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• Gabriel Sousa

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Distribución de probabilidad normal

Capítulo 7

OBJETIVOS     

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Distinguir entre una distribución de probabilidad discreta y una distribución de probabilidad continua. Calcular la media y la desviación estándar de una distribución uniforme. Calcular probabilidades usando la distribución uniforme Enlistar las características de la distribución de probabilidad normal. Definir y calcular valores z. Determinar la probabilidad de que una observación esté entre dos valores de una distribución, utilizando la distribución normal estándar. Establecer la probabilidad de que una observación sea mayor (o menor) que un valor determinado, utilizando la distribución normal estándar Utilizar la distribución de probabilidad normal para aproximar la distribución de probabilidad binomial.

La Distribución Uniforme La distribución de probabilidad uniforme es tal vez la más simple de la distribución de una variable aleatoria continua. Esta distribución es de forma rectangular y se define por los valores mínimo y máximo.

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La Distribución Uniforme – media y Desviación Estándar

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La Distribución Uniforme- Ejemplo Universidad Estatal del Suroeste de Arizona ofrece un servicio de autobús a los estudiantes mientras se encuentran en el campus. El autobús llega a la parada North Main Street y College Drive cada 30 minutos entre las 6 am y 11:00 pm durante los días laborables. Los estudiantes llegan a la parada de autobús de forma aleatoria. El tiempo que un estudiante espera se distribuye de manera uniforme desde 0 a 30 minutos. 1. Realice un gráfico de esta distribución. 2. ¿Cuánto tiempo un estudiante "normalmente" tienen que esperar el autobús? En otras palabras, ¿cuál es el tiempo medio de espera? ¿Cuál es la desviación estándar de los tiempos de espera? 3. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante va a esperar más de 25 minutos?

4. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante va a esperar entre 10 y 20 minutos? 5

La Distribución Uniforme- Ejemplo Gráfica de esta distribución.

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La Distribución Uniforme- Ejemplo ¿Cuánto tiempo un estudiante " normalmente " tienen que esperar el autobús ? En otras palabras, ¿cuál es el tiempo medio de espera ? ¿Cuál es la desviación estándar de los tiempos de espera ? 7

La Distribución Uniforme- Ejemplo ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga que esperar más de 25 minutos?

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La Distribución Uniforme- Ejemplo ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tenga que esperar entre 10 y 20 minutos?

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Características de la distribución de probabilidad normal   

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La curva normal es acampanada y presenta sólo un pico en el centro de la distribución. La media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales El área total bajo la curva es 1,00; la mitad del área bajo la curva normal está a la derecha de este punto central y la otra mitad a la izquierda de la misma Es simétrica con respecto a su media. Es asintótica, esto significa que la curva se acerca cada vez más al eje x, pero en realidad nunca llega a tocarlo. Esto es, los puntos extremos de la curva se extienden indefinidamente en ambas direcciones. The location of a normal distribution is determined by the mean,, the dispersion or spread of the distribution is determined by the standard deviation,σ .

La Distribución Normal- Gráfica

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La Distribución Normal- Familias

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La distribución de probabilidad normal estándar 

La distribución normal estándar es una distribución normal con media cero y desviación estándar de 1.

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También es llamada distribución z.

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Un valor z es la distancia entre un valor seleccionado llamado x, y la media de la población µ, dividida entre la desviación estándar, σ.

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La fórmula es:

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Áreas bajo la curva normal

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La Distribución Normal– Ejemplo Los ingresos semanales de diferentes jefes de turno en la industria del vidrio siguen la distribución de probabilidad normal con un promedio de $ 1,000 y una desviación estándar de $ 100. ¿Cuál es el valor de z para el ingreso, llamémosle X, de un jefe de turno que gana $ 1.100 por semana? Para un capataz que gana $ 900 por semana? 15

Áreas bajo la curva normal 

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Aproximadamente 68% del área bajo la curva normal está entre la media más una y menos una desviaciones estándar. Alrededor de 95% del área bajo la curva normal está entre la media más dos y menos dos desviaciones estándar. Prácticamente toda el área bajo la curva normal está entre la media y tres desviaciones estándar

La regla empírica - Ejemplo Como parte de su programa de garantía de calidad, la Autolite Battery Company lleva a cabo pruebas de duración de la batería. Para una batería alcalina Dcélula en particular, la vida media es 19 horas. La vida útil de la batería sigue una distribución normal con una desviación estándar de 1,2 horas. Conteste las siguientes preguntas.  Alrededor del 68 por ciento de las baterías no entre lo dos valores?  Alrededor del 95 por ciento de las baterías no entre lo dos valores?  Prácticamente la totalidad de las baterías fallaron entre lo dos valores?

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Podemos utilizar los resultados de la regla empírica para responder a estas preguntas 1. alrededor del 68 por ciento de las baterías fallará entre 17,8 y 20,2 horas en 19,0 + - 1 (1.2) horas. 2. alrededor del 95 por ciento de las baterías fallará entre 16,6 y 21,4 horas por 19,0 + - 2 (1.2) horas 3. casi todos han fracasado 15.4 Ÿ 22.6 horas, que se encuentra un 19,0 + - 3 (1,2) Esta información se resume en el siguiente cuadro

Distribución Normal– Encontrando probabilidades En un ejemplo anterior se informó que el ingreso semanal promedio de un jefe de turno en la industria del vidrio se distribuye normalmente con una media de $1,000 y una desviación estándar de $100. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un jefe de turno cuyo ingreso semanal es de entre $ 1.000 y $ 1.100? 18

Distribución Normal– Encontrando probabilidades

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Encontrar Áreas de Z usando Excel

La función en excel =NORMDIST(x,Mean,Standard_dev,Cumu) =NORMDIST(1100,1000,100,true) genera área (probabilidad) de Z = 1 y por debajo

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Distribución Normal– Encontrando probabilidades (Ejemplo 2) Consulte la información sobre el ingreso semanal de cambio de jefe de turno en la industria del vidrio. La distribución de los ingresos semanales sigue la distribución de probabilidad normal con un promedio de $1,000 y una desviación estándar de $100. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un jefe de turno en la industria del vidrio cuyos ingresos son: Entre $ 790 y $ 1.000? 21

Distribución Normal– Encontrando probabilidades (Ejemplo 3) Consulte la información sobre el ingreso semanal de cambio de jefe de turno en la industria del vidrio. La distribución de los ingresos semanales sigue la distribución de probabilidad normal con un promedio de $ 1,000 y una desviación estándar de $ 100. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un jefe de turno en la industria del vidrio cuyos ingresos son: Menos de $ 790? 22

Distribución Normal– Encontrando probabilidades (Ejemplo 4) Consulte la información sobre el ingreso semanal de cambio jefe de turno en la industria del vidrio . La distribución de los ingresos semanales sigue la distribución de probabilidad normal con un promedio de $ 1,000 y una desviación estándar de $ 100. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un jefe de turno en la industria del vidrio cuyos ingresos son : Entre $ 840 y $ 1.200 ? 23

Distribución Normal– Encontrando probabilidades (Ejemplo 5) Consulte la información sobre el ingreso semanal de cambio de jefe de turno en la industria del vidrio. La distribución de los ingresos semanales sigue la distribución de probabilidad normal con un promedio de $ 1,000 y una desviación estándar de $ 100. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un jefe de turno en la industria del vidrio cuyos ingresos son: Entre $ 1150 y $ 1,250 24

Conociendo Z encontrar X Dada Área Ejemplo Layton Tire y Rubber Company desea establecer una garantía mínima kilometraje en su nuevo neumático MX100. Las pruebas revelan el kilometraje promedio es de 67.900 con una desviación estándar de 2,050 millas y que la distribución de milla sigue la distribución de probabilidad normal. Se quiere establecer el kilometraje mínimo garantizado de manera que no más de 4 por ciento de los neumáticos tendrá que ser reemplazado. ¿Qué kilometraje mínimo garantizado debe anunciar Layton? 25

Conociendo Z encontrar X Dada Área Ejemplo

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Conociendo Z encontrar X Dada Área - Excel

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La aproximación normal a la binomial • La distribución normal (una distribución continua) proporciona una buena aproximación de la distribución binomial (una distribución discreta) para valores grandes de n. 

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La distribución de probabilidad normal es generalmente una buena aproximación para la distribución de probabilidad binomial cuando n y n(1 – ) son ambos mayores que 5

La aproximación normal a la binomial Usar la distribución normal (una distribución continua) como un sustituto de una distribución binomial (una distribución discreta) para valores grandes de n parece razonable porque, a medida que n aumenta, una distribución binomial se acerca más y más cerca de una distribución normal.

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Factor de corrección de continuidad El valor 0.5 que se resta o se suma, dependiendo de la situación, a un valor seleccionado cuando una distribución de probabilidad Binomial (distribución de probabilidad discreta) se aproxima por medio de una distribución de probabilidad continua (la distribución normal). 30

Cómo aplicar el Factor de Corrección Pueden surgir Sólo cuatro casos. Estos casos son los siguientes: 1. Para la probabilidad de que al menos X ocurre, utilice la zona superior (X - 0,5). 2. Para la probabilidad de que se produce más de X, utilice la zona superior (X + 0,5). 3. Para la probabilidad de que ocurre X o menos se produce, utilizar el área por debajo de (X - 0,5). 4. Para la probabilidad de que se produce menos de X, utilizar el área por debajo de (X + 0,5).

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Aproximación de la Normal a la Binomial - Ejemplo Supongamos que la gerencia del Restautante Santoni Pizza encontró que el 70 por ciento de sus nuevos clientes desean volver al restaurante. Durante una semana en la que 80 nuevos (por primera vez) clientes cenaron en Santoni, ¿cuál es la probabilidad de que 60 o más volverá para otra comida ? 32

Aproximación de la Normal a la Binomial - Ejemplo

P(X ≥ 60) = 0.063+0.048+ … + 0.001) = 0.197 33

Aproximación de la Normal a la Binomial Ejemplo Paso 1 . Encontrar la media y la varianza de una distribución binomial y encontrar la z que corresponde a un 59,5 X de (x - 0.5, el factor de corrección) Paso 2 : Determinar el área mayor o igual de 59,5 34

Fin capítulo 7

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