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INTRUSIÓN DE AGUA: MÉTODO DE CARTER - TRACY   JOHAN CLAROS PUENTES – 20112104978 JUAN SEBASTIAN DÍAZ GUTIÉRREZ – 20131117543

CARTER TRACY – ESTADO INESTABLE El método de Van Everdingen-Hurst proporciona la solución exacta a la ecuación de difusividad y es considerada la técnica correcta, sin embargo implica de superposiciones, convirtiendo su método en un proceso de cálculos tediosos. Para reducir la complejidad del cálculo del influjo de agua, Carter y Tracy propusieron una técnica de cálculo que no requiere superposición y permite un cálculo directo del influjo de agua.

CARTER TRACY – ESTADO INESTABLE Este método asume ratas de intrusión de agua constantes en cada intervalo de tiempo finito. Usando el método de Carter-Tracy, la intrusión de agua acumulada puede ser calculada a cualquier tiempo tn, a partir del valor previo obtenido en el instante tn – 1 Se debe denotar que el método de Carter-Tracy no es una solución exacta a la ecuación de difusividad y debe ser considerado una aproximación.

Consideraciones

 Estado inestable  Rata

terminal constante (la rata del influjo de agua es considerada constante para un determinado intervalo de tiempo)

 Presión terminal constante (una caída de presión en el WOC es

considerada constante en cierto intervalo finito de tiempo)

 Por  

medio de la integral de convolución, la intrusión de agua acumulada es expresada como una función de la presión:

Si la intrusión de agua se aproxima a una serie de intervalos de caudales constantes, puede ser expresado de las siguientes formas:

MÉTODO MATEMÁTICO DE CARTER-TRACY

Haciendo y combinando las ecuaciones (1) y (2b): Usando la transformada de Laplace en función de tD y haciendo    constante : se obtiene la transformada de una intrusión de agua ficticia y coincide con la aproximación de la intrusión real.

MÉTODO MATEMÁTICO DE CARTER-TRACY

Tomando la transformada de la ecuación (3) con respecto a : Despejando y usando la inversa de la transformada:  La  inversa es obtenida usando la siguiente identidad:

Si ahora se combina la ecuación (1) y (2a), y despejando se obtiene: Usando la transformada de Laplace, con la “función de paso” para    representar la historia entera de El resultado es la formula de superposición dada por Van Everdingen y Hurst.

MÉTODO MATEMÁTICO DE CARTER-TRACY

Nótese que la ecuación (5) es una aproximación de la ecuación (6), la cual mejora cuando los intervalos de tiempo usados en ambos casos se hacen menos drasticos. Resolviendo ecuación (5) en función de :    Sustituyendo ecuación (7) en la ecuación (2b) y haciendo :

Método matemático de Carter-Tracy

Donde: - B = constante de intrusión de agua de Van-Everdingen

MÉTODO MATEMÁTICO DE CARTER-TRACY

La presión adimensional, es considerada la segunda forma de solución de la ecuación de difusividad:

Reordenando los términos se tiene:

MÉTODO MATEMÁTICO DE CARTER-TRACY La presión adimensional esta en términos del radio y el tiempo

Por lo tanto: Y como la presión varia con el tiempo y posición, es tradicionalmente expresado en términos del tiempo adimensional y del radio adimensional. Estas variables adimensionales pueden ser introducidas en la ecuación de difusividad:

MÉTODO MATEMÁTICO DE CARTER-TRACY

Los autores propusieron una solución analítica a la ecuación anterior. En terminos de series infinitas exponenciales. Y las series fueron evaluadas para un amplio rango de y y se presentaron en tablas.  Posteriormente   se presento una aproximación a los resultados

tabulados, para dos amplios rangos, para cuando el tiempo adimensional esta por debajo de 100 y otra ecuación para cuando es mayor a 100.

MÉTODO MATEMÁTICO DE CARTER-TRACY Paso 1. En primera instancia calculamos el coeficiente de compresibilidad total, Ct;

Paso 2. Determinar la constante de influjo de agua

Método matemático de Carter-Tracy Paso 3. Para cada paso de tiempo n, calcular la caída de presión total dPn=Pi-Pn y el correspondiente Td

-

n = Tiempo actual evaluado ∆Pn = Caída de presión total, Pi – Pn, [Psi] PD = Presiones adimensionales P’D = Presiones adimensionales derivada

Método matemático de Carter-Tracy Paso 4. Calcular los valores de PD que están en función de tD y rD, los cuales fueron tabuladas y posteriormente se definió una aproximación de PD para un acuífero infinito activo:

Y los valores de P’D son aproximados a la siguiente ecuación:

Método matemático de Carter-Tracy La siguiente aproximación puede ser usada para caso en que tD > 100:

Y la derivada expresada como:

Cabe señalar que el método de Carter-Tracy no es una solución exacta a la ecuación de difusividad y debe considerarse una aproximación.

MÉTODO MATEMÁTICO DE CARTER-TRACY

Paso 5. Calcular el influjo de agua acumulado para los tiempos

BIBLIOGRAFIA

 An improved method for calculating water influx. R.D. Carter

and G.W. Tracy.  Reservoir Engineering Handbook, Tarek Ahmed.  Advanced Reservoir Engineering. Tarek Ahmed and Paul D.

McKinney.