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CASO PRÁCTICO UNIDAD 2

DOCENTE: BENIGNO LOZANO ROJAS

ALUMNA: MÓNICA VIVIANA TALERO PIÑEROS

ESTADISTICA II

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DE ASTURIAS

CASO PRACTICO UNIDAD 2 EJERCICIO 1: De una población en la que se analiza la variable aleatoria ζ, con función de probabilidad f(x;θ), se extraen m.a.s de tamaño n. Se eligen dos estimadores del parámetro θ, tales que: a). E (θ*1) = 2θ y

V (θ*1) = 3θ²

E (θ*1) = 2θ 𝐸(𝜃 ∗ 1) = 2𝜃

𝑉(𝜃) =

𝐸(𝜃) = 2𝜃

1 3

𝜃=0

𝜃 − 2𝜃 = 2𝜃 − 2𝜃 −𝜃 = 0 −𝜃 0 = −1 1 𝜃=0 V (θ*1) = 3θ² 𝜃 = 3𝜃 2 3θ2 -θ=θ-θ 3𝜃 2 − 𝜃 = 𝜃 Para una ecuación de segundo grado de la forma 𝑎2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑥 −𝑏=√𝑏2 − 4 1,2=

2𝑎

𝑎𝑐

𝜃=

−(−1) + √(−1)2 − 4 ∗ 3 ∗ 0 1 = 2∗3 3

𝜃=

−(−1) − √(−1)2 − 4 ∗ 3 ∗ 0 = 0 2∗3

𝜃=

1 ,𝜃 = 0 3

b). E (θ*2) = θ + 1 y V(θ*2) = 4θ² E (θ*2) = θ + 1 2𝜃 = 𝜃 + 1 2𝜃 − 𝜃 = 𝜃 + 1 − 𝜃

𝜃=1 V(θ*2) = 4θ² 𝑉 (2𝜃) = 4𝜃 2 4𝜃 2 = 2𝜃 4𝜃 2 − 2𝜃 = 2𝜃 − 2𝜃 4𝜃 2 − 2𝜃 = 0 Para una ecuación de segundo grado de la forma 𝑎2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 𝑥

−𝑏=√𝑏 2 − 4𝑎𝑐 1,2= 2𝑎

𝜃=

−(−2) + √(−2)2 − 4 ∗ 4 ∗ 0 1 = 2∗4 2

−(−2) − √(−2)2 − 4 ∗ 4 ∗ 0 =0 2∗4 𝜃=

1 ,𝜃 = 0 2

CUESTIONES a) ¿son insesgados?+ Son insesgados puesto que difieren poco del valor del parámetro, cuyo valor de diferencia es mínimo, sin embargo la opción A es la más acertada porque se aleja menos del parámetro. b) Proponer, a partir de los estimadores anteriores, otros dos que sean insesgados compararlos según el criterio de eficiencia. Población distribuida 𝑁(𝜇, 6) y un estimador de la media poblacional 𝜇 para una muestra aleatoria simple de 1 tamaño 3 𝜃̂ = (𝑥1+ 𝑥2 + 2𝑥3 ) 4

𝐸[𝜃̂] = 𝜃 𝐸[𝑋𝑖 ] = 𝜇,

𝑖 = 1,2,3

1 𝐸[𝜃̂] = 𝐸 [ (𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 ] 4 𝐸[𝜃̂] =

1 (𝐸[𝑥1 ] + 𝐸[𝑥2 ] + 2𝐸[𝑥3 ]) 4

𝐸[𝜃̂] =

1 (𝜇 + 𝜇 + 2𝜇) 4

𝐸[𝜃̂] =

1 (4𝜇) 4

𝐸[𝜃̂] = 𝜇

EJERCICIO 2: Una vez obtenido el intervalo: μ ε [10 -0’784; 10 + 0’784] = [9’216; 10’784]0’95

CUESTIONES a) Aumentar la confianza de la estimación hasta el 99%, manteniendo constante la precisión. 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑜 1% = 0,01 𝛼 0,01 = = 0,005 2 2 Al buscar en la tabla de distribución normal 0,005 y el valor es:

Z / 2  2.58 para un nivel de confianza del

99%. 𝜎 0,784 𝜎 𝑋̅ ± 𝑍𝛼⁄2 ∗ = = 0,4 =0,4 = 10 ± 2,58 ∗ 0,4= (8,968; 11,032) 1.96 √𝑛 √𝑛 b) Aumentar al doble la precisión de la estimación obtenida, manteniendo constante la confianza de la estimación en el 95%.

𝑛=

𝑍𝛼2 ∗ 𝑝 ∗ 𝑞 (1,96)2 ∗ 0,95 ∗ 0,05 = = 0,296875 𝑑2 (0,784)2 𝜎 = √𝑛 ∗ 𝑝 ∗ 𝑞 𝜎 = √0,296875 ∗ 0,95 ∗ 0,05= 0,11875

Para doblar la precisión debemos sumar dos n =0,296875 + 0,296875 = 0,59375 10 ± 1,96 ∗

0,11875 √0,59375

= 𝐼𝐶(9,6979; 10,30205)

Referencias Lara, S. A. (21 de 05 de 2011). Estimación Estadística 2. Obtenido de https://www.youtube.com/watch?v=45r5bPlQvx0 Pickers, S. (04 de 11 de 2015). ¿Cómo determinar el tamaño de una muestra? Obtenido de clubvivamos.com