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• George Mcnamara

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Características Onda Sinusoidal CARACTERISTICAS DE UNA ONDA SENOIDAL Se denomina corriente alterna (abreviada CA en español y AC en inglés, de Altern Current) a la corriente eléctrica en la que la magnitud y dirección varían cíclicamente. La forma de onda de la corriente alterna más comúnmente utilizada es la de una onda senoidal (figura 1), puesto que se consigue una transmisión más eficiente de la energía. Sin embargo, en ciertas aplicaciones se utilizan otras formas de onda periódicas, tales como la triangular o la cuadrada.

Utilizada genéricamente, la CA se refiere a la forma en la cual la electricidad llega a los hogares y a las empresas. Sin embargo, las señales de audio y de radio transmitidas por los cables eléctricos, son también ejemplos de corriente alterna. Algunos tipos de ondas periódicas tienen el inconveniente de no tener definida su expresión matemática, por lo que no se puede operar analíticamente con ellas. Por el contrario, la onda senoidal no tiene esta indeterminación matemática y presenta las siguientes ventajas: • La función seno está perfectamente definida mediante su expresión analítica y gráfica. Mediante la teoría de los números complejos se analizan con suma facilidad los circuitos de alterna. • Las ondas periódicas no senoidales se pueden descomponer en suma de una serie de ondas senoidales de diferentes frecuencias que reciben el nombre de armónicos. Esto es una aplicación directa de las series de Fourier. • Se pueden generar con facilidad y en magnitudes de valores elevados para facilitar el transporte de la energía eléctrica.

• Su transformación en otras ondas de distinta magnitud se consigue con facilidad mediante la utilización de transformadores. Onda senosoidal

Figura 2: Parámetros característicos de una onda senoidal Una señal sinusoidal, a (t), tensión, v (t), o corriente, i (t), se puede expresar matemáticamente según sus parámetros característicos (figura 2), como una función del tiempo por medio de la siguiente ecuación:

Donde A0 es la amplitud en voltios o amperios (también llamado valor máximo o de pico), ω la pulsación en radianes/segundo, T el tiempo en segundos, y β el ángulo de fase inicial en radianes. Dado que la velocidad angular es más interesante para matemáticos que para ingenieros, la fórmula anterior se suele expresar como: Donde f es la frecuencia en hercios (Hz) y equivale a la inversa del período. Los valores más empleados en la distribución son 50 Hz y 60 Hz.

Valores significativos A continuación se indican otros valores significativos de una señal sinusoidal: • Valor instantáneo (a (t)): Es el que toma la ordenada en un instante, t, determinado. • Valor pico a pico (App): Diferencia entre su pico o máximo positivo y su pico negativo. Dado que el valor máximo de sen(x) es +1 y el valor mínimo es −1, una señal sinusoidal que oscila entre +A0 y -A0. El valor de pico a pico, escrito como AP-P, es por lo tanto (+A0)-(-A0) = 2×A0. • Valor medio (Amed): Valor del área que forma con el eje de abcisas partido por su período. El área se considera positiva si está por encima del eje de abcisas y negativa si está por debajo. Como en una señal sinusoidal el semiciclo positivo es idéntico al negativo, su valor medio es nulo. Por eso el valor medio de una onda sinusoidal se refiere a un semiciclo. Mediante el cálculo integral se puede demostrar que su expresión es la siguiente: • Valor eficaz (A): su importancia se debe a que este valor es el que produce el mismo efecto calorífico que su equivalente en corriente continua. Matemáticamente, el valor eficaz de una magnitud variable con el tiempo, se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos alcanzados durante un período: En la literatura inglesa este valor se conoce como R.M.S. (root mean square, valor cuadrático medio), y de hecho en matemáticas a veces es llamado valor cuadrático medio de una función. En el campo industrial, el valor eficaz es de gran importancia ya que casi todas las operaciones con magnitudes energéticas se hacen con dicho valor. De ahí que por rapidez y claridad se represente con la letra mayúscula de la magnitud que se trate (I, V, P, etc.). Matemáticamente se demuestra que para una corriente alterna senoidal el valor eficaz viene dado por la expresión:

El valor A, tensión o intensidad, es útil para calcular la potencia consumida por una carga. Así, si una tensión de corriente continua (CC), VCC, desarrolla una cierta potencia P en una carga resistiva dada, una tensión de CA de Vrms desarrollará la misma potencia P en la misma carga si Vrms = VCC.

Para ilustrar prácticamente los conceptos anteriores se consida, por ejemplo, la corriente alterna en la red eléctrica doméstica en Europa: cuando se dice que su valor es de 230 V CA, se está diciendo que su valor eficaz (al menos nominalmente) es de 230 V, lo que significa que tiene los mismos efectos caloríficos que una tensión de 230 V de CC. Su tensión de pico (amplitud), se obtiene despejando de la ecuación antes reseñada:

Así, para la red de 230 V CA, la tensión de pico es de aproximadamente 325 V y de 650 V (el doble) la tensión de pico a pico. Su frecuencia es de 50 Hz, lo que equivale a decir que cada ciclo de la onda sinusoidal tarda 20 ms. en repetirse. La tensión de pico positivo se alcanza a los 5 ms de pasar la onda por cero (0 V) en su incremento, y 10 ms después se alcanza la tensión de pico negativo. Si se desea conocer, por ejemplo, el valor a los 3 ms de pasar por cero en su incremento, se empleará la función sinsoidal: Representación fasorial Una función senoidal puede ser representada por un vector giratorio (figura 3), al que se denomina fasor o vector de Fresnel, que tendrá las siguientes características: • Girará con una velocidad angular ω. • Su módulo será el valor máximo o el eficaz, según convenga.

Figura 3: Representación fasorial de una onda senoidal La razón de utilizar la representación fasorial está en la simplificación que ello supone. Matemáticamente, un fasor puede ser definido fácilmente por un número complejo, por lo que puede emplearse la teoría de cálculo de estos números para el análisis de sistemas de corriente alterna.

Consideremos, a modo de ejemplo, una tensión de CA cuyo valor instantáneo sea el siguiente:

Figura 4: Ejemplo de fasor tensión (E. P.: eje polar). Tomando como módulo del fasor su valor eficaz, la representación gráfica de la anterior tensión será la que se puede observar en la figura 4, y se anotará:

Denominadas formas polares, o bien:

Denominada forma binómica. Angulo de fase 

Fase es una diferencia de tiempo relativa, entre dos señales. Generalmente se mide en unidades de ángulo, en lugar de unidades de tiempo, y solamente tiene sentido si las dos señales que se comparan tienen la misma [frecuencia]. Un ciclo de una señal periódica representa un círculo completo o 360 grados de ángulo de fase. Una diferencia de 180 grados es una diferencia de medio ciclo. La medición de fase es una medición de dos canales y no tiene sentido cuando solamente se considera una sola señal. En el balanceo de equipo rotativo, la medición de fase, relativa a la posición de la flecha es de una importancia vital y un impulso de tacómetro derivado de una posición en la flecha, se usa como referencia para el ángulo de fase cero. La fase también es una parte importante de la medición de la respuesta de frecuencia.



La fracción de ciclo que ha transcurrido desde que una corriente o voltaje ha pasado por un determinado punto de referencia (generalmente en el comienzo o 0°) se denomina fase o ángulo de fase del voltaje o corriente. Más frecuentemente, los términos fase o diferencia de fase se usan para comparar dos o más voltajes, o corrientes alternados o voltajes y corrientes de la misma frecuencia, que pasan por sus puntos cero y máximo a diferentes valores de tiempo.

La tangente entre la resistencia y la reactancia se conoce como Ángulo de Fase (AF).

Se calcula de la siguiente manera:

El ángulo de fase se puede medir desde la posición de referencia o bien en la dirección de la rotación, o bien en la dirección opuesta a la rotación, eso es atraso de fase o avance de fase. , y varios fabricantes de máquinas usan diferentes convenciones. En el programa DLI Balance Alert, se puede seleccionar ambas direcciones, según la preferencia del operador

5.-Concepto de fasores. Representación fasorial Los valores instantáneos que desarrolla una función senoidal (función matemática “seno”) coinciden con los valores del cateto vertical del triángulo que describe un vector giratorio (ver ANEXO II), llamado fasor. En Fig. podemos ver esta correlación.

En vista de esta relación, se deduce que una magnitud senoidal se puede representar mediante un fasor equivalente. De esta forma en los circuitos de corriente alterna, las tensiones y corrientes se representan mediante vectores giratorios (fasores), con las siguientes normas:

El módulo de los fasores es el valor eficaz de las magnitudes senoidales.



El ángulo entre fasores es el desfase entre las senoidales.





El convenio de nomenclatura que utilizaremos es el siguiente

 o o o

V(t); I(t): onda senoidal que depende del tiempo V; I fasor equivalente V; I: valor eficaz

En los siguientes ejemplos aclaramos esta representación mediante fasores.

Ejemplo 1 (Fig. ): Tensión: 230 (V) de valor eficaz Intensidad: 2 (A) de valor eficaz; retrasada 30º respecto a la tensión

!!! Cuando un fasor retrasa con otro, debe girarse en sentido horario.

Ejemplo 2 (Fig.):

Tensión: 230 (V) de valor eficaz Intensidad: 6 (A) de valor eficaz; adelantada 60º respecto a la tensión.

!!! Cuando una fasor adelanta con otro, debe girarse en sentido anti horario

Ejemplo 3 (Fig.): Tensión: 230 (V) de valor eficaz Intensidad: 10 (A) de valor eficaz; en fase.

Impedancia característica Se denomina impedancia característica de una línea de transmisión a la relación existente entre la diferencia de potencial aplicada y la corriente absorbida por la línea en el caso hipotético de que esta tenga una longitud infinita, o cuando aún siendo finita no existen reflexiones. En el caso de líneas reales, se cumple que la impedancia de las mismas permanece inalterable cuando son cargadas con elementos, generadores o receptores, cuya impedancia es igual a la impedancia característica. La impedancia característica es independiente de la frecuencia de la tensión aplicada y de la longitud de la línea, por lo que esta aparecerá como una carga resistiva y no se producirán reflexiones por desadaptación de impedancias, cuando se conecte a ella un generador con impedancia igual a su impedancia característica.

De la misma forma, en el otro extremo de la línea esta aparecerá como un generador con impedancia interna resistiva y la transferencia de energía será máxima cuando se le conecte un receptor de su misma impedancia característica. No se oculta, por tanto, la importancia de que todos los elementos que componen un sistema de transmisión presenten en las partes conectadas a la línea impedancias idénticas a la impedancia característica de esta, para que no existan ondas reflejadas y el rendimiento del conjunto sea máximo. La impedancia característica de una línea de transmisión depende de los denominados parámetros primarios de la misma que son: resistencia, capacitancia, inductancia y conductancia(inversa de la resistencia de aislamiento entre los conductores que forman la línea). La fórmula que relaciona los anteriores parámetros y que determina la impedancia característica de la línea es:

Donde: Z0 = Impedancia característica en ohmios. R = Resistencia de la línea en ohmios. C = Capacitancia de la línea en faradios. L = Inductancia de la línea en henrios. G = Conductancia del dieléctrico en siemens. ω = 2πf, siendo f la frecuencia en hercios j = Factor imaginario

Impedancia característica y velocidad de fase De acuerdo a la geometría del medio, la onda electromagnética se propaga a lo largo de ella. Partiendo de las Leyes de Kircho, la mayoría de los materiales presentan una característica de impedancia - admitancia, que puede ser representado mediante un circuito eléctrico, como se ve en la gura 1.1 con las siguientes características:

Determinación de valores RMS de voltaje y corriente

Relación entre las Leyes de Kirchoff y las características de un material para la transmisión de una onda electromagnética. La corriente alterna y los voltajes (cuando son alternos) se expresan de forma común con su valor efectivo o RMS (Root Mean Square – raíz media cuadrática). Cuando se dice que en nuestras casas tenemos 120 voltios o 220 voltios, éstos son valores RMS o eficaces Qué es RMS y porqué se usa? Tiene una relación con las disipaciones de calor o efecto térmico que una corriente directa de igual valor disiparía. Un valor en RMS de una corriente es el valor, que produce la misma disipación de calor que una corriente directa de la misma magnitud. En otras palabras: El valor RMS es el valor del voltaje o corriente que C.A. que produce el mismo efecto de disipación de calor que su equivalente de voltaje o corriente en C.D. Ejemplo: 1 amperio (ampere) de corriente alterna (c.a.) produce el mismo efecto térmico que un amperio (ampere) de corriente directa (c.d.) Por esta razón se utiliza el termino “efectivo” El valor efectivo de una onda alterna se determina multiplicando su valor máximo por 0.707 VRMS = VPICO x 0.707 Ejemplo: encontrar el voltaje RMS de una señal con VPICO = 130 voltios 130 Voltios x 0.707 = 91.9 Voltios RMS

Valor RMS Si se tiene un voltaje RMS y se desea encontrar el voltaje pico: VPICO = VRMS / 0.707 Ejemplo: encontrar el voltaje Pico de un voltaje VRMS = 120Voltios VPICO = 120 V / 0.707 = 169.7 Voltios Pico

Valor promedio El valor promedio de un ciclo completo de voltaje o corriente es cero ( 0 ). Si se toma en cuenta solo un semiciclo (supongamos el positivo) el valor promedio es: VPR = VPICO x 0.636

La relación que existe entre los valores RMS y promedio VRMS = VPR x 1.11 VPR = VRMS x 0.9 Resumiendo en una tabla Valores dados Para encontrar los valores

Máximo (pico) RMS Promedio Máximo (pico) 0.707 x Valor Pico 0.636 x Valor Pico RMS 1.41 x VRMS 0.9 x VRMS Promedio 1.57 x Promedio 1.11 x Promedio

Ejemplo Valor promedio de sinusoide = 50 Voltios, entonces: VRMS = 50 x 1.11 = 55.5 Voltios VPICO = 50 x 1.57 Voltios = 78.5 Voltios Notas: - El valor pico-pico es 2 x Valor pico - Valor RMS = Valor eficaz = Valor efectivo

Impedancias complejas Supongamos que tenemos el caso que se muestra en la figura 3. Si el elemento en bornes de la fuente de CA es una resistencia, se cumple la ley de Ohm: v = RI )Vpeiwt = RIpeiwt es decir que la resistencia no desfasa a la corriente de la tensi ´on (tienen la misma fase): Vpcoswt = RIpcoswt)F = 0 Definimos la impedancia asociada a la resistencia como: ZR = vI = R

si el elemento en bornes de la fuente de CA es una inductancia L (figura 3), tenemos que:

Nuevamente el desfasaje entre la corriente y el potencial es de p 2 , aunque en este caso la corriente se encuentra “retrasada” con respecto al voltaje:

Definimos la impedancia asociada a la inductancia como: ZL = vI = iwL

En general, si el elemento en bornes de la fuente de CA en realidad es una combinación de resistencias, capacitores e inductancias, de impedancia Z, se cumple que, si: v(t) =Vpcos(wt) = Re(Vpei(wt))) I = VZ , lo que implica:

Ejemplo 1: Circuito RLC serie Para mostrar el uso de las t´ecnicas explicadas previamente, analizaremos un circuito compuesto por una resistencia R, en serie con una inductancia L y un capacitor C, en presencia de una fuente sinusoidal, de frecuencia w y valor