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LINEAS DE INFLUENCIA

211

FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIA SOLUCIONARIO DE ESTRUCTURAS ISOSTATICAS

CAPITULO VII

Problema VII.1 La carga unitaria P=1 se desplaza sobre la barra horizontal mostrado en la estructura. Determinar: L.I.Ms-s = Línea de influencia de Momento flector en sección s-s. L.I.Qs-s = Línea de influencia de la fuerza Cortante en sección s-s. L.I.VD = Línea de influencia de la reacción de apoyo Vertical “D”. Figura VII.1

x

P=1

s 2m D

A

C

B VC

VA

3m

HD

s

3m

2.5m

VD

3m

6m

1. Reacciones de apoyo   M B  0 (A la izquierda de la articulación B) V A 3  P 6  x  V A 3  16  x 

VA 

6x 3

x6 x6

P=1

x

0

A

B

0 VA

x6

 MD 0  Es importante diferenciar que se hace uso de fracciones, remplazando 2.5 por 5/2.  23   29  V A    P  x   VC 6   0  2   2  6x  23   29   x   VC 6   0    1 3 x6  2   2  23 6  x    29  2 x   VC 6  0 6  2  x6 VC  

23 6  x  36

x6

 29  2 x     12 

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   FV  0 V A  P  VC  V D  0

6x 3

x6

23  29  2 x  6  x  1   36  12 

 VD  0 x6

23  29  2 x  6  x   6  x VD  1    36 3  12  x6 11  29  2 x  6  x  VD  1    36  12  x6

   FH  0

x6

HD  0

2. Funciones de líneas de influencias Signos: +Q +N

+M

2.1 Línea de influencia del Momento flector en la sección s-s. Analizaremos en la siguiente figura: P=1 x

A

C

B VA

3m

s

s

VC

3m

2.5m

6m

 La línea de influencia de Momento flector será respecto a la sección s-s, tomando todas las fuerzas que intervienen del lado izquierdo de esta sección:  19  L.I .M s  s  V A    P 12.5  x  x 12.5  VC 4   2  23  1  19  6  x    29  2 x 4 L.I .M s  s  6  x     1 12.5  x  x 12.5   3  12  x6  2  x6  36 19 6  x   12.5  x x12.5  23 6  x  4   29  2 x 4 L.I .M s  s  6 36  12  x6 x6 19 6  x   12.5  x x12.5  23 6  x    29  2 x  L.I .M s  s  6 9  3  x6 x6 29  2 x 11 6  x   12.5  x x12.5  3 18 x6 2.2 Línea de influencia de la Cortante en la sección s-s.  La línea de influencia de la Cortante será respecto a la sección s-s, tomando todas las fuerzas que intervienen del lado izquierdo de esta sección: L.I .M s  s 

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L.I .Q s  s  V A  VC  P

L.I .Q s  s 

1 6  x  3

x 12.5

 x6

23 6  x  36

11  29  2 x  6  x  L.I .Q s  s    36  12 

x6

 29  2 x    1  12 

 1 x6

x 12.5

x 12.5

2.3 Línea de influencia de la reacción de apoyo vertical D. En la obtención de la línea de influencia de la reacción de apoyo intervienen todas las fuerzas verticales de la estructura, entonces se tiene: 11  29  2 x  6  x  L.I .V D  V D  1    36  12  x6 L.I .V D 

12  29  2 x 11 6  x   12 36

 x6

2 x  17 11 6  x   12 36

x6

2 x  17 11 6  x  L.I .V D   12 36 x6 3. Calculo de las ordenadas de la línea de influencia

Resumen: L.I .M s  s 

29  2 x 11 6  x   3 18

 12.5  x x6

11  29  2 x  6  x  L.I .Q s  s    36  12  2 x  17 11 6  x  L.I .V D   12 36 x6

 1 x6

x 12.5

x 12.5

Realizamos la evaluación de las ordenadas: xm

L.I .M s  s

L.I .Q s  s

L.I .V D

0 3 6 8.5

+0.833 0.000 -0.833 0.000

+0.417 0.000 -0.417 0.000

12.5

1.333

14.5 17.5

0.000 -2.000

-0.417 0.000 +0.417 0.000 -0.667 +0.333 0.000 -0.5

0.667 +1.000 +1.5

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+0.417

4.1 Diagrama de L.I.VD

–0.417

4.2 Diagrama de L.I.Qs-s

+0.833

4.1 Diagrama de L.I.Ms-s

4. Diagramas de Líneas de Influencia

–0.417

+0.417

–0.833

+0.333

–0.667

+1.333

+1

+1.5

–0.5

–2

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Problema VII.2 La carga unitaria P=1 se desplaza sobre la barra horizontal mostrado en la estructura. Determinar: L.I.Ms-s = Línea de influencia de Momento flector en sección s-s. L.I.Qr-r = Línea de influencia de la fuerza Cortante en sección r-r. L.I.VA = Línea de influencia de la reacción de apoyo Vertical “A”. Figura VII.2.1 P=1

x

s

r

D

C

s

r 4m

4m

4m

VB

A

HA

2m

HB

B

VA

3m

10m

4m

1. Reacciones de apoyo   M C  0 (A un lado de la articulación C)

 MA 0

 V B 10   H B 4   P x  3  0  10V B  4 H B  1 x  3  0  10V B  4 H B  3  x ………………. (1)  V B 10   H B 2   P x  3  0  10 V B  2 H B  1 x  3  0  10 V B  2 H B  3  x …………….. (2)

Se forma el sistema:  10 V B  4 H B  3  x   10 V B  2 H B  3  x

Resolviendo:

HB  0 x3 VB  10

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   FV  0 V A  1  VB  0 x3 V A  1  VB  1  10 10  x  3 13  x VA   10 10 13  x VA  10

   FH  0

HA  HB  0 HA  HB  0

2. Ecuaciones de líneas de influencia Signos: +Q +N

+M

2.1 Línea de influencia del Momento flector en la sección s-s. L.I .M s  s   P9  x  x 9  V A 6  L.I .M s  s   1 9  x 

x 9

 13  x    6   10 

6 13  x   9  x x9 10 2.2 Línea de influencia de la fuerza Cortante en la sección r-r. L.I .Qr  r   1 x 7  V A L.I .M s  s 

13  x 10 2.3 Línea de influencia de la reacción de apoyo vertical A. 13  x L.I .V A  V A  10 13  x L.I .V A  10 3. Cálculos de las ordenadas de la línea de influencia L.I .Qr  r   1

x7



Resumen: 6 13  x   9  x 10 13  x L.I .Qr  r   1 x 7  10 13  x L.I .V A  10 L.I .M s  s 

x 9

Realizamos la evaluación de las ordenadas:

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xm

L.I .M s  s

L.I .Qr  r

L.I .V A

0 3

-1.2 0

+1.3 +1

7

+1.6

9 13 17 4. Diagramas de línea de influencia

+2.4 0 -2.4

+0.3 0 -0.4 +0.6 +0.4 0 -0.4

+0.6 +0.4 0 -0.4

s

4.1 Diagrama de L.I.Ms-s

+2.4 +1.6

D

C

s

–1.2

–2.4

B

A 4.2 Diagrama de L.I.Qr-r +0.3

r +0.6

D

C –0.4

–0.4

r

B

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4.1 Diagrama de L.I.VA +1.3

+1

D C

–0.4

B

A Problema VII.3 Determinar los máximos momentos flectores positivos M (+) y negativos M (-) generados en la sección s-s al desplazarse un sistema de carga móviles a lo largo de la horizontal. Figura VII.3.1 50 KN 4m

Sistema de cargas:

70 KN

3m

20 KN Desplazamiento

13 KN/m s

7m

P=1

x D

3m

A VA

C B

VC

1.5m

HA

2.5m

5m

s

VB

6m

4m

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A-1. Reacciones de apoyo  MA 0

 VC 13  V B 6   P  x  0  13VC  6 V B  1  x  0  13VC  6 V B  x 13VC  6 V B  x ………………… (1)   M D  0 (Lado derecho de la articulación D)  La carga puntual P móvil entra solamente del lado derecho de la articulación D.  VC 3  P x  10  x 10  0  3VC  1 x  10  VC 

x 10

x  10

 0  VC  

x  10

x 10

3

x 10

……………….. (2) 3 Remplazamos la ecuación 2 en la ecuación 1, se tiene:  x  10 x 10    6VB  x 13    3   13 x  10 x 10  3  6 V B  3 x 13 x  10 VB 

x 10

 18 V B  3 x

3 x  13 x  10

x 10

18

   FV  0

V A  1  V B  VC  0 VA  1 

VA  1 

   FH  0

3 x  13 x  10

x 10

18

1 x  10 3 1  x  10 3 

x 13  x  10 x 10 6 18 6x 7 VA   x  10 6 18

x 10

x 10

0

0

x 10

HA 0 A-2. Ecuaciones de línea de influencia del Momento flector Signos: +Q +N

+M

La ecuación de la línea de influencia esa: L.I .M s  s  V A 3  P 3  x  x 3 6  x 7  L.I .M s  s    x  10 x 10  3  1 3  x  6 18   6x 7 L.I .M s  s   x  10 x 10  3  x x 3 2 6

x 3



6x 3  7 x  10 6 18

x 10

3 

3 x

x 3

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A-3. Calculo de las ordenadas de las líneas de influencia Resumen: L.I .M s  s 

6x 7  x  10 2 6

x 10

 3 x

xm

L.I .M s  s

0 3 6 10 13

0 +1.5 0 -2 0

x 3

A-4. Diagrama de línea de influencia A-4.1 Diagrama de L.I.Ms-s

+1.5

D

–2

A

C

B

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B-1. Momento flector máximo positivo  Para hallar el momento máximo realizamos tanteos. B-1.1 Cuando P1=50 KN se ubica en x=3: 50 KN 70 KN

20 KN 13 KN/m

+1.5

x=3m

–0.5

x=7m –2

x=10m Calculamos el momento del tren de cargas con la siguiente relación:

M s  s  P1 L.I .M s  s  x 3  P2 L.I .M s  s  x 7  P3 L.I .M s  s  x 10   Area L.I .M s  s 

x 10

q x 3

Remplazando valores se tiene: 1 1  M s s  501.5  70 0.5  20 2    3  1.5  4  2   13 2 2  M s s  22.750 [KNm] B-1.2 Cuando P2=70 KN se ubica en x=3: 20 KN 70 KN

13 KN/m +1.5

x=3m x=6m Calculamos el momento del tren de cargas con la siguiente relación: M s  s  P2 L.I .M s  s  x 3  P3 L.I .M s  s  x 6   Area L.I .M s  s 

x 6

q x 0

Remplazando valores se tiene: 1  M s s  701.5  200    6  1.5  13 2  M s s  163.5 [KNm]

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B-1.3 Cuando P3=20 KN se ubica en x=3: 70 KN

20 KN 13 KN/m +1.5

x=3m Calculamos el momento del tren de cargas con la siguiente relación: M s  s  P3 L.I .M s  s  x 3   Area L.I .M s  s 

Remplazando valores se tiene: 1  M s s  201.5   3  1.5  13 2  M s s  59.25 [KNm] El Momento máximo positivo es:

x 3

q x 0

M  s s  163.5 [KNm]

Cuando P2 =70 KN se ubica en x=3. B-2. Momento flector máximo negativo  Para hallar el momento máximo realizamos tanteos. B-2.1 Cuando P2=70 KN se ubica en x=10: 50 KN

70 KN

20 KN

13 KN/m

x=6m –2

x=10m x=13m

Calculamos el momento del tren de cargas con la siguiente relación: M s  s  P1 L.I .M s  s  x 6  P2 L.I .M s  s  x 10  P3 L.I .M s  s  x 13   Area L.I .M s  s 

x 13

q x 6

Remplazando valores se tiene: 1  M s s  500   70 2   200    7  2   13 2  M s s  231 [KNm]

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B-2.2 Cuando P1=50 KN se ubica en x=10: 50 KN 13 KN/m

–2

x=10m x=13m

Calculamos el momento del tren de cargas con la siguiente relación: M s  s  P1 L.I .M s  s  x 10   Area L.I .M s  s 

Remplazando valores se tiene: 1  M s s  50 2    3 2   13 2  M s s  139 [KNm] El Momento máximo negativo es:

x 13

q x 10

M  s s  231 [KNm]

Cuando P2=70 KN se ubica en x=10.

“Cada fracaso le enseña al hombre algo que necesita aprender”

Anónimo

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