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Facultad de Ingeniería. Departamento de Mecánica. Mecánica General II

Centro Instantáneo de Rotación. (C.I.R)

Matías Reyes Mardones. Jonathan Andrés Catalán Ríos. Octubre 2018.

2 Resumen Este trabajo contiene información teórica sobre el centro instantáneo de rotación el cual ha sido motivo de estudio dentro del ramo Mecánica General II, donde desde el estudio de un sólido rígido o sólido plano y sus movimientos de rotación y traslación, podemos obtener un punto de referencia para el cálculo de un punto donde hay velocidad nula del movimiento, dentro de este contexto les enseñaremos como obtenerlo y como obtener sus correctas coordenadas y cálculos.

3 Tabla de Contenidos Capítulo 1 Introducción e información general .................Error! Bookmark not defined. Introduccion ...................................................................Error! Bookmark not defined. Capítulo 2 Objetivos ..........................................................Error! Bookmark not defined. Objetivos Especificos.................................................Error! Bookmark not defined. Capítulo 3 Desarrollo ........................................................Error! Bookmark not defined. Capítulo 4 Resultados y Analisis. .....................................Error! Bookmark not defined. Conclusiones ......................................................................Error! Bookmark not defined. Apéndice ............................................................................Error! Bookmark not defined.

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Capítulo 1: Introducción e información general. 1.1

Introducción. Un mecanismo tiene movimiento plano cuando las velocidades de todos sus puntos son paralelas a un plano fijo. No es necesario que el mecanismo esté contenido en el plano, pero se considera así para el cálculo de desplazamientos, velocidades y aceleraciones. No es válido para los esfuerzos (ya que se pueden originar momentos en el plano del mecanismo). La gran mayoría de mecanismos utilizados tienen movimiento plano. Muchas de las propiedades del movimiento plano tienen su correspondiente propiedad en el movimiento tridimensional. Hay muchos mecanismos espaciales que se originan a partir de un mecanismo plano al que se añade un GDL o grados de libertad de giro. Una vez entendido este movimiento podremos relacionar sus diferentes movimientos y la posición donde estableceremos el CIR, estudiar el movimiento del mecanismo implica estudiar el movimiento de todos y cada uno de los elementos que lo forman.

1.2

Información General. Recordemos que en un movimiento plano de un sólido rígido podemos distinguir los movimientos de rotación y traslación. Entendemos por sólido rígido una idealización matemática de un sistema físico en la que la distancia entre dos puntos materiales cualesquiera de ellas permanece invariable en el transcurso del tiempo. Se dice que un sólido rígido se encuentra animado de un movimiento de TRASLACIÓN cuando todo segmento rectilíneo definido por dos puntos de aquél permanece paralelo a sí mismo en el transcurso del movimiento, todos los puntos de un sólido rígido animado de un movimiento de traslación tienen, en cada instante, la misma velocidad. Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de ROTACIÓN alrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y contenidas en planos normales a éste. Una vez que ya recordamos cuales son estos movimientos nos adentraremos en la búsqueda del centro Instantáneo de Rotación CIR.

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Capítulo 2: Objetivos. En el presente trabajo el objetivo principal será el analizar y demostrar por medio del movimiento plano de un solido rígido, la determinación, ubicación y cálculo de los movimientos respecto al centro instantáneo de rotación CIR.

2.1 Objetivos Específicos



Análisis del movimiento plano



Movimientos de traslación y rotación.



Obtención del centro Instantáneo de rotación



Cálculos matemáticos del C.I.R.

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Capítulo 3: Desarrollo del tema. En este capítulo se considera la cinemática de cuerpos rígidos. Se investigan las relaciones existentes entre el tiempo, las posiciones, las velocidades y las aceleraciones de las diferentes partículas que forman un cuerpo rígido. Como se verá, los diferentes tipos de movimiento de cuerpo rígido. Traslación. Se afirma que un movimiento será de traslación si toda línea recta dentro del cuerpo mantiene la misma dirección durante el movimiento. También puede observarse que en la traslación todas las partículas que constituyen el cuerpo se mueven a lo largo de trayectorias paralelas. Si estas trayectorias son líneas rectas, se afirma que el movimiento es una traslación rectilínea, si las trayectorias son líneas curvas, el movimiento es una traslación curvilínea

Rotación alrededor de un eje fijo. En este movimiento, las partículas que forman al cuerpo rígido se mueven en planos paralelos a lo largo de círculos centrados sobre el mismo eje fijo. Si este eje, llamado eje de rotación, interseca al cuerpo rígido, las partículas localizadas sobre el eje tienen velocidad cero y aceleración cero. La rotación no debe confundirse con ciertos tipos de traslación curvilínea. Por ejemplo, la placa que se muestra en la figura 1 es una traslación curvilínea, con todas sus partículas moviéndose a lo largo de círculos paralelos, mientras que la placa que se muestra en la figura 2 está en rotación, con todas sus partículas moviéndose a lo largo de círculos concéntricos. En el primer caso, cualquier línea recta dada dibujada sobre la placa mantendrá la misma dirección, en tanto que en el segundo caso, el punto O permanece fijo. Como cada partícula se mueve en un plano determinado, se afirma que la rotación del cuerpo alrededor de un eje fijo es un movimiento plano.

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De la aceleración obtendremos:

El vector d/dt se denota mediante _ y se denomina aceleración angular del cuerpo. Al sustituir también v de (15.5), se tiene

Al diferenciar y recordar que k es constante en magnitud y dirección, se tiene:

Puesto que los vectores k y r son mutuamente perpendiculares, la magnitud de la velocidad v es

Al sustituir ω=ωk y α=αk en la ecuación (15.8) y observar que el doble producto cruz de r por k origina una rotación de 180° del vector r, se expresa la aceleración del punto P como

Al descomponer a en las componentes tangencial y normal se escribe

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¿Qué es el C.I.R? En un movimiento infinitesimal el Polo se denomina Centro Instantáneo de Rotación y se obtiene en la intersección de las normales a las trayectorias de dos puntos cualesquiera del sólido; es decir, las normales a las velocidades de dos puntos. PROPIEDADES DEL C.I.R.

   

Al no variar su posición en un dt, su velocidad es nula. Las velocidades de los demás puntos del sólido son perpendiculares al segmento que los une al CIR y su magnitud es proporcional a dicho segmento. La velocidad angular del sólido es la relación entre la velocidad de un punto y su distancia al CIR. Si dos puntos del sólido tienen la misma velocidad el sólido se encuentra en posición de traslación y en ese instante el CIR es un punto del infinito.

BASE Y RULETA

 

BASE: Lugar geométrico de los puntos del plano fijo que han coincidido en un determinado instante con el CIR. RULETA: Lugar geométrico de los puntos del plano móvil que han sido en un determinado instante CIR.



Po: Punto del plano fijo que coincide instantáneamente con el CIR.



P1: punto del plano móvil que coincide instantáneamente con el CIR.



P: punto matemático que se mueve sobre base y ruleta.

9 El polo de velocidades se obtiene como la intersección de las normales a las trayectorias (o a las velocidades) de dos puntos cualesquiera de un sólido plano. Ocurre que en un movimiento infinitesimal, la posición del polo no varía, de tal suerte que ha de tener necesariamente velocidad nula: el polo es un punto (en el caso más general, el único) de velocidad nula del sólido plano.

Polo de rotación o CIR.

Nótese que en el espacio tridimensional el movimiento de un sólido rígido puede considerarse como una isometría, dado que las distancias entre puntos del sólido rígido no cambian, dado que toda isometría que no es una traslación tiene algún punto fijo, se sigue que siempre que un cuerpo tenga además rotación (además de una posible traslación), existirán puntos fijos de esa isometría. Además es sencillo probar que el conjunto de puntos fijos en tres dimensiones forma una línea recta (eje de rotación) y en el movimiento en dos dimensiones, existe al menos un punto fijo, el llamado CIR (centro instantáneo de rotación). De hecho, el movimiento del sólido puede en un instante aproximarse a un giro diferencial del sólido alrededor de su CIR o eje de rotación (si se considera un intervalo de tiempo suficientemente corto), más una rotación a lo largo del eje de rotación. Más específicamente, en dos dimensiones el movimiento real de un sólido plano puede interpretarse como una secuencia de rotaciones infinitesimales en torno a las sucesivas posiciones del polo (cabe esperar que el polo, en el movimiento del sólido, cambie de posición). El polo podrá ser un punto impropio(en el infinito) cuando en el sólido haya dos puntos de velocidades paralelas; en caso contrario, será un punto de sólido móvil, aunque esté fuera de los límites físicos de dicho sólido (el sólido móvil define un plano, el plano móvil, al que pertenece él, su CIR). En su movimiento, el CIR describe dos trayectorias: la base (curva polar fija) y la ruleta (curva polar móvil); siendo la primera el lugar geométrico de los puntos del plano fijo

10 que en algún instante han coincidido con el CIR del plano móvil, y la segunda el lugar geométrico de los puntos del plano móvil que en algún instante han sido CIR. EL movimiento de un sólido móvil plano queda totalmente definido mediante el movimiento de rodadura de la ruleta sobre la base, tal y como lo demostró Cauchy en 1827.De ahí la importancia del CIR. Se cumple que la velocidad (módulo) de un punto del sólido móvil plano es: Donde ω es la velocidad angular del sólido plano (la misma para todos sus puntos), y r la distancia euclídea del punto en cuestión al CIR en cada instante. La dirección de la velocidad será la de la normal a la recta que une el punto y el CIR, y su sentido lo indicará el de ω (conocido).

Si el cuerpo realiza una rotación pura alrededor de un punto, dicho punto es el centro instantáneo de rotación:

Si el cuerpo realiza una traslación pura el centro instantáneo de rotación se encuentra en el infinito en dirección normal a la velocidad de traslación.

Si el cuerpo realiza un movimiento general el centro instantáneo de rotación se mueve respecto al cuerpo de un instante a otro (de ahí que se llame centro instantáneo de

11 rotación). Su posición se puede conocer en cada instante por intersección de las direcciones perpendiculares a la velocidad de dos de sus puntos.

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Capítulo 4: Resultados y Análisis.

CIR

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Conclusiones En conclusión podemos realizar con toda seguridad que el movimiento plano de un sólido rígido nos permite poder obtener la magnitud de sus velocidades en cada uno de sus componentes como también sus aceleraciones, este tipo de movimiento se encuentra presente dentro de toda maquina o mecanismo que sea capaz de realizar un movimiento de traslación y rotación de sus partes, ya sea sobre un plano o un eje fijo.

Referencias  

Mecánica Vectorial para ingenieros –dinámica, 10ma edición, Beer. https://es.wikipedia.org/wiki/Centro_y_eje_instant%C3%A1neo_de_rotaci%C3%B3n