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• Laury Sofy

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MOVIMIENTO DISTANCIA Y DESPLAZAMIENTO La distancia es una cantidad escalar que nos proporciona el espacio recorrido por un móvil o partícula. El desplazamiento es una cantidad vectorial que nos proporciona el espacio existente entre el punto de origen de movimiento y el punto final del movimiento. VELOCIDAD Y RAPIDEZ La velocidad de un cuerpo es una cantidad vectorial la cual especificada por su magnitud, dirección y sentido. La rapidez de un móvil es una cantidad escalar que nos proporciona la magnitud de la velocidad de un móvil, es decir la rapidez de una partícula es tan solo él modulo del vector velocidad. Preguntas.     

¿Puede un cuerpo tener velocidad constante y rapidez variable? ¿Puede un móvil tener rapidez constante y velocidad variable? ¿Que mide el velocímetro de un auto? ¿Puede un móvil tener velocidad positiva y rapidez negativa? ¿Puede un móvil tener rapidez positiva y velocidad negativa?

Marco de Referencia. Es un punto o región en el espacio desde el cual se analizan los movimientos. Existen 2 tipos de marcos de referencia: los absolutos y los relativos. Un marco de referencia absoluto es el que se encuentra en reposo y un marco de referencia relativo es el que esta en movimiento. En sentido estricto, los marcos de referencia absolutos, no existen, pero se realiza la idealización y se considera que la tierra es un marco de referencia absoluto. El marco de referencia mas usual son los ejes de coordenadas “x” y “y” Velocidad Media e Instantánea. Se define la velocidad media como el cambio de posición que sufre un móvil en un intervalo de tiempo, es decir es la relación entre el desplazamiento del cuerpo y el tiempo en que lo realiza, matemáticamente esto es: Vm 

desplazamiento s  tiempo t

La velocidad instantánea es la velocidad de un móvil en un instante determinado, matemáticamente: s ds  t  0 t dt lim

Nota: Físicamente la derivada de la distancia con respecto al tiempo es la velocidad instantánea del móvil. EJEMPLOS 





Un automóvil sale de su punto de partida y mantiene una velocidad prácticamente constante de 60 Km/hr durante 30 min dirigiéndose al este, después cambia de dirección y viaja hacia el noreste con la misma velocidad durante 2 horas y por ultimo vuelve a cambiar de dirección hacia el oeste con la misma rapidez por un espacio de 45 min. Determine cual es la Vm del recorrido. Una partícula se mueve en una trayectoria circular que tiene un radio de 5 cm. La partícula completa una revolución cada 20 seg. Determinar cual es la velocidad media de la partícula al cabo de un seg. y cual es la velocidad media de la partícula cuando ha recorrido 135º La posición de una partícula se mide con una trayectoria dada por la ecuación s  50t  10t 2 a) Determine la grafica de la distancia contra el tiempo de la trayectoria de la partícula durante 4 seg. b) Determine la velocidad media a los 3 seg. c) La expresión necesaria para calcular la velocidad instantánea d) La velocidad instantánea a los 2 y 3 seg. (considere que la distancia esta dada en metros).

Tarea. 

Comparar la rapidez media de las siguientes 2 cosas 1. Se caminan 240 ft con rapidez de 4 ft/s y después se corre otros 240 ft con rapidez de 10 ft/s sobre una pista recta 2. Se camina durante 1 min. con rapidez de 4 ft/s y después se corre otro min. a 10 ft/seg sobre una pista recta.



Si la posición de un objeto esta dada por la ecuación d  2t 2 en donde d está en cm. y t en seg. Determine: a) La grafica de d vs. t b) La velocidad media entre t=1 seg y t=3 seg c) La expresión matemática de la velocidad instantánea d) La velocidad instantánea en t=1, t=2, t=3 seg.

MOV. RECTILINEO UNIFORME En el caso de que un móvil tenga una velocidad media igual a la velocidad instantánea de todos los intervalos y que la velocidad instantánea de cada uno de ellos sea la misma, entonces se puede afirmar que se trata de un movimiento a velocidad constante. Además si el movimiento se realiza en línea recta entonces se trata de un MRU La ecuación característica de un MRU es: d  vt

Las unidades utilizadas para medir este tipo de movimiento en cada uno de los sistemas de medición son las siguientes: Sistema Internacional (MKS) Ingles (FPS) CGS

Distancia Metros

Velocidad m/s

Tiempo Seg

Pies

pies/s

Seg

cm

cm/s

Seg

Las graficas características de un movimiento MRU son las siguientes:

La pendiente de la recta nos proporciona la velocidad media del movimiento, ya que: s m t

El área entre la recta y el eje del tiempo nos proporciona la distancia recorrida por el móvil t2

d   vdt  area t1

MOVIMIENTO CON VELOCIDAD VARIABLE Todo movimiento en el cual exista un cambio en la velocidad, ya sea en magnitud, dirección o sentido, se conoce como movimiento con velocidad variable. En el caso en el que el cambio de la magnitud de la velocidad sea constante y la trayectoria de la partícula sea una línea recta entonces el movimiento se conoce como movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) Al cambio de velocidad por unidad de tiempo se le llama aceleración media y matemáticamente podemos definirla como: a

v t

La aceleración instantánea de la partícula podemos determinarla considerando tiempos muy pequeños, por lo que entonces: v dv d 2 s   t  0 t dt dt 2

aI  lim

Las ecuaciones y graficas características de un MRUA son las siguientes: a

v f  vi t

1 d  vi t  at 2 2 1 d  v f t  at 2 2  vi  v f  d  t 2   v f 2  vi 2  2ad

El área bajo la curva nos permite determinar el cambio de velocidad del móvil o partícula t2

v   adt t1

El área bajo la curva nos permite determinar la distancia que recorre el móvil o partícula t2

v   vdt t1

La pendiente de las rectas nos proporciona la aceleración media de la partícula

EJEMPLOS: 

Una partícula se mueve en línea recta con la aceleración mostrada en la figura. m Sabiendo que parte del origen con velocidad inicial de 14 determine: s a) Las curvas de velocidad vs. tiempo y distancia vs. tiempo entre 0 y 15 seg. b) El valor máximo de la velocidad de la partícula c) Su máxima coordenada de posición.





Un tren subterráneo sale de la estación A; acelera a razón de 4 pies/s 2 durante 6 segundos y luego a 6 pies/s2 hasta que alcanza una velocidad de 48 pies/s. El tren mantiene la misma velocidad hasta que se acerca a la estación B donde se aplican los frenos dándole una desaceleración constante hasta detenerlo en 6 segundos. El tiempo total del recorrido es de 40 segundos. Trace las curvas de velocidad vs. tiempo, aceleración vs. tiempo y distancia vs. tiempo. Determine la distancia que existe entre las estaciones A y B y la velocidad media del recorrido.

Dos automóviles A y B circulan en carriles adyacentes en una carretera recta y plana y en t = 0 las posiciones que guardan se muestran en la figura. Sabiendo que el automóvil A tiene una aceleración constante de 2 pies/s2 y B una desaceleración de 1.5 pies/s2, determine: a) ¿Cuándo rebasa el auto A al B? b) ¿Cuál es la velocidad de cada auto en ese instante?

30 Mi/hr

45 Mi/hr

96 ft



Un automóvil en reposo es alcanzado por un camión que viaja con una velocidad constante de 54 km/hr. El automóvil empieza a correr con una aceleración constante durante 10 segundos hasta que alcanza una velocidad de 81 km/hr. Si el automóvil mantiene esta velocidad constante durante el resto del trayecto. ¿Cuándo y donde alcanza al camión?



Un avión de combate que se desplaza horizontalmente en línea recta a 900 Km/hr está alcanzando a un bombardero que vuela en la misma línea recta a 720 Km/hr. El piloto le dispara un proyectil al otro cuando se encuentran a 1150 m atrás de éste. El proyectil tiene una aceleración de 400 m/s 2 durante 1 seg. y a partir de ese momento viaja a velocidad constante. a) cuantos seg. después del disparo alcanza el proyectil al bombardero b) Si ambos aviones continúan con velocidad constante, cual será la distancia de los aviones cuando el proyectil alcance al bombardero. CAIDA LIBRE Y TIRO VERTICAL Todo cuerpo que es lanzado verticalmente hacia arriba o hacia abajo o que se deja caer libremente esta sujeto a la acción de una aceleración debida a la atracción terrestre o sea la gravedad que tiene un valor de 9.8 m/s2 ó 32 ft/s2 El diagrama de cuerpo libe de un objeto en caída libre o tiro vertical en cualquier punto de su trayectoria es:

altura

W

d=+ v=+ g=-

d=v=g=-

suelo

EJEMPLOS

El marco de referencia que se utiliza para resolver problemas de caída libre o tiro vertical es el siguiente:

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Si un cuerpo recorre la mitad del camino total en el último segundo de su caída a partir del reposo, encontrar a) El tiempo que tarda en caer b) La altura de la que cae. 

Dos cuerpos inician una caída libre partiendo del reposo y desde la misma altura con un intervalo de tiempo de 1 seg. ¿Cuánto tiempo después de que empieza a caer el primer cuerpo están separados por 10 m?



Se deja caer una piedra a un pozo, el sonido de la piedra se escucha a 4 seg. después de que se dejo caer. La velocidad del sonido del aire 320 m/s. Determine la profundidad del pozo.



Desde la parte superior de la torre de 25 m de altura, se lanza verticalmente un objeto con velocidad inicial V0 el objeto tarda en llegar al suelo 3 seg. Determine la velocidad Vo, la altura máxima que alcanza y la velocidad con que llega al suelo.



Se deja caer un balín de acero desde el tejado de un edificio. Un observador colocado frente a una ventana de 4ft de altura observara que el balín tarda 1/8 de seg. en caer desde la parte alta a la parte baja de la ventana. El balín continúa cayendo, sufre una colisión completamente elástica en el pavimento y reaparece en la parte baja de la ventana ¿Cuál es la altura del edificio?

MOVIMIENTOS COMPUESTOS. Se dice que un cuerpo tiene un movimiento compuesto cuando un cuerpo tiene un desplazamiento con 2 ejes de referencia, Por ejemplo: El lanzamiento de un proyectil con un cierto ángulo, el movimiento de rotación, el movimiento de una llanta del auto, etc. TIRO PARABOLICO Y TIRO HORIZONTAL Un tiro parabólico y un tiro horizontal son la combinación de 2 movimientos, un movimiento horizontal (MUR) y un movimiento vertical (MRUA). Los parámetros de interés de un tiro parabólico son los siguientes.

Tiempo de vuelo

Altura máxima Ө

Alcance TIRO PARABOLICO COMPLETO. Suponga que se lanza un proyectil con una velocidad V y un ángulo Ө con respecto a la horizontal y se desean obtener ecuaciones que nos permitan calcular el alcance, la altura máxima que alcanza, el tiempo en que alcanza esta altura, el tiempo total del recorrido y la ecuación de su trayectoria. Para resolver lo anterior: a) tiempo de recorrido. Se sabe que la altura = 0 1 d  vi t  at 2 2



0  vsen t 

gt  2vsen



t

1 2 gt 2



1 2 gt  vsen t 2

2vsen g

b) Alcance. Se sabe que el alcance se obtiene en el móv. horizontal sustituyendo el tiempo de recorrido d  vt 

a  v cos 

 a

2vsen g



a

v 2 2 sen cos  g

v 2 sen 2 g

c) Tiempo de altura máx. En el punto de altura máx. la vel. vertical vf = 0 por lo que sustituyendo la vel. final del movimiento vertical a

v f  vi t



g 

vsen t



t

vsen g

d) Altura máxima. Para obtener la altura máx. se sustituye el tiempo de altura máx. en la ecuación de distancia de movimiento vertical. 1 d  v f t  at 2 2



1  vsen h  g  2  g 

2



h

v 2 sen 2 2g

e) Trayectoria. La ecuación de la trayectoria del tiro parabólico se obtiene combinando las ecuaciones de distancia del movimiento horizontal y del movimiento vertical. Se despeja t en la ecuación del movimiento horizontal y se sustituye en la ecuación del movimiento vertical. y  x tan   EJEMPLOS 

gx 2 2v 2 cos 2 

Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 600 m/s por medio de un cañón que forma un ángulo de 60° con la horizontal, determine: a) El alcance del proyectil b) El tiempo de vuelo c) La altura máxima d) El tiempo de altura máxima e) Grafique la trayectoria del proyectil 

Una pelota de base ball sale del bat con una velocidad de 35 m/s con un ángulo de 32º sobre la horizontal ¿Cuál es el punto mas alto de su trayectoria? ¿Cuándo golpea un marcador que se encuentra en el campo central a 8 m de altura sobre el césped? ¿Qué distancia existe hasta el marcador?



En un campo de golf un agujero se localiza a 240 ft horizontalmente y a 64 ft verticalmente del montículo del disparo ¿Cuál debe ser la magnitud y dirección de la Vi si la pelota debe caer en el agujero después de 4 seg?



Un proyectil disparado por un cañón con una velocidad lineal inicial de 300 m/s alcanza un globo que se haya a una altura de 300 m. Si el ángulo de proyección es de 45º ¿Cuál es la distancia horizontal “x” del globo al cañón?



Desde la cima de una colina que forma un ángulo de 22° con la horizontal se dispara un proyectil horizontalmente con una velocidad de 52 m/s ¿A que distancia del punto de disparo golpea el proyectil con la colina?

Tarea 

Una pelota rueda sobre la parte mas alta de una escalera con una velocidad horizontal de 1.5 m/s. Los escalones tienen 20 cm. de altura y 20 cm. de ancho. ¿Qué escalón golpea primero la pelota?



Indique para que ángulo, en untito parabólico la altura máxima y el alcance son iguales.

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Grados y Radianes

Existen tres maneras de medir un ángulo a) grados b) Radianes c) Gradientes La medida más usual en física debido a que es adimensional son los radianes, la cual se puede definir de la siguiente forma: Se llama radian al ángulo que se forma al extender sobre el perímetro del circulo el radio de éste. EJEMPLO Convierta las siguientes medidas de grados a radianes según sea el caso

60

3  8

7  6

235

2  3

1

Se llama MCU a aquel movimiento en el cual el móvil o partícula recorre una trayectoria circular sin que exista una modificación de la rapidez de ésta. PERIODO Y FRECUENCIA. Se conoce como frecuencia a la relación que existe entre el número de vueltas que da la partícula y el tiempo en que lo realiza. Matemáticamente se puede expresar como: f 

n t

Periodo es el tiempo medido en segundos en el cual el móvil o partícula completa una revolución También se puede considerar al periodo como el inverso de la frecuencia, es decir: T

1 f

EJEMPLOS 

Determine la frecuencia y el periodo de una turbina que da 3600 vueltas cada 2 minutos.

 a) b) c)

Determine la frecuencia y el periodo de las manecillas de un reloj Horario Minutero Segundero



Una turbina tiene una frecuencia de 2100 rev/min Determine el numero de revoluciones que daré en 10 segundos y cual es su periodo.

VELOCIDAD TANGENCIAL (VELOCIDAD LINEAL) En un movimiento circular la velocidad tangencial es aquella con la cual una partícula trata de salir de su trayectoria circular. La velocidad tangencial siempre es perpendicular al radio del círculo y su dirección varia de acuerdo al sentido de giro vt 

2 rn t

vt  2 rf

vt 

2 r T

VELOCIDAD ANGULAR En un movimiento circular la velocidad angular es la velocidad medida en radianes/seg con la que una partícula gira en la trayectoria circular, la velocidad angular se representa por la letra ω y su expresión matemática es la siguiente:

  2 f



vt r

EJEMPLOS 

B A

C

Un disco A que gira con una frecuencia de 30 rpm hace girar a otro disco B por el rozamiento de sus superficies de contacto. Un tambor D es solidario con B y gira levantando el cuerpo C. Los Radios RA, RB y RD son de 15, 25 y 10 cm respectivamente. Hallar la velocidad del cuerpo C y la distancia que recorre en 3 seg.



Una partícula gira con una frecuencia de 60 rpm en una trayectoria de 2 m de radio. Realice una grafica de la posición de la partícula, tanto en el eje x como en el eje y. ¿Demuestran estas graficas que el MCU es armónico simple? ¿Por qué? ACELERACIÓN NORMAL O CENTRIPETRA Es aquella que produce una fuerza que permite que el cuerpo se siga moviendo en la trayectoria circular, la aceleración centrípeta tiene como dirección el centro de la circunferencia y forma un ángulo de 90º con una velocidad tangencial. Vt 2 An  r EJEMPLOS

An   2 r



¿Cuál es el radio mínimo que puede usarse en una curva de carretera, para que la aceleración normal de un carro que se mueve a 60 millas/hora no exceda 2.5 ft/seg2?

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Una cinta registradora se mueve sobre 2 tambores con una velocidad constante Vo. Si la aceleración normal de la cinta de contacto con el tambor B es de 400 ft/s2 Determine: La velocidad Vo La An de la cinta en contacto con el tambor A La ωB y la ωA La frecuencia de A y B El Periodo de ambos tambores

a) b) c) d) e)

rA = 1.25 in Vo

rB = 0.75 in

MOVIMIENTO CIRCULAR ACELERADO Por analogía con los movimientos lineales tenemos que: d  vt v f  vi a t 1 d  vi t  at 2 2 1 d  v f t  at 2 2  vi  v f  d  t 2  

 t  f  i  t 1    it   t 2 2 1    f t  t2 2   i   f    t 2 

v f 2  vi 2  2ad

 f 2   i 2  2



El ventilador de una turbina parte del reposo y alcanza 200 rpm en 5 segundos, gira a esta velocidad durante cierto tiempo y después se detiene en 6 segundos. Si el número total de revoluciones fue de 3100. Determine el tiempo que estuvo girando la turbina.

ACELERACION TANGENCIAL Y ACELERACION ANGULAR La aceleración angular α provoca una aceleración que tiene la misma dirección y sentido que la Vt a esta aceleración se le conoce como At y se puede encontrar por medio de la siguiente fórmula: At  r

Las unidades de la At son cm/seg2 y m/seg2