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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA AREA DE TECNOLOGIA UNIDAD CURRICULAR ELECTROTECNIA PROFESOR: ING. JOSE G. CHIRINOS

Noviembre 2008

Introducción La forma de onda senoidal en corriente alterna (CA) es la más comúnmente utilizada (Figura 1), puesto que se consigue con ella una transmisión más eficiente de la energía. La CA se refiere a la forma en la cual la electricidad llega a los hogares y a las empresas. Sin embargo, las señales de audio y de radio transmitidas por los cables eléctricos, son también ejemplos de corriente alterna. Algunos tipos de ondas periódicas tienen el inconveniente de no tener definida su expresión matemática, por lo que no se puede operar analíticamente con ellas. Por el contrario, la onda senoidal esta bien determinada matemática y presenta las siguientes ventajas:

a) La función seno está perfectamente definida mediante su expresión analítica y gráfica.

b) Las ondas periódicas no senoidales se pueden descomponer en suma de una serie de ondas senoidales de diferentes frecuencias que reciben el nombre de armónicos. Esto es una aplicación directa del desarrollo en series de Fourier de ondas periódicas complejas.

Un ciclo de C.A

0 90º

180º

270º

Figura 1. Onda alterna senoidal

360º

c) Para facilitar el transporte de la energía eléctrica se pueden generar con facilidad y en magnitudes de valores elevados.

d) La modificación de la magnitud se consigue con facilidad mediante la utilización de transformadores.

Generación de la Onda Senoidal En la figura 1 vemos representado el giro de 360º sobre su eje, de una espira de material conductor, dentro de un determinado campo magnético. Como sabemos, el vector de fuerza electromotriz inducida o voltaje en el conductor esta determinado por el producto vectorial entre el vector de velocidad del mismo y el vector de campo magnético que esta siendo atravesado por la espira. Cuando estos vectores son perpendiculares, el producto vectorial es máximo y con ello la fuerza electromotriz inducida o voltaje en la espira. Dicha situación la podemos observar en la figura 1 en las posiciones de 90º y 270º. Por el contrario cuando los vectores (velocidad y campo) son paralelos entonces el producto vectorial y consiguientemente el voltaje en la espira son cero, lo cual corresponde en el gráfico de la figura 1 a las posiciones 0º, 180º y 360º.

De esa manera es que podemos ver como se desarrolla un ciclo

completo de una onda de corriente alterna con la forma senoidal, durante una revolución competa de una espira conductora dentro de un campo magnético.

Definiciones A continuación estudiaremos algunas definiciones importantes para nuestro correcto entendimiento de las señales de senoidales, aunque estos términos podrán aplicarse a cualquier forma de onda alterna. Formas de onda: trayectoria trazada por una cantidad, graficada como función de alguna variable como el tiempo, posición, grados, radianes, temperatura, etcétera. Valor instantáneo: Magnitud de una forma de onda en algún instante en el tiempo, que denotaremos con letras minúsculas (por ejemplo: e1, e2).

Valor pico (Vp): valor máximo instantáneo de una función, medido a partir del nivel de cero. Para la forma de onda de la figura 2,

VALOR PICO (Vp) Valor Pico, Vp

Valor máximo de la onda de C.A

0º

90º

180º

Figura 2. Valor Pico

Valor pico a pico: denotado por Vp-p, es el valor completo entre los picos negativos y positivos de la forma de onda, es decir, la suma de la magnitud de los picos positivos y negativos. Máximo positivo

Vpp = 2 Vp Vpp

Valor pico a pico.

Máximo negativo Figura 3. Valor pico a pico.

Valor eficaz (Vef ó Vrms): su importancia se debe a que este valor es el que produce el mismo efecto calorífico que su equivalente en corriente continua.

Matemáticamente, el valor eficaz de una magnitud variable con el tiempo, se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantáneos alcanzados durante un período:

1 Vef = T

T +t 0

∫V

2

(t )dt

t0

En la literatura inglesa este valor se conoce como R.M.S. (root mean square, valor cuadrático medio), y de hecho en matemáticas a veces es llamado valor cuadrático medio de una función. En el campo industrial, el valor eficaz es de gran importancia ya que casi todas las operaciones con magnitudes energéticas se hacen con dicho valor. De ahí que por rapidez y claridad se represente con la letra mayúscula de la magnitud que se trate (I, V, P, etc.). Matemáticamente se demuestra que para una corriente alterna senoidal el valor eficaz viene dado por la expresión: Vef =

Vp 2

= 0,707 Vp

Vp V

eficaz o RMS (Raíz media cuadrática)

Figura 4. Valor eficaz o Valor RMS. Forma de onda periódica: forma de onda que se repite continuamente después del mismo intervalo de tiempo. La forma de onda de la figura 5 es una forma de onda periódica.

Periodo (T): Es el intervalo de tiempo entre repeticiones sucesivas de una forma de onda periódica (ver figura 5), siempre que se utilicen puntos similares sucesivos de la forma de onda periódica para determinar T. Ciclo: parte de la forma de onda contenida en un periodo. (Ver figura 1 y 5) Frecuencia (F): Es el Número de ciclos que suceden en una unidad de tiempo determinada. La frecuencia de la forma de onda de la figura 5 es de 60 ciclos por segundo, porque en 0,25 seg. ocurren 15 ciclos. La unidad de medición para la frecuencia es el hertz (Hz), donde: 1 hertz (Hz) = 1 ciclo por segundo (c/s) ó s-1 Vamos a practicar esto. Caso 1: Suponga que ocurren los mismos 15 ciclos de una señal pero ahora en un lapso de tiempo de 0,75 s, ¿Cuál será la frecuencia de esa señal? Justifique su respuesta. R._____________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Continuamos entonces. La unidad Hertz se deriva del apellido de Heinrich Hertz, quien realizó las primeras investigaciones en el área de señales alternas y su efecto sobre los elementos básicos R, L y C. La frecuencia estándar para América

del

Norte

es

de

60

Hz,

mientras

que

para

Europa

es

predominantemente de 50 Hz. Dado que la frecuencia está inversamente relacionada con el periodo (es decir, que cuando una se incrementa el otro disminuye en una magnitud similar), es posible relacionar ambos hechos mediante la siguiente ecuación: ;

F en HZ y T en segundos (s) ó

1 Ciclo

15 Ciclos 1/4 de Segundo

Ciclos 15 Ciclos ⇒ 60 segundos 0.25 Segundos La Unidad de es el Hertz (Hz) Multiplos: KHz, MHz, GHz, etc.

Figura 5. Relación entre Periodo y frecuencia de una señal senoidal

Autoevaluación No. 1: En el Laboratorio de Electrotecnia contamos con un importantísimo instrumento de medición, llamado Osciloscopio, que permite representar en la pantalla, las formas de onda de las señales de voltaje que le son suministradas por sus entradas.

En una medición de una señal senoidal, realizada con dicho

instrumento, se obtuvo que el Valor pico fue de 5 V, y se observó que se completaba una oscilación en 4 ms (milisegundos). Determina: a) El Voltaje pico a pico (Vpp); b) El voltaje eficaz (Vef); c) El Periodo (T);

d) La frecuencia (F);

antes determinados.

e) Dibuja la señal y indica los valores

Figura 6. Cuadro para realizar el gráfico.

PROPIEDADES MATEMATICAS DE LAS ONDAS SENOIDALES La expresión matemática básica para la forma de onda senoidal es:

VmSenα donde Vm es el valor pico de la forma de onda y

es la unidad de

desplazamiento angular en radianes o grados. La ecuación

t establece que el ángulo

=

de desplazamiento angular del

vector en rotación (espira rotatoria) de la figura 1 está determinado por la velocidad angular del vector en rotación y por el tiempo que el vector rota. Por ejemplo, para una velocidad angular particular (

fija), mientras más tiempo se

permita al vector radial girar (es decir, cuanto mayor sea el valor de t), mayor será el numero de grados o radianes de desplazamiento angular del vector. Al relacionar lo anterior con la forma de onda senoidal, para una velocidad angular particular, a mayor tiempo, mayor el número de ciclos mostrados. Debido a la ecuación

=

t el formato general de una onda senoidal puede también

escribirse como:

VmSenωt con

t como la unidad de medición horizontal, tal como podemos ver en la

figura 7. Para cantidades eléctricas como la corriente y el voltaje, el formato general es:

donde las mayúsculas con el subíndice m representan la amplitud, y las minúsculas i y e representan el valor instantáneo de la corriente o el voltaje, respectivamente, en cualquier instante de tiempo t.

V (t) T

Vm V (t) = Vm Sen ωt

ωt -

π 2

0

π 2

π

3

π 2

2π

Vm

Vm = Amplitud ϖ = frecuencia angular (radianes) T = Periodo = 2Π ( Rad) 1 F = Frecuencia = Hertz (Hz) T Figura 7. Representación Matemática de una onda senoidal La velocidad con que un vector radial rota sobre el centro, llamada velocidad angular ω, puede determinarse a partir de la siguiente ecuación: (a) Al sustituir en la ecuación y asignar la letra griega omega ( ) a la velocidad angular tenemos: (b) (c) Dado que normalmente

se proporciona en radianes por segundo, el ángulo

obtenido, por lo general, esta en radianes. Si se requiere aplicarse la ecuación (c)

en grados, debe

Vm

0

T 4

T 2

3

T 2

T

Vm

T = 2π π=T 2 T π = 2 4

1 T ω T = 2π ⇒ ω = 2π f

f=

Figura 8. Relación ángulo-temporal de la señal senoidal En la figura 8, el tiempo requerido para completar una revolución es igual al periodo (T) de la forma de onda senoidal. Los radianes subtendidos en este intervalo de tiempo son

. Al sustituir tenemos:

(d) Esta ecuación establece que mientras más pequeño sea el periodo de la forma senoidal de la figura 8, o más pequeño sea el intervalo de tiempo antes de que se genere un ciclo completo, mayor será la velocidad angular del vector radial en rotación, (espira que da origen a la señal senoidal) . Ahora podemos dar un paso adelante y aplicar el hecho de que la frecuencia de la forma de onda generada está relacionada inversamente con el periodo de la propia forma de onda; es decir, f = 1/T. De esta manera, (e)

Esta ecuación establece que mientras mayor sea la frecuencia de la forma de onda generada, mayor deberá ser la velocidad angular. Revisemos esto, con el Caso 1 de la figura 5. ¿Cuál será la velocidad angular ω de la señal del caso 1? Justifica tu respuesta. R. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

Defasaje entre señales Como se presenta en la mayoría de los casos en electricidad, dos o mas señales senoidales difícilmente coinciden en los instantes de tiempo en que ocurren sus valores críticos como los son: valores pico, cruces por cero, etc. A esta diferencia instantánea de las señales de igual frecuencia se le conoce como Defasaje.

Pero dependiendo de punto de referencia usado para

observar tales señales veremos que el defasaje representa el adelanto o atraso de fase de una señal con respecto a la otra.

Veamos esto en el gráfico de la

figura 9: Alli podemos notar que en la señal de color rojo el valor máximo positivo ocurre antes que el de la señal azul.

De esta observación podemos

concluir que la señal roja adelanta a la azul con una diferencia de fase de θ grados (o radianes según el caso). La señal azul puede representarse por la expresión:

Vm Sen ω t . Siendo que la señal roja esta adelantada θ grados, el ángulo α será igual a ωt+θ, y la expresión que la representa será: Vm Sen ( ω t + θ )

V(t) = Vm Sen ( ω t + θ )

V(t)

Vm

Vm Sen ω t

θ

-Vm

Vm Sen ( ω t + θ )

Figura 9. Relaciones de fase entre señales. Se puede verificar que las siguientes expresiones también son validas: Vm Sen ( ω t + θ ) adelanta a Vm Sen ω t en θ Rad. Vm Sen ω t atrasa a Vm Sen (ω t + θ ) en θ Rad. Vm Sen ω t edelanta a Vm Sen (ω t − θ ) en θ Rad.

Veamos los siguientes ejemplos: π V = 100 Sen ( 2π 1000t - ) ⇒ 6 ⇒ V = 100 Sen (2π 1000t - 30º ) En t = 10 -4 s, 2π 1000t es 0.2π Rad osea 36º (antes de restar 30º ) Vi = Vm 1 Cos (5t + 10º ) = Vm 1 Sen (5t + 90º + 10º ) Vi = Vm 1 Sen (5t + 100º ).

Con esto hemos concluido el tema referente a las características y propiedades matemáticas de las ondas senoidales las cuales, como pudimos estudiar, son muy importantes en los distintos ámbitos de aplicación. Ahora haremos una comprobación de los conocimientos adquiridos. ¡Éxito!

Autoevaluación 2. 1.- Escribe la expresión matemática que define la señal observada en el osciloscopio en la Autoevaluación Nº 1. 2-. Escribe las siguientes expresiones como unos cosenos equivalentes. - 200 Sen (2000t – 60º) - 10 Sen (500t + 35º) - 5 Sen (1110t -135º) 3.- Escribe las siguientes expresiones como unos senos equivalentes. - 300 Cos (500t – 24º) - 80 Cos (45t + 45º)

BIBLIOGRAFÍA 1. William Hayt, JR. – Jack E. Kemmerly (1998) Análisis de Circuitos en Ingeniería. quinta edición México McGraw – Hill (706)p 2. Joseph A. Edminister - mahmood Nahvi (1999) Circuitos Eléctricos tercera edición México McGraw – Hill (575)p.

BIBLIOGRAFÍA ELECTRÓNICA. http://es.wikipedia.org/wiki/Corriente_Alterna http://www.unicrom.com/Tut_la_corriente_alterna__.asp http://www.ifent.org/Lecciones/CAP08.htm