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RESISTENCIA DE MATERIALES

FLEXIÓN SIMPLE

DEPARTAMENTO: INGENIERÍA MECÁNICA. AREA: MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS. PROFESOR P.A.GÓMEZ ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL DE BÉJAR

Resistencia de Materiales. Flexión

1.-El esfuerzo de flexión.

COMPRESIÓN TRACCIÓN

M EJE NEUTRO

El esfuerzo se caracteriza por que para equilibrar un lado de la sección es necesario un par de fuerzas, contenido en un plano normal a la sección y que denominamos MOMENTO FLECTOR. El ejemplo más común de elementos flectados son la VIGAS, de modo que genéricamente denominamos vigas a barras o elementos sometidos a este esfuerzo.

Como se puede ver, el par genera esfuerzos de compresión en una zona y de tracción en otra, existiendo además una fibra (eje geométrico) que actúa como punto de inflexión, denominada EJE NEUTRO. El momento flector produce entonces tensiones normales sx

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2.-Hipótesis simplificativas del modelo matemático 1.- Inicialmente consideramos sólo el cálculo elástico (Secciones de tipo 3 según CTE). 2.- Se analizan vigas de eje recto inicialmente, las vigas curvas (arcos) se tratan en otro capítulo. 3.- Las vigas son en principio de sección uniforme, las vigas de sección variable se analizan al final del tema.

4.- Las vigas estudiadas incialmente son de material homogéneo E = Cte, el hormigón armado, por ejemplo no lo es. 5.- El módulo de elasticidad a tracción y compresión tiene el mismo valor, lo cumple el acero.

Pn P1

RA

6.- Las cargas aplicadas, tanto activas como reactivas, están en un mismo plano denominado “PLANO DE CARGA” que corta a la sección por uno de sus ejes principales de inercia. Se denomina entonces FLEXIÓN PLANA NORMAL. En caso contrario aparecen esfuerzos combinados.

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3.- Esfuerzos en la flexión.

n’

x

n

n’

x

n

Si seccionamos una viga simplemente apoyada por sus extremos y sometida a la acción de una serie de cargas, veremos que para mantener el equilibrio de l parte aislada, necesitamos dos esfuerzos: Un esfuerzo cortante Ved que equivaldrá a la suma de las fuerzas verticales a un lado de la sección:

Un momento flector Med que equivaldrá a la suma de momentos de todas las fuerzas, en el tramo aislado, con respecto a la propia sección.

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4.-Tensiones normales originadas por el momento flector Analicemos una sección cualquiera de una viga: Sea s la tensión normal en un elemento dA situado a distancia z del C.DG.

Z

Compresión Tracción

z

Por proporcionalidad: Y

X

Si es el esfuerzo en el elemento, deberán cumplirse en el equilibrio:

1.- La resultante de los esfuerzos debe ser nula. Nos da la posición del Eje Neutro

2.- El momento respecto a X debe ser nulo al contener al plano de cargas.

Nos indica que Y y Z son Ejes Principales de Inercia.

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4.-Tensiones normales originadas por el momento flector

3- El momento de las fuerzas exteriores se debe equilibrar con el momento de los esfuerzos internos.

La tensión máxima se produce para Zmáx. Luego El valor

Módulo resistente a la flexión.

Este valor es constante para vigas de sección invariable, para perfiles normalizados suele estar tabulado y puede encontrarse en cualquier prontuario de cálculo. Así mismo, este valor, normalmente expresado en mm3.103 es la base de cálculo para la verificación de secciones prácticas como se verá más adelante.

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4.-Tensiones tangenciales originadas por el esfuerzo cortante q

n

p

m

t

Analicemos dos secciones infinitamente próximas mn y pq y los esfuerzos que actúan en cada una de ellas. Igualmente tomamos las secciones AB y CD, siendo el incremento del momento La fuerza que tiende a desplazar el sistema vale:

en el equilibrio:

B

C

como: Si recordamos:

Tendremos: A

D DEPARTAMENTO: INGENIERÍA MECÁNICA. AREA: MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS. PROFESOR P.A. GÓMEZ ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL DE BÉJAR

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5.-Distribución de tensiones normales y tangenciales

z Y

t

Med

s

Esquema tensional para un punto cualquiera sobre una sección de viga

Estado Plano de tensiones

Ved

t

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6.-Combinación de tensiones normales y tangenciales La combinación de ambas tensiones podemos hacerla de dos maneras, analítica o gráficamente.

Analíticamente:

D De forma gráfica mediante el círculo de Mohr.

M

B

O

OA OB CD

C

smáx smín tmáx

A

M’

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7.-Verificación de secciones. Secciones prácticas.

Con carácter general la resistencia a flexión de una sección viene dada por: Donde Wel es el denominado módulo resistente elástico ya que sólo se considera el periodo elástico del material, sin permitir deformaciones permanentes ni plastificación en E.L.U.

Para dimensionar el perfil necesario:

Veamos el comportamiento de algunas secciones:

Z

h

d

Y

Sección circular maciza

Se demuestra que las secciones más económicas son aquellas con mayor momento de inercia respecto al eje de flexión, lo cual se obtiene separando el material de dicho eje, como ocurre en los perfiles doble T b Sección rectangular maciza

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7.-Verificación de secciones. Secciones prácticas. Clases de secciones según C.T.E. y comportamiento del material, elastico y/o plástico

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8.-Interacción de esfuerzos flector y cortante. Cuando en una misma sección de una viga se dan simultáneamente un valor de momento flector y un esfuerzo cortante, la verificación de la sección debe responder a la combinación de ambos, deduciéndose de ello una reducción de la resistencia a flexión de la pieza.

Pueden darse dos circunstancias según el C.T.E. : •Cuando el valor del cortante Ved no supere el 50% de la resistencia plástica a cortante de la sección Vpl.rd no es necesario reducir el valor del momento resistente, actuándose como si tal combinación no existiera, es decir tal como se expuso en la página anterior.

•Si, por el contrario, el valor del cortante Ved supera el 50% de la resistencia plástica a cortadura de la sección, el cálculo se realiza adoptando un Límite Elástico Reducido para el material: donde El valor de Vpl,rd viene especificado en tablas para los perfiles más usuales, en caso de tratarse de vigas armadas o no tabuladas, su valor viene dado por:

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9.-Flexión oblicua. Hasta ahora se ha considerado la viga sometida a la acción de un conjunto de fuerzas contenidas en un solo plano (Plano de Cargas) en la dirección de uno de sus ejes principales de inercia (Flexión Plana Normal). Es relativamente frecuente en algunas vigas, como las correas de las cubiertas, que el plano de cargas sea oblicuo en relación con los ejes de inercia de la sección, es lo que denominamos (Flexión Oblicua) P

Z

Si descomponemos el momento en una sección cualquiera M en las dos direcciones principales de inercia GY y GZ:

Y

La tensión resultante será:

Según el C.T.E. deberá verificarse que:

Siendo el valor de: DEPARTAMENTO: INGENIERÍA MECÁNICA. AREA: MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS. PROFESOR P.A. GÓMEZ ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL DE BÉJAR

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10.- Estudio de vigas isostáticas. Según sus condiciones de apoyo podemos clasificar las vigas en dos categorías: ISOSTÁTICAS: Aquellas en las que las reacciones de apoyo pueden ser determinadas por la aplicación de las ecuaciones de la estática. Si se cumple la condición de que no existan esfuerzos combinados, tanto cargas como reacciones deberán tener la misma dirección (vertical generalmente), por lo que las tres ecuaciones en el plano se reducen a dos:

Existen tres tipos generales.

Vigas bi-apoyadas, con o sin voladizos Ménsulas, vigas empotradas en uno de sus extremos.

Vigas articuladas “Gerber”.

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11.-Relación entre fuerza cortante y momento flector m

n

m

p

p

q n

Adoptamos el siguiente CRITERIO DE SIGNOS:

-

+

-

+ W

n

p

V

M+dM

V

M m

q

n V

p

n

M+dM

V

M m

La fuerza cortante es la primera derivada del momento flector respecto de la abscisa x

q

q

P

p

V

M+dM

M

V m

q

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12.-Diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores FUERZAS CORTANTES: Diagrama en el que el eje de abscisas representa a escala distancias a lo largo del eje x de la viga y el eje de ordenadas representa los valores de la fuerza cortante en cada sección con su signo correspondiente. MOMENTOS FLECTORES: Diagrama en el que en el eje de abscisas representa a escala distancias sobre la viga y en el eje de ordenadas el valor del momento flector en cada sección. En este caso, a fin de hacer coincidir el signo del momento con la curvatura de la viga deformada, representamos hacia arriba los valores negativos y hacia abajo los positivos. Veamos un ejemplo: 5 kN

A

La función Mx presenta un máximo cuando la primera derivada se iguala a cero.

10kN/m

B

2m

6m

C

+35

-5

-25

De esta manera el momento flector es máximo en aquella sección/es de viga en que la fuerza cortante se anula o cambia de signo

-25 kN

-30 mkN 0

0

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.-Ejercicio ilustrativo. Determinar las tensiones máximas desarrolladas en la viga mostrada

h=0,4m

P=50kN

canto W= 20kN/m

A

B C

RA

2,5m

base 3,5m

RB

+89,2kN

b= 0,12m

Se trata de una viga isostática, en primer lugar calculamos las reacciones en los apoyos A y B.

+39,2kN

-10,8kN

-80,8kN

Seccionando en el tramo AC planteamos las ecuaciones de V y Mf. +160,4kN.m

Análogamente en el tramo CB

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.-Ejercicio ilustrativo continuación. Para determinar las tensiones máximas desarrolladas aplicamos las ecuaciones ya conocidas: o bien

Para la sección rectangular mostrada:

Para obtener los valores sustituimos el valor del momento máximo en C El valor dado se produce en las fibras más alejadas del eje de flexión.

La máxima tensión tangencial se produce el eje neutro y sobre el apoyo A, donde el esfuerzo cortante es máximo.

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13.-Comprobación de abolladura del alma por cortante. Se considerarán los efectos de abolladura del alma ocasionados por las tensiones tangenciales derivadas del esfuerzo cortante. Hipótesis: -Los paneles son rectangulares -Sección de los mismos uniforme. Sin agujeros, o estos son pequeños. -Puede haber rigidizadores longitudinales o transversales. -Deberá verificarse cuando la esbeltez sea:

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14.-Vigas de dos o más materiales. Hasta ahora hemos trabajado con la hipótesis de un material homogéneo con igual resistencia a tracción y compresión. Si el elemento sometido a flexión está constituido con dos o más materiales con distintos módulos de elasticidad, el cálculo debe cambiar.

Imaginemos, por ejemplo una viga de dos materiales diferentes unidos como muestra la figura. Aquí no puede suponerse que el eje neutro pasa por el centroide de la sección compuesta, por lo que habrá que determinarlo. Como los módulos de elasticidad E1 y E2 son diferentes, las tensiones normales también los serán:

1 Y 2

El esfuerzo en cada elemento será:

Si la relación entre los módulos de elasticidad fuera:

; igualando:

La resistencia a la flexión sería igual que la de una viga del primer material si multiplicamos el ancho de la porción inferior por n obteniendo la sección transformada del elemento que ahora podemos calcular como una viga normal DEPARTAMENTO: INGENIERÍA MECÁNICA. AREA: MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS. PROFESOR P.A. GÓMEZ ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL DE BÉJAR

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15.-Vigas de hormigón armado. Un ejemplo importante de las vigas de dos materiales son las de hormigón armado, reforzadas con barras de acero en su parte inferior para resistir los esfuerzos de tracción. Para obtener la sección transformada se sustituye el área de las barras de acero por un área equivalente nA donde n es la razón entre los módulos de elasticidad del acero y el hormigón. z

d

1/2z C d-z

La posición del eje neutro se obtiene calculando la distancia z de la cara superior al centroide C. En él debe cumplirse que:

Resolviendo la ecuación cuadrática para z se obtiene la posición del eje neutro. La determinación de los esfuerzos en la viga se hace de la misma manera que ya hemos visto para las vigas de un solo material. DEPARTAMENTO: INGENIERÍA MECÁNICA. AREA: MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS. PROFESOR P.A. GÓMEZ ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL DE BÉJAR

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.- Ejercicio ilustrativo

L A T O N

A C E R O

La viga mostrada está formada por una sección rectangular de acero y dos laterales de latón como se muestra, trabajando solidariamente. Siendo Eacero = 210 Gpa y Elatón = 109GPa. Determinense las tensiones en el acero y el latón si se somete a un momento flector de 4mkN.

L A 80mm T O N

Para comenzar buscamos la Sección Transformada:

10 20 10

Transformamos toda la viga al material de menor módulo multiplicando su ancho por 1,927 y manteniendo la altura

Calculamos ahora las tensiones como una viga normal: 80mm

10

38,53

10

Las tensiones en el latón valdrán:

Para obtener el valor de las tensiones en el acero multiplicamos por el mismo factor de conversión n.

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.-Ejercicio ilustrativo. Determinar las tensiones máximas desarrolladas en la viga de hormigón armado que muestra la figura si EA= 210GPa y EH = 25GPa. Si Mf = 60mkN. Hormigón H-25 y acero B400S

b=200mm

Buscamos la sección transformada del acero:

d=400mm

Determinamos la nueva posición del eje de inercia. 50mm 4Q22

Resolviendo la ecuación de segundo grado:

x

El momento de inercia de la sección transformada será:

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16.-Vigas de sección variable. Hasta ahora se han considerado solamente vigas de sección constante en toda su longitud, pero atendiendo a que el momento flector es variable a lo largo de la misma, podríamos ahorrar material adaptando la sección de la viga al valor del momento flector, como se muestra en los ejemplos. P

P

L

L

M= -P.L M= +P.L/4

Si adaptamos el valor del módulo resistente a la variación del momento flector, la tensión permanecerá constante, denominándose vigas de igual resistencia a la flexión.

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17.-Deformación por flexión en las vigas.

Entendemos por deformación por flexión, al desplazamiento vertical de un punto cualquiera de la línea neutra de un perfil de viga desde su posición inicial y que genéricamente denominamos “FLECHA”. Esta deformación depende básicamente de: Tipo, valor y posición de las cargas aplicadas, rigidez del material (E) y de las dimensiones del perfil (Wy, Iy e Ix) En general, salvo casos muy especiales, la deformación producida por el esfuerzo cortante Ved puede despreciarse, considerándose únicamente la deformación por curvatura del eje debida al momento flector. Como estados límite de servicio, para la deformación de vigas pueden adoptarse los siguientes:

-En pisos con tabiques frágiles, sin juntas -En pisos con tabiques ordinarios -En pisos en otros casos -Para vigas de madera -Para vigas de celosía -En vigas de puentes -En vigas de hormigón armado -En ejes de transmisión sometidos a flector

L/500 L/400 L/300 L/300 L/700 L/900 a L/1200 L/600 L/1000 a L/2000 DEPARTAMENTO: INGENIERÍA MECÁNICA. AREA: MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS. PROFESOR P.A. GÓMEZ ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL DE BÉJAR

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18.-Ecuación diferencial de la curva elástica El eje neutro, inicialmente recto, se curva permaneciendo constante la distancia MN = dx transformándose en la denominada “Curva Elástica”, veamos como determinar su ecuación: los triángulos OMN y NQQ’ son semejantes por dos lados comunes, luego:

O

con valores

ya conocemos

sustituyendo:

A

C C’

M

N

B

siendo:

o de otro modo

por la ley de Hooke

o bien

despreciamos

por infinitesimo

Q Q’

Sustituyendo y despejando obtenemos Ecuación diferencial de la curva elástica.

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19.-Método de la doble integración. Consiste en integrar dos veces la ecuación diferencial de la curva elástica hasta obtener el valor de Z (flecha) en función de la abscisa x. Una primera integración o nos dará:

donde el término

o bien

representa la pendiente de la tangente a la curva elástica en cada punto.

La segunda integración: despejando Donde z es la flecha en cada punto de abscisa x Al término 1/E.I se le denomina “Rigidez a la flexión y al ser constante en las vigas que estudiamos, puede salir fuera de las integrales propuestas. El cálculo de las dos constantes de integración se realiza mediante las condiciones de contorno. Conociendo el valor de la pendiente en un punto concreto para c1 y el valor de la deformación en una abscisa concreta para c2. Es un método generalista ya que permite, sustituyendo los valores de x, determinar la deformación en cualquier punto de la viga. DEPARTAMENTO: INGENIERÍA MECÁNICA. AREA: MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS. PROFESOR P.A. GÓMEZ ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL DE BÉJAR

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.-Ejercicio ilustrativo. W=10kN.m A

Se pretende determinar la deformación en el extremo B de la ménsula mostrada, en función del valor E.I. y de L

x

B

La ecuación diferencial de la elástica para la viga será:

Integrando una vez:

calculamos la constante por las condiciones de contorno

Conocemos que la pendiente de la tangente a la C.E. es plana en el empotramiento, luego su tangente vale cero . para

sustituyendo el valor y despejando

Integrando de nuevo Calculamos c2 por su condición de contorno. z=0 para x=L Despejando:

valor de la flecha para cualquier abscisa x

Sustituyendo para x=0 tenemos dB DEPARTAMENTO: INGENIERÍA MECÁNICA. AREA: MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS. PROFESOR P.A. GÓMEZ ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL DE BÉJAR

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20.-Método del área-momento. Teoremas de Mohr. El otro método más utilizado para la determinación de la deformación en vigas es la combinación del método de superposición de los efectos, ya estudiado, con los dos teoremas de Mohr, denominándose METODO DE AREA-MOMENTO O MOMENTO DE LAS ÁREAS. PRIMER TEOREMA DE MOHR: La diferencia de pendientes de las tangentes trazadas a la curva elástica por dos puntos cualesquiera de una viga, viene dada, en valor absoluto, por el área del diagrama de momentos flectores comprendida entre ambos puntos, dividida por la rigidez a la flexión (E.I) SEGUNDO TEOREMA DE MOHR: La desviación tangencial (distancia vertical entre un punto cualquiera de la curva elástica y la tangente trazada a la curva por otro punto) viene dada, en valor absoluto, por el momento del área del diagrama de momentos flectores de la viga, comprendido entre ambos puntos y dividido por la rígidez a la flexión (E.I). A diferencia del método generalista anterior, no permite determinar la deformación o flecha directamente, salvo cuando la tangente a la curva elástica es horizontal. Tampoco permite determinar la deformación en todos los puntos de la abscisa x de la viga, sino sólo en aquellos tomados como referencia. En general, si estos son bien elegidos (valores máximos) permiten hacer de una forma rápida y sencilla la comprobación en estado límite de servicio lo cual suele ser suficiente en el análisis de vigas comunes de construcción. DEPARTAMENTO: INGENIERÍA MECÁNICA. AREA: MECÁNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS. PROFESOR P.A. GÓMEZ ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INDUSTRIAL DE BÉJAR

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.-Ejercicio ilustrativo W=10kN.m A

Se pretende determinar la deformación en el extremo B de la ménsula mostrada, en función del valor E.I. y de L

x

B

Comenzamos dibujando el diagrama de momentos flectores de la viga.

Si aplicamos ahora el segundo teorema de Mohr, midiendo la desviación tangencial entre A y B, al ser A un empotramiento y por tanto la tangente horizontal, esta coincide con la deformación o flecha en el punto B

Como se puede comprobar, el valor obtenido es el mismo que el calculado por el procedimiento anterior.

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21.- Principio de superposición. W A

2L/3

P

Se pretende determinar la deformación en el extremo B de la ménsula mostrada, en función del valor E.I. y de L

L/3

B

Podemos descomponer la viga en función de sus dos condiciones de carga, obteniendo dos diagramas de momentos flectores que sumados darán el diagrama de la viga completa. Aplicando el segundo teorema de Mohr:

NOTA: Recordamos de nuevo que las distancias se miden siempre desde el centro de gravedad del área delimitada por el diagrama de momentos flectores respecto al punto donde se toma la desviación tangencial, en este caso el B. Igualmente se recuerda que las unidades vienen marcadas por el factor E.I,. Usualmente tomamos N y mm, por lo que L, P y W deben ponerse en las mismas unidades obteniendo la deformación en mm.

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22.-Análisis de vigas hiperestáticas. Hasta este momento se han analizado únicamente aquellas vigas en las que pueden calcularse las reacciones mediante las ecuaciones de la estática. En la práctica múltiples casos tanto de vigas de edificación como de otros elementos flectados son casos de vigas hiperestáticas, es decir aquellos en los que no bastan las ecuaciones de la estática para determinar las reacciones en los apoyos necesarias para obtener los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores de las mismas. Podemos encontrar tres tipos fundamentales: Vigas sobre varios apoyos simples, con o sin voladizos. Su grado de hiperestaticidad es igual al número de apoyos menos dos.

Vigas continuas. Un extremo empotrado y con uno o varios apoyos, existiendo o no tramos en voladizo. Su grado de hiperestaticidad es igual al número de apoyos simples

Vigas empotradas y apoyadas. Ambos extremos empotrados, con o sin apoyos intermedios. Su grado de hiperestaticidad es el número de apoyos simples más dos.

Vigas biempotradas.

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17.- Deformación por flexión en las vigas

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17.- Deformación por flexión en las vigas

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PREGUNTAS

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