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• Ernan R Rubio Quito

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CURSO: CÁLCULO II Tema 10:

Aplicaciones de la integral definida – Centro de masa y Trabajo

CENTRO DE MASA

1.

Dibuje la región limitada por las curvas y estime visualmente la posición del centro de masa. Luego, encuentre las coordenadas exactas del mismo. x 2 a) y  x , y  0, x  2 c) y  e , y  0, x  0, x  1 b)

y  x,

y  0,

x9

1 y  , y  0, x  1, x d)

x2

2.

Encuentre el centro de masa de la región limitada por la recta y = x y la parábola y = x2.

3.

Hallar el centro de masa de la región acotada y  x  4,

4.

Hallar el centro de masa de y = sen(x) y el eje X.

5.

Sitúe el centro de masa de una placa semicircular de radio “r”.

6.

Halle el centro de masa de la región limitada por las curvas: y  sin x,

y  cos x, x  0,

7.

Halle el centro de masa de la región limitada por las curvas: y  ln x,

y  0,

8.

Hallar el centro de masa de la región acotada por las gráficas de y =

2

y  2x  x2 .

x

 4

.

x  e.

1  x 2 , x = 0, x =2, y el eje Y.

TRABAJO EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Un tanque lleno de agua tiene la forma de un paralelepípedo rectangular de 5m de profundidad, 15m de ancho y 25m de largo. Encuentre el trabajo necesario para bombear el agua del tanque hasta un nivel de 1m arriba de la superficie del tanque. 2.

Un tanque de agua en forma de un cono circular recto invertido, mide 20 metros de diámetro en su parte superior y 15 metros de profundidad, si la superficie del agua está 5 metros por debajo de la tapa del tanque. Encuentre el trabajo realizado al bombear el agua hasta la parte superior del tanque.

3.

Un depósito abierto tiene forma de cono circular recto. El diámetro del círculo superior del depósito es de 8 pies y la altura es de 6 pies. ¿cuánto trabajo se realiza para vaciar el agua del depósito por encima del borde superior?

4.

Un tanque esférico de 10 de radio está lleno por su mitad de un aceite que pesa 50 kg/m 3. Calcule el trabajo requerido para bombear el aceite a través de un orificio en la parte superior del tanque.

5.

Un depósito cilíndrico vertical, de radio 2 metros y altura 6 metros está lleno de agua (peso 10KN/ m3). Hallar el trabajo realizado al bombear el agua a) Hasta la parte superior del depósito. b) Hasta un nivel de 5 metros por encima de dicho depósito

6.

La parte superior de un depósito cilíndrico de gasolina en una estación de servicio está a 4 pies por debajo del nivel del suelo. El eje del depósito es horizontal y su diámetro y longitud son de 5 y 12 pies, respectivamente. Calcular el trabajo realizado al bombear todo el contenido del depósito a una altura de 3 pies por encima del nivel del suelo.

7.

Un depósito cónico (con el vértice hacia abajo) de radio r metros y altura h metros está lleno de un líquido que pesa  newtons por metro cúbico. Hallar el trabajo realizado al bombear 1 hacia fuera lo primeros h metros de líquido 2 a. Hasta la parte superior del depósito; b. Hasta un nivel de k metros por encima del borde del depósito.