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• Bruno Cannobbio

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(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN FORMA PARAMÉTRICA ⎧⎪ x = f ( t ) f:⎨ ; t ∈ ⎡⎣a, b⎤⎦ = y g t ( ) ⎪⎩ De la regla de la cadena dy dy dt = dx dt dx dt En donde se puede calcular despejando " t " de dx x = f ( t ) , lo que no siempre es fácil y en ocasiones es dt imposible. Otra forma de calcular es usando la derivada dx de la función inversa, por la cual, dt 1 = dx dx dt de donde, sustituyendo en la regla de la cadena, se llega a: dy dy dy 1 dy dt dy g ' ( t ) = ⇒ = ⇒ = dx dt dx dx dx dx f ' ( t ) dt dt Ejemplo. Dada la siguiente función, obtener la derivada ⎧⎪ x = 2t 2 − t f:⎨ ; t≥0 ⎪⎩y = + t − 1 i) Por medio de la fórmula obtenida. ii) Eliminando el parámetro " t " y derivando el resultado.

dy : dx

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Ejemplo. Dadas las ecuaciones paramétricas de la cicloide: ⎧⎪ x = 2 (θ − senθ ) ⎨ ⎪⎩ y = 2 (1− cos θ ) dy π calcular la derivada y evaluarla para θ = . dx 4

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Ejemplo. Calcular la derivada

dy dx

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para función siguiente

en el punto donde t = 0 : ⎧⎪ x = ang cot 1− t f:⎨ ⎪⎩y = ang tan 1+ t

DERIVADAS DE ÓRDENES SUPERIORES Sea una función f definida en un cierto intervalo ( a, b ) . Entonces, su derivada f ' es a su vez otra función definida en un subconjunto de dicho intervalo, y la operación puede repetirse, obteniéndose la segunda derivada que también es una función definida en un subconjunto del intervalo ⎡⎣a, b⎤⎦. Para denotar a las derivadas sucesivas de órdenes superiores, se emplean los siguientes símbolos: dy d2 y y = f ( x) ; y ' = = f ' ( x ) ; y '' = = f '' ( x ) dx dx 2 d3 y y ''' = = f ''' ( x ) ; … dx 3 x3 Para ilustrar esto, considérese la función f ( x ) = definida 3 en el intervalo ( −2,2 ) y sean sus tres derivadas sucesivas: ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

f '( x ) = x

2

;

f '' ( x ) = 2 x

;

f ''' ( x ) = 2

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todas ellas definidas en el mismo intervalo. Sus gráficas son: y x3 y= 3

x

dy = x2 dx x d2 y = 2x dx 2

x

d3 y =2 dx 3

x Si se obtuviera la cuarta derivada, a partir de ella todas tendrían como valor cero, las cuales seguirían siendo una función pero su gráfica sería sobre el eje de las abscisas. En cambio hay funciones que se dice que son “infinitamente derivables” 1 1 − 23 2 − 35 10 − 83 3 f ( x ) = x ; f ' ( x ) = x ; f '' ( x ) = − x ; f ''' ( x ) = x 3 9 27 dy d2 y d3 y y = senx ; = cos x ; = − senx ; = − cos x dx dx 2 dx 3 Ejemplo. Obtener las dos primeras derivadas de la siguiente función y evaluarlas para x = 2 . x y= x+2 ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR PARA FUNCIONES IMPLÍCITAS Ejemplo. Calcular la primera y segunda derivadas de las siguientes funciones: i) x 2 + y 2 = 1 ; ii) 2 x + xy = 5 − y

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DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR PARA FUNCIONES REPRESENTADAS EN FORMA PARAMÉTRICA

⎪⎧ x = f ( t ) Sea la función f : ⎨ ⎪⎩y = g ( t ) Como ya se vio la primera derivada, es decir, a partir de:

dy , se obtiene dx

dy dy dt = dx dx dt Por otro lado, lo que se pretende es calcular la segunda derivada, esto es, d2 y d ⎛ dy ⎞ = dx 2 dx ⎜⎝ dx ⎟⎠ dy está en términos del parámetro " t " entonces, Como dx para aplicar la expresión anterior, es necesario aplicar la regla de la cadena. Así, d2 y d ⎛ dy ⎞ dt = dx 2 dt ⎜⎝ dx ⎟⎠ dx pero ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

entonces

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dt 1 = dx dx dt

d ⎛ dy ⎞ d2 y dt ⎜⎝ dx ⎟⎠ = dx dx 2 dt Para obtener la enésima derivada de orden superior, se tiene que: dny d ⎛ dn−1y ⎞ = ⎜ ⎟ dx n dx ⎝ dx n−1 ⎠ Se aplica la regla de la cadena y se llega a: d ⎛ dn−1y ⎞ ⎜ n−1 ⎟ dny d ⎛ dn−1y ⎞ dt dny dt ⎝ dx ⎠ = ∴ = ⎜ ⎟ dx dx n dt ⎝ dx n−1 ⎠ dx dx n dt

Ejemplo. Obtener las tres primeras derivadas para la función representada en forma paramétrica como sigue: ⎧ x = 5cos θ ; 0 ≤ θ ≤ 2π f:⎨ = 3 θ y sen ⎩

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Ejemplo. La ecuación cartesiana de la Hipocicloide o Astroide está dada por la expresión: 2 3

2 3

2 3

x +y =a y se representa paramétricamente mediante las ecuaciones: ⎧ x = a cos3 t f:⎨ 3 ⎩ y = asen t Determinar el valor de su primera y segunda derivadas cuando a x=y= 2 2 i) A través de la forma implícita ii) Con la forma paramétrica

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DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. DERIVADAS LATERALES La derivada de una función f está dada por el límite: Δy f ' ( x ) = lim Δx → 0 Δx y geométricamente es la pendiente de la recta tangente a la curva que representa gráficamente a la función, en un punto determinado. Es obvio pensar que la derivada existe si el límite existe y, como se había externado antes, el límite existe si los límites laterales existen y si además son iguales. Luego es posible definir las derivadas laterales mediante los correspondientes límites laterales. Definición. Sea una función f . Entonces, su derivada lateral por la izquierda está dada por: Δy f−' ( x ) = lim− Δx → 0 Δx si el límite existe. Definición. Sea una función f . Entonces, su derivada lateral por la derecha está dada por: Δy f+' ( x ) = lim+ Δx → 0 Δx si el límite existe. Teorema. Sea una función f . Una condición necesaria para la existencia de su derivada en un punto es que sus derivadas laterales existan y sean iguales, esto es, f ' ( x0 ) ⇒ f−' ( x0 ) = f+' ( x0 ) RELACIÓN ENTRE LA CONTINUIDAD Y LA DERIVABILIDAD Sean las funciones:

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⎧ ⎪cos x f1 ( x ) = ⎨ ⎪⎩ 1 ⎧ x2 f2 ( x ) = ⎨ ⎩x

si

−

si

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π

≤x≤0 2 0