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• LuciaRiquelmeMartínez

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Pregunta 1 lunes, 04 de mayo de 2015

2:02 p.m.

Pregunta 1: Polarizadores

Considere una onda electromagnética plana que se propaga en dirección del eje

, cuyo campo electrico en función de la posición y tiempo es:

a. ¿Qué puede decir sobre la polarización de esta onda? b. Describa la función similar que corresponde al campo magnético de esta onda. Esta onda incide perpendicularmente sobre un vidrio polarizador, localizado en entre el eje e

, cuyo eje de polarización (la dirección en la que puede pasar el campo eléctrico) está en

c. Describa el vector campo eléctrico en función del tiempo justo a la salida del polarizador. d. ¿Qué tipo de polarización tiene esta onda que sale del polarizador?

Solución (a): Como podemos observar, el campo eléctrico del campo eléctrico está desfasada en polarizado circularmente.

tiene componentes e con igual magnitud y la componente , que es lo mismo que un carto de longitud de onda ( ). Entonces, por principio de superposición de ondas vemos que

está

Ahora bien, para determina la amplitud de dicha polarización anotaremos el campo eléctrico polarizado circularmente en forma de vector:

Y con ello, podemos ver claramente que la amplitud del campo eléctrico polarizado circularmente es

Solución (b): Nos piden el campo magnético de la onda electromagnética. Sabemos que la dirección de propagación de una onda EM está dada por dirección , por regla de la mano derecha podemos concluir:

• Que el campo magnético asociado al campo eléctrico polarizado con respecto a oscila en dirección . Y ademas, cuando • Que el campo magnético asociado al campo eléctrico polarizado con respecto a oscila en dirección . Y ademas, cuando

. Como la onda EM se propaga en

, tambien , tambien

Por ende, el campo magnético del caso es:

No sabemos cuánto vale

, asi que usaremos

para dejar

en funcion de constantes conocidas. Entonces, el campo magnetico de ésta onda EM es:

Solución (c): Al pasar por el polarizador, la onda EM deja de estar polarizada circularmente y como el eje de polarización tiene un ángulo de entre los ejes e . Podemos decir que el campo electrico tiene la misma amplitud para ambos ejes y ademas, se encuentra en fase. Sin embargo, el polarizador está ubicado en , por ende, sustituiremos con ese valor a . Por ultimo la amplitud: del inciso (a) se obtuvo que el campo electrico tiene una magnitud de . Entonces, la amplitud que llega al eje de polarización es , pero para anotarlo en forma de vector recurriremos a sus componentes y al siguiente dibujo:

Entonces, como podemos observar, los valores de

y

son:

Por lo tanto, el vector de campo eléctrico para la onda EM justo al salir del polarizador es:

Solución (d):

Certamen 1 - 2014-2 página 1

Solución (d): Según lo planteado anteriormente, la polarización de la onda EM al salir del polarizador es lineal respecto al eje unitario:

Certamen 1 - 2014-2 página 2

Pregunta 2 martes, 05 de mayo de 2015

2:02 a.m.

Pregunta 2: Interferencia

Suponga dos fuentes puntuales que emiten ondas electromagnéticas de igual polarización, frecuencia , amplitud y fase, separadas por una distancia

a. ¿Cuánto debe valer para que en se produsca un maximo de interferencia? b. ¿Qué tenemos que cambiar para que la intensidad en aumente al doble con respecto al valor que tiene en el caso anterior? c. Suponga que y que el desfase inicial entre las fuentes es . Calcule las amplitudes en y en

Solución (a): Para simplificar los cálculos, vamos a trabajar con el campo eléctrico de la onda EM. Por otro lado, según el enunciado las o nda EM producidas por las fuentes asi que podemos decir que el campo electrico producido por ambas fuentes es:

y

son identicas,

Pero como están en puntos diferentes, podemos decir que los campos eléctricos son:

Por lo tanto, al llegar a

el campo electrico

es simplemente la suma de ambos, es decir:

Para encontrar las condiciones para tener una máxima intensidad en el punto , trataremos de encontrar alguna relacion con la distancia

Entonces, de lo anterior podemos concluir que como:

es simplemente

El máximo de amplitud se obtiene cuando existan condiciones de interferencia constructiva debe cumplirse que:

Pero

con un ángulo de desfase

descrito por

. Y esto ocurre unicamente cuando

y el maximo de intensidad:

. De acuerdo a esto podemos reescribir lo anterior

toma valores de

. Por ende, para que

. Entonces:

Solución (b): La intensidad para este tipo de situaciones está descrita por:

Donde . Notese que vamos a recurrir a:

está contenido dentro de la funcion coseno, por lo tanto no aporta información. Por lo que vamos a tener que deducir cuanto v ale

Entonces, al reemplazar:

En la intensidad del comienzo, vemos que:

Entonces, para aumentar la intensidad al doble lo único que tenemos que hacer será aumentar la magnitud del campo eléctrico a una razón de Certamen 1 - 2014-2 página 3

Para ello,

Entonces, para aumentar la intensidad al doble lo único que tenemos que hacer será aumentar la magnitud del campo eléctrico a una razón de

Solución (c): Para resolver de la manera más simple diremos que el desfasar una onda positivamente en el sistema provocará que en el punto se adelante y en se atrase. Si no consideramos el desfase entre ambas fuentes, vemos que la onda EM al estar equidistantes en , vemos que al llegar a se adelanta y en se tambien se adelanta en la misma cantidad. Despues, si agregamos el desfase de producido por una de las fuentes, lo que hacemos en realidad es un "corrimiento" de onda de un valor igual a . Este corrimiento lo que provoca es que la onda EM se adelante en un valor provando así, interferencia constructiva. Por otro lado, para se ve que la onda se atrasa en la misma cantidad, y con ello, trae interferencia destructiva.

Certamen 1 - 2014-2 página 4

Pregunta 3 martes, 05 de mayo de 2015

7:03 a.m.

Pregunta 3: Difracción

Una onda electromagnética de longitud de onda incide sobre una rendija de ancho , y sobre una pantalla lejana

a. ¿Para qué ángulo se produce el primer minimo? b. ¿Qué se puede hacer para que disminuya el ancho angular del máximo central de difracción? (manteniendo

se oberva una figura de difracción.

constante)

Solución (a): Tomamos la rendija y la separamos en muchas fuentes puntuales infinitesimales como se muestra a continuación:

Como

, entonces los rayos de luz emitidos por cada una de las fuentes infinitesimales son paralelas. Tal como se muestra a continuación:

Luego, para que encontrar el ángulo referente al primer mínimo vamos a tener que dividir las fuentes infinitesimales en dos grupos: uno abarca la primera mitad consecutiva de fuentes puntuales infinitesimales y el segundo grupo la segunda mitad. Luego, para que se produzcan los mínimos de intensidad cada elemento del grupo equidistantes (para este caso, representado por ) entre si deberan anularse y esto se cumple cuando la diferencia entre sus trayectorias . Entonces, usamos la información establecida en este parrafo para completar el dibujo anterior y poder obtener mas datos:

Entonces, de acuerdo a lo anterior, el ángulo para encontrar el primer mínimo lo obtenemos mediante:

Pero

. Entonces:

Solución (b): Según la ecuación obtenida anteriormente, si anchura angular y esto lo logramos mediante:

, entonces vemos que

Certamen 1 - 2014-2 página 5

. Por lo tanto si disminuimos el valor del cociente

podremos disminuir el valor de la

• Disminuir el valor de la longitud de onda • Aumentar el ancho de las ranura Cabe destacar, que siempre debe respetarse que

Certamen 1 - 2014-2 página 6

Pregunta 4 martes, 05 de mayo de 2015

8:57 a.m.

Pregunta 4: Relatividad

Un vagón se mueve con velocidad

a. b. c. d.

respecto a la Tierra. Una persona en la parte trasera del vagón lanza un haz de luz hacia adelanta. Considere que el vagón tiene un largo propio

Según el observador en el vagón, ¿cuánto tiempo demora el haz en llagar al muro delantero del vagón? Misma pregunta, pero para el observador en Tierra. ¿A qué velocidad se mueve el haz respecto a la Tierra ¿Qué distancia total recorrió el haz, según el observador en la Tierra?

Solución (a): Según el observador que se encuentra en el vagón, dice que el suceso ocurre estando el sistema en reposo (marco referencial inercial ). Por ende, el tiempo que demora según este observador el haz de luz al llegar al otro muro del vagon es simplemente el cociente entre el largo propio del vagón y la velocidad de la luz , es decir:

Solución (b): Camino 1: Usando la fórmula de Dilatación de Tiempo La cosa cambia. Según el observador que se encuentra en tierra, éste ve el suceso en movimiento y por lo tanto, el tiempo que mide este queda dilatado. Dicho tiempo lo podemos obtener mediante:

Donde es el tiempo propio registrado por el observador que se encuentra en el vagon, es decir, estos reemplazos obtenemos:

.Y

es la velocidad relativa del caso dada por . Asi que al hacer

Camino 2: Usando la transformada inversa de Lorentz La transformada de Lorentz que liga el espacio-tiempo está dada por:

Sin embargo, la transformada anterior solo obtiene valores referente al sistema , es decir, referente al observador que se encuentra a bordo del vagón y no al terrestre que es lo que estamos buscando. Entonces, para obtener el el valor obtenido por este observador vamos a recurrir a la transformada inversa de Lorentz:

Nos interesa el tiempo registrado por el observador terrestre, el cual está dado por:

Para este caso,

es el tiempo propio

que obtuvimos en (a),

Certamen 1 - 2014-2 página 7

es la velocidad relativa

y

la longitud propia

. Entonces, reemplazando se obtiene:

Al parecer, el camino de la transformada inversa es el que guarda toda la diversión, emoción y adrenalina de hacer un certamen cuando queda poco tiempo.

Solución (c): Nos piden obtener la velocidad del haz de luz con respecto al observador que se encuentra en Tierra, es decir, el que registra el suceso en movimiento. Según el segundo postulado de Einstein, es imposible que un cuerpo se mueva a una velocidad superior a la velocidad de la luz . Por ende, el resultado que deberiamos esperar es que la velocidad según el marco referencial del observador de la Tierra deberá ser Podemos calcular la velocidad que se mueve el haz con respecto a la Tierra como:

Según el marco referencial del observador que se encuentra a bordo del tren, el haz se propaga a una velocidad

T lc

sp áb

. Asi que reemplazando obtenemos:

s…

Solución (d): Camino 1: Usando formula de contracción de Longitud Al igual que el inciso (a), el observador de Tierra registra el suceso como si ocurriese en reposo, por lo tanto, la longitud registrada por éste estará dada por:

Donde es el largo propio dada por:

registrado por el observador que ve el suceso como si estuviese en reposo. Por ende, al reemplazar, vemos que la contracción de longitud está

Camino 2: Deducción de la situación Desde el punto de vista del observador terrestre, vemos que la luz emitida dentro del carro se mueve a una velocidad (recordemos que el segundo postulado de Einstein nos dice que la velocidad de la luz es la misma para cualquier marco de referencia inercial). Por lo tanto, la luz se mueve una distancia donde es el tiempo relativo obtenido en el inciso (b). Por otro lado, el vagón se mueve a una velocidad en un mismo tiempo , por ende, la luz se mueve otro "poquito" más según el observador terrestre el cual esta dado por . Entonces, de acuerdo a lo anterior, la longitud total registrada por este observador es la suma de ambas distancias obtenidas anteriormente, es decir:

Camino 3: Vía Transformada Inversa de Lorentz (Solo para los más emocionados) Previamente, dijimos que la transformada inversa de Lorentz está dada por:

Certamen 1 - 2014-2 página 8

Nos interesa la longitud medida por el observador terrestre, la cual está representada por . Ademas, ya hemos mencionado que reemplazar vemos que:

y

. Entonces, al

Observación: cómo se logra apreciar, los resultados del camino 1 y camino 2 son expresiones diferentes, pero numéricamente son lo mismo. Pruebe asignándole valores a (recuerde que ).

Certamen 1 - 2014-2 página 9

y .