Capitulo Vi: Proporcionalidad Y Semejanza
Prof. Abner Chinga Bazo GEOMETRÍA CAPITULO VI: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA Objetivos: Establecer el concepto de raz
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Prof. Abner Chinga Bazo
GEOMETRÍA
CAPITULO VI: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA Objetivos: Establecer el concepto de razones y proporciones entre segmentos. Conocer teoremas que nos permitan relacionar las longitudes de algunos segmentos en base a la proporcionalidad. Conocer la definición de triángulos semejantes y establecer las relaciones entre las longitudes de sus elementos homólogos. Introducción En la vida cotidiana muchas veces se presentan problemas, que, en base a conocimientos elementales podemos resolverlos, como por ejemplo: se puede calcular el ancho aproximado de un río sin necesidad de cruzarlo; calcular aproximadamente la altura de un poste, un edificio o lo que hizo Thales hace mucho tiempo, al calcular la altura de una pirámide en Egipto comparando la sombra que ésta proyectaba con la sombra que proyectaba una pértiga (estaca) de altura conocida. Todo esto estará relacionado con los temas que en este capítulo se desarrollará.
I.
Teorema de Thales Tres o más rectas determinan sobre dos o más rectas paralelas secantes, segmentos cuyas longitudes son proporcionales. l1
A
M
Si : PQ // AC P
Q
A
III. Teorema de la Bisectriz Interior y Exterior de un Triángulo En todo triángulo, la bisectriz ya sea interior o exterior determina sobre el tercer lado dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a las longitudes de los lados que forman el ángulo de donde se traza dicha bisectriz. 1. Bisectriz Interior
l3
B
C
C
D b
V. Teorema de Menelao En todo triángulo al trazara una recta secante, se determina seis segmentos sobre los lados de dicho triángulo, donde el producto de las longitudes de tres segmentos no consecutivos es igual al producto de las longitudes de los otros tres segmentos.
P
II. Propiedad Si una recta es paralela a un lado de un triángulo e intercepta a los otros dos, determina en ellos segmentos cuyas longitudes son proporcionales.
A
C
Relación de Descartes
VIII. Propiedad En todo triángulo, dos vértices y los pies de las bisectrices, interior y exterior, que parten del tercero constituyen una cuaterna armónica.
Recta secante
F
A
2. Bisectriz Exterior B
C
c
A
D
I.
Definición Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y las longitudes de sus lados correspondientes proporcionales.
y
52
52
a'
c'
z
A
k
a
c
m
B'
n
A x
E
B
n
m IV. Teorema del Incentro En todo triángulo, el incentro divide a cada bisectriz en dos segmentos cuyas longitudes son proporcionales a la suma de las longitudes de los lados que forman el ángulo de donde se traza dicha bisectriz y a la longitud del tercer lado.
C
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
B C
G
VI. Teorema de Ceva En todo triángulo al trazar tres cevianas concurrentes, se determinan seis segmentos sobre los lados del triángulo, el producto de las longitudes de tres segmentos no consecutivos es igual al producto de las longitudes de los otros tres segmentos. m n k xyz
mc n a
AD AE DC CE
C
n
m
1 1 2 AC AD AB
D
B
E
A
B
a
c
N AB MN BC NP
VII. División Armónica Si A, B, C y D son cuatro puntos colineales tales que: AC/CB = AD/BD (“C” y “D” dividen a AB, interior y exteriormente en la misma razón numérica), el segmento AB se dice que está dividido armónicamente por C y D. Los puntos “C” y “D” se llaman conjugados armónicos uno del otro con respecto de A y B y los cuatro puntos A, B, C y D, se dice constituyen un alineación o cuaterna armónica. AC AD CD BD
B
a l2
y
AE BF CG EB FC AG
ms n a
a I
C
B
x
c
BP BQ AC QC
A
x a c y b
l1 // l2 // l3
GEOMETRÍA
B
B
A
Segmentos Proporcionales
Proporcionalidad y Semejanza
C
A'
b
* m A = m A’ * m B = m B’
C
b'
C'
Prof. Abner Chinga Bazo
GEOMETRÍA
* m C = m C’ *
3.
II. Elementos Homólogos Se llaman elementos homólogos en triángulos semejantes a aquellos elementos que tengan las mismas características y se opongan a ángulos congruentes. Si dos triángulos son semejantes todos sus elementos homólogos son proporcionales. B
3
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.
10
ABC
c
3
b) 3
3
d) 6
3
e) 2
6
A
m
H
C A
an Q
A
m3
(m-2)2
m-2
3
2 F
P
a c
2 2
n.b
(m 2). 2
m.b
3m resumiendo: m = 6 Pero: x 2 = m(m - 2) x2 = 64 x=2 6
2° RM
h
2
m.n
02.En
la
PQ
a .c b. h 4° RM 2
c
2
b
R
x
figura
x=
2
52
52
ab ab
03. En la figura: Hallar “r” si: es
bisectriz,
C
b
en el ABC (por Thales)
(m 2) m
CQ
E
a
Luego en el ABC: QR // AC BRQ = X = 2Q el PQR (isósceles) PQ QR x
además
PE EC ; AC b y BC a . Hallar
3° RM
a
B
Por propiedad: AQ bn y QB an
B
ABC = 90 también CPA = 90 Por semejanzas:
Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente congruentes.
Dos triángulos son semejantes cuando tienen un ángulo respectivamente congruentes y las longitudes de los lados que forman a dicho ángulo respectivamente proporcionales.
x
m
1° RM
2
bn
b
III. Casos de Semejanza
c) 6
E
n
ab ab
P
C
a
h
c)
C
P
a) 2
x
A' B' C '
F
ab ab ab e) ab b)
C'
hb R a b c k h ' T a ' b' c' b
A
7
C
E
2ab ab ab d) ab
E
B
C
A
2.
6
5
A
a)
B
12
h b' r A'
01.En la figura mostrada AB y AC son diámetros de la semicircunferencia. Hallar: AE , si FP = 2 y PB = 3
14
R
Q
4
B'
~
B
PROBLEMAS
12
* ABC A’B’C’ * El símbolo se lee “es semejante a”
hb
GEOMETRÍA P
9
a b c k razón de semejanza a' b' c'
1.
Proporcionalidad y Semejanza
an an bn x b
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GEOMETRÍA
Proporcionalidad y Semejanza
GEOMETRÍA
AB 12 u
a
r2
r
b
E
F 1
6
A
B
r1
b) 1,5 e) 4,5
c) 2,5
5
m
ab a) ba ab 7a 6 b ab d) 7 b 6a
ab b) 7b a
c)
M
a) 48 d) N.A.
b
b) 8 e) N.A.
n 6
F m 1
m 4 ................. (I) n r mn 5 ........... (II) n r (I) en (II)
m 5 1 n r
4 5 1 r r 1 1 r r=1 04. Hallar: EF en función de a y b
A
a
a x m a ................... (I) 7 m x 7
M
A
Del gráfico:
b x n 6 ........... (II) 6 n x b
x
APC ~ H
C b
Luego: MBH ~ ABC
a x ab xx7 12 b 12
Sumando (I) y (II)
m 7 x a n 6 x b
AB en “p”
BCP
r 8 6 2R 6.8 r.R 2 07. Hallar la longitud de la bisectriz BD si “D” es punto de tangencia: y BF 6 u
BC 15 u B
06. Hallar: r x R si: BC 6 u y AC 8 u F
mn 7 b 6a x ab
A
Pero: m + n = 1 Luego:
x
BQ 2 R , PC
C
Q
5 12
r
6
R
8 O
R B
Del gráfico: Del gráfico:
P
c) 7
Por dato: ab = 84 MHCA (inscriptible) BMH = HCA = BHM = MAC =
x n
c) 24
C
a) 9 d) 10
E
r
b) 12 e) 16 B
ab e) 7 b 6a
H
A
a
O
5
m
4
C
R
r
a) 1 d) 2,1
P
B
05. Hallar: MH , si: BH x AC = 84u2 y
a) 4 d) 2
ab 7 b 6a 52
52
C
D
5
b) 2
5
e) N.A.
10
c) 3
10
Prof. Abner Chinga Bazo
GEOMETRÍA Si : L1 // L2 // L3 // L4 // L5
B 6 F
x
A
15
a
C
D
08. En
6 x x 15
la
figura
a)10 d) 4,8
x=3
mostrada,
AB 8
y
C
E
b) 6 e) 2
c) 3
A
x
EF . Si AB = 6 m, BC = 4m, DE - EF EF c) 8
E
C
32
Sea: A = °, luego; BEA = ABC Luego: ABE ~ ABC
8 x=2 32 8
a) 195 d) 225
b) 4
c) 7
d) 8
a .b c
B E
A
c) 3 cm
b) 150 e) N.A.
M
b) 0,8 e) N.A.
c) 4,4
14. DE / / BC, hallar AD, BC = 6; EC = 5,6; AB = 8
A
E
a) 2 d) 7
N
C
b) 2
c) 3
d) 4
A B
“x” para que MN sea paralela a AC ?
A
a) 4
b) 5
N
c) 6
d) 7
C
D
b) 13 e) 16
c) 14
16. ABCD es un cuadrado de lado 24. HN / / AD; AM = MD. Hallar ON C
e) 8
12. Sobre la base “b” de un triángulo escaleno de altura “h” se inscribe un rectángulo cuyos lados son como 1 : 4. Hallar el lado mayor del rectángulo.
52
E
a) 12 d) 15
M
c) 3
15. En la figura AB = ED/3, BC = 9, CD = 6. Hallar ED
e) 5
x+2
52
b) 2,5 e) N.A.
11. De la figura : AM x 1 ; MB x 2 , NB = 6, NC = x – 3. ¿Qué valor puede tomar
e) 9
F
C
B
B
E 5
C
D
a) 2,8 d) 3,2
c) 210
A
3
7
01. En la siguiente figura, calcular los valores de “a”,
E
AD
BE , si EC = 10, ED =
= 10
10. De la figura mostrada, hallar BN , si MN / / AC y AC = 16; MN = 4; BC = 12
a) 1
b) 17 c) 16 d) 17,5 e) 19,2
PROBLEMAS
“b” y “c”, y halle :
6,
e) 3,6
b) 2 cm e) 6 m
06. En el siguiente gráfico, hallar EF .
2
13. En la figura hallar
B
05. En un triángulo ABC, AB = 2BC y AC = 8m. Calcular la longitud que debe prolongarse el lado AC par intersecarse con la bisectriz exterior del vértice B. a) 2
a) bh/(4h+b) b) 4bh/(4h+b) c) 4bh/(b–4h) d) 4bh/(h+4b) e) bh/(h+b)
D
03. En un triángulo ABC, AB = 15, BC = 13 y AC = 14. Se traza la bisectriz interior BD . Hallar :
a)18,2
d) 2
09. Un triángulo tiene sus lados que miden 10, 13 y 15. Hallar el lado mayor de otro triángulo semejante cuyo perímetro mide 570.
EC
c) 5
a) 4 m d) 4 cm
a) 2,5 b) 5,5 c) 6,5 d) 7,5 e) 8 04. En un triángulo ABC, AB = 15, BC = 13 y AC = 14. Se traza la bisectriz interior BE . Hallar :
c) 3,2
b) 6 e) 12
b) 4
AD
B 8
y
b) 1,5 c) 3,5 d) 6,2 e) 3,1
08. Si un momento de 15 metros de altura proyecta una sombra de 20 cm. ¿Cuál será la sombra proyectada por un poste vertical de tres metros, a la misma hora?
BC , y sobre la secante S2 los segmentos DE
a) 2 d) 4
a) 4 d) 2
5
= BC. Calcular la longitud de
B
x
a) 3
02. Las rectas paralelas L1, L2 y L3 determinan sobre la recta secante S1 los segmentos parciales AB y
10
si
b) 6,4 e) 7,2
GEOMETRÍA
07. En un triángulo ABC, BD es bisectriz interior. En los triángulos ADB y BDC, DE y DF son también respectivamente, bisectrices interiores. AE = 5; EB = 15; BF = 12. Hallar FC.
L1
L2 6 L 3 c L4 4 L
b
AC 32 . Hallar: “x”
A
8
3 5
inscrito semi inscrito F = BDC = FDB = BCD = = BFD ~ BDC Luego:
a) 2,2
Proporcionalidad y Semejanza
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GEOMETRÍA C
21. Hallar AB.
O
H
N
A
D
a) 6 d) 12
b) 8 e) 16
A
c) 9
17. En la figura, ADEF es un cuadrado. AB = 6 m; BC = 10 m. Hallar el lado del cuadrado. B
9
a) 12 d) 16 22. Hallar BH
c) 17
a) 3 d) 12/7
b) 4 e) 6
b) 3 e) 6
A
19. En un triángulo ABC, AB = 5m; AC = 8 m. Se toma sobre BC un punto M de tal manera que BM = 4m. Si : m BAM = m ACB. Calcular a) 5,6 m d) 1,8 m
b) 6,4 m e) 6,2 m
a) 2,2 d) 4, 8
AM
A P C
C
A
b) 23 e) 21,2
c) 24
a) 9 d) 14
c) 6, 8
b) 10 e) 16
O
b) 12 e) 15
A
b) 2 e) 5
c) 10
1
34. Los lados de un triángulo miden 9, 16 y 18. ¿Qué longitud “x” se debe restar a cada lado, para que el triángulo resultante sea triángulo rectángulo? a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
C
4
b) 2 e) 5
a) 9 d) 15
52
b) 5 225 e) 1 275
P
r
Q
F
B b) 10 e) 8
c) 12
36. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos están en relación de 4 a 5. Hallar la relación de dichos catetos.
1125
x
52
c) 3
A
c) 3
600
a) 4 225 d) 2 225
c) 15/13
O
30. Hallar “x”
b) 12 u y 16 u d) 15 u y 20 u
c) 3
b) 30/13 e) 20/13
E
a) 1 d) 4
25. La altura de un triángulo rectángulo determina en la hipotenusa segmentos de 18 u y 32 u. Calcular los catetos . a) 20 u y 30 u c) 30 u y 40 u e) N.A.
a) 1 d) 4
x D
c) 12
35. En el gráfico, hallar el valor del radio, si : AE= 9; FB = 16. Además el arco PQ = 90º
B
M N
R
c) 12
29. Hallar x2 .
B
a) 14 d) 11 N
C
24. Hallar R, si : OP = 6; ON = 8
20. En el triángulo ABC, MN // AC , AB = 60; BN = 28 y NC = 17. Hallar AM
M
C
b) 2, 4 e) 9, 6
c) 3,2 m
B
h
A
H
b) 9 e) N.A.
32. Los lados de un triángulo miden 8, 15 y 16. ¿Cuánto se debe quitar cada lado para que al final resulte un triángulo rectángulo?
a) 60/13 d) 10/13
20
15 8
B
33. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12 cm. Hallar la altura relativa a la hipotenusa. B
6
b) 74, 67, 89 d) 75, 65, 80
c) 360/41
28. Hallar h
B
18. Siendo los lados de un triángulo de 19, 21 y 25 cm. Hallar los lados de otro triángulo semejante, cuyo perímetro es 195 cm. a) 57, 75, 63 c) 21, 39, 45 e) N.A.
c) 4
C
b) 360/21 e) N.A.
23. Hallar BH
c) 24/7
a) 6 d) 15
H
a) 360/11 d) 360/31
C
9
H
r A
B
A
1
R
c) 1,5
B
a) 2 d) 5
C
F
b) 1 e) N.A.
31. Hallar AB; si : R = 12; r = 3
27. Hallar BH, si AB = 9; BC = 40
b) 15 e) 20
A
A
a) 11,3 d) 22,6
16
H
a) 0,5 d) 2
C
E
D
GEOMETRÍA
26. Los lados de un triángulo miden 4, 5 y 6. ¿Cuántos hay que disminuir a cada lado para que el nuevo triángulo sea rectángulo?
B
M
Proporcionalidad y Semejanza
c) 6 225
a) 2/5 d) 5
b) 2/5 e) N.A.
c) 3/5
Prof. Abner Chinga Bazo
GEOMETRÍA
Proporcionalidad y Semejanza
37. Hallar el radio del círculo menor, si R = 36 y r = 9. PQ es tangente .
r R Q P a) 1 d) 6
b) 2 e) N.A.
c) 4
38. Si : AF x EF = 32, hallar BE. B F
A
E
C
H
a) 4 d) 9
b) 6 e) N.A.
c) 8
39. Hallar R, si : AC = 3u; BD= 4u C R
A
B
O
D
a) 5 d) 8,5
b) 2,5 e) 9,5
c) 7
40. Si : AO = OB = 16. Hallar “x” A x
B
O
a) 4 d) 12
b) 6 e) N.A.
c) 8
52
52
GEOMETRÍA