, - 32

19. r = 6; 1h, k2 = 1- 3, - 62

20. r = 5; 1h, k2 = 1 -5, 22

21. r = 3; 1h, k2 = 10, - 32

22. r = 2; 1h, k2 = 1- 2, 02

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CAPÍTULO 2

Gráficas

En los problemas 23-34, a) encuentre el centro (h, k) y el radio r de cada círculo; b) grafique cada círculo; c) encuentre las intercepciones de las gráficas, si las hay. 23. x2 + y2 = 4 26. 31x + 122 + 31y - 122 = 6 29. x2 + y2 + 4x - 4y - 1 = 0 32. x2 + y2 + x + y -

1 = 0 2

24. x2 + 1y - 122 = 1 27. x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 30. x2 + y2 - 6x + 2y + 9 = 0

25. 21x - 322 + 2y2 = 8 28. x2 + y2 + 4x + 2y - 20 = 0 31. x 2 + y2 - x + 2y + 1 = 0

33. 2x2 + 2y2 - 12x + 8y - 24 = 0

34. 2x2 + 2y2 + 8x + 7 = 0

En los problemas 35-40, encuentre la forma general de la ecuación de cada círculo. 35. Centro en el origen y contiene el punto (⫺3, 2)

36. Centro en el punto (1, 0) y contiene el punto (⫺2, 3)

37. Centro en el punto (2, 3) y tangente al eje x.

38. Centro en el punto (⫺3, 1) y tangente al eje y.

39. Un diámetro tiene puntos terminales en (1, 4) y (⫺3, 2)

40. Un diámetro tiene puntos terminales en (4, 3) y (0,1)

En los problemas 41-44, forme pares de la gráfica y la ecuación correcta. c) 1x - 122 + 1y + 222 = 4 a) 1x - 322 + 1y + 322 = 9 d) 1x + 322 + 1y - 322 = 9

b) 1x + 122 + 1y - 222 = 4 41.

42.

4

⫺6

⫺9

6

43.

6

⫺6

9

6

⫺9

6

9

⫺4

⫺6

⫺4

44.

4

⫺6

En los problemas 45-48, encuentre la forma estándar de la ecuación de cada círculo. Suponga que el centro tiene coordenadas enteras y que el radio es un entero. 45.

46.

5

⫺9

6

47.

3 ⫺3

6

9 ⫺4 ⫺5

⫺5

48.

6

49. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones puede tener la gráfica mostrada? (Es posible que haya más de una respuesta.) a) 1x - 222 + 1y + 322 = 13 b) 1x - 222 + 1y - 222 = 8 c) 1x - 222 + 1y - 322 = 13 d) 1x + 22 + 1y - 222 = 8 e) x2 + y2 - 4x - 9y = 0 f) x2 + y2 + 4x - 2y = 0 g) x2 + y2 - 9x - 4y = 0 h) x2 + y2 - 4x - 4y = 4 y

8 ⫺4

⫺2

5 0

50. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones puede tener la gráfica mostrada? (Es posible que haya más de una respuesta.) a) 1x - 222 + y2 = 3 b) 1x + 222 + y2 = 3 c) x2 + 1y - 222 = 3 d) 1x + 222 + y2 = 4 e) x2 + y2 + 10x + 16 = 0 f) x2 + y2 + 10x - 2y = 1 g) x2 + y2 + 9x + 10 = 0 h) x2 + y2 - 9x - 10 = 0 y

x

x