• Author / Uploaded
• hairmon

Citation preview

LABORATORIO No.5: CARGA Y DESCARGA DE UN CAPACITOR.

UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE FISICA

RESUMEN En este laboratorio se pretende estudiar el comportamiento de carga y descarga de un capacitor, para ello se montó un circuito en serie que consistía en una fuente de voltaje, un capacitor y dos resistencias. Además de estos elementos de circuito, también fueron utilizados un voltímetro para medir la diferencia de potencial entre los terminales del capacitor y un cronometro para cuantificar el tiempo que tarda el capacitor en almacenar carga, es decir cargarse. Como también se busca determinar el comportamiento de descarga del capacitor es necesario armar otro circuito en paralelo con los mismos elementos que el anterior. Utilizando las leyes de Kirchhoff se obtuvo una expresión que relaciona como varia la corriente y la carga de forma exponencial en el tiempo, como consecuencia de este comportamiento exponencial la recolección de los datos se dificultó notablemente sobre todo cuando se cerraba el circuito ya que el voltaje a través del capacitor variaba rápidamente, lo que hacia complicado sincronizar el cronometro con la medición del voltaje.

INTRODUCCION El capacitor como objeto de nuestro estudio es un elemento pasivo el cual almacena energía en forma de carga eléctrica entre sus placas, produciendo en estas una diferencia de potencial V. Su unidad es el faradio [ F ] y se expresa como C= Q/ V . Este elemento en particular cuando es parte de un circuito eléctrico tiene la particularidad de cargarse y descargarse de acuerdo a su conexión con los demás elementos del circuito. Proceso de carga: cuando conectamos el R1 condensador como en la figura 1 y cerramos el interruptor, entonces la carga fluye desde el Terminal positivo hasta la placa superior del V1 condensador pasando por los terminales de la E C1 resistencia, y a su vez la carga negativa se dirige a la placa inferior del dispositivo. En el 1 2 instante t=0 la carga en el condensador es cero y en ese mismo instante la corriente en todo el circuito es máxima, por tal motivo todo el voltaje de la fuente de poder se cae en la resistencia R y en el condensador no habrá tensión. Después de que ha pasado cierto tiempo el condensador adquiere una carga apreciable y aparece una diferencia de potencial entre sus terminales también considerable, en

consecuencia la corriente disminuye en el circuito y el voltaje en la resistencia es menor. Por ultimo cuando t es muy grande, el condensador se ha cargado totalmente y por ello abre el circuito, entonces ya no fluye corriente, el voltaje en la resistencia es cero y todo el valor de la fuente de voltaje se encuentra entre los terminales del condensador. Al aplicar las leyes de kirchhoff sobre el circuito de la figura 1, se obtiene: q 0 c , luego resolviendo la ecuación diferencial se obtiene la expresión para la corriente y la carga del circuito cuando el condensador se esta cargando:

  RI 

q(t )  qm (1  e

t RC

) ; i(t )  ime

t RC

Proceso de descarga: en este caso se suprime la fuente de poder y se permite que el condensador actúe como dicha fuente. En este momento el condensador esta cargado al máximo y se cierra el circuito de la figura 2 para que fluya la corriente a través de él. En este circuito el condensador se descarga a través de la resistencia y la corriente fluye en sentido antihorario. En t=0 la carga y la corriente es máxima. Cuando ha pasado cierto tiempo, la carga C1 en el capacitor disminuye por ende su diferencia de potencial al mismo tiempo que la corriente del 1 2 circuito. Una vez que el tiempo que ha transcurrido es grande el condensador se descarga totalmente y ya no fluye más corriente en el sistema. Si procedemos como en el caso anterior, entonces la ley de Kirchhoff permitiría escribir: R1

q  RI  0 C

y luego de resolver la ecuación diferencial se tiene que la carga y la corriente en el circuito varían de acuerdo con:

q(t )  qme

t RC

i(t )  ime

t RC

Pues bien como hemos visto tanto la corriente como la carga en el circuito varían exponencialmente, de tal modo que en determinadas circunstancias la corriente a través de él puede ser muy alta de ahí la precaución que se debe tener con estos aparatos a escala industrial. También vale la pena mencionar que al producto RC se lo denomina t (tao) que es una constante de tiempo capacitiva del circuito y representa el tiempo que el capacitor tarda en alcanzar 0.63 veces su carga máxima. Hasta aquí hemos visto la cuestión teórica que rige el comportamiento de los condensadores, teoría que vamos a comprobar en el resto del laboratorio mediante mediciones de voltaje y tiempo y su relación para luego concluir acerca de los resultados.

METODOS EXPERIMENTALES Se procedió inicialmente a montar el circuito de la figura de…. la guía. En el experimento se toma una resistencia cuyo valor nominal es ……., un capacitor de µF y se ajusta la fuente de voltaje a un valor de 6V, para luego medir el tiempo de carga del condensador y registrar los diferentes valores de voltaje en el mismo. Seguidamente se retiró la fuente de voltaje (el condensador ya estaba cargado) y se cerró el circuito. Los datos obtenidos fueron registrados en las respectivas tablas.

RESULTADOS CARGA RESISTENCIA 1 (R1) Tiempo t (S) ± Voltaje Vc (V) ± 0 0 5 0,33 10 0,85 15 1,44 20 1,98 25 2,50 30 2,96 35 3,25 40 3,60 45 3,92 50 4,12 55 4,34 60 4,53 65 4,71 70 4,85 75 4,96 80 5,08 85 5,18 90 5,26 95 5,34 100 5,46 105 5,51 110 5,57 115 5,59 120 5,63 125 5,66 130 5,69 135 5,71 140 5,73 145 5,75 150 5,76 155 5,78 160 5,79 165 5,80 170 5,81 E= 6v ±0.01 Rv=1.689 MΩ ±0.01

RESISTENCIA 2 (R2) Tiempo t (S) ± Voltaje Vc (V) ± 0 0 5 0,49 10 0,97 15 1,36 20 1,78 25 2,12 30 2,41 35 2,70 40 2,96 45 3,38 50 3,61 55 3,78 60 3,95 65 4,08 70 4,22 75 4,34 80 4,45 85 4,55 90 4,66 95 4,72 100 4,81 105 4,89 110 4,95 115 5,00 120 5,06 125 5,11 130 5,15 135 5,14 140 5,24 145 5,27 150 5,30 155 5,33 160 5,36 165 5,39 170 5,41

t ½= s ±

 =s

t ½= s ±

 =s

DESCARGA RESISTENCIA 1 (R1) RESISTENCIA 2 (R2) Tiempo t (S) ± Voltaje Vc (V) ± Tiempo t (S) ± Voltaje Vc (V) ± 0 6,34 0 6,34 5 5,67 5 5,76 10 4,79 10 5,24 15 4,24 15 4,73 20 3,67 20 4,30 25 3,26 25 3,94 30 2,83 30 3,53 35 2,47 35 3,24 40 2,15 40 2,95 45 1,88 45 2,69 50 1,65 50 2,45 55 1,45 55 2,19 60 1,29 60 2,01 65 1,15 65 1,83 70 0,99 70 1,66 75 0,87 75 1,54 80 0,76 80 1,39 85 0,66 85 1,27 90 0,59 90 1,16 95 0,51 95 1,06 100 0,46 100 0,95 105 0,40 105 0,89 110 0,36 110 0,80 115 0,31 115 0,73 120 0,28 120 0,66 125 0,24 125 0,61 130 0,22 130 0,56 135 0,19 135 0,51 140 0,17 140 0,47 145 0,15 145 0,42 150 0,14 150 0,39 155 0,12 155 0,35 160 0,11 160 0,33 165 0,09 165 0,30 170 0,08 170 0,27 E= 6v ± 0.01 Rv= Ω ±0.01 t ½= 0.125 s ±0.4

 =0.18 s

t ½=0.05 s ±

 =0.072 s

GRAFICAS DEL PROCESO DE CARGA CONDENSADOR RESPECTIVAMENTE.

Y

DESCARGA

DEL

PROCESO DE CARGA R1 7

Voltaje (V)

6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 Tiempo (S)

Figura 1. Proceso de carga de un condensador para la resistencia R1.

PROCESO DE CARGA R2 6

Voltaje (V)

5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 Tiempo (S)

Figura 2. Proceso de carga de un condensador para la resistencia R2.

R1

V1 E C1

1

2

La siguiente grafica muestra el voltaje Vc entre los terminales del capacitor en el circuito cuando el condensador se esta cargando.

PROCESO DE DESCARGA R1 7 6 Voltaje (V)

5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 Tiempo (S) Figura 3. Proceso de descarga de un condensador para la resistencia R1.

PROCESO DE DESCARGA R2 7 6 Voltaje (V)

5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 Tiempo (S) Figura 4. Proceso de descarga de un condensador para la resistencia R2.

R1

C1

1

2

La siguiente grafica describe el voltaje Vc entre los terminales del Condensador de este circuito cuando se está descargando.

LINEALIZACION DE LAS GRAFICAS DE DESCARGA MEDIANTE ln Vc

linealizacion de la descarga de un condensadador (para R1)

2.5 2 1.5 In (vc)

1 0.5 0 -0.5

1

3

5

7

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

-1 -1.5

Tiempo (S)

Figura 4. Linealización de la descarga de un condensador.para la resistencia 1.

linealizacion de la descarga de un condensadador (para R2)

2.5 2 1.5 In (vc)

1 0.5 0 -0.5

1

3

5

7

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

-1 -1.5

Tiempo (S)

Fifura 5. Linealizacion de la descarga de un condensador. Para la resistencia 2.

Determinamos utilizando las graficas del proceso de carga y descarga de un condensador, el punto que corresponde a t ½ para calcular T mediante la expresión:

t1 / 2   ln( 2)

Tiempo medio de carga del t=s ± condensador Tiempo medio de descarga t=s ± del condensador Tiempo medio de descarga t= s ± del condensador con resistencia desconocida

 =s

±

 =s

±

 =s ±



Ahora utilizando las graficas semilogaritmicas, determinamos mediante el uso de la pendiente de la recta. Necesitamos una expresión que relacione las variables lnVc y el tiempo t, para determinar mediante el uso de la pendiente m, la constante de tiempo t



.

qm e  q q t Vc   Vc   ln Vc    ln m C C  C De esta última expresión obtenemos que la pendiente de la recta de las graficas 4 y 5 se relaciona por:

m

1





Grafica 4

m= -5.573

utilizando la pendiente



=0.179s ±

 =s±



=0.072s ±

±

Grafica 5

m= -13.83 ±

Nota: para calcular la incertidumbre de



 |



utilizando la formula con t ½=  =s ±

se utilizó la siguiente expresión:

1 m | 2 m

En la literatura se define la constante de tiempo del capacitor como el producto de la resistencia por la capacitancia. En esta práctica se usó un capacitor de 214µF y una resistencia de 1000 KΩ, lo que nos da una constante de tiempo de 214 segundos según la ecuación Tc=RC. En la siguiente tabla se confrontan las medidas halladas para la constante de tiempo según los diferentes métodos.

Constante de tiempo para la descarga del condensador Método Gráfica lineal Gráfica Logarítmica Teórico





c ± Δ c 216.40 s ±0.4 212.76 s ±0.13 214 ± 0,001

En general las medidas hechas con el voltímetro, son relativamente confiables ya que estos aparatos son de muy buena calidad y poseen una resistencia interna muy grande la cual hace que al conectarse en paralelo con la resistencia a medir, el flujo de corriente a través del voltímetro sea mínimo y de esta manera la mayor parte de la corriente pasara por la resistencia a medir garantizando que la medida del potencial en sus terminales sea mas exacto. Los errores aleatorios son debidos a variaciones en las condiciones experimentales. Pueden ser tanto por exceso como por defecto y se compensan realizando varias medidas y tomando el valor medio de las mismas. Los errores sistemáticos afectan a la medida siempre en el mismo sentido. Están producidos por un funcionamiento incorrecto del instrumento o por un método no adecuado de medida. Según esta definición, puede decirse que en este caso se tomaron medidas con un método poco conveniente pues la fluctuación del voltaje es muy rápida y es muy difícil tomar los datos con la suficiente precisión sólo con los equipos utilizados, además de que por razones obvias el error cometido por factores humanos es muy grande principalmente porque la capacidad de registrar los valores es muy limitada y el lapso de tiempo entre cada medida es muy pequeño para hacerlo mejor. Por esto los errores cometidos son más sistemáticos que aleatorios (las condiciones del experimento no se variaron)

ANÁLISIS Durante el proceso de carga el circuito presenta un valor inicial de carga q=0 y un valor de corriente inicial máximo Io=E/R. estos procesos son exponenciales, pero mientras la variación de carga respecto al tiempo en el circuito presenta una tendencia de crecimiento, la variación de la corriente (I=dq/dt) decrece. Esto puede explicarse debido a que el condensador se carga hasta que la diferencia de potencial entre sus placas sea igual a la diferencia de potencial de la fuente. En este momento la corriente que circula por el circuito es cero y la carga del capacitor es la carga máxima Qmax= CE. Se puede decir entonces que según los modelos matemáticos la carga máxima se alcanza y la corriente se hace cero cuando t   . En cuanto el proceso de descarga, ambas variaciones son decrecimientos exponenciales teniendo en cuenta que no hay fuente conectada al circuito por lo que el valor de E no interesa (en este caso el valor de voltaje inicial en el capacitor es Q/C donde Q es la carga inicial del condensador). Antes de cerrar el circuito por el resistor no circula corriente por lo que su voltaje es cero. Al cerrar el circuito se produce un flujo de carga a

través de él y el voltaje estaría dado por V=IR. Así tanto carga como corriente tienden a cero cuando t   . En la práctica se toman datos de voltaje contra tiempo, no de carga ni corriente. Al no disponer de una relación explícita entre V y t se puede realizar un pequeño arreglo matemático que permita relacionar estas dos variables. De este modo, para el proceso de carga se tiene: q(t) = Qmax (1-e- t/RC) Dado que ΔV=Q/C, entonces se divide ambos lados de la expresión por C resultando: ΔV(t) = ΔVmax (1-e-t/RC) Para el proceso de descarga se tiene análogamente: q(t) = Qo e- t/RC  ΔV(t) = ΔVo e-t/RC

De este modo al cerrar el circuito de carga la corriente circula a través éste progresivamente. Dado que el condensador se está cargando entonces el voltaje crece exponencialmente hasta un valor asintótico de 6 voltios que es la FEM de la fuente. Este valor exacto se alcanzaría cuando t   . Para efectos del experimento se tomaron datos de voltaje hasta un valor de 5.67V. Según la gráfica de este proceso se puede decir que es un valor aceptable pues es posible observar claramente la tendencia exponencial de los datos y la forma como se alcanzaría el voltaje máximo en un tiempo infinito. Este comportamiento resultaría muy similar al de la variación de carga contra tiempo (en caso de que se tuvieran datos de esta variable) debido a la relación matemática entre estas magnitudes. Se esperaría que una gráfica de I vs. t presentara un comportamiento inverso. Para la descarga del condensador se procedió a desconectar la fuente y cerrar el circuito de modo que el voltaje inicial (y la carga inicial) fueran aproximadamente el mismo voltaje de 5.67v que se obtuvo en la parte anterior. Cuando el condensador empieza a descargarse la corriente empieza a fluir por el circuito y la resistencia presenta una diferencia de potencial IR; a medida que la carga fluye por el circuito la energía es consumida por la resistencia disipándose en forma de calor; esta forma de energía es equivalente a la potencia P=VI que produce el resistor. El voltaje en el condensador disminuye progresivamente hasta un valor cercano a cero. Se espera que en un tiempo infinito se descargue totalmente. En cuanto a la resistencia, en el circuito se utilizó un resistor de alto valor nominal (1000K) buscando que el paso de corriente a través de éste fuera bajo y así ralentizar los procesos de carga y descarga y facilitar la toma de datos. Por esta razón, en el proceso de descarga la resistencia no se calienta

de manera considerable: el flujo de corriente es bajo y por tanto la fricción es menor. Así mismo, las variaciones en ambos procesos son menos abruptas y toman más tiempo, lo que en las gráficas se ve como una curva mucho más “suave” y no una tendencia brusca. En general, los resultados obtenidos pueden catalogarse como confiables pues la diferencia entre los valores teóricos y experimentales (en los diversos modos de cálculo) es pequeña, lo que lleva a decir que el margen de error es bajo y la incertidumbre de los experimentos es aceptable. No obstante, es necesario pensar en algunas fuentes de error importantes como la incertidumbre de los equipos utilizados y principalmente de las medidas tomadas pues no se puede afirmar la certeza total sobre estas debido a que resultaba particularmente difícil la toma de datos por la rapidez con que fluctuaban al principio. Sin embargo teniendo en cuenta estos aspectos los resultados obtenidos son buenos.

CONCLUSIONES El comportamiento en función del tiempo de la diferencia de potencial a través del capacitor de un circuito RC en sus procesos de carga (con fem constante) y descarga es análogo al comportamiento de la carga en función del tiempo y presenta una tendencia exponencial de crecimiento en el proceso de carga y decrecimiento en la descarga, cada uno con valores constantes (como voltajes o corrientes máximas o iniciales) que dependen de la situación física. Los resultados de la constante de tiempo capacitiva tanto teórica como experimental presentan valores muy cercanos entre si por lo que puede decirse que la incertidumbre en la medición de esta variable es mínima La resistencia que se conecta en serie con la fuente de voltaje y el condensador permite suavizar el flujo de carga a traves del circuito tal como se puede apreciar en las graficas de Vc vs. t. En estas graficas se puede ver que cuando la resistencia es grande (mas menos 1 MΩ) la descarga del capacitor es mas lenta que cuando esta resistencia es menor como en el caso del circuito con R= 0.5MΩ, cuya descarga es mucho mas abrupta. El voltaje en el capacitor nunca fue igual a voltaje de la fuente debido a que el circuito tiene perdidas, que aunque son mínimas influyen en el experimento de forma más o menos significativa.