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Tema 7 – Flexión lateral. Pandeo.

Apuntes de la asignatura Elasticidad y Resistencia de Materiales II

José María García Terán (PTEU) Departamento de Construcciones Arquitectónicas, Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras e Ingeniería del Terreno

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID

Tema 7- Flexión lateral. Pandeo.

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Tema 7 – Flexión lateral. Pandeo.

Índice 7.1. Introducción. ............................................................................................................................ 2 7.2. Estabilidad de equilibrio elástico. Noción de carga crítica. ..................................................... 2 7.3. Pandeo de barras rectas de sección constante sometidas a compresión. Fórmula de Euler. ........................................................................................................................................ 5 7.3.1. Caso de barra empotrada libre...........................................................................................5 7.3.2. Caso de barra biarticulada.................................................................................................7 7.3.3. Caso de barra Articulada-empotrada.................................................................................9 7.3.4. Caso de barra biempotrada..............................................................................................11 7.4. Valor de la carga crítica según el tipo de sustentación de barra. ........................................... 13 7.5. Límites de aplicación de la fórmula de Euler......................................................................... 14 7.6. Fórmula empírica de Tetmajer para la determinación de las tensiones críticas en columnas intermedias............................................................................................................. 16 7.7. Método de los coeficientes ω para el cálculo de barras comprimidas. .................................. 17

7.1. Introducción. Aunque el comportamiento de los materiales sometidos a tracción ya es conocido, si la solicitación sobre el prisma es de compresión, su respuesta es tanto más distante de la correspondiente a un esfuerzo de tracción cuanto mayor es la relación entre la longitud de la barra y la dimensión recta de la sección, es decir cuanto más esbelta sea la pieza. Si la esbeltez de la viga recta sometida a compresión es grande, al alcanzar la carga un cierto valor crítico, el eje de la pieza abandona su forma recta y adquiere curvatura. El fenómeno por el cual una pieza recta sometida a compresión flexa, se denomina flexión lateral o pandeo. También se observa que si se someten a compresión piezas rectas de la misma sección y material pero de diferentes longitudes, la carga que produce el cambio de forma de la línea media es menor cuanto mayor es la longitud del prisma, y que una vez producido el cambio de forma si la carga de compresión sigue aumentando lentamente, las deformaciones que se producen en la pieza crecen muy rápidamente. De lo anterior se deduce que al llegar el estado de carga a alcanzar una magnitud crítica, la pieza prismática deja de estar en equilibrio estable, por lo que el problema de pandeo es un fenómeno de inestabilidad elástica. 7.2. Estabilidad de equilibrio elástico. Noción de carga crítica. Para entender el comportamiento de una columna cargada a compresión, inicialmente se va a analizar el modelo siguiente, supongamos una barra rígida OA articulada en el extremo fijo O y con un resorte de constante k en el punto A que la mantiene vertical.

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Tema 7 – Flexión lateral. Pandeo.

Si el extremo A sufre un pequeño desplazamiento x respecto de la posición de equilibrio, y desaparece la causa que produce el desplazamiento, la barra vuelve nuevamente a su posición vertical. A este tipo de comportamiento se le denomina estable, puesto que desaparecida la causa que produce el desplazamiento, el sistema vuelve a su configuración inicial. Si sobre la barra se aplica una fuerza vertical hacia abajo, ésta genera un momento respecto del punto O que es equilibrado por el momento de la fuerza del muelle, Fx = kxl

El equilibrio del sistema se mantendrá, y por lo tanto será estable mientras se cumpla la condición de que el momento de la fuerza vertical sea menor que el momento de la fuerza recuperadora del muelle, o bien que la fuerza F aplicada sea inferior a un cierto valor crítico (kl).

Fx < kxl ⇒

F < kl

Superado ese valor, se pierde el equilibrio estático y el sistema deja de ser estable. Este comportamiento se aplica también a una columna sometida a una carga de compresión P tal como muestra la figura. x

P

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x

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Para el estudio de pandeo se considerarán las siguientes hipótesis: •

La carga P está aplicada sobre el eje longitudinal de la viga.

•

El plano de estudio es principal de inercia, y las tensiones que aparecen son de compresión, de magnitud,

σ=

Nx A

•

Para pequeños valores de P, la columna permanece recta sin que aparezca pandeo.

•

Cuando es sistema se hace inestable, flexa debido al efecto de la carga a compresión.

•

Debido a que el planteamiento corresponde a una teoría de segundo orden, el estudio del equilibrio se realiza sobre la deformada de la viga (no cumpliéndose el principio de rigidez relativa).

La reducción de las fuerzas interiores al centro de gravedad de la sección de estudio a una cierta distancia x viene dada por la resultante P y el momento resultante Mz = -P y.

En el estudio de pandeo se va a tener en cuenta la flexión debido al momento flector (M). Como se aprecia de la expresión anterior, al aumentar la deformación de la columna a flexión (y) aumenta el momento flector que actúa en la sección (M); y si aumenta este momento flector, aumenta la deformación; por lo que se genera un proceso de inestabilidad que lleva el sistema al colapso. Al valor de la carga de compresión en la que comienza el proceso de inestabilidad se le denomina carga crítica de pandeo. La experiencia demuestra que mientras la carga de compresión es inferior a la carga crítica de pandeo, las deformaciones producidas por efecto de flexión lateral son inexistentes, pero cuando alcanza el valor crítico, la columna pierde su estabilidad y la deformación a flexión aumenta rápidamente produciendo la rotura.

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7.3. Pandeo de barras rectas de sección constante sometidas a compresión. Fórmula de Euler. Se estudian a continuación los cuatro casos clásicos de pandeo estudiados por Euler.

7.3.1. Caso de barra empotrada libre. Se considerará una barra recta de sección constante, empotrada en un extremo y libre en el otro, sometida a compresión mediante una fuerza P. x

x

x

z

Si consideramos la configuración deformada de la viga, existe un momento flector de magnitud, M = P ( f − y)

luego la ecuación diferencial de la elástica es,

M⎫ ⎪ dx 2 EI ⎬ ⇒ M = P ( f − y )⎪⎭ d2y

=

d2y dx

2

=

P ( f − y) ⇒ EI

d2y dx

2

+

P P f y= EI EI

correspondiente a una ecuación diferencial no homogénea de segundo orden que se puede reorganizar,

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P⎫ EI ⎪⎪ ⎬ ⇒ d2y P P f⎪ + y= EI ⎪⎭ dx 2 EI k2 =

d2y dx

2

+ k2y = k2 f

y cuya solución es composición de la solución de la ecuación diferencial homogénea más una solución particular, y = A sen(k x ) + B cos(k x ) + f

en la que aplicando las condiciones de contorno,

x=0 ⇒ x=0 ⇒

y = 0 ⇒ 0 = A sen(0) + B cos(0) + f = B + f

⇒

⎧ y' = A k cos(k x ) − B k sen(k x ) ⎫ y' = 0 ⇒ ⎨ ⎬ ⇒ ⎩0 = A k cos(0) − B k sen(0) = A k ⎭

B=−f A=0

luego la ecuación de la deformada es, y = A sen(k x ) + B cos(k x ) + f ⎫ ⎪ A = 0⎬ ⇒ B = − f ⎪⎭

y = − f cos(k x ) + f = f [1 − cos(k x )]

Si se aplica la condición de contorno de que para el extremo libre la flecha es f en el instante en que comienza el pandeo, se tiene, x=l

⇒

y= f

⇒

f = f [1 − cos (k l )] ⇒ cos (k l ) = 0

o bien sustituyendo,

P⎫ ⎛ P ⎞ ⎪ l⎟ = 0 ⇒ EI ⎬ ⇒ cos⎜⎜ EI ⎟⎠ ⎝ ⎪ cos(k l ) = 0⎭ k2 =

P π l = (2n + 1) 2 EI

con n = 0,1,2,3,...

donde n es cualquier número entero mayor o igual a 0. El menor valor de P que lleva al sistema hasta el colapso es la carga crítica de Euler, y aparece cuando n = 0, luego, Pcrit . π l= 2 EI

⇒

Pcrit . =

π 2 EI 4l 2

de forma que cuando la carga P adquiere el valor crítico Pcrit., el equilibrio estable de la pieza se convierte en inestable, y la ecuación de la elástica es, y = f [1 − cos (k x )]

Si se consideran los valores n=1, n=2, …, se obtienen, Pcrit . 1 = 9

π 2 EI 4l 2

=

π 2 EI ⎛l⎞ 4⎜ ⎟ ⎝3⎠

2

Pcrit . 2 = 25

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π 2 EI 4l 2

=

π 2 EI ⎛l⎞ 4⎜ ⎟ ⎝5⎠

2

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correspondientes a cargas mayores a la crítica, y en las que aparecen deformadas tales como las de las figuras, que carecen de interés técnico al ser modos producidos posteriormente al pandeo.

El estudio se realiza en un sistema de referencia definido por los ejes principales de inercia de la sección y el eje longitudinal (x, e1, e2), por lo que la carga crítica de pandeo vendrá determinada por el valor mínimo, que aparece con el menor valor del momento de inercia de la sección (I2), Pcrit . =

π 2 EI 2 4l 2

luego la carga crítica de pandeo se obtendrá con el momento de inercia mínimo de la sección (I2) y la deformada se produce en el plano perpendicular (x- e1) al eje (e1) de momento de inercia mínimo. 7.3.2. Caso de barra biarticulada. Se considerará una barra recta de sección constante, articulada en sus extremos sometida a compresión mediante una fuerza P.

x

x

Si tenemos en cuenta la configuración deformada de la viga, existe un momento flector de magnitud, M = −P y luego la ecuación diferencial de la elástica es,

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Tema 7 – Flexión lateral. Pandeo.

M⎫ ⎪ dx 2 EI ⎬ ⇒ M = − P y ⎪⎭

d2y

=

d2y dx 2

P y ⇒ EI

=−

d2y dx 2

+

P y=0 EI

ecuación diferencial homogénea de segundo orden, en la que si se denomina,

P⎫ EI ⎪⎪ ⎬ ⇒ d2y P + y = 0⎪ 2 ⎪⎭ EI dx k2 =

d2y dx

2

+ k2y = 0

y cuya solución es, y = A sen(k x ) + B cos(k x )

en la que aplicando la condición de contorno, x=0 ⇒

y = 0 ⇒ 0 = A sen(0 ) + B cos (0 ) = B ⇒

B=0

y se tiene,

y = A sen(k x ) + B cos(k x )⎫ ⎬ ⇒ B = 0⎭

y = A sen(k x )

El valor máximo de la deformada (f), al ser una constante (A) multiplicada por una función acotada (seno), aparece cuando, y max . = f

sen(k x ) = 1⎫ ⎬ ⇒ y = A sen(k x )⎭

⇒

f =A

luego la ecuación de la deformada es y = f sen(k x )

o bien sustituyendo,

P⎫ ⎪ EI ⎬ ⇒ y = f sen(k x )⎪⎭

⎛ P ⎞ y = f sen⎜⎜ x ⎟⎟ EI ⎝ ⎠

k2 =

Aplicando en ella la segunda condición de comportamiento, se obtiene,

x=l

⇒

⎛ P ⎞ y = 0 ⇒ 0 = f sen⎜⎜ l ⎟⎟ ⇒ ⎝ EI ⎠

⎛ P ⎞ sen⎜⎜ l ⎟⎟ = 0 ⇒ ⎝ EI ⎠

P l = nπ EI

con n = 1,2,3,...

donde n es cualquier número entero mayor o igual a 1. El menor valor de P que lleva al sistema hasta el colapso aparece cuando n = 1, luego la carga crítica de Euler es, Pcrit . l =π EI z

⇒

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Pcrit . =

π 2 EI z l2

Tema 7 – Flexión lateral. Pandeo.

de forma que cuando la carga P adquiere el valor crítico, el equilibrio estable de la pieza se convierte en inestable, y la ecuación de la elástica es, ⎛ P ⎞ y = f sen⎜⎜ x ⎟⎟ EI ⎝ ⎠ Si se consideran los valores n=2, n=3, …, se obtienen, Pcrit . 1 = 4

π 2 EI l2

=

π 2 EI ⎛l⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

Pcrit . 2 = 9

2

π 2 EI l2

=

π 2 EI ⎛l⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠

2

correspondientes a cargas mayores a la crítica, con deformadas tales como las que aparecen en las figuras, que carecen de interés técnico.

Nuevamente, el plano en que se produce el pandeo vendrá determinado por el valor mínimo de la carga crítica de pandeo, que corresponde al menor valor del momento de inercia de la sección (I2), Pcrit . =

π 2 EI 2 l2

7.3.3. Caso de barra Articulada-empotrada. Se considerará una barra recta de sección constante, articulada en sus extremos sometida a compresión mediante una fuerza P. x

x

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Tema 7 – Flexión lateral. Pandeo.

Si consideramos la configuración deformada de la viga, existe un momento flector de magnitud, M = − P y + F (l − x )

luego la ecuación diferencial de la elástica es, M⎫ ⎪ dx 2 EI ⎬ ⇒ M = − P y + F (l − x )⎪⎭ d2y

=

d2y dx 2

=−

P F (l − x ) ⇒ y+ EI EI

d2y dx 2

+

P F (l − x ) y= EI EI

ecuación diferencial no homogénea de segundo orden, que se puede reorganizar, P⎫ EI ⎪⎪ ⎬ ⇒ d2y P F (l − x )⎪⎪ y= + EI dx 2 EI ⎭ k2 =

d2y dx 2

+ k2y = k2

F (l − x ) P

y cuya solución es composición de la solución de la ecuación diferencial homogénea más una solución particular, y = A sen(k x ) + B cos(k x ) +

F (l − x ) P

en la que aplicando las condiciones de contorno, x=0 ⇒

x=0 ⇒

y = 0 ⇒ 0 = A sen(0 ) + B cos(0 ) +

F F F l=B+ l ⇒ B=− l P P P F ⎫ ⎧ ⎪⎪ ⎪⎪ y' = A k cos(k x ) − B k sen(k x ) − P F y' = 0 ⇒ ⎨ ⎬ ⇒ A= kP ⎪0 = A k cos(0 ) − B k sen(0 ) − F = A k − F ⎪ ⎪⎩ P P ⎪⎭

luego la ecuación de la deformada es, ⎫ F (l − x )⎪ P ⎪ F ⎪ A= ⎬ ⇒ k P⎪ F ⎪ B = − l⎪ P ⎭

y = A sen(k x ) + B cos(k x ) +

y=

F F F sen(k x ) − l cos(k x ) + (l − x ) kP P P

Si se aplica la condición de contorno de que en el extremo articulado la flecha es nula, se tiene,

x=l

⇒

y=0 ⇒ 0=

F F sen(k l ) − l cos(k l ) ⇒ kP P

Expresión cuya solución es,

k l = 4,49

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1 sen(k l ) − l cos(k l ) = 0 ⇒ k l = tg (k l ) k

Tema 7 – Flexión lateral. Pandeo.

o bien sustituyendo, P⎫ ⎪ EI ⎬ ⇒ k l = 4,49⎪⎭ k2 =

P l = 4,49 n con n = 1,2,3,... EI

donde n es cualquier número entero mayor o igual a 1 El menor valor de P que lleva al sistema hasta el colapso aparece cuando n = 1 luego la carga crítica de Euler es, Pcrit . EI π 2 EI l = 4 ,49 ⇒ Pcrit . = 20 ,14 = EI l 2 (0 ,7 l )2

de forma que cuando la carga P adquiere el valor crítico, el equilibrio estable de la pieza se convierte en inestable o indiferente, y la ecuación de la elástica es,

y=

F F F sen(k x ) − l cos(k x ) + (l − x ) kP P P

Si se consideran los valores n=2 n=3 …, se obtiene,

Pcrit . 1 = 80 ,72

EI

Pcrit . 2 = 181,68

l2

EI l2

correspondientes a cargas mayores a la crítica que carecen de interés técnico. Nuevamente, el plano en que se produce el pandeo vendrá determinado por el valor mínimo de la carga crítica de pandeo, que corresponde al menor valor del momento de inercia de la sección (I2),

Pcrit . =

π 2 EI 2

(0,7 l )2

7.3.4. Caso de barra biempotrada. Se considerará una barra recta de sección constante, con extremos empotrados, sometida a compresión mediante una fuerza P.

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Tema 7 – Flexión lateral. Pandeo.

x

x

Si consideramos la configuración deformada de la viga, existe un momento flector de magnitud, M = −P y + M A

luego la ecuación diferencial de la elástica es, M ⎫ ⎪ dx 2 EI ⎬ ⇒ M = − P y + M A ⎪⎭ d2y

=

d2y dx

2

=−

M P y+ A EI EI

⇒

d2y dx

2

+

M P y= A EI EI

ecuación diferencial no homogénea de segundo orden, en la que si se denomina, P⎫ EI ⎪⎪ ⎬ ⇒ MA⎪ d2y P + y= EI ⎪⎭ dx 2 EI k2 =

d2y dx 2

+ k2y =

k2 MA P

y cuya solución es composición de la solución de la ecuación diferencial homogénea más una solución particular, y = A sen(k x ) + B cos(k x ) +

MA P

en la que aplicando las condiciones de contorno, x=0 ⇒ x=0 ⇒

y = 0 ⇒ 0 = A sen(0) + B cos(0) +

MA M = B+ A P P ⎧ y' = A k cos(k x ) − B k sen(k x ) ⎫ y' = 0 ⇒ ⎨ ⎬ ⇒ ⎩0 = A k cos(0) − B k sen(0) = A k ⎭

⇒

B=−

MA P

A=0

y se tiene, MA⎫ P ⎪ ⎪ A = 0⎬ ⇒ M ⎪ B=− A⎪ P ⎭

y = A sen(k x ) + B cos(k x ) +

y=−

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MA M M cos(k x ) + A = A [1 − cos(k x )] P P P

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Aplicando en ella la segunda condición de comportamiento, se obtiene, x=l

⇒

y=0 ⇒ 0=

MA [1 − cos(k l )] ⇒ cos(k l ) = 1 P

o bien sustituyendo,

P⎫ ⎛ P ⎞ ⎪ l⎟ =1 ⇒ EI ⎬ ⇒ cos⎜⎜ EI ⎟⎠ ⎝ ⎪ cos(k l ) = 1⎭ k2 =

P l = 2(n + 1)π EI

con n = 0,1,2 ,3,...

donde n es cualquier número entero mayor o igual a 0. El menor valor de P que lleva al sistema hasta el colapso es la carga crítica de Euler, que aparece cuando n = 0, luego,

Pcrit . l = 2π EI

⇒

Pcrit . = 4

π 2 EI l2

de forma que cuando la carga P adquiere el valor crítico, el equilibrio estable de la pieza se convierte en inestable, y la ecuación de la elástica es,

y=

MA [1 − cos(k x )] P

Si se consideran los valores n=1, n=2, …, se obtienen,

Pcrit . 1 = 16

π 2 EI l2

=

π 2 EI ⎛l⎞ ⎜ ⎟ ⎝4⎠

2

Pcrit . 2 = 36

π 2 EI l2

=

π 2 EI ⎛l⎞ ⎜ ⎟ ⎝6⎠

2

correspondientes a cargas mayores a la crítica, y a las que corresponden deformadas tales como las que aparecen en las figuras, que carecen de interés técnico. Nuevamente, el plano en que se produce el pandeo vendrá determinado por el valor mínimo de la carga crítica de pandeo, que corresponde al menor valor del momento de inercia de la sección (I2),

Pcrit . =

π 2 EI 2 ⎛l⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠

2

7.4. Valor de la carga crítica según el tipo de sustentación de barra.

Definidos los cuatro casos de Euler se ve que están relacionados entre sí cuando se sustituye la longitud de la viga por la longitud de pandeo (lp). Se denomina longitud de pandeo la distancia que existe entre dos puntos consecutivos de inflexión de la configuración deformada de la viga, y viene dada por, lp =α l

donde α es el coeficiente de reducción de longitud, que depende de la vinculación de los extremos de la columna.

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α=1

α =1/ 2

α=1/2

α=2 A partir de la longitud de pandeo, la expresión de la carga crítica de pandeo para los cuatro casos anteriores es,

Pcrit . =

π 2 EI 2 l 2p

Esta fórmula se puede poner en función de la esbeltez mecánica de la sección (λ), que se define como la relación entre la longitud de pandeo (lp) y el radio de inercia mínimo (i2) de la sección,

λ=

lp i2

luego,

Pcrit . =

π 2 EI 2 ⎫

⎪⎪ l 2p ⎬ ⇒ ⎪ I 2 = A i22 ⎪⎭

Pcrit . =

π

2

E A i22 l 2p

⎫ π E A⎪ ⎪ = l 2p ⎪⎪ ⎬ ⇒ i22 ⎪ lp ⎪ λ= ⎪ i2 ⎭⎪ 2

Pcrit . =

π 2E A λ2

7.5. Límites de aplicación de la fórmula de Euler.

La expresión,

Pcrit . =

π 2E A λ2

indica que la carga crítica de pandeo depende de las características geométricas de la viga y del módulo de elasticidad, y no depende de la resistencia del material.

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Tema 7 – Flexión lateral. Pandeo.

La tensión correspondiente a la carga crítica de pandeo de Euler se denomina tensión crítica, y viene dada por,

Pcrit . ⎫ A ⎪⎪ Pcrit . π 2 E A π 2 E ⇒ = = = σ ⎬ crit . 2 A π 2E A⎪ λ λ2 A Pcrit . = λ2 ⎪⎭

σ crit . =

El límite de la fórmula de Euler se obtiene cuando la esbeltez de la pieza es lo suficientemente pequeña como para que no falle por efecto de pandeo sino por compresión, esbeltez denominada límite (λl). La esbeltez límite es la mínima que ha de tener la columna para que sea aplicable la fórmula de Euler, y se determina al igualar la tensión crítica de pandeo con la tensión límite elástica (o admisible),

σ crit . = [σ ]⎫

⎪ π E⎬ ⇒ σ crit . = 2 ⎪ λ ⎭ 2

[σ ] = π

2

E

λl2

⇒ λl =

π 2E [σ ]

Para esbelteces menores al valor límite (λl), el fallo se alcanza por pandeo no elástico del material como se verá en la fórmula de Tetmajer, mientras que para valores de esbeltez mayores que la límite, el fallo ocurre por pandeo elástico.

λ > λl λ < λl

⇒

pandeo elástico

⇒

pandeo no elástico

Si se representa la tensión crítica en función de la esbeltez de la columna ( σ crit . = σ crit . (λ ) ), para valores de tensión menores al límite elástico, la curva correspondiente es la llamada hipérbola de Euler, tal como muestra la figura,

Para esbelteces inferiores a la límite (λl), el módulo de elasticidad deja de tener magnitud constante y disminuye (ET), por lo que la tensión crítica de Euler viene dada por,

σ crit . =

π 2 ET λ2

denominada fórmula del módulo tangencial o de Engesser para pandeo inelástico. Para el acero de construcción de bajo contenido en carbono, con las siguientes características mecánicas, - 15 -

Tema 7 – Flexión lateral. Pandeo.

E = 2,1 106 kgf/cm2 [σ] = 1600 kgf/cm2 la esbeltez mínima que ha de tener la pieza para que sea aplicable la fórmula de Euler es,

λl =

π 2E π 2 2,1 106 = = 113,81 [σ ] 1600

Una vez obtenida la carga crítica de pandeo de Euler (Pcr.), se puede obtener la carga crítica admisible dividiendo la primera por un coeficiente de seguridad a pandeo (n),

P Pcrit . adm. = cr . n 7.6. Fórmula empírica de Tetmajer para la determinación de las tensiones críticas en columnas intermedias.

La fórmula de Euler es aplicable a columnas esbeltas, que se definen como aquellas en las que su esbeltez es superior al límite (λl). Por otra parte se dice que una columna es corta cuando su longitud es menor que diez veces su menor longitud transversal. En este tipo de columnas se considera que la tensión crítica de fallo es la de fluencia del material, y su cálculo se hace por compresión y no por pandeo.

σ crit . = [σ ] =

N A

Las columnas con esbelteces comprendidas entre el valor límite superior de las columnas cortas y el límite inferior de las columnas esbeltas se denominan columnas intermedias, y en ellas el fallo se produce por comportamiento inelástico del material. Se han obtenido distintas fórmulas empíricas a partir del ensayo de gran número de piezas entre las que se encuentran:

•

El módulo tangente o de Engesser, que tiene en cuenta la variación del módulo de elasticidad al superar la tensión límite elástica

•

La fórmula de Tetmajer, que propuso la fórmula:

σ cr = σ r − a λ + b λ2 donde:

σr – tensión límite de compresión λ – esbeltez a, b – coeficientes experimentales dependientes del material En la tabla siguiente figuran los valores correspondientes a distintos materiales.

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Tema 7 – Flexión lateral. Pandeo.

Debido a la existencia de imperfecciones, se considera un coeficiente de seguridad (n) que varía con la esbeltez (λ), de tal manera que se define la tensión crítica admisible (σcr. adm.) como la relación,

σ cr . adm. =

σ cr . n

En la figura se representa para una columna de acero A37 el coeficiente de seguridad en función de la esbeltez (n = n(λ)), la curva de Euler-Tetmajer (σcr. = σcr. (λ)) y la tensión crítica admisible (σcr. adm.).

7.7. Método de los coeficientes ω para el cálculo de barras comprimidas.

En el epígrafe anterior se ha visto como se obtiene la tensión crítica (σcr.) para una columna en función de la esbeltez, ya se trate de una columna corta, intermedia o esbelta. Por división de la tensión crítica por el coeficiente de seguridad, que también depende de la esbeltez, se obtiene la tensión crítica admisible (σcr. adm.), a partir de la cual se puede determinar la carga crítica admisible (Pcrit. adm.) Pcrit . adm . = σ cr . adm . A

Para no tener que establecer tablas especiales de la tensión crítica admisible para diferentes hipótesis de carga, la ecuación anterior se expresa mediante,

ω Pcrit . adm. = [σ ] A donde ω es el denominado coeficiente omega de pandeo que viene dado por la relación entre la tensión admisible y la tensión crítica admisible de pandeo,

ω=

[σ ] σ cr . adm.

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Tema 7 – Flexión lateral. Pandeo.

Los coeficientes de pandeo dependen del tipo de material y del grado de esbeltez de la barra, y se suelen dar tabulados.

Para esbelteces menores de 20 no es necesario hacer la comprobación a pandeo, y en estos casos el coeficiente ω se toma igual a la unidad, por lo que se considera que la columna falla a compresión. La esbeltez superior en las tablas es de 250, ya que las normas no permiten utilizar columnas de esbeltez mayor. Con estas tablas se puede resolver el problema directo de calcular la carga admisible de pandeo para una sección dada, o bien el problema inverso correspondiente a determinar la sección mínima necesaria que soporte a pandeo una carga dada.

Pcrit . adm . = σ cr . adm . A⎫ ⎪ [ [ σ] σ ]⎬ ⇒ ⇒ σ cr . adm . = ω= σ cr . adm. ω ⎪⎭

Pcrit . adm . =

[σ ] A ω

⇒

Pcrit . adm . ω = [σ ]A

Ambos problemas se resuelven como si se tratara de una compresión simple, considerando una carga ficticia igual a ωP.

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