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gira alrededor del eje x, su centroide recorre la trayectoria circular de longitud 2 y .

DESCRIPCION DE CARGAS DISTRIBUIDAS En la década de los años 30 se tomo esta foto en la construcción del Rockefeller Center de New York. Los operarios almuerzan sobre la viga de acero que está a una altura muy considerable, la imagen sirvió para denunciar las precarias condiciones laborales de los Estados Unidos en esa época de depresión. La carga ejercida por los operarios se distribuye sobre la longitud de la viga y su magnitud en una posición x dada depende de que cuanto pese cada persona.

Al girar el área alrededor del eje x, el volumen generado por un elemento dA del área es dV  2 ydA , así que el volumen total es:

V  2  ydA A

De la definición de la coordenada “y” del centroide de la línea:

y

 ydA  dA A

se obtiene



A

ydA  yA

A

Sustituyendo en V  2



A

ydA llegamos a:

V  2 yA Este teorema establece que la magnitud del volumen de revolución generado es igual al producto de la distancia que recorre el centroide del área por la magnitud del área: V  2 yA

Para describir la carga, se define una función w tal que la fuerza descendente sobre un elemento infinitesimal dx de la viga es wdx. Con esta función es posible representar la magnitud variable de la carga ejercida por cada persona.

06. CARGAS DISTRIBUIDAS SOBRE VIGAS La carga ejercida sobre una viga que soporta el piso de un edificio está distribuida sobre la longitud de la viga, algo parecido pasa con la fuerza que ejerce el viento sobre una torre, aquí la carga del viento está distribuida a lo largo de la altura de la torre.

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FÍSICA II

Las flechas indican que la carga actúa hacia abajo. Las cargas distribuidas en líneas, desde los casos más simples como el del propio peso de una viga, hasta lo más complicado como la carga de sustentación distribuida a lo largo del ala de un avión, se modelan mediante la función w. como el producto de w y dx es una fuerza, las dimensiones de w son fuerza/longitud. DETERMINACION DE LA FUERZA Y EL MOMENTO Asumiendo que se conoce la función w que describe una carga distribuida. La grafica de w se llama curva de carga.

| Robles Silvestre Joselito Jersin

Por tanto concluimos que:

F   wdx   dA  A L

Como la fuerza actúa sobre un elemento dx de la línea es wdx, es posible determinar la fuerza F ejercida por la carga distribuida integrando la curva de carga con respecto a x.

A

Si sustituimos wdx = dA en x se obtiene.

x

 xwdx   xdA  wdx  dA L

L

F   wdx L

También se puede integrar para determinar el momento respecto a un punto ejercido por la carga distribuida (Aquí será respecto del origen).

M   xwdx L

Hay casos donde solo se tiene interés en la fuerza total y el momento total ejercidos por una carga distribuida, esta se puede representar con una sola fuerza equivalente F.

Para que sea equivalente, la fuerza debe actuar en una posición x sobre el eje x tal que el momento de F respecto al origen sea igual al momento de la carga distribuida respecto al origen:

xF   xwdx L

Por lo tanto, la fuerza F es equivalente a la carga distribuida si esta se coloca en la posición:

x

 xwdx  wdx L

L

ANALOGIA DEL AREA En la figura se puede apreciar que el termino wdx es igual al elemento de área dA entre la curva de carga y el eje x.

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FÍSICA II

A

A

La fuerza F es equivalente a la carga distribuida si actúa en el centroide del área entre la curva de carga y el eje x.

07. CENTRO DE GRAVEDAD Si lanzas al aire una pelota, esta describirá una trayectoria parabólica uniforme. Si en su lugar lanzas el bate de modo que de vueltas, su trayectoria no será uniforme. El bate parece bambolearse de un lado a otro, pero lo hace alrededor de un punto especial. Este punto describe una trayectoria parabólica aunque el resto del bate no lo haga.

“El centro de gravedad es el punto donde se supone se concentra todo el peso de un objeto”. Determinación experimental del centro de gravedad: se suspende en forma vertical de dos puntos continuos cualquiera al cuerpo. El cuerpo estará en equilibrio bajo la acción de la tensión de la cuerda y la resultante de las fuerzas másicas o de gravedad que actúan sobre sus partículas. Queda claro que la resultante tendrá como recta soporte la recta definida por la cuerda.

| Robles Silvestre Joselito Jersin

Para todos los fines prácticos las rectas soporte concurrirán en un punto al que se le da el nombre de centro de gravedad del cuerpo. Determinación matemática del centro de gravedad: para lo cual utilizaremos el principio de los momentos. El momento de la fuerza gravitacional resultante P respecto a cualquier eje es igual a la suma de los momentos respecto al mismo eje de las fuerzas gravitacionales dP. La resultante de las fuerzas gravitacionales que actúan en todos los elementos es el peso P es:

P   dP Si aplicamos el principio de los momentos respecto de “y” , por ejemplo, el momento respecto a este eje del peso elemental xdp . Esta suma debe ser igual a Px .por tanto:

xP   xP

De forma similar las otras coordenadas

x

 xdP P y

 ydP

z

P

 zdP P

Pero P=mg, reemplazando se tiene:

x

 xdm

y

m

 ydm

z

m

 zdm m

En forma vectorial las coordenadas del centro de gravedad, se escriben más compacta utilizando los vectores de posición.

r

 rdm m

Otra forma de expresar el C.G. es usando la definición de la densidad. dm   dV

x

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 x dV   dV

FÍSICA II

y

 y  dV   dV

z

 z  dV   dV | Robles Silvestre Joselito Jersin