• Author / Uploaded
• J Luis Carlos E

• Categories
• Condensador
• Corriente eléctrica
• Capacidad
• Electricidad
• Resistividad Eléctrica y Conductividad

Citation preview

CAPITULO V CONDENSADORES Y DIELECTRICOS 5.1 INTRODUCCION La intensidad de campo (no la configuración del campo) que rodea un condensador con una carga. La superficie externa del conductor es una superficie equipotencial del campo que se forma. El valor el potencial es V y podemos referimos a V como el potencial del conductor, puesto que todos los puntos están a este potencial. Una variación de carga en el conductor provoca una variación de un potencial y significa que se produce una cierta cantidad de trabajo. No significa que ello que una misma variación de carga de dos conductores aislados entre si (separadas) provoque la misma variación de potencial ambas. La relación entre el potencial y la carga de un conductor dependa del medio que lo rodea, tanto como pueda depender de la forma y el tamaño del conductor. El efecto de todos estos factores queda incluido en el concepto de un conductor aislado.

5.2 CAPACITANCIA Sabemos que el potencial eléctrico de una esfera de radio R y de carga Q

Si la esfera está rodeada por un dieléctrico, tendremos en su lugar, reemplazando

La relación

es entonces,

por

que es una cantidad constante independiente de la carga

. Esto

es comprensible porque si el potencial es proporcional a la carga que lo produce, la razón de la dos debe ser una constante. Esta última preparación es válida para todo conductor cargado cualquiera que sea su forma geométrica. Definimos la capacitancia de un conductor aislado como el cociente entre su carga y su potencial

La capacitancia de un conductor esférico es entonces, (5.1)

Si la esfera eta rodeada por el vacío en un lugar de un lugar dieléctrico aumenta su capacitancia en el factor

esto se debe al efecto de pantalla que hacen las cargas opuestas que se han incluido

sobre la cargas sobre la superficie adyacente al conductor. Estas cargas reducen la carga efectiva del conductor disminuyendo su potencial en el mismo factor Unidad en el S.I. CV-1 unidad llamado farad (abreviado F) en honor a Michael Faraday. El farad se define como la capacitancia de un conductor aislado cuyo potencial eléctrico, después de recibir una carga de un coulomb es de un volt. La figura (5.1) muestra un caso más general aceptamos que pueden tener cualquier forma, y que tiene carga iguales y opuestas. Un dispositivo de esa forma se llama condensador, los conductores se llaman placas

Fig. (5.1)

Luego definiremos con propiedad un condensador. Se denomina condensador el sistema de dos conductores cargados con cargas de igual magnitud absoluta y de diferentes signo, y que están situados uno respecto del otro de tal manera y tienen una forma tal, que el campo creado por ellos está concentrado o localizado en un espacio limitado. Estos conductores se llaman armadura del condensador. Se denominan capacidad eléctrica mutua de dos conductores la magnitud igual a la carga Q que hay que trasladar de un conductor a otro para variar en una unidad la diferencia de potencial V1 – V2 entre ellos:

La capacidad mutua depende de la forma, dimensiones y situaciones de un conductor respecto al otro, y también del constante dieléctrico del medio en que se hallan.

5.3 POCRIZACION DE LA MATERIA Disentimos el efecto que un campo eléctrico produce sobre una porción de materia. Recordemos que los átomos no tienen momentos dipolares eléctricos permanentes debido a su simetría esférica, pero cuando se colocan en un campo eléctrico se polarizan, adquiriendo momentos dipolares eléctricos inducidos en la dirección del campo. Esto es una consecuencia de la perturbación del movimiento de los electrones producida por el campo eléctrico aplicado. Por otra parte, muchas moléculas presentan momentos dipolares eléctricos permanentes. Cuando una molécula tiene un momento dipolar eléctricos permanente, tiende a orientarse paralelamente al campo aplicado, porque sobre ella se ejerce un torque

→

→ → Fig. (5.2)

: Momento dipolar eléctrico. Como consecuencia de estos dos efectos, una porción de material colocada en un campo eléctrico se polariza. Es decir sus moléculas o atamos se convierten en dipolos eléctricos orientados en la dirección del campo eléctrico local; sea debido a la distorsión del movimiento electrónico sea debido a la orientación de sus dipolares permanentes.

N PN Fig. (5.2)

ǿ P

Un medio que puede polarizarse en un campo eléctrico que puede polarizarse en un campo eléctrico se llama dieléctrico. La polarización de lugar a una carga neta positiva sobre un lado de la porción de materia y a una carga neta negativa sobre el lado opuesto. De este modo la porción de materia se convierte en un gran dipolo eléctrico que tiende a moverse en la dirección en que el campo aumenta.

La polarización P de un material se define como el momento dipolar eléctrico del medio por unidad de volumen. Por lo tanto. Si P es el momento dipolar inducido en cada átomo o molécula y n es el número de átomo o moléculas por unidad de volumen, la polarización es:

→ Unidad

→

:(cm) m-3=cm-2, o carga por unidad de área

En general

→ es proporcional al campo eléctrico aplicado →,y la cantidad E , → también mide 0

en cm-2. Es costumbre escribir.

→ La cantidad

→

(5.3)

se llama susceptibilidad eléctrica del material. Este es un número puro. Para la

mayoría de las sustancias, esta cantidad es positiva. Un vector llamado desplazamiento eléctrico se acostumbra a escribir así:

→ →

→ →

→

(5.4)

→

→

(5.5)

Donde el coeficiente (5.6)

Se le llama permitividad del medio, y las unidades son las que

esto es m-3 kg-1s2c2

La permitividad relativa se llama constante dieléctrico siempre mayor que la unidad.

5.4 EFECTOS DE UN DIELECTRICOS La mayor parte de los capacitadores tienen entre sus placas un material solido no conductor o dieléctrico Un tipo normal de capacitador es el constituido por tiras de chapas metálicas, que constituyen las placas, separadas por tiras de papel parafinados o láminas de plástico como el MYLAR que actúan de dieléctricos.

Una combinación alternada de estos materiales y enrolladas forma una unidad compacta que puede proporcionar una capacitancia de varias microfaradas en un volumen relativamente pequeño. En los capacitores electrolíticos el dieléctrico es una película de un oxido no conductor situada entre una placa metálica y una disolución conductor. Debido al pequeño espesor del dieléctrico, capacitores electrolíticos de dimensiones relativamente pequeñas pueden llegar a tener capacitancias entre 100 y 100uf. La función de un dieléctrico solido entre las placas de un capacitor es triple. Primero resuelve el problema mecánico de mantener dos láminas de metal grandes con una separación extremadamente pequeñas, pero sin llegar a tener contacto. Segundo, cualquier material dieléctrico, sometido a un campo eléctrico suficientemente grande, experimenta una rotura dieléctrica, una irrigación parcial, que permita la conducción a través de un material que se supone aislador. Tercero la capacitancia de un capacitor de dimensiones dadas es mayor cuando hay un dieléctrico entre las placas que cuando estas separadas únicamente por el aire o el vacío, por ejemplo si tuviéramos un capacitador cargado con carga Q y una diferencia de potencial V0. Cuando se situando entre las placas una lámina de dieléctrico, como vidrio, parafina o poli estireno, se observa que la diferencia de potencial disminuye hasta un valor V, debido a que disminuye la intensidad de campo eléctrico, esto se explica así si tenemos el dieléctrico

- - - + ++ Fig. (5.3)

- + - ++ - + + + + - + - + +-+ - +-+-

Y lo situamos entre las placas del condensador, el campo eléctrico dentro del condensador, separa ligeramente las cargas positivas de la placas del centro de la carga negativa, haciendo que aparezca cargad en la superficie, la placas en conjunto aun cuando permanezca neutra, se polariza

+q Fig. (5.4)

-q - - - + ++ -

+ - + + + + + - + -+-+ +

+ + + +

→

Efecto neto es una acumulación de carga positiva en la cara derecha, y de carga negativa en la placa izquierda, como la placa en conjunto permanece neutra la carga superficial inducida negativa, en este proceso, los electrones en el dieléctricos se alejan de sus posiciones de equilibrio distintas que sus posiciones de equilibrio distintas que son mucho menores que un diámetro atómico. No hay transparencia de carga a distancias macroscópicas tal como la que ocurre cuando se hace pasar una corriente en un conductor La figura (5.5) muestra que las cargas superficiales inducidas aparecen siempre, de tal manera que el campo eléctrico producido por ellas (E’) se opone el campo externo E0. El campo eléctrico resultante en el dieléctrico E es la suma vectorial de E y E’ apunta en la misma dirección que E0 pero es más pequeña. Si se coloca un dieléctrico en un campo eléctrico, aparece carga superficial inducida cuyo efecto es debilitar el campo original dentro del dieléctrico. Este debilitamiento del campo se pone de manifiesto en la forma de una reducción de una reducción de la diferencia de potenciales entre las placas de un condensador aislado cuando se introduce un dieléctrico entre las mismas. Nuevamente si quitamos el dieléctrico, la diferencia de potenciales vuelve a su valor inicial, lo que demuestra que las cargas iniciales de las placas no han sido afectadas por la inserción del dieléctrico. La capacitancia inicial del capacitor C0, era:

Como no varía y se observa que V es menor que se deduce que C es mayor que relación entre C y se llama constante dieléctrico del material K

. La

Como C es siempre mayor que , la constante dieléctricas de todos los dieléctricos son mayor que la unidad, en la tabla (5.1) se dan algunos valores representativos de K. por definición, para el valor K=1, y para el aire K es tan próxima a la unidad aire es equivalente a uno en el vacío.

TABLA (5.1) constante dieléctrica K a 200 C MATERIAL

K

vacío

1

Vidrio

5-10

Mica

3-6

Mylar

3.1

Neopreno

6.70

Plexiglás

3.40

Polietileno

2.25

Cloruro de polivinilo

3.18

Teflón

2.1

Germanio

16

Titanio de estroncio

310

Dióxido de titanio(Rutilio)

173(1)

Agua

80

Coli

42.5

Amoniaco liquido (-720c)

25

Benceno

2.284

Aire(1 atm)

1.00059

Aire(100 atm)

1.0548

5.5 ENERGIA DEL CAMPO ELECTRICO Para cargar un conductor es necesario gastar energía porque, para suministrarla más carga, debe vencerla repulsión de las cargas ya presente. Este trabajo consideremos un conductor de capacitancia C con una carga Q. su potencial es

Si añadimos una carga

al conductor, trayendo desde el infinito, el trabajo hecho es

Este trabajo es igual al incremento E en la energía del conductor. Por consiguiente, usando el valor de V tenemos.

O sea:

El aumento de la energía del conductor cuando su carga se incrementa desde cero hasta el valor “a” (lo que es igual al trabajo hecho durante el proceso) es ∫

De acuerdo a lo anterior la energía potencial U de un condensador está dado por la relación

Que no viene a ser sino el trabajo requerido para cargar el condensador. Esta energía se entiende convenientemente como la energía almacenada en el campo con el condensador.

asociado

5.6 CALCULO DE CAPACIDADES a) capacidad de los condensadores de placas paralelas. Este tipo de condensadores constan de dos placas planas y paralelas (fig. 5.5) Separadas por una distancia muy pequeña en relación con sus dimensiones línea es, por lo que el campo eléctrico entre placas puede considerase uniforme. Si recordamos el campo eléctrico debido a un plano cargado y muy grande era →

El campo eléctrico de dos placas paralelas con cargas iguales y opuestas es en el interior la suma de los campos creados por sus respectivas cargas y en el exterior es nulo, en cualquier punto se superponen campos de igual magnitud pero de sentido contrario

+

-

+

-

+

-

+

E1

E2

→

+

-

+

-

E2

fig.(5.5)

Para dos planos se tiene pues: →

→

E1

También: ∫

∫

Multiplicando a ambos miembros por el área S de una sola placa obtenemos: ,

Luego en el vacío o el aire: Si colocamos un dieléctrico entre las placas, como hemos visto y esto se comprueba experimentalmente, la capacidad aumenta K veces: Luego:

b) capacidad de los condensadores cilíndricos. Las placas de los condensadores de este tipo son dos cilindros coaxiales fig.( 5.6) que no originan un campo uniforme, pero sí de simetría espacial cilíndrica. Suponiendo, como antes, que la distancia entre las placas es pequeña y que los conductores son suficientemente largas para poder despreciar el pequeño efecto que sobre la capacidad total tiene la torsión del campo en los extremos, llamaremos al radio del conductor interior y al radio conductor exterior y y los potenciales correspondientes, tenemos:

∮⃗

∫

La diferencia de potencial: ∫ ⃗ ∫ ⃗

Fig. (5.6)

∫

∫

∫

∫

∫

∫ Luego:

c) Capacidad de los condensadores esféricos. La armadura interna es una esfera de radio esfera de radio y su potencial es

, su potencial es

, la armadura externa es una

Fig.(5.7)

∫

∫

[

[

(

] (

)

) (

]

)

5.7 CONEXIÓN DE CONDENSADORES: CONEXIÓN SERIE. La figura (5.8) muestra un conjunto de condensadores conectados en serie. Las dos placas extremas de la cadena que se forma están conectadas a una fuente de energía que mantiene una diferencia de potencial constante entre los puntos 1 y 4. Aunque otras placas no están en contacto directo con los del generador, se cargan por inducción electrostática y cada condensador adquiere la misma carga, de manera que por estar en serie la carga es la misma en los condensadores.

Debe observase aquí que la placa negativa de un conducir se conecta a la positiva del próximo y así sucesivamente.

Fig.(5.8)

El condensador equivalente del sistema

De (1) y (2) En general: ∑

CONEXIÓN PARALELO En la asociación paralelo fig. (5.9), todas positivas se conectan a un punto común, y en las negativas también a otro punto común de modos los capacitores. En consecuencia si las cargas son debemos tener:

La carga total del sistema es:

Fig.(5.9)

El condensador equivalente del sistema es:

De (1) y (2)

En general ∑

TEOREMA DE LA TRAYECTORIA Consiste en el desplazamiento imaginario de una carga de prueba convencionalmente positivo a través del tramo de in circuito eléctrico. La carga de prueba al atravesar el condensador “ “pierde energía esto significa que se desplaza de mayor a menor potencial. Cuando la carga de prueba atraviesa la batería gana energía “E” cuando se desplaza del polo negativo al polo positivo, en caso opuesto perderá “-E” cuando pasa a través del capacitor “ “la carga de prueba se vuelve a perder energía. La caída de potencial a través del condensador es igual a:

Respecto al círculo mostrado en la figura, salimos del punto 1 y llevamos la carga “q” hasta el punto 4.

EFECTO PUENTE Cuatro capacitores están dispuestos como muestra la figura.

Se aplica una diferencia de potencial “V” entre los terminales A y B y se conecta un electrómetro “G” entre los puntos X e Y para determinar la diferencia de potencial entre ellos. El electrómetro marca cero si.

Esta es una disposición en puente que permite determinar la capacitancia de un capacitor en función de un capacitor patrón y del cociente entre dos capacitancias.

5.8 PROBLEMAS RESUELTOS: 1. Encontrar la capacidad y la carga de un condensador formado por dos placas paralelas separadas por el aire, con una superficie de 100 cada uno a una distancia de 5mm y una diferencia de potencial entre placas de

SOLUCION:

Condensador.

2. Encontrar la capacidad de un condensador cilíndrico, al aire, con una placa de y y una longitud de

SOLUCION:

3. A través de un condensador de placas paralelas, al aire, se mantiene una diferencia de potencial de la separación de las placas es de y su superficie . Encontrar la intensidad de campo y la carga del condensador. ¿Cuáles resultan ser los valores de dichas magnitudes, si una vez desconectado el condensador de su generador se rellena el espacio interplacas con parafina ?

SOLUCION: El campo eléctrico:

La capacidad de un condensador plano es:

De donde la carga del condensador será: Coulomb.

Al desconectar el condensador del generador y sustituir por parafina el aire entre las placas, la carga permanece constante.

La sustitución del aire por un dieléctrico aumenta la capacidad del condensador debiéndose sustituir por , tenemos:

Con la misma carga y mayor capacidad, la diferencia de potencial entre las placas será más pequeña:

La intensidad de campo será, en consecuencia:

4. Repetir el problema anterior, pero suponiendo que al poner la parafina, no se desconectan las placas del generador previamente. SOLUCION: La diferencia de potencial entre placas se mantendrá igual a la tensión del generador y, por tanto:

Al doblar la capacidad del condensador se dobla la carga almacenada

5. Un condensador de placas paralelas al aire separadas 2 cm, con una capacidad de 600 pF, se carga con una diferencia de potencial entre placas de 4 KV. Encontrar la energía almacenada en el campo eléctrico y la fuerza entre placas al disminuir su distancia a la mitad después de desconectar las placas del generador.

SOLUCION: Antes de mover las placas, la energía almacenad en el campo vale:

Y la intensidad de campo es:

Al dejar las placas a la mitad de la distancia anterior, según:

Se dobla la capacidad y, puesto que la carga, por estar aislada, permanece la misma, la tensión resulta ser la mitad, por tanto:

La energía del campo será:

Y la intensidad de campo:

6. Un condensador plano, cuyas placas tienen las dimensiones 25x25 cm2 y están separadas entre sí por la distancia d1 = 0,5 mm está cargada hasta una diferencia de potencial V1 = 10V y desconectado de la fuente. ¿Cuál sera la diferencia de potencial V2 si las placas se separan hasta la distancia de d2 = 5mm?

SOLUCIÓN La carga q del condensador después de separar las placas no varía, por consiguiente.

, (y) De aquí obtenemos:

7. Hallar la carga en cada uno de los condensadores de capacidad C1, C2 y C3 cuyo esquema de acoplamiento se de en la fig. (5.10) La f.e.m de la batería es igual a E.

SOLUCIÓN

La capacidad y la carga del sistema de tres condensadores son:

Las diferencias de potencial en los condensadores C2 (acoplamiento paralelo); por consiguiente:

y

C3 son iguales entre sí

La mismas carga que circula por el circuito luego esta carga es igual a la carga q1 de C y también esta carga es igual a la carga suma de q2 y q3

y De donde

8. En el esquema representado en fig. (5.11), la capacidad de la batería de condensadores no varía cuando se cierra el interruptor K. Determinar la capacidad del condensador Cx.

SOLUCIÓN

Las capacidades de la batería de condensadores con el interruptor K abierto y cerrado son: K abierto:

C en serie con 2C

Cx en serie con C

K cerrado: C // Cx

y

2C //C

Luego: en serie el total

Por dato del problema la capacidad del sistema no varía. Igualamos estas expresiones:

De donde se obtiene:

9. hallar la diferencia de potencial entre los puntos a y b en el circuito representado en la figura (5.12).

SOLUCIÓN

Pero:

Como:

Como:

10. Hallar la diferencia de potencial entre los puntos a y b en el circuito representado en la fig. (5.13)

SOLUCIÓN

11. Un condensador de placas paralelas tiene la región entre estas llena con una placa dieléctrica de constante dieléctrica K. las dimensiones de las placas son anchura W y longitud l, y la separación entre ellas es d. El condensador se carga mientras esta conectado a una diferencia de potencial ( ), después de lo cual se desconecta. La plancha de dieléctrico se seca ahora parcialmente en la dimensión l hasta que solo quede la longitud x entre las placas. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas del condensador? b) ¿Cuál es la fuerza que tiende a regresar a la plancha de dieléctrico a su posición original? SOLUCIÓN

Desconectando y sacando el dieléctrico.

La diferencia de potencial en las placas

b) Se tiene que:

Luego:

Y

[

(

(

) ]

)

12. se construye un condensador de placas paralelas con un dieléctrico compuesto; una hoja de dieléctrico de permitividad y espesor , se coloca en la parte superior de una segunda hoja de dieléctrico (permitividad , espesor ). La combinación se coloca entre las placas conductoras paralelas que están separadas por una distancia . ¿Cuál es la capacidad del condensador por unidad de área de placas? SOLUCIÓN

13. Un condensador de 20uf está cargado a una diferencia de potencial de 100V. Las armaduras del condensador cargado se conectan a las de un condensador descargado de 5 uf, calcular: a) b) c) d)

La carga inicial del sistema. La diferencia de potencial entre las armaduras de cada condensador. La energía final del sistema. La disminución de energía cuando se conectan los condensadores.

SOLUCIÓN

a) La carga inicial del sistema es la carga del condensador cargado dado por

b) Como tenemos conexión paralela, la capacidad equivalente del sistema de los dos condensadores estará dada por la relación.

Y como la carga total del sistema permanece fija, se deduce que la nueva diferencia entre las armaduras de cada condensador sera:

c) La energía final del sistema obviamente sera:

d) Como la energía inicial era precisamente la del condensador cargado de capacidad entonces antes de la conexión de los condensadores.

Por lo tanto la disminución de energía electrostática luego de la conexión sera:

14. Un condensador de 1 uf y otro de 2 uf se conectan en serie a una red de suministro de 1200 V. a) Calcular la carga de cada condensador y la diferencia de potencial entre las armaduras de cada uno de ellas. b) Los condensadores cargados se desconectan de la red y ellos entre sí, y se vuelven a conectar con las armaduras del mismo signo unidas. Calcular la carga y el voltaje de cada uno. SOLUCIÓN

a) Como los condensadores están conectados en serie, la capacidad equivalente C del sistema estará dado por la relación.

La carga de cada condensador será: q1 = q2 = C Vab = x 10-6 x 1200 = 8x10-4 C

y la diferencia de potencial entre las armaduras de cada condensador serán: V1 =

=

= 800 V

V2 =

=

= 400 V

b) Si los condensadores se desconectan entre sí y de la red de suministro, entonces las cargas remanentes en cada condensador han de ser tal que al reconectarse con sus armaduras del mismo signo unidas, la carga total del sistema seguirá siendo: Q = q1 q2 = 16x10-4 C y la nueva re – distribución de cargas se hará de tal forma que los condensadores C1 y C2 adquieren respectivamente las cargas finales q1’ y q2’ que satisfagan las relaciones. q1’ + q2’ = Q = 16 x 10-4

(y)

q2’ = 2 q1’

ya que C2 = 2 C1

Por consiguiente resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene que: q1’ =

x 10-4 C

(y)

x 10-4 C

q2’=

Finalmente la nueva diferencia de potencial entre las armaduras de cada condensador ha de ser obviamente

V1’ =

=

=

x 102 V

(y)

V2’ =

=

= V1’ =

x 102 V

15. Un condensador de 1 uf y otro de 2uf se conectan en paralelo a una línea de 1200 V. a) Calcular la carga de cada condensador y su voltaje. b) Los condensadores cargados se desconectan de la red y ellas entre sí, y se vuelven a conectar con las armaduras de distinto signo juntos. Calcular la carga final de cada uno y su voltaje.

SOLUCIÓN a) Los condensadores conectados en paralelo a una línea de 1200 V. C1 a

b

C2 La capacidad equivalente C = C1

C2 = 3 x 10-6 F

La diferencia de potencial es la misma, V1 = V2 = Vab = 1200 V q1 = C1 V1 = 10-6 x 1200 = 1,2 x 10-3 C q2 = C2 V2 = 2x10-6 x 1200 = 2,4 x 10-3 C

b) Si los condensadores se desconectan entre sí de la red de suministro, las cargas remanentes de cada condensador han de ser tales que el reconectarse con sus armaduras del mismo signo unidas , la carga total del sistema seguirá siendo: Q = q1 + q2 = 3,6 x 10-3 C y la nueva redistribución de cargas se hará de tal forma que los condensadores C1 y C2 adquieran respectivamente las cargas finales q1’ y q2’ que satisfagan las relaciones. q1’ + q2’ = Q’ = q2 - q1 = 1,2 x 10-3 q2’ = 2 q1’, ya que C2 = 2C1 Por lo tanto resolviendo el sistema de ecuaciones resulta que q1’ = 0,4 x 10-3 C

(y)

q2’ = 0,8 x 10-3 C

Finalmente la nueva diferencia de potencial entre las armaduras de cada condensador ha de ser obviamente. V1’ =

=

= 400 V

(y)

V2’ =

=

= V1’ = 400 V

16.- En el acoplamiento de condensadores mostrados en la figura. Hallar la capacidad e quivalente entre a y b. 2uf

2uf

a

1uf

2uf

b 2uf

2uf

SOLUCIÓN 2uf

1uf 1uf

1uf

=1 2uf

2uf 2uf 1uf

2uf

2uf

2uf

2uf 1uf

1uf

2uf 2uf 2uf

2uf

17. Dos condensadores de capacidades iguales “C”, están conectados en paralelo, cargados a una tensión “V1” y después aislados de la fuente de tensión. Se introduce un dieléctrico constante “K” en uno de los condensadores, de modo que llena completamente el espacio entre las placas. Calcular: a) la cantidad de carga verdadera que pasa de uno al otro y b) la tensión final en los condensadores en función de C, V y K. SOLUCIÓN

Inicial: V1 = V1 = Q + Q = QT = 2 Q C

C

Final: V2 = V2

,

Pero:

= (1)

= De donde:

C=

(2)

(2) en (1) = 2Q ,

Por otra parte:

Pero:

,

luego

18. Determinar la diferencia de potencial entre las placas del condensador cuya capacidad es de 2 uf.

SOLUCIÓN 4uf

2uf 3uf

a 120 V

b

La capacidad equivalente:

La carga total “QT”

QT =

QT = CT VT

(1)

(120 V) x 10-6 f = 5.2 x 10-4 coul.

Sea Q1 la carga almacenada en el condensador de capacidad Ceq1 y Q2 la carga almacenada en el condensador de capacidad C3 = 3 uf.

Los potenciales para ambos son iguales, de tal manera que: V1 = V2;

=

; el arreglo siguiente es adecuado para los pasos siguientes.

Sabemos también: Q1 = Q1

Q2 = 5.2 x 10-4 coul.

19.- En el circuito eléctrico mostrado determinar la carga acumulada por cada condensador.

SOLUCIÓN

C1

E1

C1 = 2 uf

E2

C2 = 4 uf C2 +q

1

E1 = 35 V -q

2

E2 = 5 V

2 uf q

5V

35 V

+q

-q

4 4 uf

3

Luego:

Reemplazando: 35 – 5V = La carga acumulada:

q = 40 uC

20.- En el circuito eléctrico mostrado. Hallar la carga acumulada por cada condensador la capacidad “C”

SOLUCIÓN E1

C

E2 q

C

E3

C

E1 = 15 V E2 = 10 V E3 = 7 V C = 20 uf

=0

150 V + 10 V – 7 V = 3 Q = 120 Uc

21.- El espacio entre las placas o armaduras de un condensador plano contiene dos dieléctricos de constantes dieléctricas K1 y K2 y espesores d/2, cada uno (ver fig.) Demostrar que la capacidad eléctrica del condensador está dada por la relación: (

) d/2 d d/2

V= V1 + V2 En serie:

⁄

⁄

⁄

⁄

22.- Un condensador planos de placas paralelas separadas por una distancia d contiene dos materiales dieléctricos de constantes dieléctricas, K1 y K2 dispuestos tal como se muestra en la fig. Demostrar que la capacidad del condensador está dado por la relación.

SOLUCIÓN

-q

d

q

C = C 1 + C2 =

⁄

⁄

C= C=

5.9.- PROBLEMAS PROPUESTOS 1. En el acoplamiento de condensadores mostrado en la figura. Hallar la capacidad equivalente entre a y b. C

C

a C

C

C

C

C

b C

C

C

2.- Encuentre la capacitancia del capacitor mostrado en la figura. El dieléctrico tiene la constante “K” y el área de la placa es “A”. METAL

a

AIRE

b

DIELECTRICO METAL

3.- Hallar la fórmula para la energía almacenada por unidad de volumen, del campo eléctrico, entre las placas, de un condensador de placas paralelas, cuando está lleno de un cierto dieléctrico. 4.- Las placas de un condensador, tiene cada una como área 12.56 cm2, están separadas 2 mm. Si tiene una carga de 50 stc. Hallar la energía almacenada. (El dieléctrico es aire) 5.- Estando un condensado conectado en forma permanente a una batería. ¿Qué ocurre con la energía en el condensador si se introduce una plancha dieléctrica de constante “K” de modo que llene todo el espacio. 6.-entre las placas cilíndricas de un condensador de r1=0.5 cm, que tiene la segunda placa separada 2 cm se aplica una diferencia de potencial de 200 KV. El dieléctrico está constituido por tres capas de igual intensidad disruptiva Edis = 200 KV/cm y distintas constantes dieléctricas relativas E1= 4, E2=4 y E3= 2. Encontrar la intensidad de campo máximo y mínima en cada dieléctrico, si el diseño del dieléctrico se ha efectuado para trabajar en condiciones óptimas de aislamiento. Dibujar en coordenadas cartesianas las curvas E ( ) para cada dieléctrico. 7. un condensador de placas paralelas al aire separadas 2 cm, con una capacidad de 600 pF, se carga con una diferencia de potencial entre las placas de 4KV. Encontrar la energía almacenada en el campo eléctrico y la fuerza entre las placas al disminuir su distancia a la mitad después de desconectar las placas del generador. 8. un condensador de placas paralelas al aire, a distancia del= 0.5 cm y superficie de 3 600 cm2 se carga a V =5 KV y después se desconecta el generador. Encontrar la variación de energía del campo y la fuerza entre placas, si se separan hasta 0.6 cm.

CAPITULO VI CORRIENTE Y RESISTENCIA 6.1. INTRODUCCION. Se ha dicho que cuando estudiábamos electroestática que un cuerpo eléctrico ejerce e ciertas fuerzas sobre las partículas cargadas que están en su seno. Si el campo eléctrico se mantiene en un conductor, las partículas cargadas que tienes un movimiento térmico eléctrico adquieren una componente de velocidad a lo largo de las líneas de fuerza del campo que se les aplica.

6.2. CORRIENTE ELECTRICA. Se denomina corriente eléctrica todo desplazamiento ordenado de cargas eléctricas en el espacio. El movimiento ordenado de cargas libres que urge en un conductor bajo la acción de un campo eléctrico, se denomina corriente de conducción. El movimiento ordenado descargas eléctricas se puede realizar desplazando por el espacio un cuerpo cargado (conductor o dieléctrico). Esta corriente eléctrica se denomina de convección (así tenemos, por ejemplo, la corriente debida al movimiento de la tierra según su órbita, que posee carga negativa). Se considera que el sentido de la corriente eléctrica es el del desplazamiento de las cargas positivas. En la realidad, en los conductores metálicas, la corriente eléctrica la crea el movimiento de los electrones en sentido contrario al de la corriente. Se denomina intensidad de la corriente (en la electrotecaria simple corriente) a través de una superficie S, la magnitud I igual a la primera derivada de la carga q que pasa a través de esta superficie, con respecto al tiempo; o también simplemente corriente instantánea:

La corriente se dice que es continua, si su intensidad y sentido no varían con el tiempo. Para la corriente continua tenemos que :

; es la corriente media en el tiempo t.

q = carga eléctrica total que ha pasado a través de una sección S del medio conductor. T = tiempo.

La intensidad de la corriente continua es igual a la carga que pasa a través de la superficie S por unidad de tiempo. La corriente I es una característica de un conductor dado. Es la cantidad macroscópica, como la masa de un objeto, o la longitud de una varilla. Una magnitud microscópica relacionada con la anterior es la densidad de corriente J. Es un vector y es la característica de un punto dentro de un conductor; no es la característica del conductor en conjunto. Si la corriente está distribuida uniformemente te a través de un conductor de sección transversal S, la magnitud de la densidad de corriente, para todos los puntos de esas sección transversal es

El vector J en un punto cualquiera está orientado en la dirección en que los portadores positivos de carga se moverían en ese punto. Un electrón en ese punto se movería en la dirección –j. La intensidad I de corriente eléctrica también se define como el flujo del vector densidad de corriente j a través de una sección del conductor: ∫ Siendo ds un elemento de área superficial y la integral se toma en toda la superficie en cuestión. La unidad MKS de la intensidad de corriente eléctrica es el coulomb por segundo y se denomina amperio; luego: Amperio =

o

A=

6.3. VELOCIDAD DE ARRASTRE El movimiento de los electrones libres (o de conducción) en hilo metálico (conductor), bajo la influencia de un cuerpo eléctrico E, se frenado debido a los choques inclasticos con las partículas “fijas” del metal (iones) y con los otros electrones, su movimiento es por lo tanto una sucesión de aceleraciones y frenadas, pero adquieren cierta velocidad media denominada velocidad limite o de arrastre. La velocidad de arrastre Vd o de desplazamiento de los portadores de carga es un conductor puedes calcularse a partir de la densidad de corriente J. La fig. (5.1) muestra los electrones de conducción en un alambre moviéndose hacia la derecha a una velocidad supuesta constante Vd.

Fig. (5.1) los electrones se mueven en sentido contrario al campo eléctrico en un conductor. La carga total sale por el extremo derecho del conductor es: q= Ne N= número de portadores de carga N= nSl

n= número de portadores (electrones) de carga por unidad de volumen. e= carga de los portadores (electrones) S= área transversal del conductor. l = longitud del conductor. Escribimos:

q=neSl.

Del movimiento uniforme: e=vt para nuestro caso tenemos: l =Vdt

La corriente:

6.4. LEY DE OHM. Cuando se aplica un campo eléctrico a un dieléctrico, este se paraliza. Pero si el campo se aplica en una región donde hay cargas libres, estas se ponen en movimiento resultando una corriente eléctrica en lugar de la polarización del medio. El campo acelera las cargas, que de este modo ganan energía. Cuando en el interior de un cuerpo existen cargas libres, tales como electrones en un metal que forman la red cristalina del metal. Consideramos por ejemplo, un metal con los iones positivos regularmente dispuestos en tres dimensiones, como en la figura (5.2). Los electrones libres se mueven ene le campo eléctrico que muestran la misma periodicidad que la red, y durante sus

Movimientos son frecuentemente dispersados por el campo. Para describir este tipo de movimiento electrónico debemos utilizar los métodos de la mecánica cuántica. Debido a que los electrones se mueven en todas direcciones, no hay transporte neto de cargas o sea no hay corriente eléctrica. Sin embargo si se aplica un campo eléctrico, un movimiento de arrastre se superpone al movimiento natural al azar de los electrones resultando una corriente eléctrica. Parece natural suponer que la intensidad de la corriente debe estar relacionada con la intensidad del campo eléctrico; y que esta relación es una consecuencia directa de la estructura interna del metal. Como guía para obtener esta relación, vamos a remitirnos primero a los resultados experimentales. Una de las leyes físicas que es quizás más familiar al estudiante es la ley de OHM, la cual establece que, en un conductor metálico a temperatura constante, la razón de la diferencia de potencial V entres dos puntos a la corriente eléctrica I es constante. Esta corriente se llama resistencia eléctrica R entre los dos puntos del conductor. Por lo tanto podemos expresar la Ley de O hm:

Esta ley formulada por el físico alemán Gerg Ohm (1787-1854), la siguen con sorprendente precisión muchos conductores en un amplio inérvalo de valores de V, de I y de temperatura del conductor. Sin embargo, muchas sustancias especialmente los semiconductores, no la obedecen. En la ecuación (5.7) vemos que R se expresa en volt/amperio o m2kgS-1C2, unidad llamada ohm, abreviado. Así, un ohm es la resistencia de un conductor por el cual pasa una corriente de un amperio cuando se establece entre sus extremos una diferencia de potencial igual a un volt. Consideremos un conductor cilíndrico de longitud l y sección transversal S.

V= RI, también, V = Ed= El puesto que el campo eléctrico a lo largo del conductor es

Entonces:

A la cantidad

se le llama conductividad eléctrica (constante) del material.

El inverso de la conductividad es la resistividad

UNIDADES: para Para

se expresa en en

Como J y E son vectores, podemos escribir: ⃗ Formula conocida como la ley de ohm microscópica. La conductividad del material determina la conductancia del conductor, es decir su aptitud para dejar pasar corriente bajo la influencia del campo eléctrico. (la conductividad es una propiedad eléctrica del material) La conductancia G del conductor:

Unidades: G siemens Mantener una corriente en un conductor requiere un gasto de energía. También se debe gastar energía para acelerar un ion en un acelerador o en un tubo electrónico, pero hay una diferencia. En el acelerador toda la energía se emplea en aumentar la velocidad de los iones. En un conductor, debido a la interacción entre los electrones y los iones positivos de la red cristalina, la energía de los electrones se transfiere a la red, aumentando su energía vibraciones. Esto conduce a un aumento en la temperatura del material, y constituye el bien conocido efecto-calórico de una corriente, llamado efecto Joule. La potencia necesaria para mantener la corriente en el conductor es:

Para aquellos conductores que siguen la ley de Ohm, V=RI, escribimos:

Reemplazando:

9. Un material conductor en forma cubica de lado a, tiene una conductividad que varia linealmente, a lo largo del eje Y; ella vale en la cara X=0 y en la cara x=a. Calcular la resistencia del material, cuando se le conecta como muestra en la figura. SOLUCION

La densidad de corriente

a una distancia y de la cara de conductividad

Como varia linealmente:

Cuando: y=o , Cuando: y = a, Luego:

(

)

es:

De (1) y (2):

(

)

La diferencia potencial: ∫

∫

(

)

10. Halle la resistencia de aislamiento de una longitud “l” de cable coaxial. SOLUCION

∫

∫

∫

11. A una esfera metálica de radio b con cavidad esférica de radio a, se le aplica una diferencia de potencial V entre el interior y el exterior de tal forma que influye una I radial uniforme: Hallar la potencia que se disipa. SOLUCION:

La potencia :

∫

(

∫

)

(

)

12. Dado el vector J=1000sen er(a/ ) en coordenadas esféricas. Hallar la corriente que cruza el casquete esférico de 6.3 csm de radio.

SOLUCION:

∫

̅ ∫

∫ ( )

̅

13. Una cocinilla eléctrica de 8 de resistencia, absorbe 15 amperios. Hallar la potencia calorífica que desarrolla expresando el resultado en kilowatts y en calorías por segundo. Calcular además el corto de funcionamiento en 4 horas a 0.5 soles por kilovatio horas.

SOLUCION: I)

La potencia desarrollada por la cocinilla es

Calculo de la potencia en calorías por segundo-> (cal/s) Como

Luego convirtiendo los 1800w. entonces

(

II)

Cálculo del corto en soles.

)

14. ¿Qué intensidad de campo eléctrico es necesario para crear la misma densidad de corriente en un conductor de aluminio de 1 cm de diámetro y que transporta una corriente de 200 amperios de intensidad? SOLUCION:

Por consiguiente, como la conductividad eléctrica del Al es: , la intensidad del campo eléctrico E será:

6.6 PROBLEMAS PROPUESTOS 1) El devanado del estator de una máquina de C.C. parada, es de 0.1 (ohmio) a 20 °C. Cuando la maquina marcha a plena carga la resistencia del mismo devanado es de 0.12 (ohmio). ¿Cuál es la temperatura a que trabaja el devanado? 2) una bobina de diámetro D=127 mm tiene N=2000 vueltas de hilo de 2 mm de diámetro, de cobre. Calcular la resistencia de la bobina a 0.20; y 60 °C. 3) La resistencia de los dos cables de una línea de dos kilómetros, con una sección de 50 mm2, es de 2.5 a la temperatura de 40 °C. ¿De qué material es el conductor(cobre, aluminio o acero)? 4) Dos generadores de corriente continua suministran 96 000 Kw/hora de energía eléctrica a una carga común en el curso de un mes, trabajando las 24 horas del dia. Se deja fuera de servicio el primero de los generadores durante 10 dias para mantenimiento y pequeñas reparaciones y durante este tiempo el watímetro conectado a la carga marca el consumo de 24 000 Kw/hora.

Encontrar la potencia y la f.e.m. de cada generador, si el amperímetro del primer generador marca un valor de 500 amperios y el amperímetro del segundo generador 100 amperios. 5) Calcular la densidad de corriente que pasa por los conductores de conexión de un generador de C.C. con su carga, si la sección del cable es de S=10mm2 y la energía diaria suministrada es de 120 Kw/h a 100 V. 6) Un horno eléctrico de resistencia igual a 10 se conecta a un generador que da V=120 V en bornes del horno, mediante una conexiones a base de conductor de aluminio de 50 y 10 mm2 de sección. Encontrar la potencia que suministra el generador , que tiene una resistencia interna r0 = 0.1(ohmio) y expresar la energía eléctrica suministrada en dos horas. 7)

Encontrar la intensidad y resistencia de un elemento calefactor de características nominales 300 w y 120 V.

8) Con una tensión de 30 V en bornes, un acumulador se carga con 4 amperios durante 6 horas ¿Cuál es el valor de la energía eléctrica almacenada por el acumulador, sabiendo que un 10 por ciento de la energía suministrada se pierde en forma de calor en las conexiones y resistencia interna del propio acumulador. Se suponen constantes la f.e.m. y la intensidad del acumulador durante todo el periodo de carga?