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• Jessica Gómez

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Matemática Superior

Ingeniería Química

CALVO, María Silvana

Trabajo Práctico Nº 1: Números Complejos I) Calcular: 1) (3,4) + (− 1,2) + (− 5,3) = (3 − 1 − 5,4 + 2 + 3) = (− 3,9)

(− 3,9) = −3 + 9i =

90 332 º = 90 (cos 332º +i sin 332º ) = 90e 332 ºi

2) − (− 1,2) = (1,−2) 3) (3,−1) − (1,−4) = (3 − 1,−1 + 4) = (2,3) 4) (3,4) * (− 1,2) * (− 5,3) = (3 * −1 * −5,4 * 2 * 3) = (− 15,24) 1 2 −1 5) (1,−2 ) =  ,  5 5 (3,−1) * (1,4) = 3 + 12i − i + 4 = 7 + 11i = 7 + 11i 6) (1,−4) (1,4) 1 + 16 17 17 17 425 106*4 +1 106*4 =i * i = 1 * i = i = (0,1) 7) i = i 8) i 1032 = i 258*4 = 1 = (1,0)

II) Calcular x, v en las siguientes ecuaciones, sabiendo que tanto x como v son números reales: 10) x + 2 − 3i = 4 + vi

x + 2 = 4  −3i = vi x = 2  v = −3 11) v − 3i + xi = 2 − v + 5i v = 2 − v  −3i + xi = 5i v = 1 x = 8 12) x + 2 − ( x − v ) i = 3v + 2i x + 2 = 3v  − xi + vi = 2i x = 3v − 2  −(2v − 2)i + vi = 2i  −vi = 0 v = 0  x = −2 13) (1 + 2i ) x + ( 3 − 5i ) v = 1 − 3i

( x + 3v ) + ( 2 x − 5v ) i = 1 − 3i x + 3v = 1  ( 2 x − 5v ) i = −3i x = 1 − 3v  2 (1 − 3v ) i − 5vi = −3i  −11vi = −5i 5 4 x=− 11 11 14) ( 3 + xi )( v − 4i ) = −23 − 7i v=

3v − 12i + xvi − 4 xi 2 = −23 − 7i

( 3v + 4 x ) + ( xv − 12 ) i = −23 − 7i 1

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Ingeniería Química

CALVO, María Silvana

3v + 4 x = −23  xvi − 12i = −7i −23 − 4 x −23 − 4 x v= x i − 12i = −7i 3 3 23 4 3 − x − x 2 = 12 − 7  x1 = −5  x2 = − 3 3 4 20 v1 = −1  v2 = − 3

III) Representar gráficamente los siguientes números complejos:  3 15) Z 1 =  3,   4 16) Z 2 = (0,1) 17) Z 3 = (− 4,−5)

IV) Resolver las siguientes operaciones: 3 − 5i 3 − 5i 1 − i −2 − 10i = * = = −1 − 2i 18) 1+ i 1+ i 1− i 2

(1 + 2i ) − (1 − i ) = (1 + 4i − 4 ) − (1 − 2i + 1) * (1 − i ) = 19) 3 2 ( 3 + 2i ) − ( 2 + 2i ) ( 9 + 12i − 4 ) * ( 3 + 2i ) − ( 4 + 8i − 4 ) (1 + 4i − 4 ) − ( −4i ) = ( -3 + 8i ) * ( -9 - 38i ) = = ( −9 + 38i ) ( -9 + 38i ) ( -9 - 38i ) ( 331 + 42i ) = = 0.22 + 0.022i (81 + 342i − 342i + 1444 ) 2

20) =

(

)

3 + i * (1 − i )

(1 + 3i )

3

=

− 3 − 3i + i − 1 = 1 + 3i

(( −

)) ( 3i ) * (1 − 3i )

) (

3 − 1 + − 3i + i * 1 − 3i

(1 +

− 3 + 9i − 1 + 3i − 3i − 9 + i − 3 −4 + 4i = = −1 + i 4 1 − 3i + 3i + 9

2

)=

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21)

(1 + i )

9

(1 − i )

7

( = (

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2ei / 4

) = ( 2) e ) ( 2) e

2ei 7 / 4

9

9

7

7

i 9 / 4

i 7 7 / 4

CALVO, María Silvana

22.63ei 9 / 4 = = 2e − i10 i 49 / 4 11.31e

V) Dado: Z1 = 2i; Z2 = 4 – i. Calcular: 22) Z1 * Z 2 = ( −2i ) * ( 4 + i ) = 2 − 8i

( )( )

23) 3* ( Z1 ) + 2* ( Z 2 ) + 5 = 3* ( −2i ) + 2* ( 4 + i ) + 5 = −12i + 8 + 2i + 5 = 1 + 2i 2

24)

2

( ) = 2*3( −2i ) = −12i = −12i ( 4 + i ) 4+i 4+i 1/ 2 ( Z ) 3 Z1

2

25) 4* ( Z1 ) +

−1

12 48  4 1  = −12i  − i  = − − i 17 17  17 17 

1 1 1 16 2 2 ( Z 2 ) = 4* ( −2i ) + ( 4 + i ) = −8i + (16 + 8i − 1) = 5 − i 3 3 3 3

VI) Expresar en forma trigonométrica: 0 26) Z=1  Z = 12 = 1   = arctan   = 0  Z = 1( cos 0 + i sin 0 ) 1 3 2  −1  27) Z= − i  Z = ( −1) = 1   = arctan   = 270º = 2  0  3 3    Z = 1 cos + i sin  2 2   2  3 2 2 28) Z= − 1 + i 3+  Z = ( −1) + 3 = 2   = arctan   = 120º = 3  −1  2 2    Z = 2  cos + i sin  3 3   5 2 2  −1  29) Z= − 1 − i  Z = ( −1) + ( −1) = 2   = arctan   = 225º = 4  −1 

( )

5 5    Z = 2  cos + i sin  4 4  

30) Z= − 4 − 4i  Z =

( −4 ) + ( −4 ) 2

2

5  −4  = 32=4 2   = arctan   = 225º = 4  −4 

5 5    Z = 2 4  cos + i sin  4 4   31) Z= − 2 + i  Z =

( −2 ) + (1) 2

2

17  −1  = 5   = arctan   = 153º = 20  2 

17 17    Z = 5  cos + i sin  20 20   32) Z=3 + i  Z =

( 3) + (1) 2

2

 1 = 10   = arctan   = 18º = 10 3

     Z = 10  cos + i sin  10 10  

3

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CALVO, María Silvana

VII) Expresar en forma polar:

( −2 ) + ( 2 )

33) Z= − 2 + 2i  Z =

2

2

 2  = 8=2 2   = arctan   = 135º  −2 

 Z = 2 2 135º

35) Z=2i  Z =

 0  = 3   = arctan   = 0º  Z = 30º  −3  2 = 2   = arctan   = 90º  Z = 290º 0

( −3)

34) Z= − 3  Z =

( 2)

36) Z= 3 + i  Z =

2

2

( 3)

2

 1  2 + (1) = 2   = arctan   = 30º  Z = 230º  3

( 7) +( 2

37) Z= − 7 + i 21  Z =

21

)

2

 21  = 28=2 7   = arctan   = 120º − 7

 Z = 2 7 120º VIII) Calcular: 2

 3   1 2 3 i 3 1   1/ 2  38) Z ; Z = + Z=  + =1   = arctan  = 30º =  +  =  2 2 4 4 6  3/2  2  2 5

 Z = cos

 6

+ i sin

 6

  5 5  Z 5 = 15  cos5 + i sin 5  = cos + i sin 6 6 6 6  39) Z25 ; Z = 1 + i =  Z =

(1) + (1) 2

2

 1 = 2   = arctan   = 45º = 4 1

    Z = 2  cos + i sin  4 4  25    25   25 Z 25 = 2  cos 25 + i sin 25  = 4096 2  cos + sin  4 4 4 4   

( )

40) Z20 ; Z =

(

)

1+ i 3 1+ i 3 1+ i 1+ i + i 3 − 3 1− 3 i 1+ 3 = * = = +  1− i 1− i 1+ i 1+1 2 2 2

2

 1− 3   1+ 3  1− 2 3 + 3 +1+ 2 3 + 3 8 Z=  = = 2  +  = 4 4  2   2   1+ 3 1− 3    = arctan  :  = 105º  Z = 2 ( cos105º +i sin105º ) 2   2 Z 20 =

( 2)

20

( cos 20*105º +i sin 20*105º ) = 1024 ( cos 2100º +i sin 2100º ) =

35 35   = 1024  cos + i sin  3 3   4

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CALVO, María Silvana

IX) Determinar A = {V/V6= (729/2) + i ((729√3)/2)}. Representar gráficamente. 2

2 53141 1594323  729   729 3  Z =  + = 729  =  + 4 4  2   2 

 729 3 729  :  = 60º 2   2

 = arctan  V =

6

Z = 6 729 = 3  Z =

Si k = 0  Z = Si k = 1  Z = Si k = 2  Z Si k = 3  Z Si k = 4  Z Si k = 5  Z

 18



60º +2k   = +k 6 18 3

= 10º +



= 70º 3  2 = + = 130º 18 3  3 = + = 190º 18 3  4 = + = 250º 18 3  5 = + = 310º 18 3 18

5

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CALVO, María Silvana

Trabajo Práctico Nº 2: Interpolación I) Considera la siguiente tabla: x 0 1 2 4 y 1 1 2 5 a) ¿Cuántos polinomios de grado 3 interpolan la tabla? Sólo se puede obtener un polinomio de grado 3. b) Calcular el polinomio de Newton de 3er grado que interpola la tabla. a) 0 1 2 4

1 1 2 5

0 1 3/2

1/2

-1/12

1/6

P( x) = b0 + b1 ( x − x0 ) + b2 ( x − x0 )( x − x1 ) + b3 ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) 1 1 ( x − 0 )( x − 1) − ( x − 0 )( x − 1)( x − 2 ) 2 12 1 1 1 1 1 P( x) = 1 + x 2 − x − x 3 + x 2 − x 2 2 12 4 6 1 3 2 P( x) = − x3 + x 2 − x + 1 12 4 3

P( x) = 1 + 0 ( x − 0 ) +

1 II) Considera la función y = * 2 x para x  ( −;  ) . 2 a) Calcular el polinomio P(x) que interpola en los nodos x0 = 0; x1 = 1; x2 = 2 y x3 = 3 3 3 b) Calcular el error relativo que se comete al aproximar f   mediante P   . 2 2 a)

0 1 2 3

1 1 2 4

0 1 2

P( x) = 1 + 0( x − 0) +

1/2

0

1/2

1 ( x − 0 )( x − 1) + 0 ( x − 0 )( x − 1)( x − 2 ) 2

1 2 1 x − x +1 2 2 3 1 b) f   = * 23 / 2 = 1.375 2 2 P( x) =

Ea = 1.375 − 1.414 = 0.039

2

 3 1 3 1 3 P   =   − * + 1 = 1.414  2 2 2 2 2 0.039 Er % = *100 = 2.76% 1.375

6

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1 III) El polinomio de Newton P1 ( x) = 2 x − x ( x − 6 ) interpola la tabla x vs y. 9 x 0 6 15 y 0 12 15 a) Se agrega un cuarto punto de coordenadas x = 30; y = 0 . Se pide calcular el nuevo polinomio P2 ( x) que interpola todos los puntos. P2 ( x) = y0 l0 ( x) + y1l1 ( x) + y2l2 ( x) + y3l3 ( x) x − 6 )( x − 15 )( x − 30 ) x3 − 51x 2 + 720 x − 2700 ( x3 17 x 2 4 x l0 ( x) = = =− + − +1 −2700 2700 900 5 ( 0 − 6 )( 0 − 15)( 0 − 30 ) ( x − 0 )( x − 15)( x − 30 ) = x3 − 45 x 2 + 450 x = x3 − 5 x 2 + 25 x l1 ( x) = 1296 1296 144 72 ( 6 − 0 )( 6 − 15)( 6 − 30 ) ( x − 0 )( x − 6 )( x − 30 ) = x3 − 36 x 2 + 180 x = − x3 + 4 x 2 − 4 x l2 ( x ) = −2025 2025 225 45 (15 − 0 )(15 − 6 )(15 − 30 ) ( x − 0 )( x − 6 )( x − 15) = x3 − 21x 2 − 90 x = x3 − 7 x 2 − x l3 ( x) = 10800 10800 3600 120 ( 30 − 0 )( 30 − 6 )( 30 − 15 ) P2 ( x) = 0* l0 ( x) + 6* l1 ( x) + 15* l2 ( x) + 30* l3 ( x) x3 5 x 2 25 x x 3 4 x 2 4 x − + − + − 108 12 6 135 15 3 3 2 x 3 x 17 x P2 ( x) = − + 540 20 6

P2 ( x) =

IV) Los datos contenidos en la siguiente tabla fueron tomados de un cohete disparado verticalmente de la superficie de la tierra. Tiempo (seg) 0 60 120 180 240 300

Veloc (milla/seg) 0 0,0824 0,2147 0,6502 1,3851 3,2229

a) Calcular la velocidad del cohete cuando el tiempo sea de 90 seg. Utilizando interpolación de segundo y tercer grado. b)

En qué instante el cohete alcanza una velocidad de 0.1 millas/seg.

c)

Calcular la aceleración del cohete a 150 seg

a) 0 60 120

0 0,0824 0,2147

1,373.10-3 6,933.10-6 2,205.10-3

7

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CALVO, María Silvana

P1 ( x) = 1,373.10−3 ( x − 0 ) + 6,933.10−6 ( x − 0 )( x − 60 )

P1 ( x) = 1,373.10−3 x + 6,933.10−6 x 2 − 6,933.10−6 *60 x P1 ( x) = 6,933.10−6 x 2 + 9,5702.10−4 x P(90) = 0,1423 millas/seg

0 60 120 180

1,373.10-3 2,205.10-3 7,258.10-3

0 0,0824 0,2147 0,6502

6,933.10-6 1,9542.10-7 4,2108.10

-5

P2 ( x) = 1,373.10−3 ( x − 0 ) + 6,933.10−6 ( x − 0 )( x − 60 ) + 1,9545.10−7 ( x − 0 )( x − 60 )( x − 120 ) P2 ( x) = 1,373.10−3 x + 6,933.10−6 ( x 2 − 60 x ) + 1,9545.10−7 ( x 3 − 180 x 2 + 7200 x )

P2 ( x) = (1,373.10−3 − 4,1598.10−4 + 1,407.10−3 ) x + ( 6,933.10−6 − 3,51756.10−5 ) x 2 + 1,9542.10−7 x 3 P2 ( x) = 1,9542.10−7 x3 − 2,8243.10−5 x 2 + 2,364.10−3 x P(90) = 0,1264 millas/seg dP( x) c) a = = 5,8626.10−7 x 2 − 5,6486.105 x + 2.364.10−3 dx a (150) = 7,08.10−3 millas/seg 2

V) Dada la siguiente tabla: x0 x1 x2 x3 −     -5 /6 -2 /3 /2 x -1/2 0 y -1 − 3/2 y0 y1 y2 y3

x4

x5

-  /3 1/2

-  /6

3/2 y5

y4

x6 0 1

y6

x7

x8

x9

x10

 /6

 /3

 /2

3/2 y7

1/2

0

2  /3 -1/2

y8

y9

y10

x11

x12

3/2 y11

-1

5  /6 -

a) Hallar el polinomio P(x) que interpola los puntos ( x3 ; y3 ) , ( x6 ; y6 ) , ( x9 ; y9 ) , e indicar de que grado es. b) Dejar expresado un polinomio de 3er grado. c) Hallar P( x0 ), P( x4 ), P( x8 ). Comparar con los valores de la tabla. a) -  /2 0  /2

0 1 0

2/  -2/ 

-4/  2

2  4    x +  − 2  x +  ( x − 0)  2   2 2 4x P( x) = − 2 + 1

P( x) =



8



y12

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CALVO, María Silvana

b) P( x) = y0l0 ( x) + y1l1 ( x) + y2l2 ( x) + y3l3 ( x )

x 3 −  x 2 −  2 ( x / 9 ) + ( 3 / 9 ) x +  / 3)( x −  / 3)( x −  ) ( l0 ( x) = = = − (16 / 9 )  3 ( − +  / 3)( − −  / 3)( − −  ) =−

9 x3 9x2 x 1 + + − 3 2 16 16 16 16

x 3 − ( / 3) x 2 −  2 x + ( 3 / 3) x +  )( x −  / 3)( x −  ) ( l1 ( x) = = = ( − / 3 +  )( − / 3 −  / 3)( − / 3 −  ) (16 / 27 ) 3 =

27 x3 9 x 2 27 x 9 − − + 16 3 16 2 16 16

l2 ( x ) = =−

( x +  )( x +  / 3)( x −  ) = x3 + ( / 3) x 2 −  2 x − ( 3 / 3) = − (16 / 27 )  3 ( / 3 +  )( / 3 +  / 3)( / 3 −  )

27 x3 9 x 2 27 x 9 − + + 16 3 16 2 16 16

3 2 2 3 x +  )( x +  / 3)( x −  / 3) x +  x − ( / 9 ) x − ( / 9 ) ( l3 ( x) = = = ( +  )( +  / 3)( −  / 3) (16 / 9 ) 3

9 x3 9x2 x 1 = + − − 3 2 16 16 16 16 3  9x 9x2 x 1  1  27 x3 9 x 2 27 x 9  P( x) = −  − + + − − − + + +  3 2 16 16  2  16 3 16 2 16 16   16 16 1  27 x3 9 x 2 27 x 9   9 x 3 9x2 x 1 + − − + + − + − −    3 2 3 2 2  16 16 16 16   16 16 16 16   9 x 3 27 x 3 27 x 3 9 x 3   9 x 2 9x2 9x2 9x2 P( x) =  + − − + − − − −   3 32 3 32 3 16 3   16 2 32 2 32 2 16 2  16 27 x 27 x x  1 9 9 1  x + − − + + + + + +   16 32 32 16   16 32 32 16  27 x 2 11 P( x) = − + 16 2 16 c) P(− ) = −

27 ( − ) 16

2

2

+

 + 

11 = −1 16

27    11 1   P −  = − −  + = 16 2  3  16 2  3 2

27    11 1   P  = −   + = 16 2  3  16 2 3 2

VI) En un reactor se obtuvieron las siguientes velocidades de reacción, para distintas conversiones, según la siguiente tabla:

9

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x -rA 1/-rA

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x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

0 0.0053 189

0.1 0.0052 192

0.2 0.0050 200

0.3 0.0045 222

0.4 0.0040 250

0.5 0.0033 303

0.6 0.0025 400

0.7 0.0018 556

0.8 0.00125 800

0.85 0.001 1000

y0

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

a) Expresar la velocidad en función de la conversión mediante un polinomio P(x) que interpole los puntos ( x0 ; y0 ) ; ( x2 ; y2 ) ; ( x4 ; y4 ) . Indicar de que grado es el polinomio. b) Dejar expresado un polinomio de 3er grado. c) Hallar P(x3) a) 0 0,2 0,4

-1,5.10-3

0,0053 0,005 0,004

-8,75.10-3 -5.10-3

P( x) = 0,0053 − 1,5.10−3 ( x − 0 ) − 8,75.10 −3 ( x − 0 )( x − 0, 2 ) P( x) = 0,0053 − 1,5.10−3 x − 8,75.10 −3 x 2 + 1,75.10 −3 x P( x) = −8,75.10−3 x 2 + 2,5.10−4 x + 0,0053 b) 0 0,3 0,6 0,85

-2,667.10-3 -6,667.10-3 -6.10-3

0,0053 0,0045 0,0025 0,001

-6,667.10-3 9,2706.10-3 1,213.10

-3

P( x) = 0,0053 − 2,667.10−3 ( x − 0 ) − 6,667.10−3 ( x − 0 )( x − 0,3) + +9,2706.10−3 ( x − 0 )( x − 0,3)( x − 0,6 )

P( x) = 0,0053 + ( −2,667.10−3 + 2,0001.10−3 + 1,6687.10−3 ) x + ( −6,667.10−3 − 8,3435.10−3 ) x 2 +

+9,2706.10−3 x3 P( x) = 9,2706.10−3 x3 − 0,015 x 2 + 1,0018.10−3 x + 0,0053 c) P(0,3) = 0,004501 VII) Dada la siguiente tabla: x0 x1 50 100 P  / RT

3,08.10-4

y0

1,54.10-4

y1

x2

x3

x4

x5

200 -1,825.10-4

400 -6,39.10-4

800 -9,949.10-4

1000 -1,06.10-3

y2

y3

y4

y5

Donde:  es variación de volumen; R es cte de los gases; P es presión; T es temperatura. Hallar el valor de  / RT para P=300 10

Matemática Superior

50 100 200 400

3,08.10-4 1,54.10-4 -1,825.10-4 -6,39.10-4

Ingeniería Química

-3,08.10-6 -3,365.10-6 -2,283.10-6

CALVO, María Silvana

-1,9.10-9 1,573.10-11 3,607

P( x) = 3,08.10−4 − 3,08.10−6 ( x − 50 ) − 1,9.10−9 ( x − 50 )( x − 100 ) + +1,573.10−11 ( x − 50 )( x − 100 )( x − 200 ) P( x) = 1,573.10−11 x 3 − 7,406.10−9 x 2 − 2, 24.10−6 x + 4,3677.10−4 P(300) = −4,7826.10−4

11

Matemática Superior

Ingeniería Química

CALVO, María Silvana

Trabajo Práctico Nº 3: Derivadas e integrales numéricas I) El polinomio de Newton P1(x)= 2x – 1/9x (x-6) interpola la tabla x vs. Y x 0 6 15 y 0 12 15 Se agrega un cuarto punto de coordenadas x= 30 y= 0. Se pide calcular el nuevo polinomio P2(x) que interpola todos los puntos de la tabla. Los cuatro puntos de la tabla se obtuvieron de la semicircunferencia de la figura siguiente. (radio 15) y(x)= 152 − ( x − 15 )

2

10 y ( x)

0 0

10

20

30

x

a) Aproximar el área del semicírculo, con ayuda de los polinomios P1(x) y P2(x). Calcular los errores relativos. b) Hallar la derivada para x = 15. a) El polinomio que interpola todos los puntos de la tabla es: P(x)= 0.0019 x3 – 0.15 x2 +2.83x Área por medio de la integral de Simpson: 30 x 0 f ( x)dx = 3 ( y0 + 4 y1 + y 2 ) Δx=15 30

15  f ( x)dx = 3 (0 + 4  15 + 0) = 300 0

b) Derivada para x = 15:

Y’i =

Yi +1 − Yi −1 2x

xi-1 = 6 xi+1 = 24 xi = 15

yi-1 = 12 yi+1 = 12 yi = 15 12 − 12 =0 Y’i = 29

Δx= 9 12

Matemática Superior

Ingeniería Química

CALVO, María Silvana

II) Los datos de la siguiente tabla fueron tomados de un cohete disparado verticalmente de la superficie de la tierra. Tiempo (seg.) 0 60 120 180 240 300

Velocidad (millas/seg.) 0 0.0824 0.2147 0.6502 1.3851 3.2229

a) Calcular la aceleración del cohete a 150 seg. b) Calcular el desplazamiento del cohete a los 260 seg a) Aceleración a 150seg Δx= 90 xi-1 = 60 yi-1 = 0.0824 xi+1 = 240 yi+1 = 1.3851 yi = 150 1.3851 − 0.0824 Y’i = a = = 7.237  10 −3 millas / seg.2 2  90 b) Desplazamiento a 260 seg (Δx= 130) 260



f ( x)dx =

0

x (tiempo) y (velocidad)

x ( y 0 + 4 y1 + y 2 ) 3

x0 0 0 y0

x1 130 0.2678 y1

x2 260 1.797 y2

Los valores de y1 e y2 no se conocen, por lo que habrá que interpolar entre los valores expresados en la tabla original. P(x)= y0 l0(x)+ y1 l1(x)+ y2 l2(x)+ y3 l3(x)+ y4 l4(x)+ y5 l5(x) yo= 0 ; l0= 0 l1=

(x − 0)(x − 120)(x − 180)(x − 240)(x − 300) = (x − 0)(x − 120)(x − 180)(x − 240)(x − 300) 1.86  1010 (60 − 0)(60 − 120)(60 − 180)(60 − 240)(60 − 300)

l2 =

(x − 0)(x − 60)(x − 180)(x − 240)(x − 300) (x − 0)(x − 60)(x − 180)(x − 240)(x − 300) = − 9.33  109 (120 − 0)(120 − 60)(120 − 180)(120 − 240)(120 − 300)

13

Matemática Superior

Ingeniería Química

CALVO, María Silvana

l3 =

(x − 0)(x − 60)(x − 120)(x − 240)(x − 300) (x − 0)(x − 60)(x − 120)(x − 240)(x − 300) = 9.33  10 9 (180 − 0)(180 − 60)(180 − 120)(180 − 240)(180 − 300)

l4 =

(x − 0)(x − 60)(x − 120)(x − 180)(x − 300) (x − 0)(x − 60)(x − 120)(x − 180)(x − 300) = − 1.86 1010 (240 − 0)(240 − 60)(240 − 120)(240 − 180)(240 − 300)

l5 =

(x − 0)(x − 60)(x − 120)(x − 180)(x − 240) (x − 0)(x − 60)(x − 120)(x − 180)(x − 240) = 9.33  1010 (300 − 0)(300 − 60)(300 − 120)(300 − 180)(300 − 240)

P(130)= 0.2678 millas/seg. P(260)= 1.797 millas/seg. 260



f ( x)dx =

0

130 ( 0 + 4  0.2678 + 1.797 ) = 124.288millas 3

III) Dada la siguiente tabla:

x y

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

-п

-5п/6

-2п/3

-п/2

-п/3

-п/6

0

п/6

п/3

п/2

2п/3

5п/6

п

-1

− 3/2 y1

−1/ 2

0

1/ 2

1

0

−1/ 2

y4

y8

y9

y10

− 3/2 y11

-1

y3

3/2 y7

1/ 2

y2

3/2 y5

y0

y6

y12

a) Hallar el área bajo la curva, entre x = -п/2 y y = п/2 (tomar los 7 puntos) • Usando los datos de la tabla.

b) Los datos de la tabla corresponden a la siguiente función y = cos (x) • Hallar el área debajo la curva que describe esta función, integrando en entre -п/2 y п/2. Y comparar con el dato anterior. a) x = 

 2

−

 6

f ( x)dx =

2

 

 1 3 3 1   2.00 0 + 4  + 2  + 4  1 + 2  + 4  + 0  6  2 2 2 2 

b) y = cos(x)  /2



− /2

 /2

cos( x)dx = sen( x) − / 2 = 1 − (−1) = 2

14

Matemática Superior

Ingeniería Química

CALVO, María Silvana

IV) En un reactor se obtuvieron las siguientes velocidades de reacción, para distintas conversiones, siguiente tabla: x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x -rA 1/-rA

0 0.0053 189

0.1 0.0052 192

0.2 0.0050 200

0.3 0.0045 222

0.4 0.0040 250

0.5 0.0033 303

0.6 0.0025 400

0.7 0.0018 556

0.8 0.00125 800

0.85 0.001 1000

y0

y1

y2

y3

y4

y5

y6

y7

y8

y9

Calcular el volumen del reactor para distintas conversiones utilizando la regla de Simpson. Sabiendo que: FA0 = 0.867 mol/s. y x −1 V = FA0  dx 0 r A a) Para x = 0.2; Δx= 0.1 V = FA0



0.2 x

0

−1  0.1  dx =  (189 + 4  192 + 200 )  0.867 = 38.56dm 3 rA  3 

Para x = 0.4; Δx= 0.2 V = FA0



0.4 x

0

−1  0.2 (189 + 4  200 + 250)  0.867 = 71.61dm 3 dx =  rA  3 

Para x = 0.8; Δx= 0.2 V = FA0



0.8 x

0

−1  0.2  dx =  (189 + 4  200 + 2  250 + 4  400 + 800)  0.867 = 224.78dm 3 rA  3 

V) Dada la siguiente tabla: x0 x1 50 100 P  / RT

3,08.10-4

y0

1,54.10-4

y1

x2

x3

x4

x5

200 -1,825.10-4

400 -6,39.10-4

800 -9,949.10-4

1000 -1,06.10-3

y2

y3

y4

y5

Donde:  es variación de volumen; R es cte de los gases; P es presión; T es temperatura. Calcular la fugacidad del gas para P =300 0 ºC. Utilizando la regla de Simpson. Sabiendo que: p V 1  RT  f  Lnv = Ln   =   −  dP =  − dP = −V RT P  P  0  RT P    PV  1 = 1 −  RT  RT  P Δx= 100

15

Matemática Superior

Ingeniería Química

x p α/RT y

x0 200

x1 400

-1.825*10-4

-6.39*10-4

y0

y1

CALVO, María Silvana

P(x)= bo +b1(x-x1) bo = yo = -1.825*10-4 y − y 0 − 6.39  10 −4 − − 1.825  10 −4 b1 = 1 = = −2.2825  10 −6 x1 − x0 400 − 200

(

)

P(x) = -1.825*10-4 + − 228.25  10 −4 (x - 400) P(300) = -1.825*10-4 + − 2.2825  10 −6 (300 - 400) = − 4.1075  10 −4 P(0) = 4.36  10 −4 Lnv = − 

300

0

 RT

dP = −

(

)

100 4.36  10 − 4 + 4  1.54  10 − 4 + 2  −1.825  10 − 4 + −4.1075  10 − 4 = −92.08  10 − 4 3

VI) Se tiene la siguiente tabla en donde se vuelcan la variación del nivel de un líquido en un tanque en función del tiempo. h (altura)cm. 100 90 80 70 60 t (tiempo)min. 0 10 20 30 40 ¿Cuál es el caudal del líquido al cabo de 20 min. , si la sección transversal del tanque es de 10m2?. La densidad del flujo permanece constante.

dh q =− dt A x = 10 dh y i +1 − y i −1 70 − 90 = = = −1 dt 2  x 2  10

dh dh m  m3  cm 2 −q =  A  q = −  A = 1    1m = 0.01 dt dt min .  min 100cm 

16

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Ingeniería Química

CALVO, María Silvana

Trabajo Práctico Nº 4: Transformada de Laplace I) Hallar las siguientes transformadas de Laplace 1)

2t − 4 = 2 

2)

t  =

3)

4t

4)

e

5)

t

6)

 f (at ) = 1 F  s 

7)

cos(ut ) =

8)

f

9)

 f ´´´(t ) = s 3 F ( s ) − s 2 f (0) − sf ´(0) −

10)

 sen(au)du= s

11)

t

n

2

at

n! s n +1



2! s − 2 3 s s + 22

− cos 2t = 4 



f (t ) = F ( s − a)

2 3t

e

1 1 − 4 2 s s

=

2 ( s − 3) 3

a a

n

s s + u2 2



(t ) = S n F ( s ) − S n −1 f (0) − ... − Sf

t

0

n



f (t ) =

2

n−2

(0) − f ( n −1) (0) f ´´(0)

a a 1 = 2  2 2 s +a s +a s

d n F (s)  (−1) n ds n

(

d 2 a / ( s2 + a2 ) d 2 F (s) 2 t sen(at ) =  (−1) = ds 2 ds 2

12)



13)

2t

3

− 6t + 8 = 2 

14)

4t

2

− 3  cos 2t + e −t =

2



)

3! 1 1 12 6 8 − 6 2 + 8 = 4 − 2 + 4 s s s s s s



8 3s 1 − 2 + 3 2 s +1 s s +2

17

Matemática Superior

Ingeniería Química

15)

sen(4t )e  =

16)

Ch(5t )e  =

17)

e  = e

18)

tCh 2t =

19)

 4  Sh(3t)= 4  s

20)

t

21)

sent  cos t =

4

3t

4t

5t − 4

s−4

(s − 4)2 − 5 2

1 s −5

−4

2

(s − 3)2 + 4 2

(

d 2 s / ( s 2 − 22 ) ds

2

t

0

3

 2sen(3t ) = 2 

2

)  (−1)

3 1  2 +3 s

(

d 3 3/ ( s 2 + 32 ) ds

3

)  (−1)

3

1 2 1  1 = 2  sen2t  =  2 2 s + 22  2 s +2 2

II) Resolver 1)

 f (t − a ) t  a g (t)=  0t a 0

g (t )

g (t ) = e − as F ( s) 2)

ta 1 g (t) =  0 0  t  a

g (t )

g (t ) = 1  e −as s

3)

2 2  cos(t − 3  ) t  3  g(t)=  2 0 t   3

g (t )

g (t ) = F ( s)e

2

− as

−  s s = 2 2e 3 s +1

18

CALVO, María Silvana

Matemática Superior

4)

Ingeniería Química

 1 at b g (t)=  0 si t   a, b 

g (t )

t − 1 t  a  g1 (t) =  = t  a 0 g(t) = g1(t)-g2(t) =

g1(t ) = 1 e −as s

g1(t ) - g 2(t ) =

1 − as 1 −bs e e s s

 t − 1 1  t  2  5) g (t)=   0 si x  1;2 t − 1 t  1 g1 (t)=   t  1 0

g1(t ) = 1 e −1s

( t + 1) − 2 t  2  g2 (t)=   t2  0

s

g 2(t ) = 

1 1  −2 s + e 2 s s

g (t ) = 1 e − s −  s

1  6) g (t)=  2 4  1  f1=  2 0  4 f2=  0

1 1  −2 s + e 2 s s

 t  2  t  2 

 t  0 1  = u (t ) t 2 t  0  t  2  = u (t − 2)4 t  2

1  1  (t + 2 − 2) t  2  f3=  2  = u (t − 2) t 2 0 t  0   1  1 1 1  −2 s 4 −2 s − + e + e 2 s2  2 s2 s  s

g (t ) = 1

g (t ) g (t ) = u (t − 3)e −(t −3) cos w(t − 3)

7)

1 u (t − 3) =  0

t 3 t 3

19

CALVO, María Silvana

Matemática Superior

Ingeniería Química

CALVO, María Silvana

e − (t −3) cos w(t − 3) t  3 g (t ) =  t 3 0

cos w(t − 3) =

e

− ( t −3)

s s + w2 2

 s +1 cos w(t − 3) =  2 2  (s + 1) + w



 −3 s e  

III) Hallar la transformada de la siguiente ecuación. Reemplazar los y (0) e y´ (0) por los valores correspondientes.  y´´+2 y´+5 y = 0 t  0 1)  y´(0) = 0  y (o ) = 1 y``+2 y`+ y = 0

s 2 F ( s ) − sf (0) − f ´(0) + 2sF ( s ) − 2 f (0) + 5F ( s ) = 0 s 2 F ( s ) − s1 − 0 + 2sF ( s ) − 21 + 5F ( s ) = 0 F ( s) s 2 + 2s + 5 − s − 2 = 0



F (s) =

-1



s+2 s + 2s + 5 2

F (s) =cos (2t) e-1t + e-1 t

sen2t 2

 y´´+2 y´= h ( t ) t  0 2)   y (o) = 1 y´(0) = 0

s 2 F ( s ) − sf (0) − f ´(0) + 2sF ( s ) − 2 f (0) = F ( s ) s 2 F ( s ) − s1 − 0 + 2sF ( s ) − 21 − F ( s ) = 0 F ( s) s 2 + 2s − 1 − s − 2 = 0 s+2 F (s) = 2 s + 2s − 1  s = 0.41 ( s 2 + 2s − 1) s 1 = −2.41  2



F (s) =



s+2 A B = + s + 2 s − 1 ( s − 0.41) ( s + 2.41) 2

20

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Ingeniería Química

s + 2 = A( s + 2.41) + B( s − 0.41) si s = 0.41 A = 0.85 si s = -2.41 

B = 0.14

s+2 0.85 0.14 = + s + 2 s − 1 ( s − 0.41) ( s + 2.41)

-1

2

F (s) =0.85 e0.41t + 0.14 e-2.41t

 y´´+ k 2 y = 0 t 0 3)   y (o) = y0 y´(0) = y1

s 2 F ( s ) − sf (0) − f ´(0) + k 2 F ( s ) = 0 s 2 F ( s ) − sy 0 − y1 + k 2 F ( s ) = 0





F ( s ) s 2 + k 2 − sy 0 − y1 = 0 F (s) =

-1

sy 0 + y1 sy y = 2 0 2 − 2 1 2 2 2 s +k s +k s +k

F (s) = y0 cos kt + y1

k   k

senkt k

 y´´− y´−6 y = 2 t  0 4)  y´(0) = 0  y (o ) = 1

s 2 F ( s ) − sf (0) − f ´(0) − sF ( s ) + f (0) − 6 F ( s ) − 2 = 0 F (s) ( s 2 − s − 6 ) − s − 2 + 1 = 0

s +1 s −s−6 s +1 A B F (s) = 2 = + s − s − 6 ( s − 3) ( s + 2) F (s) =

2

s + 1 = A( s + 2) + B( s − 3) si s = 3

A=1

si s = -2 B = 0 s+2 1 0 1  2 = + = s + 2 s − 1 ( s − 3) ( s + 2) ( s − 3) -1

F (s) =e3t 21

CALVO, María Silvana

Matemática Superior

Ingeniería Química

CALVO, María Silvana

 y´´+ y´−6 y = t 2 + 2t t  0 5)  y´(0) = −2  y (o ) = 4 s 2 F ( s ) − sf (0) − f ´(0) + sF ( s ) − f (0) − 6 F ( s ) =

s 2 F ( s ) − s 4 + 2 + sF ( s ) − 4 − 6 F ( s ) =

2! 1 +2 2 3 s s

2! 1 +2 2 3 s s

2 2 + 2 4s + 2 3 F (s) = s 2 s s +s−6

F (s) =

2 2 4s 2 + 2 2 + 2 + 2 s s +s−6 s s +s−6 s +s−6 s +s−6 3

(

)

2

(

)

s =2 s2 + s − 6 =  1 s 2 = −3 2 A B C D E = 3+ 2 + + + s ( s − 2) ( s + 3) s ( s − 2)( s + 3) s s 3

2 = A( s + 3)( s − 2) + Bs( s + 3)( s − 2) + Cs 2 ( s + 3)( s − 2) + Ds 3 ( s + 3) + Es 2 ( s − 2) si s = 0 A = -1/3   2  d  ( s − 2 )( s + 3 ) =− 1 B=  ds 18   2  d 2  ( s − 2)( s + 3)  7  c= =− 2 54 ds si s = 2

1 20

D=

2 135

si s = -3 E =

-1

F ( s) = − t

2

6

−

t e 2t e −3t 7 + + − 18 20 115 54

22

Matemática Superior

Ingeniería Química

CALVO, María Silvana

Trabajo Práctico Nº 5: Transformada de Laplace. Ecuaciones diferenciales I) Resolver las siguientes ecuaciones  y´´+2 y´+5 y = 0 t  0 1)  y´(0) = 0  y (0) = 1

s 2 F ( s ) − sf (0) − f ´(0) + 2sF ( s ) − 2 f (0) + 5F ( s ) = 0





F ( s) s 2 + 2s + 5 − s − 2 = 0 F (s) =

-1

 s+2 s+2 s +1 2 1 = 2 = +  − 2 2 2 2 s + 2 s + 5 s + 2 s + 1 + 4 (s + 1) + 2 (s + 1)2 + 2 2  (s + 1) + 2

(

2

)

F (s) = cos 2t  e −t + sen2t  e −t 2

 y´´+ k 2 y = 0 t 0 2)   y (0) = y0 y´(0) = y1

s 2 F ( s ) − sy 0 − y1 + k 2 F ( s ) = 0





F ( s ) s 2 + k 2 − sy 0 − y1 = 0 F (s) =

-1

sy 0 + y1 sy y k == 2 0 2 + 2 1 2    2 2 s +k s +k s +k k

F (s) = y 0 cos kt + senkt k

t 0  y´´− y´−6 y = 2 3)  y´(0) = 0  y (o ) = 1

s 2 F ( s ) − sf (0) − f ´(0) − sF ( s ) + f (0) − 6 F ( s ) − 2 = 0





F (s) s 2 − s − 6 − s − 2 + 1 = 0 s +1 F (s) = 2 s −s−6 s +1 A B F (s) = 2 = + s − s − 6 ( s − 3) ( s + 2)

23

 2   2 

Matemática Superior

Ingeniería Química

CALVO, María Silvana

s + 1 = A( s + 2) + B( s − 3) si s = 3 A = 1 si s = -2 B = 0 

s+2 1 0 1 = + = s + 2 s − 1 ( s − 3) ( s + 2) ( s − 3)

-1

2

F (s) =e3t

 y´´+ y´−6 y = t 2 + 2t t  0 4)  y´(0) = −2  y (o ) = 4 s 2 F ( s ) − 4 s + 2 + sF ( s ) − 4 − 6 F ( s ) =





F ( s) s 2 + s − 6 − 4s + 2 − 4 =

2! 1 + 2 2 3 s s

2! 2 + s3 s2

2 2 + 2 + 4s + 2 3 2 2 4s 2 F ( s ) = s 2s = 3 + 2 + + s +s−6 s (s + 3)(s − 2 ) s (s + 3)(s − 2 ) (s + 3)(s − 2 ) (s + 3)(s − 2 )

2 A B C D E = 3+ 2 + + + s (s − 2 ) (s + 3) s (s + 3)(s − 2 ) s s 3

Ds 3 Es 3 = A + Bs + C + + (s + 3)(s − 2) (s − 2) (s + 3) 2

si s = 0

A=−

2 1 =− 6 3

  2  d  (s + 3)(s − 2)  2 2 2 2 1  B= =− − =− + =− 2 2 ds 12 18 18 (s − 2) (s + 3) (s − 2)(s + 3)

24

Matemática Superior

Ingeniería Química

CALVO, María Silvana

  2 d 2   ( s + 3)( s − 2 )  4 2 4  C= =− + + + 2 2 2 3 2 ds ( s − 2 ) ( s + 3) ( s − 2 ) ( s + 3) ( s + 3) ( s − 2 ) +

2

( s + 3) ( s − 2 ) 2

2

=−

7 54

si s = 2 D=

2 1 = 3 (s + 3)s 20

si s = -3 E=

-1

2 2 = 3 (s − 2)s 135

F (s) = − 7 t + 18

1 2t 2 − 3t 7 e + e − 20 135 54

 y´´+3 y´+2 y = 5u (t ) t  0 5)  y´(0) = 0  y (0) = 0

s 2 F ( s ) − sf (0) − f ´(0) + 3sF ( s ) − 3 f (0) + 2 F ( s ) = 5 





F ( s ) s 2 + 3s + 2 =

F (s) =

5 s

5 s s + 3s + 2

(

2

)

5 A B C = + + s (s + 1) (s + 2 ) s s + 3s + 2

(

2

)

5 = A(s + 1)(s + 2) + Bs(s + 2) + Cs (s + 1) 5 2

si s = 0

A=

si s = -1

B = −5 5 C= 2

si s = -2

25

1 s

Matemática Superior

Ingeniería Química

CALVO, María Silvana

5 5 1 5 5 1 = * − + * s ( s + 3s + 2 ) 2 s ( s + 1) 2 ( s + 2 ) 2

-1

F (s) = 5 t − 5  e −t + 5  e −2t 2

2

t 0  y´´+2 y´−5 y = 3u (t ) 6)  y´(0) = 0  y (0) = 0

s 2 F ( s ) − sf (0) − f ´(0) + 2 sF ( s ) − 2 f (0) − 5 F ( s ) = 3 





F ( s) s 2 + 2s − 5 =

F (s) =

3 s

3 s s + 2s − 5

(

2

1 s

)

 s1 = 0  s =  s 2 = 1 .5 s = −3.5  3

3 A B C = + + s (s − 1.5) (s + 3.5) s s + 2s + 5

(

2

)

3 = A(s − 1.5)(s + 3.5) + Bs(s + 3.5) + Cs (s − 1.5) Si s = 0

A=−

Si s = 1.5

B=

3 5.25

3 7.5

3 17.5 3 3 1 3 1 3 1 =− * + + * 2 5.25 s 7.5 ( s − 1.5 ) 17.5 ( s + 3.5 ) s ( s + 3s + 2 )

Si s = -3.5

-1

C=

F (s) = −

3 3 3 t−  e1.5t +  e −3.5t 5.25 7.5 17.5

26

Matemática Superior

Ingeniería Química

CALVO, María Silvana

Trabajo Práctico Nº 6: Métodos numéricos. Resolución de ecuaciones diferenciales (Euler – Runge- Kutta) I) En los problemas que siguen, usar el método de Euler, y el de Runge-Kutta para estimar la solución en x = 1. Comparar los resultados con la solución exacta.

y (0) = 10.1

1) y´= 2 x + 2 y

h = 0.2

y1 = 1 + 0.2(2  0 + 2  1) = 1.4 y 2 = 1.4 + 0.2(2  0.2 + 2  1.4) = 2.04 y 3 = 2.04 + 0.2(2  0.4 + 2  2.04) = 3.016

x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y 4 = 3.06 + 0.2(2  0.6 + 2  3.016) = 4.4624 y 5 = 4.4624 + 0.2(2  0.8 + 2  4.4624) = 6.56736

y´= 2 x + 2 y  y´−2 y = 2 x  s F ( s ) − f (0) − 2 F ( s ) =

2

x=t

2 s2

2 1 − = s (s − 2 ) (s − 2 )

F (s) =

y´ − 2 y = x

 A A´ B  1  s 2 + s + (s − 2 )  − (s − 2 )  

2 = A(s − 2) + A´s(s − 2) + Bs 2 Si s = 0

A = −1

 2  d  1 s −2  A´= =− ds 2

Si s = 2 F (s) = −

-1

B=

1 2

1 1 1 1 − + + 2 2 s 2(s − 2 ) (s − 2 ) s

F (s) = − t − 1 + 1 e 2t + e 2t 2

2) y´=

1 y

2

y (0) = 1; 0.1

=y

h = 0.25

1 K 10 = f (0.1)  = 1 1

27

x

y

0

1

0.2

1.54

0.4

2.43

0.6

3.88

0.8

4.736

1

6.13

y 1 1.4 2.04 3.016 4.4624 6.56736

Matemática Superior

Ingeniería Química

1 1 1   K 20 = f  0 +  0.25,1 +  0.25  1  = 0.88 2 2   1.125 1 1 1   K 30 = f  0 +  0.25,1 +  0.25  0.88   = 0.90 2 2   1.11 1 K 20 = f (0 + 0.25;1 + 0.25  0.90)  = 0.82 1.225

=

1 (1 + 2  0.88 + 2  0.90 + 0.82 ) = 0.896 6

y1 = 1 + 0.25  0.896 = 1.224

K 11 = f (0.25;1.224)  K 21

1 = 0.816 1.224 1 1 1   = f  0.25 +  0.25,1.224 +  0.25  0.816   = 0.754 2 2   1.326

1 1 1   K 31 = f  0.25 +  0.25,1.224 +  0.25  0.754   = 0.759 2 2   1.318 1 K 41 = f (0.25 + 0.25,1.224 + 0.25  0.759)  = 0.71 1.414 1  = ( 0.816 + 2  0.754 + 2  0.759 + 0.71) = 0.759 6

y 2 = 1.224 + 0.25  0.759 = 1.41

K 12 = f (0.50;1.41)  K 22 K 32

K 42

=

1 = 0.71 1.41 1 1 1   = f  0.50 +  0.25,1.41 +  0.25  0.71  = 0.66 2 2   1.5 1 1 1   = f  0.50 +  0.25,1.41 +  0.25  0.66   = 0.67 2 2   1.49 1 = f (0.50 + 0.25,1.41 + 0.25  0.67 )  = 0.63 1.58

1 ( 0.71 + 2  0.66 + 2  0.67 + 0.63) = 0.66 6

y 3 = 1.41 + 0.25  0.66 = 1.575

28

CALVO, María Silvana

Matemática Superior

Ingeniería Química

CALVO, María Silvana

K 13 = f (0.75;1.575) 

1 = 0.61 1.575 1 1 1   K 23 = f  0.75 +  0.25,1.575 +  0.25  0.61  = 0.61 2 2   1.65 1 1 1   K 33 = f  0.75 +  0.25,1.575 +  0.25  0.61  = 0.61 2 2   1.65 1 K 43 = f (0.75 + 0.25,1.575 + 0.25  0.61)  = 0.58 1.73

=

1 ( 0.61 + 2  0.61 + 2  0.61 + 0.58) = 0.61 6

x 0 0.25 0.50 0.75 1

y 4 = 1.575 + 0.25  0.61 = 1.73

y´=

1 dy 1 y2  =   ydy =  dx  = x  y = 2x y dx y 2 x 0 0.25 0.50 0.75 1

y 0.71 1 1.23 1.41

y (0) = 0; 0.1

3) y´= e y

( ) (

h = 0.25

y1 = 0 + 0.25 e 0 = 0.25 y 2 = 0.25 + 0.25 e 0.25 = 0.57 y 3 = 0.57 + 0.25(e 0.57 ) = 1.012

x 0 0.25 0.50 0.75 1

)

(

)

y 4 = 1.012 + 0.25 e1.012 = 1.71

y´= e y 

y 0 0.25 0.57 1.012 1.71

dy dy = e y   y =  dx  e − y = x  y = − ln x dx e

4) y´= y − senx

y (0) = 0; 0.1

h = 0.25

y1 = 0 + 0.25(0 − sen0) = 0 y 2 = 0 + 0.25(0 − sen0.25) = −0.0011

29

y 1 1.224 1.41 1.575 1.73

Matemática Superior

Ingeniería Química

y 3 = −0.0011 + 0.25(− 0.0011 − sen0.50) = −0.0036 y 4 = −0.0036 + 0.25(− 0.0036 − sen0.75) = −0.0078

y (0) = 1; 0.1

5) y´= 2 x − 2 y

CALVO, María Silvana

x

y

0 0.25 0.50 0.75 1

0 0 -0.0011 -0.0036 -0.0078

h = 0.2

x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y1 = 1 + 0.2(2  0 − 2  1) = 0.6 y 2 = 0.6 + 0.2(2  0.2 − 2  0.6) = 0.44 y 3 = 0.44 + 0.2(2  0.4 − 2  0.44) = 0.424 y 4 = 0.424 + 0.2(2  0.6 − 2  0.424) = 0.5 y 5 = 0.50 + 0.2(2  0.8 − 2  0.5) = 0.62

y´= 2 x − 2 y  sF ( s ) − f (0) = 2  F ( s )s − 2 − 1 = F (s) =

y 1 0.6 0.4 0.424 0.50 0.62

1 − 2 F (s) s2

2 s2

 A A´ 2 1 B  1 +  2 + + +  s (s + 2 )  (s + 2 ) s (s + 2 ) (s + 2 ) s 2

2 = A( s + 2) + A´s(s + 2) + Bs 2 Si s = 0

A=1

 2    (s + 2)  1  B= =− ds 2 Si s = -2

C=

x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1 2

1 1 1  1 F (s) =  2 − + +  2 s 2(s + 2 )  (s + 2 ) s -1

F (s) = t − 1 + 1 e −2t + e −2t 2

6) y´= y − x 2

2

=y

y (1) = 1; 1.2

h = 0.1

30

y 1 0.7 0.57 0.55 0.60 0.70

Matemática Superior

( (

)

Ingeniería Química

y1 = 1 + 0.1 1 − 12 = 1 y 2 = 1 + 0.1 1 − 1.12 = 0.98 y 3 = 0.98 + 0.1(0.98 − 1.2 2 ) = 0.934

)

(

x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

)

y 4 = 0.934 + 0.1 0.934 − 1.3 2 = 0.86 y 5 = 0.86 + 0.1(0.86 − 1.4 2 ) = 0.75

7) y´= ( y − 1)x = yx − x

CALVO, María Silvana

y (0) = 1; 0.2

y1 = 1 + 0.5(1  0 − 0) = 1 y 2 = 1 + 0.5(1  0.5 − 0.5) = 1 y 3 = 1 + 0.5(1  1 − 1) = 1

y 1 1 0.98 0.934 0.86 0.75

h = 0.5

x 0 0.5 1 1.5 1

y 4 = 1 + 0.5(1  1.5 − 1.5) = 1

y´= ( y − 1)x 

dy dy x2 = ( y − 1)x   =  xdx  ln( y − 1) = dx y −1 2

 y = ex

−1

2

/2

31

y 1 1 1 1 1