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• Ana Claudia

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CAPITULO VII TRENES DE ENGRANAJES 7-1. Un tren de engranaje es una combinación de más de dos engranes engranados (Fig. 7-1).

Una turbina de vapor para propulsión de un buque es generalmente más eficiente a altas velocidades que a bajas velocidades; la hélice de un barco es más eficiente a bajas velocidades. Un tren de engranaje llamado un engranaje de reducción se usa para reducir la alta velocidad angular de la turbina a una velocidad de hélice eficiente. En un torno, donde hay muchos pares de engranajes, diversas combinaciones de velocidad se obtienen excluyendo un par de engranajes e incluyendo otro. Para el corte de la rosca cada número diferente de hilos por pulgada representa un valor diferente de tren. Otros ejemplos de máquinas que emplean trenes de engranajes son los winches, los cabrestantes torres blindadas y los mecanismos de los cañones de entrenamiento, etc. 7-2. Razón de reducción de velocidad. Consideremos primeramente dos engranes. Si DA y DB son los diámetros primitivos de dos tivos entonces tenemos que DA y DB representan las circunferencias de su círculos primitivos y DA/TA y DB/TB representan sus respectivos pasos circunferenciales. Los pasos circunferenciales deben ser iguales, entonces: Si dos ruedas de engranaje tienen el jnisn1o número de paso irDA/TA = ,7rDB/TB y DA/TA = DB/TB y DA/TA = DB/TB ó DA/DB = TA/TB (7-1). Sabemos ya que NB/NA = DA/DB. tenemos: NB/NA = TA/TB = r

Haciendo esta sustitución en ecuación (7-1), (7-2)

Para ruedas engranadas, tenemos por lo tanto, una razón de reducción r igual a TA/TD, lo que significa que las velocidades de rotación de dos engranajes engranados son una a la otra inversamente corno el número ¿e dientes de sus respectivas ruedas. También, estas velocidades son una a la otra inversamente como los diámetros primitivos de los engranajes.

Consideremos ahora un tren d engrane compuesto de varios pares de ruedas engranadas todas, excepto la primera y la última, están rígidamente unidas en res de manera que ambas ruedas de cualquier par girarán c la misma velocidad. Por ejemplo, rueda A (Fig. 7-1) está aprisionada al eje S1, qué recibe su movimiento de alguna fuente externa. A engrana con B, montada junto con una tercera rueda C en el segundo eje S 2, C engrana con D, la cual está montada con una quinta rueda G en el eje S3, engrana con la rueda F en el eje S4. F es la última rueda, o la impulsada en este tren. A su eje puede unirse cualquier mecanismo que se desee para utilizar la fuerza y el movimiento trasmitido a ésta tal como un tambor para elevar). Suponga que N1, N2, N3 y N4 representen los números de revoluciones por minuto de los ejes S1, S2, S3 y S4 respectivamente. Entonces r1 la razón de reducción entre S1 y S2 es igual a N2/N1 la cual, a su vez, es igual a TA/TB. La razón de reducción, r2 entre S2 y S3 es similarmente igual a TC/TD de manera que las revoluciones de S3 pueden expresarse: N3 = N2 x TC/TD = N1 x TA/TB x TC/TD = N1 x r1 x r2. De la misma manera, r3 (razón de reducción entre los ejes S3 y S4) es igual a TG/TF tenemos que: N4 = N3 x r3 = N2 x r2 x r3 = N3 x r1 x r2 x r3 N4 = N1= x rA/rB x rC/rD x rG/rF – N2 TB x TD x Tr = N1 x r Esto es, r (la razón de reducción de velocidad total para todo el tren) tiene el valor de: N4/N1 = r1 x r2 x r3 =

TA x TC x TG TB x TD x TF

(7-4)

Una ojeada a la Fig. 7-1 mostrará que las ruedas. A, C, y G, son las impulsoras en sus respectivos pares de ruedas engranadas y que B, D y F son las ruedas impulsadas correspondientes. Vemos por consiguiente en las ecuaciones (7-3) y (7-4), que la razón de reducción de velocidad de un tren de engranaje es igual al producto de los números de dientes de todas las ruedas impulsoras dividido por el producto de los números de dientes de todas las ruedas impulsadas. Obtendremos el mismo resultado numérico si sustituimos, para el número de dientes de las diversas ruedas, los diámetros primitivos de las ruedas respectivas. La razón de reducción de velocidad de un tren de engranaje se le llama frecuentemente el valor del tren. Ejemplo 1. El engranaje A tiene 30 dientes; el engranaje B. tiene 54 dientes; el C tiene 27 dientes; el engranaje D, 39 dientes; el engranaje G, tiene 21 dientes; y el engranaje F, tiene 42 dientes. Cuál es la razón de reducción de velocidad del tren de engranaje?

La máquina elevadora mostrada en la Figura 7-3? (b) ¿Qué fuerza debe aplicarse a la manivela para elevar un peso W de 1,500 libras si hay un 15% de pérdida por fricción? (c) Si la manivela da 10 r.p.m., ¿qué velocidad es elevado el peso en pies por minuto?

Solución (a)

r

12 15 1 x   Re spuesta 60 45 15

(b) Suponga que la manivela gire 1 radián F1S1 x Eficiencia = F2S2 F1w1 R1 Eficiencia = F2w2R2

w2 = w1 x r = 1 x

1 1  15 15

F1 x 1 x 18 x .85 = 1,500 x

F1 =

1 x3 15

1,500 x 1 / 15 x 3 = 19.61 lbs. Respuesta 1 x 18 x .85

(c) N tambos = N Manivela x r = 10 x vtambor = DN = - x 7 12 15

1 10  15 15

1.05 pies/minuto

El peso es elevado 1.05 pie por minuto. Respuesta Si la última rueda gira en la misma dirección que la primera, el signo del valor del tren, r, será positivo. Si la última rueda gira en dirección opuesta a la primera, el signo del valor del tren, será negativo. Un engranaje intermedio es una rueda de engranaje adicional insertada entre cualquier par de ruedas engranadas para invertir la dirección de rotación de todos los engranajes que se hallan entre el engranaje intermedio y el engranaje impulsado, Fig. 7-4.

Un engranaje intermedio, tal como el H, es al mismo tiempo la rueda impulsora y la rueda impulsada. Su uso no hace diferente el valor numérico de r (el valor del tren), como se muestra debajo. pero cambia el signo. La ecuación (7-3) ha mostrado que el valor del tren, sin H, es

TA x TC x TG   TA x TB

TD

TF

TB

Con la rueda H, el valor del tren r se convierte en TA TH TC TG   TA TC TG x x x   x x TH TB TD TF TB TD TF Por tanto r tiene el mismo valor numérico pero de signo contrario cuando se introduce un engranaje intermedio. 7-3. Coincidencia de los ejes del primer y último engranaje. Con bastante frecuencia la primera y la última rueda de un tren de engranaje girarán alrededor de un mismo eje, aunque independientemente (Fig. 7-5). Este es el llamado tren de engranaje invertido.

RA + RB = RC + RD y DA + DB = DC + DD

Si ambos pares de engranajes (A y B, C y D) son diseñados con el mismo paso circular C, las siguientes relaciones pueden ser desarrolladas: DA + DB = DC + DD DA + DB = DC + DD D A D B D C D D    C C C C

pero

D A D B DC DD  TA;  TB;  TC; y  TD C C C D

Por consiguiente TA + TB = TC + TD

(7-5)

En este caso, como para cualquier tren de engranajes, r (el valor del tren) = TA/TB x TC/TD, si se considera que A es la impulsora. Al diseñar tal tren, no es suficiente escoger los dientes de las diferentes ruedas únicamente para dar el valor del tren deseado, sino que además debe tenerse cuidado también de ver que TA + TB = TC + TD diferentes, C1 para A y B, y C2 para C y D, las siguientes modificaciones deben hacerse: DA + DB = DC + DD Por lo tanto

T

D C

Por consiguiente TA C1 TB C1 TC C 2 TD C 2        C1 TA  TB   C 2 TC  TD   

TA  TB C 2   x TC  TD  C1 TA  TB C 2  TC  TD C1

(7-6)

En lugar de dar el paso circunferencial de un engranaje, es una práctica común el hablar de éste, en términos de su número de paso. El número de paso o paso diametral de un engranaje es el número de dientes de la rueda de engranaje por pulgada de diámetro primitivo (o el valor del cociente T/D). Así un engranaje puede ser llamado como un engranaje de paso .3, dando a entender que éste tiene 3 dientes por pulgada de diámetro primitivo, y que el número total de dientes T, es igual a 3 x D. Si se usa el símbolo p para denotar el número de paso de un engranaje, T=pxD D  p x D, y C P

 ,y C

C

 P

Si dos ruedas de engranajes tiene el mismo número de paso ellas tendrán el mismo paso circunferencial. Refiriéndonos ahora a la ecuación (7-6) y llamando al número de paso común a los engranajes A y B, p1 y al número de paso común a los engranajes C y D, p2, veremos que p1 

  . Entonces y p2  C1 C2

C1 

  y C2  ,y p1 p2

C2   C1 p 2 p 1   p2 p1

Haciendo esta sustitución en la ecuación /7-6) tenemos que

p1 TA  TB  p 2 TC  TD TA = pDA TB = pDB Sumando TA + TB = pDA + pDB TA + TB = p (DA + DB)

TA  TB DA  DB

p

Ejemplo 3. Un engranaje cilíndrico tiene 66 dientes. Su número de paso es 11. (a) ¿Cuál es su paso circunferencial? (b) ¿Cuál es el diámetro del circulo primitivo del engranaje? Solución: (a) C =

 22 / 7 = 2/7 pulg. Respuesta  p 11

(b) D =

T 66 = 6 pulgs. Respuesta  P 11

Ejemplo 4. Halle el número de dientes del engranaje anular K en el tren de engranaje de abajo, si el número de pasos en todos los engranajes es el mismo.

Solución: Ya que el número de pasos de todos los engranes es el mismo los engranajes pequeños y el anular tendrán el mismo número de dientes por pulgada de diámetro primitivo. La suma de los radios igualan al radio del engranaje anular, por consiguiente para hallar el número de dientes en la mitad del engranaje, sume el número de dientes de la mitad (todos los dientes en los engranajes intermedios) de cada engranaje pequeño. Multiplique por dos para obtener el número de dientes en el engranaje anular: RK = R80T + R35T + R75T + R20T + R20T + R45T + R60T por tanto, DK = D8OT + D35T + D35T + D2OT + D2OT + D45T + D60T ya que D = T/P, nosotros podemos substituir por D en cada caso: TK 80 35 75 20 20 45 60        P P P P P P P P

Ya que el número de pasos es el mismo, podemos multiplicar por medio de p, dejando: TK = 80 + 35 + 75 + 20 + 20 + 45 + 60 = 335 TK= 335 dientes en el engranaje angular. Respuesta. Ejemplo 5. Dos ejes paralelos, S1 (impulsor) y S2 (impulsado), separados 12 pulgadas, están unidos por medio de engranajes de paso 5 de manera que cuando S1 hace 200 r.p.m., S2 hará 300 r.p.m. (a) ¿Cuántos dientes tiene cada engranaje si ellos giran en la misma dirección? (b) ¿Cuántos si giran en direcciones opuestas? Solución: (a) La distancia entre ejes es igual a R1 - R2 = 12 pulgs. ya que: Dxp=T

RxP

T 2

R 1  R 2  x p  T1 2



T2 2

T1 –T2 = 2 x 12 x 5 = 120 dientes

T1 N 2 300 3    T2 N1 200 2 2T1 = 3T2 T1 = 3/2T2 1/2T2= 120 T1 = 240 dientes. Respuesta T2 – 240 = 120 dientes T2 = 360 dientes. Respuesta (b)

R1 + R2 = 12 pulgadas

R 1  R 2  x p  T1 2



T2 2

T1 + T2 = 2 x 12 x 5 = 120 dientes 2T1 = 3T2 T2 = 48 dientes. Respuesta T1 = 72 dientes. Respuesta Ejemplo 6. En un tren de engranajes .invertido, todos los engranajes son de paso 4. La razón de reducción. La razón de reducción de velocidad es 1/6. A es la impulsora. ¿Cuántos dientes hay en los /engranajes B, C y D?

Solución: TA + TB = TC + TD Ya que T = pD, TC + TD = pDC + pDD DC + DD = 12 x 2 TA + TB = 4 x 12 x 2 = 96 dientes

TA TC 1 x  TB TD 6 TC 1 TB 1 64 1  x  x  TD 6 TA 6 32 3

TD = 3Tc TC + TD = 96 4TC = 96 TC = 24 dientes.

Resp.

TD = 3TC = 3 x 24 = 72 dientes

Resp.

Prueba: TA + TB = TC + TD 32 + 64 = 24 + 72

TA x TC 1  TB x TD 6 32 24 1 x  64 72 6

Ejemplo 7. En el tren de engranaje invertido de la Fig. 78, la relación del número de paso de los engranajes A y B al de C y D es de 4 a 5. La razón de reducción de velocidad es de 1/9. A es la impulsora. ¿Cuántos dientes tienen los engranajes A y B? . Solución: TC + TD = 21 + 99 = 120 dientes

P1 TA  TB  P2 TC  TD 4 TA  TB  5 120

TA + TB =

TA TC 1 x  TB TD 9 TA 21 1 x  TB 99 9

= 96 dientes

TA 

11 TB 21

11 TB  TB  96 21

TB = 63 dientes.

Resp.

TA = 96 – 63 = 33 dientes.

Resp.

Prueba:

P1 TA  TB  P2 TC  TD

TA TC 1 x  TB TD 9 33 21 1 x  63 99 9

7-4. Definiciones. El ángulo de trabajo es el ángulo a través de cual un engranaje se mueve desde el momento en que uno de sus dientes hace contacto con el diente del otro engranaje hasta que ese diente cese de estar en contacto. El arco de acción es el arco en el círculo primitivo interceptado por el ángulo de trabajo. El ángulo de paso es el ángulo en el centro del engranaje subtendido por el paso circunferencial. Los dientes de 2 engranajes engranados son primos unos t otros cuando ellos no tienen divisor común excepto 1; por ejemplo, 13 es primo con relación a 30. 7-5. Limitaciones en el diseño de trenes de engranajes. El problema de escoger un en de engranajes para unir ejes a una distancia dada y darle algún valor de tren requerido parecería a primera vista que puede tener un gran número de soluciones posibles. Esto es cierto, pero prácticamente el número de soluciones, aceptables para cualquier caso dado, es un poco limitado. El ángulo de trabajo debe ser igual o mayor que el ángulo de paso. Si -éste no fuera el caso, un par de dientes cesaría de estar en contacto antes de que el siguiente par haga contacto. Si muy pocos dientes son cortados en un molde dado, el ángulo de paso será demasiado grande para ser igualado por el ángulo de trabajo del engranaje. El arco de acción de un engranaje será ordinariamente no mucho mayor de 30°. Ya que el ángulo de paso no puede ser mayor que el ángulo de trabajo, no sería conveniente usar una rueda que tenga menos de 12 dientes. No es deseable cortar innecesariamente un gran número de dientes en un molde vacío de circunferencia dada, porque el tamaño de los dientes por consecuencia su resistencia sería reducida.

Ejemplo 8. Diseñe un tren de engranaje que tenga un valor de tren de 1/150 y ninguno de los engranajes tenga más de 60 dientes y no menos de 12 dientes. ¿Cuántos pares de engranajes se requerirían? ¿Cuántos dientes tendrá cada engranaje? Solución: En primer lugar, la razón de reducción máxima por par posible bajo las condiciones del problema es 60/12, (= 5). o más bien en este caso 1/5. Un par de engranajes entonces no bastarían para dar la reducción requerida de 1/150. Si dos pares fueran usados, cada uno dando la reducción máxima permisible la reducción total sería de 1/25. Si tres pares fueran usados 1 reducción total sería de 1/125; aún no suficiente. Pero si fueran usados cuatro pares, la reducción resultante de 1/625 sería más que suficiente. En otras palabras, tres pares dando la reducción máxima permisible por par no sería suficiente mientras que cuatro pares (dando la misma reducción por. par) son más que suficiente. Evidentemente tenernos que será necesario usar cuatro pares de engranajes pero disminuir la reducción por par. Habiendo hallado el número de pares que se van a usar y conociendo que la razón de reducción total de 1/150 debería ser dividida casi igualmente entre ellos, tomamos la cuarta raíz de. 1/150 que hallamos que es muy cerca de 1/3.5, ó 2/7. Por consiguiente pueden probarse cuatro pares de engranajes que tengan cada uno un valor de tren de 2/7. Tal tren daría un valor de tren de 2/7 x 2/7 x 2/7 x 2/7 = 16/2401 = 1/150.06. En la práctica real, este resultado estaría ampliamente cerca del de 1/150 deseado y procederíamos a multiplicar el numerador y denominador de cada fracción componente por algún número que haría los numeradores mayores de 12 mientras mantiene los denominadores menores de 60. Si los mismos factores son usados en ambos, el numerador y denominador, el valor final permanecerá inalterable en 1/150.06. Suponga que escotemos el 6 como multiplicando para ser usado tenemos 12 x 12 x 12 x 12 1 para el valor de nuestro tren al mismo tiempo  42 x 42 x 42 x 42 150.06 llenando los otros requerimientos de nuestro problema. En la práctica tenemos que podríamos usar 12 ‘dientes en cada uno de nuestros cuatro impulsores y 42 dientes en cada una de nuestras cuatro ruedas impulsadas, siendo el error en el valor del tren que resulta de esta selección despreciable.

Entonces

Si se demanda un puede asegurar abandonando la distribución igual de la razón de reducción entre todos los pares y usando las siguientes razones para los diversos pares 1/5 x 1/5 x 1/2 x 1/3 = 1/150 Con estas razones de reducción por par, obtenemos valores satisfactorios para los números de dientes como siguen: T 

E TC TG  12 x 1 12 x 1 12 x 1 12 x 1 x x x  x 12 / 24 x 12 / 36  1 / 150 12 x 5 12 x 5 12 x 2 12 x 3 12T/D 60  TH  TF 

Ejemplo 9. Diseñe un tren de engranaje que tenga un valor de tren 87. Ninguno de los engranajes debe tener más de 84 dientes ni menos de 12 dientes. Todos los engranajes en contacto serán primos unos con otros. Variación permisible en el valor del tren ± 5 por ciento. Solución: El valor máximo del tren para un par de engranajes es de 84/12 ó 7, por consiguiente 3 pares de engranajes deben ser usados. Todos los pares de engranajes deben tener aproximadamente el mismo valor de tren, por tanto halle la raíz cúbica de 87; es aproximadamente 4.43. Si seleccionamos un engranaje de 13 dientes como el engranaje menor del primer par, el engranaje mayor debe tener alrededor de 57 dientes. Esto da un valor d tren de 4.38, el cual es un poco por debajo de 4.43. Para el siguiente par de engranajes seleccione uno de 13 dientes y uno de 58 dientes. Esto da un valor de tren de 4.46. El valor de tren para los primeros dos pares de engranajes es de 57/13 x 58/13 = 19.56. El valor del tren para el último par de engranajes es de 87  19.56. Ponga estos valores sobre una regla de cálculo. Los dientes del engranaje más pequeño serán hallados en la escala C y aquellos del engranaje mayor en la escala D. Pruebe los siguientes pares 58/13, 67/15, 71/16 y 76/17. r = 57/13 x 58/13 x 58/13 = 87.2 Respuesta. Estos dos engranajes son los satisfactorios. En trasmisiones de automóviles y cabezas de tomos y de hecho generalmente donde se permite una selección entre diferentes razones de la velocidad, los engranajes serán ordenados sustancialmente como engranaje D (el impulsado) giran independientemente unos de otros pero alrededor de un eje común. Los engranes intermedios B y C están conectados de tal manera que ellos giran juntos alrededor de un eje paralelo al eje común d A y B. Ejemplo 10. Diseñe un tren de engranajes para unir dos ejes paralelos con un valor del tren de 19, ningún engranaje tiene más de 60 dientes y no menos de 12 dientes. Todos los engranajes han de tener el mismo número de paso. Halle los valores apropiados para los dientes de cada engranaje. Soluciones: Han de usarse dos pares de engranajes. La razón de reducción máxima permisible por par es de 60/12 ó 5. Ya que 5 x 5 (= 25) es mayor que el valor del tren requerido de 19, esta disposición será satisfactoria 2 19  4.36 (aproximadamente). Para dividir igualmente la razón de reducción total entre los pares, el valor del tren por par ha de hacerse tan próximo como sea posible a 4.36, pero como que nuestro problema es más complicado, en este caso, por la necesidad de tener TA + TB = TC + TD (vea artículo 7-3), no podemos esperar mantenernos de este valor como podríamos hacerlo en el problema resuelto anteriormente. Al escoger nuestras ruedas de engranajes, deben llenarse las condiciones (T A + TB) = (TC + TD), y TA/TB x TC/TD = 19. TA/TB puede ser representado por medio de

at A , siendo TA = at, y at g

TB = atB. Similarmente TC/TD puede ser representado por

bt C bt D

TA TC entonces se convierte en tA/tB x tC/tD, lo cual debe ser igual a 19, mientras que x TB TD a (tA + tB) debe ser igual b(tC ± tD). Ya que 19 igual a 4.36, deben probarse valores entre 4 5 para tA/tB y para tC/tD hasta que, por pruebas sucesivas se llegue a una solución adecuada. Si tA/tB se torna como 4/1, ó 4, tenemos entonces que tC/tD, debe ser tomada igual a 19/4 para dar el valor del tren propio = 19). Con esta selección de valores, es además necesario que a(4+ 1) = b(19 + 4) ó 5a = 23b. El mínimo común múltiplo de los coeficientes numéricos en la anterior ecuación es 5 x 23, de modo que sería necesario hacer a igual a 23 y b igual a para asegurar la igualdad requerida. Pero a a y a b no se le pueden dar estos valores sin desviarse de los valores permitidos para TA, TB, TC y TD. Por ejemplo, suponga que a es tomada como 23 entonces TA = 23 x 4 y tB = 23 x 1; el valor de TA está por encima del valor máximo permisible de 60 dientes por rueda. Ya que la primera prueba no tuvo éxito pruebe valores diferentes para t A/tB y tC/tD. Por ejemplo, pruebe tA/tB = 5/1 (Ó 5), y tC/tD .19/5. Entonces a (5+ 1) = b (19+5) ó 6a = 24b. Aquí el mínimo común múltiplo de los coeficientes numéricos es 24, de esa manera la igualdad necesaria puede asegurarse haciendo a igual a 4 y b igual a 1 Con estos valores de a y b tenemos que: TA = 5 x 4 = 20 TB = 1 x 4 = 4 TC = 19 x 1 =19 TD = 5 x 1 = 5. Los valores de TB y TD son muy pequeños para los requerimientos de este problema pero si todos son ahora multiplicados por 3, equivaliendo a tomar a y b igual a 12 y 3 respectivamente, tenemos que: TA = 60, TB 12, TC = 57, y TD = 15 Estos valores nos dan TA/TB x TC/TD = 60/12 x 57/15 = 57/3 = 19 mientras que TA+TB=60 + 12 = 72 = 57+ l5TC+TD). En otras palabras, los valores adecuados para los engranajes han sido hallados ya que todos los requerimientos del problema se han llenado.

Problemas.7-1.. El diámetro primitivo de un engranaje cilíndrico es de 8 pulgadas El número de paso es de 3. ¿Cuál es el paso circunferencial? 7.2. Dos ejes paralelos, S1 y S2 tienen una separación de 18 pulgadas. El 1ro. da 400 r.p.m. mientras que el otro da 500 r.p.m. Usando un engranaje de paso 4, ¿cuántos dientes son necesarios para que conecten estos ejes? (a) Si los ejes giran en la misma dirección. (b) Si ellos giran en dirección opuesta. 7-3. Dos ejes paralelos S1 y S2 están separados 20 pulgadas. S1 da 300 r.p.m.; mientras que S2 da 700 r.p.m., usando un engranaje de paso 3, ¿cuántos dientes tienen los engranajes que unen estos ejes? (a) Si los ejes giran en la misma dirección. (b) Si los ejes giran en direcciones opuestas. 7-4. La razón de reducción de velocidad de dos engranajes cilíndricos engranados de 14. El paso circunferencial es de 5/8 pulgadas. El engranaje impulsor tiene 28 dientes. (a) ¿Cuántos dientes tiene el engranaje impulsado? (b) ¿Cuál es el número de paso de los engranajes? (c) ¿Cuál es la distancia entre ejes o centros de los engranajes? 7-5. La razón de reducción de velocidad de dos engranajes cilíndricos engranados es de +3/4. El número de paso es de 3. El engranaje impulsor tiene 36 dientes. (a) ¿Cuántos dientes tiene el engranaje impulsado? (b) ¿Cuál es la distancia entre ejes o centros de engranajes? ¿Cuál -es el paso circunferencial de los engranajes? 7-6. Los engranajes A y K son concéntricos. (a) ¿En qué dirección gira el engranaje K? (b) ¿Cuántos dientes tiene el engranaje K si todos los engranajes son engranajes de paso 3? (c) ¿Si A da 100 r.p.m., ¿cuántas r.p.m. da K? 7-7. (a) ¿Qué fuerza debe aplicársele a la manivela para elevar el peso si hay un 28% de pérdida por fricción. (b) ¿Cuántas r.p.m. da la manivela si el peso es elevado 20 pies por minuto?

7-8. Una fuerza de 70 lbs. se requiere sobre la manivela para elevar un peso de 7,000 lbs. cuando hay n 50% de pérdida por fricción. ¿Cuántos dientes tiene el engranaje X?

7-9. (a) ¿Cuál es la razón de reducción de velocidad del mecanismo? (b) ¿Cuál es la velocidad de la correa en píes por minuto si el peso es elevado 20 pies por minuto? (c) Si hay un 40% de pérdida por fricción, ¿qué anchura de correa de una capa simple se requiere para elevar el peso?

7-10. (a) ¿Cuál es la ventaja mecánica del mecanismo? (b) ¿A qué velocidad es elevado el peso W en pies por minuto si la correa tiene una velocidad lineal de 600 pies por minuto? (c) Si hay un 20% de pérdida por fricción, ¿qué anchura de correa de doble capa de cuero se requiere para elevar el peso?

7-11. (a) Visto desde la izquierda, ¿en qué forma gira la polea A para elevar el peso W? (b) Si hay un 25% de pérdida por fricción y el diámetro primitivo de L es de 28 pulgadas, ¿qué tracción efectiva es necesaria en la correa para elevar el peso W 30 pies por minuto? (e) ¿Cuántos HP está trasmitiendo l correa?

7-12. Si hay un 25% de pérdida por fricción y el diámetro primitivo de L es 28 pulgadas y el peso W está cayendo sin aceleración a 50 pies por minuto, impulsando el mecanismo. (a) ¿Cuál es la tracción efectiva en la correa? (b ¿Cuántas vueltas da la polea A por segundo? 7-13. A gira 400 r.p.m. y desarrolla 16 HP. Si hay un 16% de pérdida por fricción, (a) ¿Cuántos HP son trasmitidos por la correa en G? (b) ¿Cuántas r.p.m. da G? (c) ¿Cuál es la tracción efectiva de la correa en G? 7-14. En el tren de engranaje invertido mostrado, la razón de reducción de velocidad es de +3/15. El engranaje A es el impulsor. Todos los engranajes tienen el mismo paso circunferencial, y el número de paso es 3. ¿Cuántos dientes tienen los engranajes B, C y D?

7.15. En el tren de engranaje invertido mostrado, el engranaje impulsor A da 75 r.p.m. mientras que el impulsado D da 25 r.p.m. Todos los engranajes tienen el mismo paso circunferencial y el diámetro primitivo de D es 12 pulgadas. (a) ¿Cuántos dientes tienen los engranajes A, C y D? ¿Cuál es el paso circunferencial? y (c) ¿Cuál es el número de paso? 7-16. En el tren de engranaje invertido mostrado (a) ¿Cuál es la razón entre el paso circunferencial común a los engranajes A y B y el común a los engranajes C y D? (b) ¿Cuál es la razón entre los números de paso correspondientes?

7-17. En el tren de engranajes invertidos mostrado, la razón de reducción de velocidad es de 4/3. El engranaje A es el impulsor. La razón del paso circunferencial de los engranajes A y B es al de C y D como 10 es a 8. (a) ¿Cuántos dientes tienen los engranajes B y C? (b) ¿Cuál es el número de paso de los engranajes A y B? (c) ¿Cuál el de C y D? 7-18. (Vea página 7.13). El engranaje impulsor A da 2,790 vueltas mientras que el D da 550. El número de paso de todos los engranajes es de 3. ¿Cuántos dientes tienen los engranajes A, B y C?.

7-19. En el tren de engranajes invertido mostrado, la razón de reducción de velocidad es de 3 ½. El engranaje A es el impulsor. La razón del paso circunferencial de los engranajes A y B es al de C y D como 7 es a 6. ¿Cuántos dientes tienen los engranajes B y C? 7-20. Los engranajes A y K son concéntricos. Los pasos circunferenciales de A y B son los mismos; y los pasos circunferenciales de C y K también. (a) ¿Cuál es el diámetro de K? (b) ¿Cuál es paso circunferencial de K?

7-21 Diseñe un tren de engranajes de manera que cuando el engranaje impulsor A gire 2,600 veces, el impulsado girará 200 veces Ninguno de los engranajes tendrá menos de 12 dientes ni de 65. Todos los engranes han de tener el mismo número de paso. 7-22. Diseñe un tren de engranajes que tenga una razón de reducción de velocidad de 100. Ninguno de los engranes ha tener menos de 12 dientes ni más de 72. El error en la razón reducción de velocidad no debe ser mayor de ± 0.3. 7-23. Diseñe un tren de engranajes que tenga una razón de reducción de velocidad de 29. Ninguno de los engranajes ha de tener menos de 12 dientes ni más de 100. Todos los engranajes engrana serán primos unos con otros. El error en la razón de reducción de velocidad no debe ser mayor de ±0.3. 7-24. Diseñe un tren de engranaje que tenga una razón de reducción de velocidad de 1/93. Ninguno de los engranajes ha de tener menos de 12 dientes ni más de 84. Todos los engranajes engranados serán primos unos con otros. El error en la razón d reducción de velocidad no ha de ser mayor de ±0.5%. 7-25...Refiérase a la figura 7-9, página 7-13. El engranaje A tiene 27 dientes; B tiene 27 dientes, C tiene 21 dientes; D tiene 33 dientes; H tiene 18 dientes; J tiene .36 dientes; K tiene 16 dientes Para cada vuelta del eje E, ¿cuántas vueltas da el eje impulsor S1 cuando (a) el carro está en alta? (b), Cuántas cuando el carro esta en segunda? (c) ¿Cuántas cuando el carro está en baja? (d) ¿Cuántas cuando el carro está en marcha atrás?

CAPÍTULO VIII TRENES EPICICLOIDALES S-1. Un tren epicicloidal es un tren de engranajes que engrana con otros, algunos de los cuales giran alrededor de un eje fijo el cual no se puede mover en relación a la envuelta de las máquinas, y otros, los cuales giran alrededor de ejes montados en un elemento móvil de la máquina el cual gira con relación a la envuelta. Este elemento móvil puede ser recto, curvo o deformado al extremo de no ser fácilmente reconocible, pero aun así es llamado el brazo. Las posibilidades de soluciones por medio del tren epicicloidal exceden ampliamente a aquellas del tren simple. Los resultados son en muchos casos completamente sorprendentes. Para mencionar un ejemplo una gran reducción de velocidad puede ser llevada a cabo con un pequeño número de engranajes de una manera que no podría lograrse con un tren de engranajes simples, sin el uso de más de 10 veces tantas ruedas de engranajes y una gran pérdida de fuerza por la fricción. La aplicación más común de este tipo de sistema en el tren de engranaje planetario de la unidad de transmisión automática de un automóvil. Uno nunca puede adivinar la solución de un tren epicicloidal. Dados ciertos datos de un problema, existe la misma posibilidad de suponer o no que una rueda determinada gire en dirección opuesta a su dirección verdadera, y si ésta gira rápido o despacio, ningún estimado tiene probabilidad de ser aproximadamente correcta. Uno no puede dominar el asunto sin un método científico de solución y una esmerada atención a los detalles y exactitud. Como en un tren de engranaje es enteramente posible tener uno o más trenes de engranajes simples engranados con un tren epicicloidal, es necesario distinguir un tren epicicloidal de un tren de engranaje simple y resolver cada uno independientemente. Esto es vital, porque en un instante, un engrane está dando un cierto número de vueltas en relación con la envuelta de la máquina, pero un del brazo con relación a la envuelta. Para elegir un tren epicicloidal de engranajes, proceda como sigue: (1) Elija el brazo, uno de los extremos girará alrededor de un eje fijo. (2) Elija los engranes, cuyos ejes son llevados en realidad por el brazo: (3) Elija los engranes que engranan con los identificados en (2) arriba el tren de engranajes epicicloidal consiste del brazo y los engranes a que se refieren los párrafos (1) y (2) de arriba. Otros engranes que engranan o son componentes con aquellos que se mencionan en el párrafo (3) de arriba no están en el tren epicicloidal pero forman parte de un tren de engranaje simple. Un engrane puede ser parte de un tren de engranaje epicicloidal y al mismo tiempo ser parte de un tren de engranaje simple. La figura 8-1 ¡nuestra un tren epicicloidal simple con un eje fijo S1 y un eje S2 montado sobre el brazo y girando con él. En la figura 8-21 las ilustraciones para los problemas 8-13 y 8-14 nos muestran trenes de engranajes más complicados. En el problema 8-13, el tren epicicloidal consiste de A, el brazo, los engranes D y E, que giran en ejes montados en el brazo, y engranes B y C, que engranan con estos engranes. Los engranes G, H y L no están en el tren

epicicloidal, aunque combinados con los engranes y el brazo del tren epicicloidal. En el problema 8-14, el tren epicicloidal consiste de A, el brazo, los engranes C, D y E, los cuales giran en ejes montados en el brazo y los engranes B y F, los cuales engranan con estos engranes. Los engranes G y J combinan con el engrane B y el brazo respectivamente, y no son parte del tren epicicloidal. 8-2. Un tren epicicloidal simple. Figura 8-1 consiste de: (1) Un brazo A capaz de girar alrededor de un eje fijo S1. (2) Un engrane de giro C, montado sobre el eje S2 y libre de girar en él, este engranaje gira llevado por medio del brazo. (3) El engrane B, montado sobre el eje S1 y libre de girar en él; engrana con el engrane C. (4) Un eje fijo S1, alrededor del cual el brazo del tren epicicloidal gira.

Este mecanismo puede ser usado de dos maneras elementales: (1) Si el brazo A se mantiene fijo de modo que no pueda girar, y el engrane B gira en su eje S1, los engranes B y C actuarán como un tren de engranaje simple. (2) Si el engrane B se mantiene estacionario de modo que no pueda girar, y el brazo A gira en su eje S1, el engrane C girará en su eje S2, con un giro relativo al brazo y al mismo tiempo girará alrededor del eje S1 el cual está fijo con relajación a la envuelta.

Tres operaciones diferentes deberán ser combinadas para determinar las vueltas absolutas de uno de los engranes en el tren de engranaje epicicloidal. as vueltas absolutas un engrane son el número de vueltas que un punto en el engrane da con relación a la envuelta de la máquina las cuales serán más o m’rnos que el número de vueltas que él da con relación a su propio eje. Primero, usando la Fig. 8-2 suponga que el brazo está fijo de modo que no pueda girar. En esta situación si el engrane B es girado, el engrane C girará, pero en una dirección opuesta. Si el número de dientes en ambos engranes es el mismo, el engrane C habrá dado una revolución cuando todos sus dientes hayan engranado una vez con los dientes correspondientes del engranaje B. Segundo, suponga que el engrane B se fija, de modo que no pueda girar. En esta situación, si el brazo es girado, cualquier punto en el brazo girará con él en la misma dirección. Si los engranes B y C están separados de manera que no engranen, el engrane C dará una revolución completa en relación a la envuelta de la máquina con cada revolución del brazo.

Tercero, vea la figura 8-3, suponga que el engrane B está fijo, de modo que no pueda girar. Si los engranajes B y C están engranados, una revolución del brazo causará que todos los dientes del engrane C engranen una vez con los dientes correspondientes del engrane B, dando por resultado una revolución del engrane C con relación al brazo como que el brazo ha girado una vez con relación a la envuelta de la máquina y el engrane C una vez en relación con: el brazo, el engranaje C ha girado dos veces con relación a la envuelta de la máquina, o ha hecho dos vueltas absolutas. Usando un ejemplo práctico el problema del efecto de girar el brazo en un tren de engranaje epicicloidal puede ser ilustrado con más claridad. Suponga que el engranaje B da +5 vueltas, el brazo +2, y que el número de dientes en el engrane B y C es el mismo, y están en contacto externo. Evidentemente, si no existiera el brazo, el engrane C dará -5 vueltas absolutas, pero con el giro del brazo, la respuesta es diferente.

Como resultado del giro del engrane B, el engrane C dará -5 vueltas con relación a la envuelta de la máquina. El brazo dará +2 vueltas absolutas, y el engrane C deberá por consiguiente también dar +2 vueltas absolutas ya que su eje es llevado por el brazo. En dar estas dos vueltas el brazo ha hecho que los dientes del engrane C engranen dos veces con los correspondientes del engrane B, dando por resultado que el engrane C dé +2 vueltas con relación al brazo o un total de + 4 vueltas absolutas como resultado del movimiento del brazo. El total de estas vueltas absolutas es la suma de -5 y +4, o sea -1 vuelta absoluta para el engrane C. Ya que los engranes en un tren de engranaje epicicloidal pueden tener dos velocidades diferentes de giro una con relación a la envuelta de la máquina y una con relación al brazo, podrán tener diferentes valores del tren, dependiendo sobre cuál de los dos, la envuelta de la máquina o el brazo, se toma como base de comparación. Si el brazo de un tren de engranaje epicicloidal se fija, la serie de engranajes se convierte en un tren de engranaje simple, y todos los engranes darán sus vueltas respectivas con relación al brazo. El símbolo p es usado para representar ‘el valor del tren en este caso, y es el valor del tren de engranaje con relación al brazo.

p

N 2 w 2 R 1 D1 T1     N1 w 1 R 2 D 2 T2

(8-1)

No obstante cuando el brazo gira, p representará el valor del tren de los engranes únicamente con relación al brazo, y no con la envuelta y la relación 8-1 seguirá siendo verdadera. El valor del tren de engranaje epicicloidal, esto es, la razón de la velocidad angular del último engrane o impulsado a la velocidad angular del primer engrane o impulsor, en el tren de engranaje epicicloidal, no dependerá por completo de la medida relativa de los cilindros, o el número de dientes en los engranes, porque está influenciado por el movimiento del brazo. El símbolo E es usado para representar el valor total del tren en el tren de engranaje epicicloidal, y son las vueltas o velocidad angular del último engrane o impulsado a las del primer engrane o impulsor en el tren,

E

N2 w 2  N1 w 1

(8-2)

pero E no es igual a R1  R2, D1  D2 ó T1  T2 porque estos valores no están influenciados por las vueltas del brazo mientras que N y w están influenciados por los giros del brazo. N1, N2., w1, w2 son cuando se usan en la fórmula 8-1 con relación al brazo y con relación a la envuelta de la máquina cuando se usa la ecuación 8-2. La relación entre p2 E y las vueltas absolutas del brazo, el impulsor y el impulsado puede se ilustrado como sigue: n = vueltas absolutas del último engrane m = vueltas absolutas del primer engrane a = vueltas absolutas del brazo n (8-3) E m

n – a = vueltas del último engrane con relación al brazo (tren da engranaje simple) m- a = vueltas del primer engrane con relación al brazo p

na ma

(8-4)

8-3. Tabla para resolver problemas de tren epicicloidal. De la ecuación (8-4) podemos preparar una tabla que facilitará grandemente el uso de la ecuación para resolver los problemas de tren epicicloidal de cualquier número de engranajes. La ecuación debe ser usada únicamente para el chequeo rápido de la solución tabular. Brazo Vueltas absolutas del brazo Tren simple de engranajes Vueltas absolutas de los engranajes

Brazo A Vueltas ……….. absolutas del brazo Tren simple de 0 engranajes (brazo fijo) Vueltas ………... absolutas de los engranajes (suma)

+a 0 +a

Engrane B ………..

Primer Engrane +a m-a m

Engrane C ……….

Ultimo Engrane +a n-a N

Engranes D y E ……….

Al referirse a los espacios de la tabla, las siguientes abreviaturas serán usadas cuando sea conveniente hacerlo: TABLA 3 Brazo A Vueltas A1 absolutas del brazo Tren simple de A2 engranajes Vueltas A3 absolutas de los engranajes (

Engrane B

Engrane C

B1

C1

Engranes D y E DE1

B2

C2

DE2

B3

C3

DE3

Al usar la tabla 2 los’números para llenar los espacios en blanco y sustituir los puntos, son dados en el problema o calculados de los datos que se dan en el problema. El cero aparece siempre en el espacio A2 ya que cuando el brazo es fijo (brazo fijo) no gira. Con el brazo fijo, los engranajes actúan como un tren simple. En la primera, línea “vueltas absolutas del brazo” los espacios marcados por líneas de puntos son llenados por el mismo número, esto es, las vueltas del brazo. El espacio A3 está también llenado con el mismo número debido al cero del espacio A2. En la segunda línea, encabezada “tren simple de engranajes”, los brazos están fijos y tratamos con un tren de engranajes simple. En consecuencia, para determinar las vueltas de un engrane determinado en esta línea, es necesario multiplicar las vueltas conocidas de otro engrane del tren por el valor del tren, p entre los dos engranes. El signo del valor del tren p, usado aquí, se determina dibujando flechas en los engranes indicando sus direcciones de giro. Si dos engranes giran en la misma dirección, ya sea en dirección de las agujas del reloj o en dirección contraria, ellos tienen el mismo signo en la tabla; (ambos + o ambos —) si ellos giran en direcciones opuestas, ellos tienen diferentes signos (uno + y el otro —). En cada columna de la línea 3 encabezada ‘vueltas absolutas de los engranes”, tenemos la suma algebraica de los números en las líneas 1 y 2, esto es, Al + A2 = A3. Las vueltas de los engranes dados en todos los problemas son vueltas absolutas a menos que se especifique que son de otra manera, y por consiguiente son las que entran siempre en la línea 3 de la tabla. Es conveniente usar la flotación pBC para la relación cuando B impulsa a C, o al pasar de B a C y pCB para la relación cuando C impulsa a B, o al pasar de C a B. La relación del engranaje BC o pCB puede ser determinada convenientemente y situada en la parte superior de la tabla. El número de dientes en los diversos engranes serían mostrados en la tabla como sub-índices de las letras que representan los engranajes. Se usan tantas columnas como sea necesario en la tabla; una columna para el brazo y una para cada engrane, exceptuando en aquel a en que dos engranajes giran como uno, entonces se usa una columna para los dos engranajes. En los ejemplos, cuando se dan las vueltas del brazo y los engranes, o son calculados antes de entrar en la tabla, se mostrarán con tipos de letra más grueso. Ejemplo 1 (Fig. 8-1) El engrane B tiene 80 dientes y el engrane C tiene 40. Sí el brazo A da + 3 vueltas y el engrane B -4 vueltas ¿cuántas vueltas da el engrane C? Solución: La cifra requerida para reemplazar los puntos de la tabla 2 es +3. Las vueltas del engrane 13, dadas en el problema, son vueltas absolutas, y -4 debe ser colocado en el espacio B3, ya que éste es el movimiento real, final, total, o movimiento verdadero de B. El número -7- es insertado en el espacio B2 como el único número que puede combinarse con +3 para sumar -4. Ahora tenemos la tabla completa como se muestra:

TABLA 4 pBC  

Vueltas absolutas del brazo Tren simple de engranajes Vueltas absolutas del engranaje

80  2 40

Brazo +3 0 +3

B20 +3 --4

40C

+3

Ahora dedique la atención a la línea tren simple de engranajes (que implica que el brazo es fijo). El engrane B impulsa el C con una razón pBC de -2. La cifra para llenar el espacio C2 es +14 = (-7 X -2) y las vueltas absolutas de C son de +14 +3 = 17. Respuesta. Nuestra tabla final es por consiguiente TABLA 5 pBC  

80  2 40

Brazo +3 0 +3

Vueltas absolutas del brazo Tren simple de engranajes Vueltas absolutas del engranes

B20 +3 -7 -4

40C

+3 +14 +17 Resp.

Ejemplo 2. (Fig. 8.1). El engranaje B tiene 80 dientes y el C 40. Si el brazo A da +3 vueltas y el engranaje C +17 vueltas, ¿cuántas vueltas da el engranaje B? TABLA 6 pBC  

40 1  80 2

Solución

Vueltas absolutas del brazo Tren simple de engranajes Vueltas absolutas de engranajes

los

Brazo +3 0 +3

B80 +3 -7 -4 Resp.

40C

+3 +14 +17

Inserte la cifra que falta en el espacio C2. Esta debe ser + 14, (±17 -3 +14) para hacer la suma correcta en esa columna. Al pasar a la columna B en la línea 2 de la tabla tenemos un tren simple en el cual C puede ser tomado como impulsor de B. Puesto que pCB es 1/2, la cifra a insertar en el espacio B2 es -7, (+14 x -1/2) y las vueltas absolutas de B = +3 -7 = -4. Respuesta.

Ejemplo 3. (Fig. 8-1). El engrane B tiene 80 dientes y el C tiene 40. Si B da -4 vueltas y C +17 vueltas, ¿cuántas vueltas dará el brazo A? Solución: Use X para los giros desconocidos del brazo. (X por consiguiente sustituye los puntos mostrados en la tabla 2). TABLA 7 pBC  

Vueltas absolutas del brazo Tren simple de engranajes Vueltas absolutas de los engranes

40  2 80

Brazo +x 0 -x

B80 -x -4-x -4

40C

+x +17-x +17

En la figura marcada tren simple de engranaje (-4 -x) veces pBC debe igualar (+17 -x) por consiguiente, (-4 -x) x (-2) = 17- x 8 +2x = 17- x 3x = 9 x = +3 vueltas. Respuesta. Ejemplo 4. Fig. 8-1. Si el número de dientes en los engranes B y C son desconocidos, ¿qué valor de tren debe ser usado, de manera que cuando el brazo A dé +3 vueltas el engranaje B dé -4 vueltas y el C +17 vueltas? Dé el número de dientes adecuados para los engranajes B y C. Solución: De los datos dados, la tabla puede ser completada como se muestra: TABLA 8

Vueltas absolutas del brazo Tren simple de engranajes Vueltas absolutas de los engranes

Brazo +3 0 +3

B +3 -7 -4

C +3 +14 +17

El espacio B2 es llenado por -7 y el espacio C2 por +14. El problema se reduce ahora a hallar el valor del tren simple de engranaje, en el cual el primer engranaje B da -7 vueltas y el último engranaje C da +14 vueltas. p = NC/NB = +14/-7 = -2. Respuesta. Cualquier par de engranes en contacto exterior con el número de dientes en razón de 2 a 1, satisfará el problema. Si B tiene 80 dientes y C tiene 40, tenemos una de las muchas soluciones posibles. Ejemplo 5. Fig. 8-1 El brazo A da +10 vueltas, el engrane B -15 vueltas, y el engrane C +15 vueltas. Si el engrane B tiene 12 dientes. ¿cuántos dientes tiene el engranaje C? Solución:

Introduzca los datos conocidos en la tabla y complétela como se muestra: TABLA 9

TB 12  TC TC

p BC  

Brazo +10 0 +10

Vueltas absolutas del brazo Tren simple de engranajes Vueltas absolutas de los engranes

B12 +10 -25 -15

xC +10 +5 +15

25 x pBC = 5 25 x

12 5 TC

5TC = 300 TC = 60 dientes. Respuesta Los signos son omitidos en esta ecuación ya que estamos ahora resolviendo para dientes y no para vueltas. Ejemplo 6. Fig. 8-1. El engrane B da 18 vueltas mientras que el C da 0 ¿Cuántas vueltas da e! brazo A si el engrane B tiene 80 dientes y el C 40? Solución: Puede ser resuelto usando X para las vueltas desconocidas del brazo, como fue mostrado en el ejemplo 3. Cuando uno o más engranajes dan 0 vueltas, resuélvalos como se muestra aquí, y evite el uso de X para las vueltas desconocidas del brazo. Suponga que el brazo A da +1 vuelta. Inserte los datos conocidos en la tabla y complétela como se muestra: TABLA 10

pCB  

Vueltas absolutas del brazo Tren simple de engranajes Vueltas absolutas de los engranes

40 1  80 2

Brazo +1 0 +1

B80 +1 +1/2 +3/2

40C

+1 -1 0

De la tabla se pueden ver que cuando el brazo A da +1 vuelta, B da +3/2 vueltas; por consiguiente, cuando B da +18 vueltas, A dará +18  +3/2 = +12 vueltas. Respuesta. Ejemplo 7. En el tren epicicloidal mostrado en la figura 8-5 (a) Sí K es un engrane anular fijo y el brazo A da -6 vueltas, ¿cuántas da B? (b) Si l engrane K se le permite girar + 2 vueltas y el B +4 vueltas, ¿cuántas vueltas da el brazo A?

Solución: (a) Introduzca las vueltas del brazo (-6) en el lugar de la tabla que corresponda ya que el engranaje anular K está fijo, y sus vueltas absolutas son 0. Introduzca esto en la tabla. Complete la tabla usando la razón de reducción pKB. TABLA 11

pKB  

Vueltas absolutas del brazo Tren simple de engranajes Vueltas absolutas de los engranes

150  6 25

Brazo -6 0 -6

K15 0 -6 +6 0

25B

-6 +36 +30 Res.

b) Use X para los giros desconocidos del brazo. TABLA 12 pKB  

Vueltas absolutas del brazo Tren simple de engranajes Vueltas absolutas de los engranes

150  6 25

Brazo +X 0 +X

K150 +X 2 –X +2

25B

+X 4-X +4

6 (2 – X) = 4 – X 12 – 6X = 4 – X 5X = 8 X = 8/5 vueltas. Respuesta

8-4. Trenes epicicloidales múltiples. El tren epicicloidal puede tener cualquier número de engranes, algunos de los cuales pueden ser engranes compuestos, (dos engranes unidos, o cortados en la misma pieza de fundición y que giran como una unidad), engranes anulares, cónicos, etc.

En la tabla, se da una columna para cada pieza que gira separadamente. Al pasar de una columna a la siguiente que está en la línea llamada Tren simple de engranajes, se considera solamente la relación de ese par de engranes. En la fig 8-6, si B tiene 100 dientes, C 20 dientes, y D 60 dientes, tenemos que pBC = 100/20 = -5; pCD = -20/60 = -1/3; pBD = 100/20 20/60 = +5/3. También, pCB — 1/5; pDC = -3; y pDB = +3/5. Los signos de las relaciones se determinan dibujando flechas sobre los engranes como se explicó en la parte 8-3. Ejemplo 8. Fig. 8-6. El engrane B tiene 100 dientes, el engrane C 20 dientes y el D, 60 dientes. Si el brazo A da -2 vueltas y el engrane B +7 vueltas, ¿cuántas vueltas da D? Solución:

TABLA 13 pBD  

100 20 5 x  20 60 3

Vueltas absolutas del brazo Tren simple de engranajes Vueltas absolutas de los engranes

Brazo -2 0 -2

B100 -2 +9 +7

El espacio B2 es llenado por +9, el espacio D2 por 9 x por +13.

20C20

60D

-2

-2 +15 +13 Res.

= +15, y el espacio D3

8-5. Tren epicicloidal revertido. El mecanismo epicicloidal elemental de la figura 8-1 no está bien coordinado para utilizar el movimiento del engranaje C. Muy a menudo el tren es revertido y el último engrane así como el primero, tienen el mismo eje que el brazo pero giran independientemente de éste. En la figura 8-7 hay un eje fijo S1S1 en el cual el brazo engranes B y Q giran independientemente, cada uno a la velocidad propia que le corresponda.

El tren epicicloidal consiste del brazo A que lleva el eje movible S2S2 y los engranes B, C, D y Q. F es una parte del tren de engranaje simple FL y J una parte del tren de engranaje simple JH. El K y G forman otro tren simple. Ejemplo 9. Fig. 8-7. Si los ejes S3 y S4 dan cada uno +10 vueltas. ¿cuántas vueltas da el engranaje L? Solución: Halle primeramente las vueltas de GA y HB, y escriba estos valores en la tabla. N GA   10 x 

90   45 20

N HB   10 x 

30   15 20

Use ahora la tabla corno sigue para resolver e] tren epicicloidal: El espacio B2 se llena con t 30. Para pasar del espacio B2 al espacio Q2, use pBQ = +6; +30 x +6 = +180. TABLA 14 p BQ  

Vueltas absolutas del brazo Tren simple de engranajes Vueltas absolutas de los engranes

40 30 x  6 10 20

Brazo -45 0 -45

B40 -45 +30 -15

10CD30

20Q

-45

-45 +180 +135

N Q  N F   135

N L   135 x 

10   67.5 Respuesta 20

Ejemplo 10. En el tren epicicloidal mostrado en la figura 8-8, el engrane K es un engrane anular fijo. Los engranes D y E son compuestos y giran como si fuesen una unidad. Todos los engranes tienen el mismo paso circunferencial. (a) ¿Cuántos dientes tiene el engrane K? (b) Si el brazo A da +40 vueltas, ¿cuántas vueltas da el engrane B?

Solución (a)

1/2TK = 1/2TB + TC + 1/2TD + 1/2TB = 20 + 20 + 6 + 30 = 76

TK = 152 dientes. Respuesta

TABLA 15 (b)

pKB  

Vueltas absolutas del brazo Tren simple de engranajes Vueltas absolutas de los engranes

152 12 20 152 x x  60 20 40 200

Brazo +40

B40 +40

20C20

12DE60

152K

+40

+40

+40

0

-30 2/5

-40

+40

+9 3/5 Resp.

0

Ejemplo 11. En el tren epicicloidal mostrado en la figura 8-9, (a) ¿Cuántas vueltas da el engrane D si el brazo A da +20 vueltas y el engranaje B da +10 vueltas? (b) Si el brazo A da +10 vueltas y el engrane B +20 vueltas?

TABLA 16

Solución: (a) y (c)

p BC 

Vueltas absolutas del brazo Tren simple de engranajes Vueltas absolutas de los engranes

40 4  ; 30 3

Brazo +20 0 20

p BD  

B40 +20 -10 +10

40 30 x  1 30 40

30C30

40D

+20

+20 +10 +30 Resp.

TABLA 17 (b) y (c)

p BC 

40 4  ; 30 3

Vueltas absolutas del brazo Tren simple de engranajes Vueltas absolutas de los engranes

p BD  

Brazo +10 0 +10

40 30 x  1 30 40

B40 +10 +10 +20

30C30

40D

+10

-10 +10 0. Resp.

APLICACIONES PRACTICAS DE TRENES EPICICLOIDALES 8-6. Engranaje cónico diferencial para automóviles. Cuando un automóvil dobla una esquina las ruedas exteriores se mueven a través del arco de un círculo mayor que el de las ruedas del lado interior y en consecuencia recorren una distancia mayor en el mismo espacio de tiempo. Bajo estas circunstancias a la rueda impulsora exterior debe permitírsele girar más rápidamente que la rueda interior, si se quiere evitar que haya resbalamiento entre la tierra y una- de las ruedas impulsoras, aunque ambas -ruedas sean impulsadas por el mismo eje propulsor y, en cualquier otro instante, a la misma velocidad. Para llegar a este resultado se emplea un diferencial, uno de cuyos tipos, el engranaje cónico diferencial está ilustrado en la figura 8-10.

El engranaje cónico P está acoplado al eje impulsor, que sale de la parte trasera de la transmisión y gira con éste. P engrana con el engranaje cónico A, este último gira libremente alrededor del eje SL. A lleva las agarraderas C, las cuales a su vez llevan los pequeños engranajes cónicos B. Estos engranan con los engranes R y L, -que son engranajes cónicos acoplados a los ejes de las ruedas impulsoras derecha e izquierda respectivamente R y L tienen el mismo número de dientes, esto es; TR = TD.

8-3. Si B tiene 48 clientes, C 36 dientes, y el brazo da -8 vueltas mientras C da 0 vueltas, ¿cuántas vueltas da B? 8-4. Si B tiene 72 dientes y C 54 dientes, ¿cuántas vueltas da el brazo A cuando B da +40 vueltas y C -30 vueltas? 8-5. C tiene 10 dientes mientras B tiene 120. Si el brazo da +10 vueltas y el engrane anular B está fijo, (a) ¿cuántas vueltas da C? (b) ¿Cuántas veces giraría C si B giró -5 y las demás condiciones permanecen inalterables?

8-6. (a) Si A da +5 vueltas y B -5 vueltas, ¿cuántas vueltas dan C y D? (b) Si A da -5 vueltas y C +10 vueltas, ¿cuántas vueltas dan B y D? (c) Si B da +9 vueltas y D +6, ¿cuántas vueltas dan Ay C? 8-7. Los engranes C y D forman un engrane compuesto. (a) A da +4 vueltas y F +84 vueltas, ¿cuántas vueltas dan B, CD, y E? (b) B da +3 vueltas y F +55 vueltas, ¿cuántas vueltas da A, CD, y E?

8-8. El engrane DE es un engrane compuesto. Todos los engranes tienen el mismo número de paso. Si C da +33 vueltas, ¿cuántas da A?

8-9. Los engranes C y F están unidos rígidamente y giran juntos, 13 tiene 96 dientes, C 16, F 24, y D 32. (El anular G, mostrado por medio de líneas de puntos no se toma en cuenta en este problema) ¿Cuántas vueltas da D mientras el brazo da +6 vueltas y la rueda B + 12 vueltas? ¿Cuántas vueltas dan C y F? Si la distancia entre los ejes de B y C es de 14 pulgadas, ¿cuál es la distancia entre los ejes de B y D? (Los pasos circunferenciales de todos los engranajes son los mismos). 8-10. Los números de dientes de las diversas ruedas son como se establecen en el problema 8-9, los pasos circunferenciales son iguales. Suponga que se le agrega el engrane anular G para engranar con O, y su centro coincide con el de B. (a) ¿Cuántos dientes debe tener éste? (b) ¿Si G está fijo y el brazo gira +6 veces, ¿cuántas vueltas dará la rueda B? 8-11. Estando presente el engrane anular G como en el problema 8-10, suponga que una rueda simple (una intermedia) se sustituye por el par de ruedas C y F. (a) ¿Cuántos dientes debe tener este engranaje intermedio? (b) ¿Cuántas vueltas dará la rueda B mientras el brazo gira +6 veces?; el engranaje anular G está fijo 8-12. B tiene 40 dientes y D 90. (a) ¿Cuántos dientes tiene cada una de las ruedas C? ¿Cuántas vueltas dará el brazo A mientras (b) D gira +90 r.p.m. y B +300 r.p.m.? (c) ¿cuántas mientras D gira +100 r.p.m. y B -220 r.p.m.? (d) Si D está fijo y A da +20 vueltas, ¿cuántas vueltas dan B y C?

8-13. En el tren de engranaje revertido mostrado en la figura, (a) si S1 da +81 vueltas y S2 da +48 vueltas, ¿cuántas vueltas da S3, (b) si S1 da +80 vueltas y S2 -40 vueltas, ¿cuántas vueltas da S3?

8-14. El tren de engranaje revertido, mostrado en la figura, (a) si S1 hace +10 r.p.m. y S2 hace ---15 r.p.m., ¿cuántas r.p.m. hace S3? (b) sí S1 da -20 vueltas y S2 -30, ¿cuántas vueltas da S3? 8-15. En el tren epicicloidal mostrado en la figura, (a) ¿cuántas vueltas da D si A da +20 vueltas y B +10 vueltas? (b) ¿cuántas vueltas da B si A da +10 vueltas y D -10 vueltas? (c) ¿cuántas vueltas da A si B da +15 vueltas y D -30 vueltas?

8-16. El mecanismo mostrado en la figura es un indicador usado para decir cuál de los dos ejes impulsores está girando más aprisa El eje S1 está engranado al eje propulsor de estribor y S2 al eje propulsor de babor, de manera que cada uno gire con el mismo número de r.p.m. como lo hace el eje propulsor al cual está unido, (a) ¿qué diferencia en r.p.m. hay por 1 r.p.m. del indicador? (b) mirando de frente al dial, ¿en qué dirección gira el indicador cuando S2 está girando más rápidamente que S1? 8-17. En el tren de engranaje revertido mostrado en la figura, S1 da -100 r.p.m., ¿cuántas r.p.m. da S2?

8-18. En el tren de engranaje epicicloidal mostrado en la figura, ¿cuántas vueltas da el eje S2 cuando el eje S1 da +1350 vueltas? 8-19. En el mecanismo mostrado en la figura ¿cuántas r.p.m. da G? (a) si ambas correas son abiertas, (b) si la correa A es cruzada y la B es abierta (c) sí la correa A es abierta y B es cruzada (d) si las poleas A y B son intercambiadas y son correas abiertas.

8-20. En -el mecanismo mostrado en la figura (a) ¿cuántas r.p.m. da S1 cuando S3 está dando +105 r.p.m. y S4 +16 r.p.m. (b) ¿cuántas r.p.m. da S1 cuando S3 está dando -60 r.p.m. y S4 +32 r.p.m.?