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• Jhoner muñoz

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9) se quiere construir un jardín que tenga la forma de un sector circular con un perímetro de 30 mts. Hallar el jardín de mayor superficie. Solución: Ɵ

P=2𝜋r. 360 + 2r =30 (15−𝑟).360

Ɵ = Ɵ

𝜋𝑟

𝐴 = 𝜋𝑟 2 . 360

𝐴=

A’=15-2r

A’=0

… (1)

𝜋𝑟 2 (15−𝑟).360 = 𝜋𝑟.360

15r- 𝑟 2

r=15/2

máximo r=15/2 y A= 152 /2 - 152 /4 = 152 /4= 56,25

A’’= -2 < 0

10) Se tiene una hoja rectangular de papel, de lados 8 y 15, se desea hacer con ella caja sin

tapa, cortando en sus esquinas iguales y doblando convenientemente la parte restante. Determinar los lados de los cuadrados que deben ser cortados, a fin de que el volumen sea el mayor posible. Solución: V= (8-2a)(15-2a)a V=8x15a- 46𝑎2 +4𝑎3 V’=120-92a+12𝑎2

si v’=0

(3a-5)(4a-24)=0

a=5/3

, a=6

V’’=5/3 < 0

,a 0. Determinar la distancia mínima de p al origen. Solución: La distancia al origen se obtiene de: 𝑑2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 df

Derivamos:dx= 2x - 32𝑥 −3 =0 2x = 32/x

x=2 y=2

Luego la distancia: 𝑑2 = 22 + 22

d = 2√2

f=𝑥 2 +16𝑥 2

12) se necesita construir un embudo cónico cuya generatriz debe ser igual a 20 cm . cual

debe ser la altura del embudo para que su volumen sea el mayor posible. Solución: g = 20- √ℎ2 + 𝑟 2 400= ℎ2 + 𝑟 2

𝑟 2 = 400 − ℎ2 … (1)

1

𝜋

V=3 𝜋𝑟 2 .h … (𝛼) 𝑑𝑣

(1) en (𝛼) v = 3 (400-ℎ2 )h

1

V’(h) =𝑑ℎ = 3 𝜋[(400 − ℎ2 ) − 2ℎ2 ] v’(h) =0 h=

400 3

=ℎ2

20 √3 20

v( 3) maximo … h = √

20√3 3

13) si un paralelogramo y un triángulo tienen un vértice del paralelogramo esta sobre los

lados del triángulo dado .probar que el área del mayor paralelogramo que se puede incribir del modo descrito, es igual a la mitad del área del triángulo (se conoce la base y la altura del triángulo) . Solución: H=altura 𝐻−ℎ 𝑏

=

𝑏ℎ

1

𝐵𝐻 2

B=base

𝐻 𝐵

𝐻𝐵−ℎ𝐵 ℎ

=2

= 𝑏 … (𝛼)

4bh =BH

Área del paralelogramo : ℎ𝐻𝐵−ℎ 2 𝐵 𝐻

Bh

=A(h)

1

𝐻𝐵

𝐻

A’(h) =ℎ (HB-2Hb) , A’(h) =0 , si 2𝐵 =h = 2 A’’(h) =

−2𝐵 𝐻

0 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 Área

=

√

32√3 4

=

16) hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área y con los lados paralelos a los ejes coordenados que pueden inscribirse en la figura limitadas por las dos parábolas 3y=12-𝑥 2 , 6y =𝑥 2 -12. Solución: 𝑥 2 −12 6

Y=

y=

12− 𝑥 2 3

Los ejes de ambas paralelas coinciden con y p(x,0) q(-x,0) 𝑥2

*en A y=- 3 + 4 𝑥2 6

A’

y=

*en B y =

𝑥2 3

−4

−2

2𝑥 2 ) 6

d(A’A) = (6 -

d(AB) = 2x

área del rectángulo : 12x-𝑥 3

A’=12- 3𝑥 2 =0

→ x=2 x= -2

A’’ (2) < 0 MAXIMO

A’’=-6x A’’(-2)>0 minimo D(AA’) =6 -

22 2

puntos críticos

=4

17) hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo de lados 8,10,12 tal que un lado del rectángulo está contenido en un lado del triángulo de lado 12. Solución: 9

100 =ℎ2 + (12 − 𝑥)2

.

5√7 2

x=2

h=

12𝑏2 ℎ

A’=0

64= ℎ2 + 𝑥 2 Por semejanza: a= 12-

12𝑏 ℎ

…. (𝛼)

→

A =axb =12b -

De(𝛼): ℎ

Si b=2 →

a=6

Las dimensiones son

5√7 4

y 6.

→

b=

5√7 4

18) se debe construir la lámina triangular isósceles y de 60 cm de perímetro de manera tal que al rotar su lado común a los ángulos congruentes determine un sólido de volumen máximo. ¿cuáles deben ser las dimensiones de los lados de la lámina triangular.? Solución: 2√𝑥 2 + 𝑦 2 + 2y =60 → 𝜋𝑥 2 𝑦 3

V=2

𝑥4

2𝜋

entonces v= 3 (15𝑥 2 - 60) 𝑥3 ) 15

2𝜋

V’= 3 (30𝑥 − 0< 𝑥

𝑥2

𝑥 2 +𝑦 2 = (30 − 𝑦)2 → y = 15- 60

entonces x(2.152 − 𝑥 2 ) x=0 x=15√2

, v’ =0

entonces X = 15√2

*hallando y , z Y =15-

30𝑥15 60

Z=√152 𝑥2 +

→ 152 2

15

y= 2 →

z=

45 2