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• Belfor Luis Vilca Lecaros

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“Onda senoidal” Máquinas eléctricas

La función seno c

c 10 º

a cateto opuesto sen( )   c hipotenusa

a

a

b c



a

sen(10º ) 

a  0,174 c

sen(20º ) 

20 º

b

a  0,342 c

b c

a

30 º

sen(30º ) 

a  0,5 c

b

 0º sen( ) 0

10º

20º

30º

40º

50º

60º

70º

80º

90º

0,174

0,342

0,5

0,643

0,766

0,866

0,94

0,985

1

Se puede observar que los senos de los ángulos entre 0º y 90º toman valores entre 0 y 1. Los ángulos varían uniformemente; los senos, no. Para ángulos pequeños las variaciones del seno son mucho mayores que para ángulos próximos a 90º

“Onda senoidal” Máquinas eléctricas

sen( )

valor instantáneo

1

0,766

Amplitud es el valor máximo que alcanza la onda.

0,643 0,5 0,342 0,174 10º 20º 30º 40º 50º

90º



 0º sen( ) 0

Grados

10º

20º

30º

40º

50º

60º

70º

80º

90º

0,174

0,342

0,5

0,643

0,766

0,866

0,94

0,985

1

“Onda senoidal” Máquinas eléctricas

Diagrama vectorial v/s gráfico La parte derecha muestra la curva en función del ángulo de giro, para cada ángulo puede leerse la amplitud correspondiente (valor máximo), valor que se alcanza para 90º y 270º. Este tipo de representación se llama gráfica. En la parte izquierda se ha representado la hipotenusa mediante un vector que gira en sentido antihorario llamado generalmente fasor o vector rotatorio, su longitud nos indica el valor máximo de la onda (amplitud). En este diagrama se puede leer el valor de la onda para todos los demás ángulos, pues es la proyección del vector sobre el eje Y. Este tipo de diagrama se denomina diagrama vectorial. Diagrama vectorial

Gráfica

Voltaje (V)

Eje Y

Vmáx: Amplitud

Vmax

Vmax

90º 60º

V

 Eje X



60º 90º

Un fasor es un vector rotatorio V: valor instantáneo

sen( ) 

V Vmax

V ( )  Vmáx  Sen( )

Grados

“Onda senoidal” Máquinas eléctricas

La energía eléctrica que llega a los hogares (red eléctrica) es en forma de onda voltaje alterno senoidal; sus valores varían de magnitud y sentido con el tiempo. Vmáx

t

T Vmáx

Vmáx : Amplitud de la onda Frecuencia (f): número de oscilaciones que se realizan en determinado tiempo. Período (T): tiempo que tarda la onda en describir una oscilación completa.

T

1 [ Seg ] f

f 

1 [ Hertz] T

[Hertz]= [Oscilación/Segundo]

“Onda senoidal” Máquinas eléctricas

Ejemplos Voltaje (V)

f 

5[osc ]  5[ Hertz ] 1[ seg ]

10

T

0

t (s ) T

-10

1 1   0,2[ s]  200 [ms ] f 5

Vmáx  10

1 seg

Voltaje (V) f 

25 0

t (s ) -25

T 1 seg

T

8[osc ]  8[ Hertz ] 1[ seg ]

1 1   0,125 [ s ]  125 [ms ] f 8

Vmáx  25

“Onda senoidal” Máquinas eléctricas

Equivalencia entre grados y radianes Si dividimos una circunferencia en 360 partes iguales, cada una de ellas es un grado (sistema sexagesimal). En electrónica es también frecuente indicar los ángulos en radianes. El valor de un ángulo en radianes es el cuociente entre la longitud del arco que abarca y el radio. Por tanto este valor no tiene unidades, pues el numerador y el denominador se encuentran en metros. Sin embargo, también se mide este número con la unidad radián, que se abrevia [rad]. s r R o

R 

S r

S: longitud del arco producido por el ángulo 

 R : ángulo en radianes r : radio de la circunferencia

“Onda senoidal” Máquinas eléctricas

Relación entre grados y radianes La relación entre grados y radianes es fácil de determinar, de acuerdo a la figura: Ángulo de la circunferencia completa en grados es:

 G  360 º

Ángulo de la circunferencia completa en radianes es:  R  2  

2   r R  r

Perímetro de la circunferencia (longitud de toda la circunferencia)

 G 360 º  Así la relación entre grados y radianes es:  R 2 

“Onda senoidal” Máquinas eléctricas

Frecuencia angular Otra magnitud usualmente utilizada es la frecuencia angular. Como la curva senoidal puede deducirse a partir de un movimiento circular, podrá calcularse el ángulo descrito en un determinado tiempo, en vez de calcular el número de ciclos, su unidad [rad/seg].



ángulo descrito tiempo transcurri do

Si el ángulo recorrido es una circunferencia completa (360º o 2), el tiempo empleado para ello será de un período T así:



2  T

Sustituyendo T 

  2   f

1 se tiene: f

“Onda senoidal” Máquinas eléctricas

Relación entre el ángulo y el tiempo El ángulo  depende de la posición, y ésta del tiempo transcurrido, por lo que podemos encontrar una expresión de  que dependa del tiempo. Entre el ángulo y el tiempo existe la siguiente relación:



2   t T

 t



360º T



t

2   t T α T 360º

  2   f  t

   t

“Origen y teoría de la corriente alterna” Máquinas eléctricas

Ecuación de una tensión senoidal Vmáx Vmáx : Amplitud de la onda  : ángulo de desfase



T

t

  2    f [rad / seg ] Frecuencia angular  : ángulo en grados

- Vmáx

En función del ángulo  :

V ( )  Vmáx  Sen(   )

Si =0º

V ( )  Vmáx  Sen( )

En función del ángulo t :

V (t )  Vmáx  Sen(t   ) Si =0º

V (t )  Vmáx  Sen(t )

“Origen y teoría de la corriente alterna” Máquinas eléctricas

Ejemplo: determinar la función de la tensión senoidal mostrada en la siguiente figura, y calcular los valores instantáneos de tensión para wt=/4, wt=/2, wt=3/4, wt=4/3, wt=3/2. Voltaje (V) 10 0

t (seg ) -10

1 seg

f 

5[osc ]  5[ Hertz ] 1[ seg ]

1 T   0,2[ s]  200[ms] 5

Vmáx  10

  0   2    f  2    5  10 [rad / seg ]

En función de t

V (t )  10  Sen(10    t )

“Origen y teoría de la corriente alterna” Máquinas eléctricas

Valores instantáneos

V  / 4  10  Sen / 4  7.07

V ( / 2)  10  Sen( / 2)  10

¡ Calculadora debe estar en la función radianes (rad) !

V (3 / 4)  10  Sen(3 / 4)  7.07 V (4 / 3)  10  Sen(4 / 3)  8.66 V (3 / 2)  10  Sen(3 / 2)  10 Voltaje (V)

Gráfica en radianes

10

V (t )  10  Sen(t )

7.07

 4

 2

3 4

-8.66 -10

1 ciclo

4 3

3 2

2

t [rad/seg]

“Origen y teoría de la corriente alterna” Máquinas eléctricas

Valores instantáneos

 / 4  180 / 4  45

v (45)  10  Sen(45)  7.07

 / 2  180 / 2  90

v (90)  10  Sen(90)  10

3 / 4  3 180 / 4  135

v (135)  10  Sen(135)  7.07

4 / 3  4 180 / 3  240

v (240)  10  Sen(240)  8.66

3 / 2  3 180 / 2  270

v (270)  10  Sen(270)  10

Voltaje (V)

Gráfica en grados

¡ Calculadora debe estar en la función grados (deg) !

V ( )  10  Sen( )

10 7.07

45° 90° 135°

-8.66 -10

1 ciclo

240°

270° 360°

 [grados]

“Origen y teoría de la corriente alterna” Máquinas eléctricas

Usando la relación entre el ángulo en grados y tiempo se puede encontrar los tiempos equivalentes para cada ángulo: tiempos

α T t 360º

  45º

Voltaje (V)

t

45  200  25[ms] 360º

45°

25 [ms]

90°

50 [ms]

135°

75 [ms]

240°

133 [ms]

270°

150 [ms]

Gráfica en tiempo

10 7.07

133 150 25

50

75

200

400

-8.66 -10

1 ciclo

Onda vista en un osciloscopio

t [ms]

“Origen y teoría de la corriente alterna” Máquinas eléctricas

Ejercicio: graficar la tensión senoidal dada por la función: 155  Sen(120    t ) , determinar además los valores instantáneos de la curva para /6, 2/3, , 4/3, 8/9 :

“Origen y teoría de la corriente alterna” Máquinas eléctricas

Respuesta:

Equivalencia radián – grados - tiempo

 120   (de la función) 120    2    f f  60[Hz] T  1 / 60  0.016[s]  16.6[ms ] Vm ax  155 v (de la función) (V) Valores instantáneos de tensión

v (30)  155  Sen(30)  77.5 v (120)  155  Sen(120)  134.2 v (180)  155  Sen(180)  0

/6

30°

1.38 [ms]

2/3 

120°

5,53 [ms]

180°

8.3 [ms]

4/3 8/9

240°

11.06 [ms]

160°

7,37 [ms]

155 134.2

77.5  [grados]

53 240

v (240)  155  Sen(240)  134.2

30

V (160)  155  Sen(160)  53.01

120

180

-134.2

1 ciclo

320

360