• Author / Uploaded
• arios S

• Categories
• Linealidad
• Ecuaciones diferenciales
• Ecuaciones
• Sistema de ecuaciones lineales
• Sistema no lineal

Citation preview

Señales y Sistemas 1. DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE SEÑALES 2. ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 3. ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS MEDIANTE LA TRANSFORMADA DE FOURIER 4. ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS MEDIANTE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 5. CORRELACIÓN Y ESPECTRO DE SEÑALES 6. ANALISIS DE SISTEMAS NO LINEALES Y VARIANTES

Señales y Sistemas

1

Señales y Sistemas CAPITULO 2 ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los sistemas. 2.2 Clasificación de los sistemas 2.3. Análisis de Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI). 2.4. La integral de Convolución. 2.5. Simulación con Diagramas de Bloque de ecuaciones diferenciales.

Señales y Sistemas

2

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.1 Introducción

Señales y Sistemas

Descripción Matemática de las Señales

Conjunto de dispositivos que realizan un proceso sobre las señales de entrada y devuelven una señal de salida

Eléctrico, Mecánico, Biológico Económico, Político, Etc.

Los sistemas pueden ser: • Naturales._ Por evolución y crecimiento de la civilización • Artificiales._ Creado por ingenieros Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

3

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.2 Diagramas de Bloque y Terminología de Sistemas en TC Para analizar los sistemas necesitamos Herramientas Matemáticas

x(t) in

Señal de entrada (Excitación)

Sistema Artificial Planta

y(t) out

Señal de salida (Respuesta)

La representación en TD es muy similar al T C con algunos cambios conceptuales: x[n] (Excitación) Señales y Sistemas

Sistema

y[n] (Respuesta)

Ing. Diego Peñaloza

4

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.2 Diagramas de Bloque y Terminología de Sistemas en TC Los sistemas se pueden clasificar por su numero de entradas y salidas a) SISO:

Single Input – Single Output y(t)

𝓗

x(t)

(Respuesta)

(Excitación)

x(t)

𝓗

y(t)

Diagrama de Bloque donde: 𝓗es un Operador

Forma Relacional

y(t) = 𝓗{x(t)}

Forma Funcional

b) MIMO: Multiple Input – Multiple Output x1(t) x2(t) x3(t)

𝓗

(Respuestas)

(Excitaciones)

x1(t), x2(t), x3(t)

y1 (t) y2 (t)

𝓗

y1(t), y2(t)

y1(t), y2(t) = 𝓗{x1(t), x2(t), x3(t)} Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

5

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.2 Diagramas de Bloque y Terminología de Sistemas en TC

El proceso de describir un sistema y analizarlo sin construirlo se llama MODELADO Tarea fundamental del ingeniero

Con el modelo se puede:  Predecir el comportamiento (matemático), sin construirlo ni probarlo en una planta.  Reducir errores de producción,  Etc.

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

6

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.2 Diagramas de Bloque y Terminología de Sistemas en TC En “Señales y Sistemas” nos referiremos a dos tipos de sistemas:

Sistemas de Lazo Abierto

x(t) (Entrada)

𝑷𝒓𝒐𝒄𝒆𝒔𝒐 o Filtro

y(t) (Salida)

Sistemas de Lazo Cerrado (o Realimentado)

x(t) (Entrada)

+

∑ -

𝑷𝒓𝒐𝒄𝒆𝒔𝒐 o Filtro

y(t) (Salida)

Todo proceso de medida es una sistema de lazo abierto

El procesamiento de señales a menudo se le llama también FILTRO. Las ecuaciones que describen los procesos en TC son las Ecuaciones Diferenciales. Las ecuaciones que describen los procesos en TD son las Ecuaciones de Diferencias. Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

7

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC a.

HOMOGENEIDAD Un sistema es Homogéneo cuando cumple que:

𝑥1 𝑡

Si para

𝓗

𝑦1 𝑡

x1(t)

𝓗

y1 (t)

Entonces una nueva entrada

𝑥2 𝑡 = 𝑘𝑥1 𝑡 Produce una salida

𝑦2 𝑡 = 𝑘𝑦1 𝑡 k𝑥1 𝑡

Señales y Sistemas

𝓗

x1(t)

𝑥2 𝑡 = 𝑘𝑥1 𝑡 k

𝓗

𝑦2 𝑡 = 𝑘𝑦1 𝑡

k𝑦1 𝑡

Ing. Diego Peñaloza

8

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC a.

HOMOGENEIDAD (Ejemplo)

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

9

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC a.

HOMOGENEIDAD (Ejercicios) Indicar si las siguientes operaciones sobre la señal de entrada son homogéneas:

𝑦 𝑡 = Cos 𝑥(𝑡) 𝑦 𝑡 =

Señales y Sistemas

𝑑 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡

Ing. Diego Peñaloza

10

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC ADITIVIDAD

b.

Un sistema es Aditivo cuando cumple que:

𝑥1 𝑡

Si para Y para

𝑥2 𝑡

𝓗 𝓗

𝑦1 𝑡 𝑦2 𝑡

x1(t)

𝓗

y1 (t)

x2(t)

𝓗

y2 (t)

Entonces una nueva entrada

𝑥3 𝑡 = 𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡 Produce una salida

x1(t)

x3(t) ∑

𝓗

y3(t) = 𝑦1 𝑡 + 𝑦2 𝑡

𝑦3 𝑡 = 𝑦1 𝑡 + 𝑦2 𝑡 𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡 • •

𝓗

𝑦1 𝑡 + 𝑦2 𝑡

x2(t)

Un sistema Aditivo permite que la señal sea descompuesta en señales más simples y luego juntar todas las salidas para formar la salida total. Implica que el sistema responde de igual manera a una señal compuesta que a señales simples que se desprenden de la original.

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

11

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC b.

ADITIVIDAD (Ejemplo)

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

12

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC b.

ADITIVIDAD (Ejercicios) Indicar si las siguientes operaciones sobre la señal de entrada son aditivas:

𝑦 𝑡 = Cos 𝑥(𝑡)

𝑑 𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

13

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC c.

SUPERPOSICIÓN Las características de Homogeneidad y Aditivita juntas dan el principio de Superposición. Si un sistema tiene esta característica, se dice que es LINEAL Si para

α𝑥1 𝑡

Y para

𝛽𝑥2 𝑡

𝓗

𝓗

α𝑦1 𝑡

𝛽𝑦2 𝑡

α x1(t)

𝓗

α y1 (t)

𝛽x2(t)

𝓗

𝛽y2 (t)

Entonces una nueva entrada 𝑥3 𝑡 = α𝑥1 𝑡 + 𝛽𝑥2 𝑡

Produce una salida

αx1(t)

x3(t) ∑

α𝑥1 𝑡 +𝛽𝑥2 𝑡 Señales y Sistemas

y3(t) =

α𝑦1 𝑡 +𝛽𝑦2 𝑡

𝑦3 𝑡 = α𝑦1 𝑡 + 𝛽𝑦2 𝑡 𝓗

𝓗

𝛽x2(t)

α𝑦1 𝑡 +𝛽𝑦2 𝑡 Ing. Diego Peñaloza

14

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC SUPERPOSICIÓN

c.

Otra forma equivalente de representar en diagramas de bloque es: α𝑥1 𝑡 +𝛽𝑥2 𝑡

𝓗

α𝑦1 𝑡 +𝛽𝑦2 𝑡

𝓗 α𝑥1 𝑡 +𝛽𝑥2 𝑡 = α𝑦1 𝑡 +𝛽𝑦2 𝑡 𝓗 x3(t) = y3(t)

x1(t) αx1(t)

∑

x3(t)

𝓗

𝓗

y1 (t)

α

y3(t) =𝓗 x3(t)

∑ x2(t)

𝓗

y2 (t)

𝛽

α𝑦1 𝑡 +𝛽 𝑦2 𝑡 y3(t) =

𝛽x2(t)

Si se cumple, se dice que el sistema es LINEAL Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

15

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC d.

INVARIANZA EN EL TIEMPO Un sistema es Invariante en el tiempo, si cumple que:

Si para Y para

𝑥1 𝑡

𝓗

𝑥1 𝑡 − 𝑡0

𝑦1 𝑡 𝓗

𝑦1 𝑡 − 𝑡0 x1(t)

x1(t)

𝓗

y1 (t)

x1(t- 𝑡0)

𝓗

y1 (t- 𝑡0)

𝓗

y1 (t- 𝑡0)

x1(t- 𝑡0) Retardo

Si un sistema cumple con la Superposición (Homogeneidad + Aditividad) y además es Invariante en el Tiempo, se dice que es un Sistema LTI LTI = SISTEMA LINEAL INVARIANTE EN EL TIEMPO Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

16

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC d.

INVARIANZA EN EL TIEMPO (Ejemplo)

La salida del sistema depende de la forma de la entrada y no del tiempo en el que se aplica. A esto se le llama un Sistema Estacionario Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

17

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC e.

ESTABILIDAD Una señal es acotada si sus valores están determinados para cualquier valor de t, es decir: 𝑥(𝑡) < ∞

𝑝𝑎𝑟𝑎 − ∞ < 𝑡 < ∞

Un sistema puede tener las siguientes combinaciones de sus señales : a. Entrada Acotada (EA) o Bonded Input (BI) b. Salida Acotada (SA) o Bonded Output (BO) Se dice que un Sistema es ESTABLE si cumple que para una entrada acotada, produce una salida acotada. ESTABLE = Sistema EASA o BIBO

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

18

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC e.

ESTABILIDAD La estabilidad de un sistema se puede clasificar en:

Sistema ESTABLE

Señales y Sistemas

Sistema INDIFERENTE

Sistema INESTABLE

Ing. Diego Peñaloza

19

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC f.

CAUSALIDAD Si la respuesta de un sistema ocurre sólo durante o después del tiempo en el que se aplica una excitación, el sistema es CAUSAL. Causal – Efecto  La respuesta no puede aparecer antes de que se presente la entrada. No Causal  Anticipar el futuro. Los sistemas reales son causales.

También se puede usar esta idea para categorizar una señal en:  Señales causales, y;  Señales no causales.

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

20

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC g.

MEMORIA

Si la respuesta del sistema depende solo de los valores presentes en la entrada, decimos que es un Sistema SIN MEMORIA o ESTÁTICO. Si la salida de un sistema depende de valores presentes y pasados se dice que tiene MEMORIA o es DINÁMICO.

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

21

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los Sistemas 2.1.3 Propiedades de los Sistemas en TC h.

INVERTIBILIDAD

Si un sistema para una entrada única produce una salida única se dice que es INVERTIBLE Invertible significa que a partir de la salida se puede determinar la entrada sin ningún tipo de ambigüedades.

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

22

Señales y Sistemas CAPITULO 2 ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los sistemas. 2.2. Clasificación de los sistemas 2.3. Análisis de Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI). 2.4. La integral de Convolución. 2.5. Simulación con Diagramas de Bloque de ecuaciones diferenciales.

Señales y Sistemas

23

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.2. Clasificación de los Sistemas (Según su ecuación diferencial) Los Sistemas en TC (Sistemas Analógicos) se modelan mediante ecuaciones diferenciales que relacionan la salida y(t) con la entrada x (t) a través de los parámetros del sistema y la variable independiente t. Usando la notación:

𝑦

𝑛

𝑡 =

𝑑𝑛 𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 𝑛

La forma general de una ecuación diferencial es: 𝑦 (𝑛) 𝑡 + 𝑎1 𝑦 (𝑛−1) 𝑡 + . . . + 𝑎𝑛 𝑦 𝑡 = 𝑏0 𝑥 (𝑚) 𝑡 + 𝑏1 𝑥 (𝑚−1) 𝑡 + . . . + 𝑏𝑚 𝑥(𝑡)

El orden 𝒏 se refiere al orden mas alto de la derivada de la salida y(t) El orden 𝒎 se refiere al orden mas alto de la derivada de la entrada x(t) Los coeficientes 𝑎𝑖 y 𝑏𝑗 pueden ser constantes o funciones de 𝑦 𝑡 , 𝑥(𝑡), y/o 𝑡

Usando el Operador Derivada:

𝑆𝑘

=

𝑑𝑘 𝑑𝑡 𝑘

, con 𝑆 0 ≡ 1

La forma general de una ecuación diferencial queda: 𝑆 𝑛 + 𝑎1 𝑆 𝑛−1 + . . . + 𝑎𝑛−1 𝑆 + 𝑎𝑛 𝒚 𝒕 = 𝑏0 𝑆 𝑚 + 𝑏1 𝑆 𝑚−1 + . . . + 𝑏𝑚−1 𝑆 + 𝑏𝑚 𝒙(𝒕)

Veamos como influye estos coeficientes en el comportamiento del sistema! Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

24

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.2. Clasificación de los Sistemas (Según su ecuación diferencial) 2.2.1 Linealidad Un sistema lineal es aquel que cumple con la superposición, e implica tres restricciones: 1. El sistema de ecuaciones debe incluir solo operadores lineales. 2. El sistema de ecuaciones no debe contener fuentes internas independientes. 3. El sistema de ecuaciones debe ser relajado (condiciones iniciales iguales a cero). Sabemos que un sistema LINEAL cumple con: a) La Homogeneidad: Si la entrada se escala, la salida se escala en igual valor, y si la entrada se hace cero, la salida también. Por tanto la relación Entrada vs Salida será una recta que cruza por el origen. 𝑺𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂

entrada

𝒚 𝒕 𝑏0 𝑆 𝑚 + 𝑏1 𝑆 𝑚−1 + . . . + 𝑏𝑚−1 𝑆 + 𝑏𝑚 = 𝒙(𝒕) 𝑆 𝑛 + 𝑎1 𝑆 𝑛−1 + . . . + 𝑎𝑛−1 𝑆 + 𝑎𝑛 Siempre esta normalizado = 1,

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

25

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.2. Clasificación de los Sistemas (Según su ecuación diferencial) 2.2.1 Linealidad Un sistema lineal es aquel que cumple con la superposición, e implica tres restricciones: 1. El sistema de ecuaciones debe incluir solo operadores lineales. 2. El sistema de ecuaciones no debe contener fuentes internas independientes. 3. El sistema de ecuaciones debe ser relajado (condiciones iniciales iguales a cero). Sabemos que un sistema LINEAL cumple con: b) La Aditividad: Las fuentes independientes son de valor constante, y NO pasan por el origen, por tanto vuelven al sistema No Lineal. Sin embargo gracias al principio de ADITIVIDAD es posible tratar a las fuentes independientes y a las condiciones iniciales como entradas adicionales, y analizar el sistema como de MULTIPLES entradas. La salida es entonces la SUPERPOSICIÓN de las salidas individuales. Como resultado, la respuesta total puede escribirse como la suma de: Respuesta TOTAL = Respuesta de ENTRADA CERO + Respuesta de ESTADO CERO Debido solo a las condiciones iniciales

Debido solo a la entrada

Esto se llama Principio de Descomposición Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

26

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.2. Clasificación de los Sistemas (Según su ecuación diferencial) 2.2.1 Linealidad (ejemplo) Se muestran las relaciones entrada-salida para cuatro sistemas. ¿Cuál de los siguientes sistemas son LINEALES?

𝑺𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂

𝑺𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂

entrada

𝑺𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂

entrada

𝑺𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂

entrada

a)

b)

c)

LINEAL Su relación pasa por el origen.

NO LINEAL Típico de un rectificador de media onda

NO LINEAL Describe el comportamiento de una fuente interna

Señales y Sistemas

entrada

d) NO LINEAL Describe el comportamient o de un amplificador Operacional Ing. Diego Peñaloza

27

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.2. Clasificación de los Sistemas (Según su ecuación diferencial) 2.2.2 Invariante en el Tiempo También llamada Invariante al desplazamiento implica que la forma de la salida 𝒚 𝒕 depende solo de la forma de la entrada 𝒙(𝒕) y no del tiempo en el que se aplica. En otras palabras el sistema no cambia con el tiempo, y se le denomina Estacionario o Fijo. Cada elemento de un sistema invariante en el tiempo debe en si mismo invariante en el tiempo con un valor que es constante respecto al tiempo. a) Si el valor del elemento depende de la entrada o de la salida, esto provoca que el sistema sea NO Lineal. Un termino constante provoca el mismo efecto. b) Los coeficientes de las ecuaciones diferenciales de un sistema (que están relacionados con los valores de los elementos) no deben mostrar dependencia del tiempo, caso contrario provocan que el sistema sea Variante en el Tiempo. (ejemplo una resistencia variable con el tiempo). c) Las entradas escaladas en tiempo tales como 𝒚 α𝒕 también hacen a un sistema variante en el Tiempo.

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

28

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.2. Clasificación de los Sistemas (Según su ecuación diferencial) 2.2.2 Invariante en el Tiempo (ejemplos) a) 𝒚 𝒕 = 𝒙 𝒕 𝒙´(𝒕)

No Lineal, pero invariante en el tiempo

b) 𝒚 𝒕 = 𝒕𝒙 𝒕

Lineal, pero variante en el tiempo

c) 𝒚 𝒕 = 𝒙 α𝒕

Lineal, pero variante en el tiempo

d) 𝒚 𝒕 = 𝒙 𝒕 − 𝟐

Lineal, e invariante en el tiempo (LTI)

e) 𝒚 𝒕 = 𝒆𝒙 𝒕 𝒙 𝒕

No Lineal, e invariante en el tiempo

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

29

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.2. Clasificación de los Sistemas (Según su ecuación diferencial) 2.2.3 Resumen de Sistemas Lineales e Invariante en el Tiempo LTI Un sistema LTI se describe por medio de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes (EDLCC). 𝑦 (𝑛) 𝑡 + 𝑎1 𝑦 (𝑛−1) 𝑡 + . . . + 𝑎𝑛 𝑦 𝑡 = 𝑏0 𝑥 (𝑚) 𝑡 + 𝑏1 𝑥 (𝑚−1) 𝑡 + . . . + 𝑏𝑚 𝑥(𝑡) • •

Todos los términos contienen una 𝑦 𝑡 o una 𝑥(𝑡) Todos los coeficientes son constantes (no son funciones de 𝒚 𝑡 , 𝒙 𝑡 𝑜 𝒕

Que hace a un sistema de ecuaciones diferenciales No Lineal o Invariante en el Tiempo? 1. Es No lineal si cualquier término es una constante o una función No lineal de 𝒙 𝑡 o 𝒚 𝑡 . 2. Es Variante en el Tiempo si el coeficiente de cualquier término en 𝒙 𝑡 o 𝒚 𝑡 es una función explicita de t.

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

30

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.2. Clasificación de los Sistemas (Según su ecuación diferencial) 2.2.3 Resumen de Sistemas Lineales e Invariante en el Tiempo LTI Ejemplos: Encuentre las ecuaciones diferenciales de cada uno de los sistemas y determine si son Lineales e Invariantes en el Tiempo. 3Ω

+

+

3𝑖2(𝑡)

+

𝑣(𝑡)

𝑖(𝑡)

𝑣(𝑡)

𝑖(𝑡)

+

𝑖(𝑡)

𝑣(𝑡)

𝑣(𝑡)

(a)

(b)

2

𝑑 𝑖(𝑡) + 3𝑖2 𝑡 = 𝑣 𝑡 𝑑𝑡

𝑖(𝑡)

2H

2H

-

𝑑 𝑖(𝑡) + 3𝑖 𝑡 = 𝑣 𝑡 𝑑𝑡

3𝑡

+

2H

2

3Ω

-

-

4V

2H

+

-

(c)

2

𝑑 𝑖(𝑡) + 3𝑖 𝑡 + 4 = 𝑣 𝑡 𝑑𝑡

(d)

2

𝑑 𝑖(𝑡) + 3𝑡 𝑖 𝑡 = 𝑣 𝑡 𝑑𝑡

2𝑖´ 𝑡 + 3𝑖 𝑡 = 𝑣(𝑡)

2𝑖´ 𝑡 + 3𝑖2 𝑡 = 𝑣(𝑡)

2𝑖´ 𝑡 + 3𝑖 𝑡 + 4 = 𝑣(𝑡)

2𝑖´ 𝑡 + 3𝑡 𝑖 𝑡 = 𝑣(𝑡)

(2𝑆 + 3)𝑖 𝑡 = 𝑣(𝑡)

Es NO Lineal, pero invariante en el tiempo: Tiene un elemento No lineal

Es No Lineal, pero Invariante en el Tiempo: Tiene un término constante debido a la fuente de 4V

Es Lineal, pero Variante en el tiempo: Debido a que un elemento es dependiente del tiempo

Es LTI: Todos los valores de los elementos son constantes Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

31

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.2. Clasificación de los Sistemas (Según su ecuación diferencial) 2.2.3 Resumen de Sistemas Lineales e Invariante en el Tiempo LTI Tratamiento de la señal de entrada En un sistema LTI, si una señal de entrada 𝒙 𝑡 se somete a una operación lineal, su salida 𝒚 𝑡 estará sujeta a la misma operación lineal. (ejemplo la derivada) La propiedad de SUPERPOSICIÓN hace mas simple el análisis de los sistemas lineales, ya que permite descomponer una señal en sus componentes mas simples y analizar sus respuestas por separado, para luego hallar la respuesta total por superposición. Esta aproximación (descomposición y superposición) es la base para varios métodos de análisis de sistemas: 1. La representación de 𝒙 𝑡 como la suma ponderada de impulsos es la base del método de Convolución. 2. La representación de una señal 𝒙 𝑡 como una combinación lineal de señales armónicas es la base de las Series de Fourier. 3. La representación de una señal 𝒙 𝑡 como una serie ponderada de exponenciales complejas es la base para las transformadas de Fourier y Laplace.

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

32

Señales y Sistemas CAPITULO 2 ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los sistemas. 2.2. Clasificación de los sistemas 2.3. Análisis de Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI). 2.4. La integral de Convolución. 2.5. Simulación con Diagramas de Bloque de ecuaciones diferenciales.

Señales y Sistemas

33

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.1 Introducción Existes tres modelos para analizar los sistemas LTI en el dominio del tiempo: 1. La representación con Ecuaciones Diferenciales a) Aplicable a sistemas incluso a sistemas No Lineales y Variantes en el tiempo. b) Es posible resolver sistemas LTI con condiciones iniciales usando la superposición. c) Su complejidad aumenta conforme aumenta el orden de las ED. (desventaja)

2. La representación de Variables de Estado. (este tema no se desarrolla en esta materia) a) Describe un sistema ED de orden 𝒏, con 𝒏 ecuaciones simultaneas de primer orden llamadas Ecuaciones de Estado, con 𝒏 variables de estado. b) Es muy útil para sistemas No Lineales complejos y del tipo MIMO. c) Para el caso de Sistemas Lineales las ecuaciones de estado pueden resolverse con métodos matriciales.

3. La representación de Respuesta al Impulso. a) Describe un sistema LTI relajado mediante su respuesta al impulso 𝒉(𝑡). b) La respuesta del sistema aparece implícita en la ecuación gobernante llamada Integral de Convolución. c) Es un puente entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia (Transformadas de Fourier y Laplace). Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

34

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.2 Sistemas LTI descritos con ED Todos los coeficientes son constantes, por lo tanto se trata de una EDLCC

Consideremos que: 1. Una ecuación diferencial de orden 𝒏, requiere 𝒏 condiciones iniciales (CI) 𝑦 0 , 𝑦1 0 , . . . , 𝑦 𝑛−1 0

2. La solución resultante es valida para 𝑡 ≫ 0

3. Una técnica válida para resolver las EDLCC es el método de los coeficientes indeterminados, cuya respuesta total es la suma de la respuesta natural 𝒚𝑵 𝑡 y la respuesta forzada 𝒚𝑭 𝑡 𝒚(𝒕) = 𝒚𝑵 𝑡 + 𝒚𝑭 𝑡 También conocidas como: Respuesta Particular 𝒚𝒑 𝑡 Respuesta Homogénea 𝒚𝒉 𝑡

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

35

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.2 Sistemas LTI descritos con ED Todos los coeficientes son constantes, por lo tanto se trata de una EDLCC

CASO DE UNA SOLA ENTRADA (SISO) Iniciamos el análisis con una Ecuación Diferencial de orden 𝒏, con una sola entrada 𝒙 𝑡 cuyo coeficiente es la unidad. 𝑦 (𝑛) 𝑡 + 𝑎1 𝑦 (𝑛−1) 𝑡 + . . . +𝑎𝑛−1 𝑦1 𝑡 + 𝑎𝑛 𝑦 𝑡 = 𝑏0 𝑥 (𝑚) 𝑡 + 𝑏1 𝑥 (𝑚−1) 𝑡 + . . . + 𝑏𝑚 𝑥 𝑡 𝑦 (𝑛) 𝑡 + 𝑎1 𝑦 (𝑛−1) 𝑡 + . . . +𝑎𝑛−1 𝑦1 𝑡 + 𝑎𝑛 𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡) 𝑆 𝑛 + 𝑎1 𝑆 𝑛−1 + . . . + 𝑎𝑛−1 𝑆 + 𝑎𝑛 𝒚 𝒕 𝑆 𝑛 + 𝑎1 𝑆 𝑛−1 + . . . + 𝑎𝑛−1 𝑆 + 𝑎𝑛 =0

= 𝒙(𝒕) Ecuación (o polinomio) característica

La forma de la respuesta Natural depende solo de los detalles del sistema y es independiente de la forma de la entrada. La respuesta Natural es la suma de exponenciales cuyos exponentes son las raíces reales o complejas de la ecuación característica. 𝒚𝑵 𝑡 = 𝐾1 𝑒 𝑠1 𝑡 + 𝐾2 𝑒 𝑠2 𝑡 +. . . +𝐾𝑛 𝑒 𝑠𝑛𝑡 Donde los 𝐾𝑖 siguen siendo constantes indeterminadas, que se evalúan con las condiciones iniciales dadas, pero solo después que se haya establecido la respuesta total. Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

36

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.2 Sistemas LTI descritos con ED Todos los coeficientes son constantes, por lo tanto se trata de una EDLCC

CASO DE UNA SOLA ENTRADA (SISO) La respuesta Forzada es el resultado de la interacción del sistema con la entrada, por lo tanto depende de la naturaleza del sistema como de la forma de la entrada. Las constantes de la respuesta forzada pueden encontrarse de manera única e independiente de la respuesta natural o de las condiciones iniciales, cumpliendo simplemente con la ecuación diferencial dada. La respuesta Total se obtiene simplemente añadiendo (primero) las respuesta forzada y natural y evaluando luego las constantes indeterminadas (en la componente natural), usando las condiciones iniciales dadas. OBSERVACIÓN: Para sistemas estable, la respuesta natural recibe también el nombre de respuesta Transitoria, ya que decae a cero con el tiempo. Para ellos se requiere que las raíces de la ecuación característica tenga raíces negativas. Para sistemas con entradas armónicas conmutadas, la respuesta forzada es también un armónico a la frecuencia de la entrada y se denomina la Respuesta de Estado Estacionario. Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

37

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.2 Sistemas LTI descritos con ED Todos los coeficientes son constantes, por lo tanto se trata de una EDLCC

FORMAS DE LA RESPUESTA NATURAL

Entrada

Raíz de la ecuación característica

Forma de la respuesta natural

1

Real y distinta: r

𝐾𝑒 𝑟𝑡

2

Conjugada compleja: 𝛽 ± j𝜔

𝑒 𝛽𝑡 [𝐾1 Cos 𝜔𝑡 + 𝐾2 Sen 𝜔𝑡 ]

3

Real, repetida: r p+1

𝑒 𝑟𝑡 (𝐾0 + 𝐾1 𝑡 + 𝐾2𝑡2. . . +𝐾𝑝𝑡𝑝)

4

Complejas, repetidas: (𝛽 ± j𝜔) p+1

𝑒 𝛽𝑡 Cos 𝜔𝑡 (𝐴0 + 𝐴1 𝑡 + 𝐴2𝑡2. . . +𝐴𝑝𝑡𝑝) + 𝑒 𝛽𝑡 Sen 𝜔𝑡 (𝐵0 + 𝐵1 𝑡 + 𝐵2𝑡2. . . +𝐵𝑝𝑡𝑝)

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

38

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.2 Sistemas LTI descritos con ED Todos los coeficientes son constantes, por lo tanto se trata de una EDLCC

FORMAS DE LA RESPUESTA FORZADA Entrada

Función forzada (RHS)

Forma de la función forzada

1

C0 (constante)

𝐶1 (otra constante)

2

𝑒 𝛼𝑡

3

Cos 𝜔𝑡 + 𝛽

4

𝑒 𝛼𝑡 Cos 𝜔𝑡 + 𝛽

5

t

C0 + C1t

6

tp

C0 + C1 t + C2 t2 + . . . + Cp tp

7

t 𝑒 𝛼𝑡

(vea la nota abajo)

𝑒 𝛼𝑡 (C0 + C1t)

8

tp 𝑒 𝛼𝑡

(vea la nota abajo)

𝑒 𝛼𝑡 (C0 + C1 t + C2 t2 + . . . + Cp tp )

9

t Cos 𝜔𝑡 + 𝛽

(vea la nota abajo)

𝐶𝑒 𝛼𝑡 𝐶1𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝐶2𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡

(vea la nota abajo)

𝑜 𝐶 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃)

𝑒 𝛼𝑡 [𝐶1𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝐶2𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡 ]

(C1 + C2t) 𝐶𝑜𝑠 𝜔𝑡 + (C3 + C4t)𝑆𝑒𝑛 𝜔𝑡

NOTA: Si el lado derecho RHS es 𝒆𝜶𝒕 donde 𝜶 es también una raíz de la ecuación característica repetida r veces, la respuesta forzada debe multiplicarse por tr . Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

39

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.2 Sistemas LTI descritos con ED Todos los coeficientes son constantes, por lo tanto se trata de una EDLCC

RESUMEN: Respuesta Total = Respuesta Natural + Respuesta Forzada 𝒚𝑻(𝒕) = 𝒚𝑵 𝑡 + 𝒚𝑭 𝑡 • • •

Las raíces de la ecuación característica determinan sólo la forma de la respuesta natural. Los términos de entrada RHS de la ecuación diferencial determinan completamente la respuesta forzada. Las condiciones iniciales satisfacen la respuesta total para dar las constantes en la respuesta natural.

EJEMPLOS Realizar los ejercicios del 4.2 al 4.9 pagina 89 Ambardar

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

40

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.3 Respuesta de estado cero y la respuesta de entrada cero

A veces se requiere expresar la respuesta total 𝒚𝑻(𝒕) de un sistema LTI como la suma de respuesta de estado cero 𝒚𝒛𝒔(𝒕) (suponiendo condiciones iniciales cero) mas su respuesta de entrada cero 𝒚𝒛𝒊(𝒕)(suponiendo la entrada igual a cero). Respuesta Total = Respuesta de entrada cero + Respuesta estado cero 𝒚𝑻(𝒕) = 𝒚𝒛𝒊(𝒕) + 𝒚𝒛𝒔(𝒕) • • •

𝒚𝑻(𝒕) = 𝒚𝑵 𝑡 + 𝒚𝑭 𝑡

Cada componente 𝒚𝒛𝒊(𝒕) o 𝒚𝒛𝒔 𝒕 obedece a la superposición, y tienen sus propias partes natural y forzada. Cada componente se encuentra por el método de coeficientes indeterminados. Nótese que las componentes 𝒚𝑵 𝑡 y 𝒚𝑭 𝑡 no corresponden a la 𝒚𝒛𝒊(𝒕) y 𝒚𝒛𝒔(𝒕) respectivamente.

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

41

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.3 Respuesta de estado cero y la respuesta de entrada cero Ejemplo 4.7 Ambardard. Considere: 𝑦 ′′ 𝑡 + 3𝑦′ 𝑡 + 2𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡) con 𝑥 𝑡 = 4𝑒 −3𝑡 y sus condiciones iniciales 𝑦 0 = 3, y 𝑦 ′ 0 = 4 Encuentre su respuesta de entrada cero y de estado cero. La ecuación características es:

𝑠 2 + 3𝑠 + 2 = 0

𝑠+1 𝑠+2 =0

𝑠+1=0 𝒔 = −𝟏

𝑠+2=0 𝒔 = −𝟐

𝑦𝑧𝑖 𝑡

La respuesta natural:

𝑦𝑁 𝑡 = 𝐾1 𝑒 𝑠1 𝑡 + 𝐾2 𝑒 𝑠2 𝑡 = 𝐾1 𝑒 −𝑡 + 𝐾2 𝑒 −2𝑡

1. La respuesta de entrada cero 𝑦𝑧𝑖 𝑡 se obtiene de 𝑦𝑁 𝑡 y las condiciones iniciales dadas, haciendo:

𝑥 𝑡 =0

𝑦 0 =3

𝑦𝑧𝑖 𝑡 = 𝑦𝑁 𝑡 + 𝑦F (𝑡)

Señales y Sistemas

𝑦′ 0 = 4

𝑦 ′′ 𝑡 + 3𝑦 ′ 𝑡 + 2𝑦 𝑡 = 0

Ing. Diego Peñaloza

42

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.3 Respuesta de estado cero y la respuesta de entrada cero

Este tema se desarrollo en la pizarra

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

43

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.3 Respuesta de estado cero y la respuesta de entrada cero

Este tema se desarrollo en la pizarra

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

44

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.4 Respuesta al impulso como método de solución de los sistemas LTI u(t) δ(t)

δ 𝑡 = 𝑢′ 𝑡 =

𝑷𝒓𝒐𝒄𝒆𝒔𝒐 LTI relajado

𝑑 𝑢(𝑡) 𝑑𝑡

𝑑 𝑠(𝑡) ℎ 𝑡 = 𝑠′ 𝑡 = 𝑑𝑡

s(t)

LTI relajado → 𝐶𝐼 ≡ 0

h(t)

RESPUESTA DE ESTADO CERO

𝑡

u 𝑡 = ‫׬‬−∞ δ(𝑡) 𝑑𝑡 𝑡

𝑠 𝑡 = න ℎ(𝑡) 𝑑𝑡 −∞

La respuesta al impulso es un método poderos para evaluar la respuesta de estado cero de un sistema LTI a entradas arbitrarias, usando superposición. La respuesta al impulso esta relacionada con la Función de Transferencia en el dominio de la Frecuencia (Transformada de Fourier y Laplace) La respuesta al impulso h(t) y la respuesta al escalón s(t) se emplean frecuentemente para caracterizar el desempeño de sistemas y filtros en el dominio del tiempo. La respuesta al impulso es la derivada de la respuesta al escalón Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

45

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.3 Análisis de los Sistemas LTI 2.3.4 Respuesta al impulso como método de solución de los sistemas LTI u(t) δ(t)

𝑷𝒓𝒐𝒄𝒆𝒔𝒐 LTI relajado

s(t) h(t)

LTI relajado → 𝐶𝐼 ≡ 0

RESPUESTA DE ESTADO CERO

Ejemplo.

Este tema se desarrollo en la pizarra

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

46

Señales y Sistemas CAPITULO 2 ANÁLISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.1. Características de los sistemas. 2.2. Clasificación de los sistemas 2.3. Análisis de Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI). 2.4. La integral de Convolución. 2.5. Simulación con Diagramas de Bloque de ecuaciones diferenciales.

Señales y Sistemas

47

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.1 Obtención de la Integral de Convolución El método de la Convolución se aplica solo a sistemas LTI. Nos permite encontrar la respuesta de estado cero 𝑦𝑧𝑠(𝑡). Se asume que el sistema esta representado por la Respuesta al Impulso ℎ(𝑡). δ(t)

h(t) x(t)

(1) t

δ(t-t0)

𝑷𝒓𝒐𝒄𝒆𝒔𝒐 LTI

y(t) t

h(t-t0)

(1) t

t0

δ(t-2t0)

h(t-2t0)

(1) t

2t0

δ(t-3t0)

t

t0

h(t-3t0)

(1) t

3t0

t

2t0

3t0

t

y(t) x(t)

(1)

∞

∞

𝑥 𝑡 = ෍ δ(t−kt0)

𝑦 𝑡 = ෍ h(t−kt0)

𝑘=−∞

𝑘=−∞

t

Señales y Sistemas

t

Ing. Diego Peñaloza

48

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.1 Obtención de la Integral de Convolución x(t)

y(t) x(t)

(1) t

𝑷𝒓𝒐𝒄𝒆𝒔𝒐 LTI

y(t) t

¿Que pasa si x(t) es de altura diferente de 1? y2(t)

x2(t) x(t)

(1) t

𝑷𝒓𝒐𝒄𝒆𝒔𝒐 LTI

y(t) t

∞

∞

𝑥2 𝑡 = ෍ 𝑥 𝑘𝑡0 δ(t−kt0) 𝑘=−∞

𝑦2 𝑡 = ෍ 𝑥 𝑘𝑡0 h(t−kt0)

K = Constante para cada t0

𝑘=−∞

K = Constante para cada t0

donde 𝑘 = 0, ±1, ±2, ±3, … ± ∞ Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

49

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.1 Obtención de la Integral de Convolución ¿Que pasa si x(t) es de altura variable en TC? x3(t)

y3(t)

x(t)

(1)

t

𝑷𝒓𝒐𝒄𝒆𝒔𝒐 LTI

y(t) t

t0

Ahora 𝑥3 𝑡 será aproximada por la suma de rectángulos construidos en 𝑘𝑡0 ∞

∞

𝑥3 𝑡 = ෍ t0 𝑥 𝑘𝑡0 δ(t−kt0) 𝑘=−∞

K = Constante para cada t0

𝑦3 𝑡 = ෍ t0 𝑥 𝑘𝑡0 h(t−kt0) 𝑘=−∞

K = Constante para cada t0

En el limite cuando t0 → 𝑑λ → 0, kt0 describe la variable continua λ, y por tanto podemos representar en la forma llamada Integral de Convolución: ∞

𝑥3 𝑡 = න 𝑥 λ δ(t−λ) 𝑑λ −∞

Señales y Sistemas

∞

𝑦3 𝑡 = න 𝑥 λ h(t−λ) 𝑑λ −∞

Ing. Diego Peñaloza

50

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.1 Obtención de la Integral de Convolución ∞

∞

𝑥 𝑡 = න 𝑥 λ δ(t−λ) 𝑑λ

𝑦 𝑡 = න 𝑥 λ h(t−λ) 𝑑λ

−∞

−∞

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 *h(t)

𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 *δ(t)

En general, la Integral de Convolución para dos señales cualesquiera f(t) y g(t) será: ∞

z 𝑡 = 𝑓 𝑡 ∗g(t) = න 𝑓 λ g(t−λ) 𝑑λ −∞

Propiedad Conmutativa: La convolución puede ejecutarse en cualquier orden ∞

z 𝑡 = 𝑔 𝑡 ∗f(t) = න 𝑔 λ f(t−λ) 𝑑λ −∞

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

51

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.1 Obtención de la Integral de Convolución ∞

∞

𝑥 𝑡 = න 𝑥 λ δ(t−λ) 𝑑λ

𝑦 𝑡 = න 𝑥 λ h(t−λ) 𝑑λ

−∞

−∞

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 *h(t)

𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 *δ(t)

En general, la Integral de Convolución para dos señales cualesquiera f(t) y g(t) será: ∞

z 𝑡 = 𝑓 𝑡 ∗g(t) = න 𝑓 λ g(t−λ) 𝑑λ −∞

Propiedad Conmutativa: La convolución puede ejecutarse en cualquier orden ∞

z 𝑡 = 𝑔 𝑡 ∗f(t) = න 𝑔 λ f(t−λ) 𝑑λ −∞

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

52

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.1 Obtención de la Integral de Convolución (Relación con los sistemas LTI) ∞

∞

𝑥 𝑡 = න 𝑥 λ δ(t−λ) 𝑑λ −∞

𝑦 𝑡 = න 𝑥 λ h(t−λ) 𝑑λ −∞

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 *h(t)

𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 *δ(t)

Analizando los resultados encontrados reescribiéndoles como un operador: 𝑥 𝑡

∗δ(t)

𝑥 𝑡

LTI

La Convolución de una señal con un pulso de Dirac, da como resultado la misma señal

𝑥 𝑡

∗h(t)

𝑦 𝑡

LTI

La respuesta de un sistema a cualquier señal de entrada es la Convolución de esta señal con la Respuesta al Impulso. Esta es la base para la resolución de la ED por el método de la Respuesta al Impulso. Esto sugiere que debo resolver la ecuación diferencial del sistema UNA SOLA VEZ para encontrar la Respuesta al Impulso.

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

53

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.2 La Integral de Convolución (Interpretación Gráfica) ∞

∞

𝑥 𝑡 = න 𝑥 λ δ(t−λ) 𝑑λ −∞

−∞

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 *h(t)

𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 *δ(t) 𝑥 𝑡

∗δ(t) LTI

Señales y Sistemas

𝑦 𝑡 = න 𝑥 λ h(t−λ) 𝑑λ

𝑥 𝑡

𝑥 𝑡

∗h(t)

𝑦 𝑡

LTI

Ing. Diego Peñaloza

54

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.3 Convolución Gráfica

∞

Encontrar: 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡

𝑦 𝑡 = න 𝑥 𝜏 h(t−𝜏) 𝑑𝜏 −∞

𝑥 𝑡 =2 𝑢 𝑡+3 −𝑢 𝑡−1

-5

-4

-3

-2

-1

𝑥 𝜏

3

3

2

2

1

1

0

1

2

3

4

t

5

ℎ 𝑡 = 𝑢 𝑡 + 1 − 𝑢(𝑡 − 1)

-3

-2

-1

2

2

1

1 0

1

2

t

-3

-2

-1

-5

-4

-3

-2

-1

ℎ 𝜏

0

1

2

3

4

5

𝝉

4

5

𝝉

ℎ −𝝉

2 1

0

1

2

𝝉

-3

-2

-1

0

1

𝝉

2

ℎ −𝝉 + 𝒕 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

𝒕 Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

55

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.3 Convolución Gráfica

∞

Encontrar: 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡

𝑦 𝑡 = න 𝑥 𝜏 h(t−𝜏) 𝑑𝜏 −∞

Proceso: 𝑦 𝑡 4

-5

-4

-3

-2

3

3

2

2

1

1

-1

0

1

2

3

4

5

𝝉

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

𝒕

2

3

4

5

𝒕

𝒚 𝒕 = −𝟒 = 𝟎

𝒕 = −𝟒

Área=Base x Altura Base Común Altura: Producto instantáneo de los valores de 𝑥 𝜏 h(t−𝜏)

-5

-4

-3

-2

4

3

3

2

2

1

1

-1

𝒕 = −𝟐

Señales y Sistemas

𝑦 𝑡

0

1

2

3

4

5

𝝉

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

𝒚 𝒕 = −𝟐 = 𝟒 Ing. Diego Peñaloza

56

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.3 Convolución Gráfica

Encontrar: 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ 𝑡

Proceso: 𝑦 𝑡 4

-5

-4

-3

-2

3

3

2

2

1

1

-1

0 1 𝒕=𝟎

2

3

4

5

𝝉

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

𝒕

4

5

𝒕

𝒚 𝒕=𝟎 =𝟒

𝑦 𝑡 4

-4 -3 -2 -1

3

3

2

2

1

1

0 1 𝒕=𝟐

Señales y Sistemas

2

3

4

5

𝝉

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

𝒚 𝒕 = 𝟐 =0 Ing. Diego Peñaloza

57

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.3 Convolución Gráfica Resumiendo:

𝑥 𝑡 =2 𝑢 𝑡+3 −𝑢 𝑡−1 3

PROPIEDADES

2

1.

1 -5

-4

-3

-2

-1

0

2

1

2

3

4

5

t

ℎ 𝑡 = 𝑢 𝑡 + 1 − 𝑢(𝑡 − 1)

Los puntos de cambio (PC) en las abscisas de 𝑦 𝑡 se obtienen con la suma dos a dos, que se obtiene listando los puntos de cambio de cada señal y operándolos (suma algebraica) con cada uno de los puntos de cambio de la otra señal:

1 -3

-2

-1

0

1

t

2

𝑦 𝑡 =𝑥 𝑡 ∗ℎ 𝑡

PC𝑥 𝑡 :

-3 , 1

PCℎ 𝑡 :

-1 , 1

PC𝑦 𝑡 : -3 + (-1), -3 + (1), 1 + (-1), 1 + (1)

4 3

PC𝑦 𝑡 :

-4,

-2 ,

0,

2

2

Si es necesario hay que ordenar y eliminar los valores repetidos

1 -5

-4

-3

Señales y Sistemas

-2

-1

0

1

2

3

4

5

𝒕 Ing. Diego Peñaloza

58

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución PROPIEDADES

2.4.3 Convolución Gráfica Resumiendo:

2.

El puntos inicial de la señal 𝑦 𝑡 , se obtienen sumando algebraicamente los puntos iniciales de 𝑥 𝑡 con los de ℎ 𝑡 : • Pinicial 𝑦 𝑡 = Pinicial 𝑥 𝑡 + Pinicial ℎ 𝑡 • Pinicial 𝑦 𝑡 = -3 + (-1) = -4

3.

El punto final de la señal 𝑦 𝑡 , se obtienen sumando algebraicamente los puntos finales de 𝑥 𝑡 con los de ℎ 𝑡 : • Pfinal 𝑦 𝑡 = Pfinal 𝑥 𝑡 + Pfinal ℎ 𝑡 • Pfinal 𝑦 𝑡 = 1 + 1 = 2

4.

La duración de total de la función 𝑦 𝑡 es igual a la suma de la duración de 𝑥 𝑡 y ℎ 𝑡 : • D𝑦 𝑡 =D𝑥 𝑡 +Dℎ 𝑡 • D𝑦 𝑡 =4+2=6

5.

El área total bajo la curva 𝑦 𝑡 es igual al producto del área total de cada curva 𝑥 𝑡 yℎ 𝑡 : • A𝑦 𝑡 =A𝑥 𝑡 ∙Aℎ 𝑡 • A 𝑦 𝑡 = 8 ∙ 2 = 16

𝑥 𝑡 =2 𝑢 𝑡+3 −𝑢 𝑡−1 3 2 1

-5

-4

-3

-2

-1

0

2

1

2

3

4

5

t

ℎ 𝑡 = 𝑢 𝑡 + 1 − 𝑢(𝑡 − 1)

1 -3

-2

-1

0

1

t

2

𝑦 𝑡 =𝑥 𝑡 ∗ℎ 𝑡 4 3 2 1 -5

-4

-3

Señales y Sistemas

-2

-1

0

1

2

3

4

5

𝒕

Ing. Diego Peñaloza

59

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.3 Convolución Gráfica Ahora expresemos matemáticamente el resultado:

𝑦 𝑡 =𝑥 𝑡 ∗ℎ 𝑡 4 3 2 1 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

𝒕

𝒕+𝟐 𝒕 𝒚 𝒕 = 𝟒 𝒕𝒓𝒊 + 𝟒 𝒕𝒓𝒊 𝟐 𝟐

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

60

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.4 Convolución con impulsos Recordemos que la convolución de una señal con un impulso, reproduce la misma señal 𝑥 𝑡

𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 *δ(t)

𝑥 𝑡

∗δ(t) LTI

Si desplazamos el impulso tendremos la función original desplazada igual cantidad. 𝑥 𝑡

𝑥 𝑡 − 1 = 𝑥 𝑡 *δ(t−1)

𝑥 𝑡−1

∗δ(t−1) LTI

𝑥 𝑡 − 1 = δ(t)∗𝑥 𝑡 − 1 δ 𝑡

𝑥 𝑡−1

∗𝑥(t−1) LTI

𝑥 𝑡

ℎ 𝑡 4

4

3

3

3

2

2

*

1 -3

-2

Señales y Sistemas

-1

𝑥 𝑡−𝟏

4

(1)

1 0

1

2

3

𝑡

-3

-2

-1

2

= 0

1

1 2

3

𝑡

-3

-2

-1

0

1

2

3

Ing. Diego Peñaloza

𝑡 61

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.4 Convolución con impulsos Veamos como podemos usar el principio de superposición para resolver el siguiente problema de convolución con un tren de pulsos. 𝑡

Sean 𝑥 𝑡 = 4𝑡𝑟𝑖 y ℎ 𝑡 = δ(t+1) + δ(t−1), grafique: a) su convolución 𝑦 𝑡 = 2 𝑥 𝑡 *h(t), b) su producto 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∙ h(t) y encuentre sus áreas en cada caso.

𝑥 𝑡

ℎ 𝑡

4

4

3

3

2

2

(1)

1

-3

Señales y Sistemas

-2

-1

0

1

2

3

𝑡

-3

-2

(1)

1

-1

0

1

2

3

𝑡

Ing. Diego Peñaloza

62

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.4 Convolución con impulsos a) Convolución:

Usando el principio de superposición, dado que es un sistema LTI, 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 *h(t) 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 *[δ(t+1) + δ(t−1)] 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 *δ(t+1) + 𝑥 𝑡 ∗δ(t−1)

𝑥 𝑡

4 3

(1)

1 -2

-1

0

1

2

3

+

𝑡

-3

-2

-1

0

1

2

3

𝑡

-3

+

-1

0

1

2

3

𝑡

-3

1

2

3

𝑡

-3

-2

-1

-2

-1

2

3

0

1

2

3

𝑡

3

=

2 1

1

0

(1)

𝑦 𝑡

4

2

1

-1

-2

3

2

-2

2 1

𝑥 𝑡−1

4

3

-3

*

1

𝑥 𝑡+1

4

3

2

1

δ 𝑡−1

4

3

2

*

𝑥 𝑡

4

3

2

-3

δ 𝑡+1

4

0

1

2

3

𝑡

-3

-2

-1

0

1

𝑡

Área = 16 Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

63

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.4 Convolución con impulsos b) Producto:

Usando la propiedad distributiva del producto, 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∙ h(t) 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∙ [δ(t+1) + δ(t−1)] 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∙ δ(t+1) + 𝑥 𝑡 ∙ δ(t−1)

𝑥 𝑡

4 3

(1)

1 -2

-1

0

1

2

3

+

𝑡

-3

-2

-1

0

1

2

3

𝑡

-3

-2

-1

-2

-1

0

1

2

𝑡

3

-3

+

2

1

2

3

𝑡

(2)

2

-3

-2

-1

-2

-1

2

3

0

1

2

3

𝑡

3

(2)

=

(2)

2 1

1

0

(1)

𝑦 𝑡

4

3

1

-3

2 1

2δ 𝑡 − 1

4

3

(2)

∙

1

2δ 𝑡 + 1

4

3

2

1

δ 𝑡−1

4

3

2

∙

𝑥 𝑡

4

3

2

-3

δ 𝑡+1

4

0

1

2

3

𝑡

-3

-2

-1

0

1

𝑡

Área = 4 Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

64

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.5 Evaluación Analítica de la Convolución (La convolución en la resolución de sistemas LTI) Ejemplo 1: En el circuito de salida RL encontrar la corriente de salida 𝑖(𝑡) para los siguientes voltajes de entradas:

∞

𝑦 𝑡 = න 𝑥 λ h(t−λ) 𝑑λ −∞

R +

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 *h(t)

𝑎) 𝑣1 𝑡 = 10𝑢 𝑡

𝑣(𝑡)

𝑏) 𝑣2 𝑡 = 5𝑡 𝑢 𝑡

𝑖(𝑡) L

-

𝐿𝑖´ 𝑡 + 𝑅𝑖 𝑡 = 𝑣(𝑡) Lo que haríamos al usar el método de los coeficientes indeterminados es resolver 3 veces la ecuación diferencial con cada una de las entradas dadas, lo que define la forma de la respuesta forzada, y según eso determinar los coeficientes faltantes haciendo cumplir las condiciones iniciales dadas. Señales y Sistemas

𝑥 𝑡

∗h(t)

𝑦 𝑡

LTI

c) 𝑣3 𝑡 = 127 cos(2𝜋𝑓) 𝑢 𝑡

El método de la respuesta al impulso plantea: Resolver una sola vez la ecuación diferencial para obtener la respuesta al impulso, y esta convolucionar con cada una de las entradas. Así:

ℎ 𝑡 =

1 −𝑅Τ𝐿 𝒕 𝒆 𝐿

𝑢 𝑡

corriente en el inductor debido a un pulso de tensión en la entrada.

Luego:

𝑖1 𝑡 = 𝑣1(𝑡) ∗ ℎ 𝑡 𝑖2 𝑡 = 𝑣2(𝑡) ∗ ℎ 𝑡 𝑖3 𝑡 = 𝑣3(𝑡) ∗ ℎ 𝑡 Ing. Diego Peñaloza

65

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.5 Evaluación Analítica de la Convolución Del ejemplo anterior tenemos que: ℎ 𝑡 = 1𝐿 𝒆−𝑅Τ𝐿 𝒕 𝑢 𝑡

𝑣 𝑡 = 𝐴𝑢 𝑡 𝑣 𝑡

1/L

Graficas de las dos curvas en tres momentos diferentes

ℎ 𝑡

A

t

t

𝑣 𝜏

1/L

ℎ 𝜏

1/L

A

A

𝜏

𝜏

1/L

ℎ −𝜏

𝜏

t 1/L A

𝜏

t

𝜏

ℎ −𝜏 + 𝑡

1/L

t t

Señales y Sistemas

𝜏

t

𝜏

Área común entre el producto de las dos curvas

Ing. Diego Peñaloza

66

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.5 Evaluación Analítica de la Convolución Del ejemplo anterior tenemos que: ℎ 𝑡 =

𝑣 𝑡 = 𝐴𝑢 𝑡

1/L

1 −𝑅Τ𝐿 𝒕 𝒆 𝐿

𝑢 𝑡

𝐴 −𝑅Τ𝐿 𝒕 𝑳 𝑅Τ𝐿 𝝉 𝒕 𝑖 𝑡 = 𝒆 𝒆 ൨ 𝐿 𝑹 𝟎

ℎ −𝜏 + 𝑡 A=10

𝜏

t

𝑡 𝐴 −𝑅Τ𝐿 𝒕 0 𝑖 𝑡 = 𝒆 න 0 𝑑𝜏 + න 𝒆𝑅Τ𝐿 𝝉 𝑑𝜏 𝐿 −∞ 0

𝑖 𝑡 =

𝐴 −𝑅Τ𝐿 𝒕 𝑅Τ𝐿 𝒕 𝒆 𝒆 −𝟏 𝑅

𝒊 𝒕 =

𝑨 𝟏 − 𝒆−𝑹Τ𝑳 𝒕 𝑹

∞

𝑖 𝑡 = න 𝑣 𝜏 h(t−𝜏) 𝑑𝜏 −∞ ∞

𝑖 𝑡 =

𝐴 න 𝑢 𝜏 𝐿 −∞

𝒆−𝑅Τ𝐿 (𝒕−𝜏)

𝐴 −𝑅Τ𝐿 𝒕 ∞ 𝑖 𝑡 = 𝒆 න 𝑢 𝜏 𝐿 −∞ La variable de integración es 𝝉, y t es una constante que sale de la integral. Señales y Sistemas

𝒖(𝒕)

𝑢 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 Garantiza la existencia de 𝒚 𝒕 solo para t > 0

𝒆𝑅Τ𝐿 𝝉

∀ 𝜏>0 𝑢 𝜏 =1

𝑢 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

𝑡−𝜏>0 ∀ 𝜏 < 𝑡, 𝑢 𝑡−𝜏 =1

corriente en el inductor debido a una de tensión en la entrada 𝒙 𝒕 = 𝑨𝒖 𝒕 .

Nótese la influencia de los escalones de la entrada y la del sistema Ing. Diego Peñaloza

67

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.5 Evaluación Analítica de la Convolución Resumiendo: ∞

R

𝑖 𝑡 = න 𝑣 λ h(t−λ) 𝑑λ

+

−∞

𝑖 𝑡 = 𝑣 𝑡 *h(t)

𝑖(𝑡)

𝑣(𝑡)

L

𝑣 𝑡

-

LTI

ℎ 𝑡 = 1𝐿 𝒆−𝑅Τ𝐿 𝒕 𝑢 𝑡

𝑣 𝑡 = 𝐴𝑢 𝑡 𝑣 𝑡

1/L

t

•

𝒊 𝒕 =

𝑨 𝟏 − 𝒆−𝑹Τ𝑳 𝒕 𝒖(𝒕) 𝑹 𝑖 𝑡

ℎ 𝑡

=

*

A

•

𝑖 𝑡

∗h(t)

t

A/R

t

La convolución de dos señales laterales derechas da como resultado una señal lateral derecha, o dicho de otra manera, la convolución de señales causales es causal. La convolución de dos señales laterales izquierdas es también lateral izquierda.

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

68

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.5 Evaluación Analítica de la Convolución Resolver el mismo problema para las entradas: R

∞

𝑖 𝑡 = න 𝑣 λ h(t−λ) 𝑑λ

+

𝑏) 𝑣2 𝑡 = 5𝑡 𝑢 𝑡

𝑖 𝑡 = 𝑣 𝑡 *h(t)

𝑖(𝑡)

𝑣(𝑡)

c) 𝑣3 𝑡 = 127 cos(2𝜋𝑓) 𝑢 𝑡

−∞

L

𝑣 𝑡

-

∗h(t) LTI

Se verá mas adelante convolución con funciones periódicas

𝒊 𝒕 =?

ℎ 𝑡 = 1𝐿 𝒆−𝑅Τ𝐿 𝒕 𝑢 𝑡 𝑣 𝑡

1/L

t

Señales y Sistemas

𝑖 𝑡

ℎ 𝑡

=

*

?

𝑖 𝑡

t

? t

Ing. Diego Peñaloza

69

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.5 Evaluación Analítica de la Convolución ¿Que pasa si las señales 𝒙 𝒕 y 𝒉 𝒕 tienen escalones desplazados del origen? Sea: 𝒙 𝒕 = _____𝒖 𝒕 − 𝜶 , y 𝒉 𝒕 = _____𝒖 𝒕 − 𝜷 Cambia el limite superior de la integral Cambia el limite inferior de la integral

𝒕−𝜷

𝒚 𝒕 = න

𝑥 𝜏 h(t−𝜏 ) 𝑑𝜏 𝒖(𝒕 − (𝜶+ 𝜷))

𝜶 𝑥 𝑡 =___𝒖 𝒕 − 𝜶

𝐻𝑎𝑦 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒: 𝜏x= 𝜏h 𝜶=𝒕−𝜷 𝒕 = 𝜶+ 𝜷

ℎ 𝑡 =___𝒖 𝒕 − 𝜷

1

1

1

1

𝒕

𝜶

t

𝜷

t

𝜏 𝜶

𝑥 𝜏 =___𝒖 𝝉 − 𝜶

ℎ −𝜏 + 𝑡 =___𝒖 −𝝉 + 𝒕 − 𝜷

1

1

𝒕 𝜏 𝜶

Vale 1, Para 𝝉 > 𝜶

Señales y Sistemas

𝜷

Vale 1, Para −𝝉 + 𝒕 − 𝜷 >0 𝝉 0 𝑢 −𝜏 + 𝒕 = 1, ∀ 𝜏 < t 𝑡

𝑢 𝑡 𝑢 −𝜏 + 𝒕 𝑑𝜏 = න

𝒆−2𝜏 𝒆−(−𝜏+𝒕) 𝑑𝜏

0 𝑡

𝑦 𝑡 = 𝒆 න 𝒆−𝜏 𝑑𝜏 = 𝒆−𝑡 (1 − 𝒆−𝑡 ) = 𝒆−𝑡 − 𝒆−2𝑡 −𝒕

,

∀ 𝜏>0

0

𝒚 𝒕 = (𝒆−𝒕 −𝒆−𝟐𝒕 ) 𝒖 𝒕

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

71

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.5 Evaluación Analítica de la Convolución Ejemplo 6.2 Ambardar. b) Sea 𝑥 𝑡 =

𝒆−𝛼 𝒕

𝑢 𝑡+3 y ℎ 𝑡 =

𝑥 𝑡

𝑥 𝜏 =

t

-3

𝒆−𝛼𝜏

𝒆−𝛼𝒕

𝑢 𝜏+3

𝜏

-3

ℎ −𝜏 = 𝒆−𝛼(−𝜏) 𝑢 −𝜏 − 1

ℎ 𝑡

𝑢 𝑡 − 1 , encontrar la salida del sistema 𝑦 𝑡

ℎ −𝜏 + 𝒕 = 𝒆−𝛼(−𝜏+𝒕) 𝑢 −𝜏 − 1 + 𝒕 1

1

t

𝜏

-1

1

t-1 t

𝜏

t-1 t

𝜏

𝑢 𝜏 + 3 = 1, ∀ 𝜏 > -3 𝑢 −𝜏 − 1 + 𝒕 = 1, ∀ 𝜏 < t-1

∞

𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 *h(t) = න

𝒆

−𝛼𝜏

−𝛼(−𝜏+𝒕)

𝒆

−∞

𝒆−𝛼𝜏 𝒆−(−𝜏−1+𝒕) 𝑑𝜏

𝑢 𝜏 + 3 𝑢 −𝜏 − 1 + 𝒕 𝑑𝜏 = න −3

𝑡−1

𝑦 𝑡 = 𝒆−𝛼𝒕 න

𝑑𝜏 = 𝒆−𝛼𝑡 (𝑡 − 1 − −3 ) = (𝒕 + 𝟐)𝒆−𝛼𝑡

−3

𝒚 𝒕 = (𝒕 + 𝟐)𝒆−𝛼𝒕 𝒖 𝒕 + 𝟐 Señales y Sistemas

𝑡−1

𝐻𝑎𝑦 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒: 𝜏x= 𝜏h 𝜶=𝒕−𝜷 𝒕 = 𝜶+ 𝜷= -3+1 𝒕 = -2

Ing. Diego Peñaloza

72

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.6 Propiedades de la convolución a) Duración._ El tiempo de inicio de 𝒚 𝒕 es la suma de los tiempos de inicio de 𝑥 𝑡 y h(t) El tiempo final de 𝒚 𝒕 es la suma de los tiempos finales de 𝑥 𝑡 y h(t).

b) Área._ El área de 𝒚 𝒕 es igual al producto de las áreas de 𝑥 𝑡 y h(t) ∞

∞

න 𝑦 𝑡 𝑑𝑡 = න −∞

න 𝑥 λ h(t−λ) 𝑑λ 𝑑𝑡

−∞ −∞

∞

= න −∞

Señales y Sistemas

∞

∞

න h(t−λ) 𝑑𝒕 𝑥 λ 𝑑λ −∞

∞

∞

= න h(t) 𝑑𝒕 න 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 −∞

−∞

Ing. Diego Peñaloza

73

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.6 Propiedades de la convolución c) Propiedades basadas en la linealidad._ recordemos que la derivación y la integración son procesos lineales, por tanto la convolución es un proceso lineal. Entonces se cumple que: Derivadas: 𝑥(𝑡) (𝑚) ∗ ℎ 𝑡 = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ(𝑡) (𝑚) = 𝑦(𝑡) (𝑚) 𝑥(𝑡) (𝑚) ∗ ℎ(𝑡) (𝑛) = 𝑦(𝑡) (𝑚+𝑛) Integrales: La integral de una señal de entrada produce la integral de su salida. Ejemplo: 𝑥 𝑡

∗h(t)

ℎ 𝑡

𝑦 𝑡

∗x(t)

=

LTI

LTI

𝑦 𝑡

Propiedad Conmutativa

𝑥 𝑡 ∗𝛿 𝑡 =𝑥 𝑡 ∞

𝑥(𝑡) ∗ 𝑢(𝑡) = 𝑥(𝑡) ∗ න 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 −∞ ∞

𝑡

= න 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 ∗ 𝑥(𝑡) = න 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 −∞

Señales y Sistemas

−∞

Ing. Diego Peñaloza

74

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.6 Propiedades de la convolución d) Propiedades basadas en la invariante en el tiempo._ Si se desplaza una entrada en 𝛼, lo mismo ocurre con su salida 𝑥(𝑡 − 𝛼) ∗ ℎ 𝑡 = 𝑥(𝑡)* ℎ 𝑡 − 𝛼 = 𝑦(𝑡 − 𝛼) Si el desplazamiento esta en ambas señales, tenemos: 𝑥(𝑡 − 𝛼) ∗ ℎ 𝑡 − 𝛽 = 𝑦(𝑡 − (𝛼 + 𝛽))

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

75

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.6 Propiedades de la convolución e) Propiedad de escalamiento en el tiempo._ solo si las dos señales tienen el mismo escalamiento en el tiempo en 𝛼, se cumple que: 𝑥(𝛼𝑡) ∗ ℎ 𝛼𝑡 =

1 𝛼

𝑦(𝛼𝑡)

Note que si 𝛼 = −1 ambas señales se refleja y también su convolución Caso Especial 𝑢 𝛼𝑡 = 𝑢(𝑡)

SIMETRIA: • La convolución de una señal simétrica impar y una señal simétrica par es una señal impar. • La convolución de dos señales simétricas pares o dos impares resulta una señal simétrica par. • La convolución de una señal 𝑥(𝑡) con su versión reflejada 𝑥(−𝑡) se llama AUTOCORRELACION 𝑟𝑥𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ 𝑥 −𝑡 Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

76

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.6 Propiedades de la convolución Ejemplo 6.3 La respuesta al impulso de una filtro pasa-bajas RC es ℎ 𝑡 = 𝑒 −𝑡 𝑢(𝑡). a) Encuentre la respuesta al escalón

𝛿 𝑡 𝑢 𝑡

∗h(t) LTI

ℎ 𝑡 𝑠 𝑡

𝑡

𝑡

−∞

−∞

𝑠 𝑡 = න h(λ) 𝑑λ =න 𝑒 −λ 𝑢(λ)𝑑λ = (1 − 𝑒 −𝑡 )𝒖(𝒕) 𝑠 𝑡 1

Si la nueva entrada es la integral de la anterior, la nueva salida es la integral de la salida anterior

t

b) Usando la linealidad, encontrar la salida del sistema anterior a una rampa 𝑟 𝑡 . 𝑢 𝑡 𝑟 𝑡

∗h(t) LTI

𝑠 𝑡 𝑦𝑟 𝑡

𝑡

𝑡

𝑦𝑟 𝑡 = න s( λ ) 𝑑λ = න 1 − 𝑒 −λ 𝑑λ = 𝑟 𝑡 − (1 − 𝑒 −𝑡 )𝒖(𝒕) 0

0

𝑦𝑟 𝑡

t

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

77

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.6 Propiedades de la convolución Ejemplo 6.3 La respuesta al impulso de una filtro pasa-bajas RC es ℎ 𝑡 = 𝑒 −𝑡 𝑢(𝑡). c) Usando desplazamiento y superposición, encontrar la respuesta 𝑦1 𝑡 a la entrada 𝑥1 𝑡 = 𝑢 𝑡 − 𝑢(𝑡 − 2)

𝑥1 𝑡

∗h(t)

𝑦1 𝑡 𝑠 𝑡 = (1 − 𝑒 −𝑡 )𝒖(𝒕)

LTI

𝑢 𝑡

1

1

t

t

𝑢 𝑡−2

-

1

1

𝑠 𝑡 − 2 = (1 − 𝑒 −(𝑡−2) )𝒖(𝒕 − 𝟐)

2

2

t

𝑥1 𝑡 = 𝑢 𝑡 − 𝑢(𝑡 − 2) 1

1

=

𝑦1 𝑡 = 1 − 𝑒 −𝑡 𝒖 𝒕 − (1 − 𝑒 −(𝑡−2) )𝒖(𝒕 − 𝟐)

= 2

Señales y Sistemas

t

t

2

4

t

Ing. Diego Peñaloza

78

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.6 Propiedades de la convolución Ejemplo 6.3 La respuesta al impulso de una filtro pasa-bajas RC es ℎ 𝑡 = 𝑒 −𝑡 𝑢(𝑡). d) Usando la propiedad del área, encontrar en área bajo la curva 𝑦1 𝑡 , debido a una entrada 𝑥1 𝑡 = 𝑢 𝑡 − 𝑢(𝑡 − 2)

𝑥1 𝑡

𝑦1 𝑡

∗h(t) LTI

𝑡

𝑡

න 𝑦1 𝑡 𝑑𝑡

=

𝑡

න 𝑥1 (𝑡) 𝑑𝑡

0

×

න ℎ(𝑡) 𝑑𝑡

0

0

ℎ 𝑡 = 𝑒 −𝑡 𝑢(𝑡).

𝑥1 𝑡 = 𝑢 𝑡 − 𝑢(𝑡 − 2)

𝑦1 𝑡

1

1

=

2 t

1

x

2 2

1

t

t

Para comprobar se podría evaluar analíticamente el área bajo la curva 𝑦1 𝑡 Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

79

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.6 Propiedades de la convolución Ejemplo 6.3 La respuesta al impulso de una filtro pasa-bajas RC es ℎ 𝑡 = 𝑒 −𝑡 𝑢(𝑡). e) Usando

Este tema se desarrollo en la pizarra

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

80

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.7 Algunas resultados útiles de la convolución

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

81

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.6 Propiedades de la convolución

Resolver los problemas 6.6, 6.7, y 6.8 sobre las propiedades de la convolución y prepararse para la evaluación la siguiente clase

Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

82

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.7 Respuesta al impulso de sistemas LTI en Cascada y en Paralelo CASCADA (Sin efectos de carga)

𝑥1 𝑡

∗h1(t)

𝑦1 𝑡

LTI

∗h2(t) 𝑥2 𝑡

𝑦2 𝑡

LTI

𝑦1 𝑡 = 𝑥1(𝑡) ∗ ℎ1(𝑡) = 𝑥2 𝑡 𝑦2 𝑡 = 𝑥2(𝑡) ∗ ℎ2(𝑡) 𝑦2 𝑡 = 𝑦1(𝑡) ∗ ℎ2(𝑡)

En general

𝑦2 𝑡 = [𝑥1(𝑡) ∗ ℎ1(𝑡)] ∗ ℎ2(𝑡) 𝑦2 𝑡 = 𝑥1(𝑡) ∗ [ℎ1(𝑡) ∗ ℎ2(𝑡)] 𝑦2 𝑡 = 𝑥1(𝑡) ∗ 𝒉𝑻(𝒕)

𝑥 𝑡

𝒉𝑻(𝒕) = h1(t)∗ h2(t)∗…∗ hN(t)

𝑦 𝑡 LTI

𝒉𝑻(𝒕) = h1(t)∗ h2(t)∗…∗ hN(t) Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

83

CAPITULO 2: ANALISIS DE SISTEMAS LINEALES ESTACIONARIOS 2.4 La Integral de Convolución 2.4.7 Respuesta al impulso de sistemas LTI en Cascada y en Paralelo PARALELO (Sin efectos de carga)

𝑥 𝑡

∗h1(t)

𝑦1 𝑡

LTI

Σ ∗h2(t)

LTI

𝑦𝑇 𝑡

𝑦2 𝑡

𝑦1 𝑡 = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ1(𝑡) 𝑦2 𝑡 = 𝑥(𝑡) ∗ ℎ2(𝑡) 𝑦𝑇 𝑡 = 𝑦1 𝑡 + 𝑦2(𝑡) 𝑦𝑇 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ1(𝑡) + 𝑥 𝑡 ∗ ℎ2(𝑡) 𝑦𝑇 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ [ℎ1(𝑡) + ℎ2(𝑡)] 𝑦𝑇 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ 𝒉𝑻(𝒕)

En general 𝑥 𝑡

𝒉𝑻 𝒕 = h1(t)+h2(t)+… +hN(t)

𝑦 𝑡

LTI

𝒉𝑻 𝒕 = h1(t) + h2(t) +… + hN(t) Señales y Sistemas

Ing. Diego Peñaloza

84