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8/11/2015

fismoderna ­ Relatividad de la masa y la energia

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Relatividad de la masa Si consideramos un choque elástico (choque en el que se conserva la energía cinética) entre dos partículas A y B, vista por observadores situados en los sistemas de referencia S y S' que se encuentran en movimiento relativamente uniforme. Las propiedades de A y B son idénticas en sistemas de referencia en los que se encuentran en reposo. Sin embargo, las propiedades cambian al emplear un sistema que se mueve a velocidad constante.

Figura 1. Choque elástico desde dos sistemas de referencia. En estos sistemas los choques se verian diferentes.

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Figura 2. Comportamiento de dos partículas después del choque observado desde dos sistemas inerciales. Antes del choque la partícula A se encuentra en reposo en S y la partícula B en S'. Así, en el mismo instante, A se lanza en el sentido +y a la velocidad VA, mientras que B se lanza en el sentido ­y' con una velocidad V'B, donde: VA = V

′ B

De aquí que el comportamiento de A, visto desde S, sea exactamente el mismo que el de B visto desde S' (Figura 2). Cuando dos partículas chocan, A rebota en el sentido ­y a la velocidad VA, mientras que B rebota en el sentido +y' a la velocidad V'B. Si las partículas se lanzan desde posiciones separadas por una distancia Y, el tiempo T0 que invierte A en el recorrido de ida y vuelta, medido en el sistema S, es de: T0 =

Y VA

y es el mismo para B en S': T0 =

Y V

′

B

Para que se conserve el momentum en el sistema S, entonces se debe cumplir que: V = V http://fismoderna.wikispaces.com/Relatividad+de+la+masa+y+la+energia

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mA V A = mB V B

donde mA y mB son las masas de A y B, y VA y VB sus velocidades medidas en el sistema S. Consideramos que: Y

VB =

T

donde T es el tiempo que tarda B en efectuar su recorrido de ida y vuelta medido desde S. Sin embargo, en S', el recorrido de B requiere el tiempo T0, donde: T0

T =

√1−v

2

/c

2

Esta es la transformación empleada para la dilatación del tiempo. Sustituyendo T en la ecuación tenemos: Y √1−v

VB =

2

/c

2

T0

De VA tenemos: Y

VA =

T0

Sustituyendo estas ecuaciones en la del momentum tenemos: − − − − − − − − 2 2 m A = m B √ 1 − v /c

La diferencia entre las masas significa que las medidas de masa, así como las de espacio y tiempo, dependen de la velocidad relativa entre el observador y lo que él observa. Finalmente hacemos un cambio de variables: m = mB mo = mA

De esta forma llegamos a la deducción de la masa relativista . mo

m =

√1−v

2

/c

2

Deducción de la energía relativista De la segund ley de Newton, tenemos: F =

d

(mv)

dt

También sabemos que la energía cinética T se define como: T = ∫

s o

F ds = T = ∫

s o

d

(mv)ds = ∫

dt

v o

vd(mv) = ∫

v o

vd(

mo v √1−v

2

/c

) 2

Integrando por partes: ∫ xdy = xy − ∫ ydx

Así tenemos: T =

mo v √1−v

T =

T = mc

2

−∫

2

mo v √1−v

2

/c

2

v o

mo v √1−v

2

− mo c

2

/c

2

/c

dv 2

2

2

− mo c

2

Si consideramos la energía como E=mc2: T = E − Eo

Siendo E0=m0c2 la energía en reposo. E = T + Eo

De la ecuación de la energía cinética tenemos: 2

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fismoderna ­ Relatividad de la masa y la energia mo v

T =

√1−v

2

2

− mo c /c

2

2

y aplicando el binómio de Newton tenemos: (1 ± x)

n

= 1 ± nx

De esta forma, llegamos a la siguiente ecuación: T =

1 2

mo v

2

Finalmente llegamos a la deducción de la energía relativista: [[math]] E = m_o c^2 + \frac{1}{2} m v^2 [[math]]

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