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ANALISIS SISMICO DE SISTEMAS LINEALES 4.1. ANALISIS SISMICO TIEMPO – HISTORIA DE LA RESPUESTA 4.1.1. ANÁLISIS MODAL.- En la presente sección desarrollaremos el análisis modal para ..

calcular la respuesta de estructuras sujeta a movimiento sísmico en la base u g (t ) , en todos los puntos de soporte de la esgtructura. La ecuación de movimiento que gobierna la respuesta de sistemas de múltiples G.D.L., es: ..

.

…………… (4.1.1)

m u + c u + ku = Pef (t ) Donde: ..

(4.1.2)

Pef (t ) = − m v u g (t ) •

Desarrollo Modal de Desplazamiento y Fuerzas u = φ q (t ) = ∑φn q n (t )

……………… (4.1.3)

= φ1 q1 (t ) + φ 2 q 2 (t ) +  + φn q n (t ) +  + φ N q N (t )               u1

u2

un

uN

Premultiplicando a la ecuación (4.1.1) por ørT y reemplazando la ecuación (4.1.3)

φrT m

N

..

∑φn q n (t ) + φrT c n =1

N

.

∑φn q n (t ) + φrT k n =1

N

∑φ n =1

n

q n (t ) = φrT Pef (t )

Usando las coordenadas de ortogonalidad φ rT m φ n = 0

; Si r ≠ n

φ k φn = 0

; Si r = n

T r

φ m φn = Mn

; Si r = n

T n

masa generalizada

φ k φ n = kn T n

; Si r = n rigidez generalizada

φ cφn = 0

; Si r ≠ n

φ nT c φ n = cn

; Si r = n

T r

amortiguamiento generalizado

Pn (t ) = φnT Pef (t )

⇒

..

.

M n q n (t ) + C n q n (t ) + k n q n (t ) = Pn (t )

n = 1, 2,…, N •

Dividiendo la ecuación anterior por Mn ..

q n (t ) +

Cn . k P (t ) q n (t ) + n q n (t ) = n Mn Mn Mn

..

.

q n (t ) + 2 ξ n ωn q n (t ) + ωn2 q n (t ) = Ahora :

Pn (t ) Mn

Pn (t ) = φnT Pef (t ) ..

..

Pef (t ) = − m v u g (t ) = −s u g (t ) Donde :

s = mv

Recordando: N

Sn = ∑ Γ n m φ n = n= 1

N

∑ mφ i=1

i

Osea que: N

m v = ∑ Γi m φi i =1

Premultiplicando por: ønT

φnT m v = φnT

N

N

i =1

i =1

∑ Γi m φi = ∑ φnT m φi

N

= ∑ ΓiφnT m φi i =1

Usando las condiciones de ortogonalidad

φnT m v = Γn M n Definiendo:

Ln = φnT m v

Ln Mn n = 1, 2,…, N Γn =

Observamos:

N

S = ∑ Γn m φ n = Γ1 m φ1 + Γ2 m φ 2 +  + Γn m φ n +  + ΓN m φ N               n =1 S1

S2

Sn

SN

ó

S = S1 + S 2 +  + S n +  + S N = Donde:

N

∑S n =1

n

Sn = Γ n m φ n

Ahora: ..

Pn (t ) = φnT S u g (t ) = −φnT N

∑

=−

i =1

N

∑Γ i =1

i

..

m φi u g (t )

..

( Γi φnT m φi ) u g (t )

Usando las condiciones de ortogonalidad ..

Pn (t ) = − Γ n M n u g (t ) Ahora : ..

Γ M n u g (t ) q n (t ) + 2 ξ n ωn q n (t ) + ω q n (t ) = − n Mn ..

.

..

.

2 n

..

q n (t ) + 2 ξ n ωn q n (t ) + ωn2 q n (t ) = − Γn u g (t )

………

(4.1.7) n

=

1, 2,3,..., N N

u = ∑φn q n (t ) n =1

..

.

..

u = 2 ξ ωn u + ωn2 u = − u g (t ) Definiendo:

q n (t ) = Γn Dn (t ) Reemplazando en la ecuacion 4.1.7 ..

.

..

Γn D n (t ) + 2 ξ ωn Γn D n (t ) + ωn2 Γn Dn (t ) = − Γn u g (t ) ó

..

.

..

D n (t ) + 2 ξ ωn D n (t ) + ωn2 Dn (t ) = − u g (t )

…….

(4.1.8)

……………. (4.1.9)

q n (t ) = Γn Dn (t ) Respuestas Modales N

u (t ) = ∑ φ n q n (t ) = φ1 q1 (t ) + φ 2 q 2 (t ) +  + φ n q n (t ) +  + φ N q N (t )             n =1 u1 ( t )

u2 (t )

un (t )

u N (t )

N

= ∑u n (t ) n =1

La n-ésima deflexión modal es: u n (t ) = φn q n (t ) =φn Γn Dn (t )

……………

(4.1.10) n

=

1, 2,3,..., N

u1n    u 2n         u n (t ) =  u jn        u Nn   

La Fuerza Estática Equivalente

f s = k u (t ) = k

=

N

∑φ n =1

n

q n (t )

N

∑kφ n =1

n

q n (t )

= k φ1 q1 (t ) + k φ2 q 2 (t ) +  + k φn q n (t ) +  + k φ N q N (t )               f s1

fs 2

f sn

f sN

fs = Aquí:

N

∑f n =1

sn

f sn =( k φn ) q n (t )

Recordando el eigen problema:

k φn = ωn2 ω φn f sn = ωn2 m φn q n (t ) Pero:

q n (t ) = Γn Dn (t )

f sn = ωn2 m φn Γn Dn (t ) = ( Γn m φn ) ( ωn2 Dn (t ) )        Sn

f sn = S n An (t )

An ( t )

…………………… (4.1.11)

f sn = f n = S n An (t ) f n (t ) = S n An (t )

m1

f 1n  f   2n      f n (t ) =  f  jn       f Nn  

La respuesta r (t) La n - ésima contribución de respuesta a r (t) la designamos como rn (t), n = 1,2,…, N La respuesta estática modal rnst que el valor estático de r debido a las fuerzas externas Sn y que pueden ser positivos o negativos. Entonces :

rn (t ) = rnst An (t )

…………………… (13.1.13)

Sn

S1n   S 2n    = S jn     S Nn 

          

rnst Por ejemplo si deseo calcular:

un (t)

rn (t ) = rnst An (t ) ↓

↓

u n (t ) = u nst An (t )

Sabemos:

Si hacemos:

f sn = k u n f sn = S n

u n = u nst Luego:

S n = k u nst De aquí:

u nst =k −1 S n Sabemos:

S n = Γn m φn

También del eigen problema: k φn = ωn2 m φn

u nst = k −1 Γn ( m φn ) = k −1 Γn

u nst =

ωn2

Γn φn

ωn2

De aquí:

u n (t ) = u nst An (t ) = (13.1.14)

k φn

Γn φn An (t ) ωn2

……………..

 ω y φ del eigen problema     Dn de la ecuación diferencial  Respuesta Total N

N

n =1

n =1

u (t ) = ∑u n (t ) = ∑φn q n (t ) N

= ∑Γn φn Dn (t ) n =1

q n (t ) = Γn Dn (t )

En general: N

r (t ) = ∑rn (t ) n =1

ó N

r (t ) = ∑rnst An (t ) n =1

N N ..   r (t ) = ∑ rnst An (t ) − u g (t )  r st − ∑ rnst  n =1 n =1  

(13.1.17) N

r st = ∑ rnst n =1

Capitulo 12 parte D - Método de Corrección Estática Tabla - interpretación modal (pagina 472)

1  v =  0 Ln = φ nT m v

; para n = 1, 2

………

⇒

L1 = φ 1T m v = 3m

L2 = φ 2T m v = 3m

M 1 = φ 1T m φ 1 = 7.397m

M 2 = φ 2T m φ 2 = 5.048m

Γ1 =

L1 = 0.406 M1

Γ2 =

L2 = 0.594 M2

 1.218 S1 = Γ 1 m φ 1 = m    0.851  1.782  S2 = Γ 2 m φ 2 = m   − 0.851 S = m v = S1 + S 2 3  =m   0

 u1n  u n (t ) =   u 2n  n=1

u  u1 (t ) =  11  u 21  ó u  u1 =  1  u 2 1 u = u1 + u 2 ↓ u1    u 2 

rn (t ) = rnst An (t ) ↓ st M bn (t ) = M bn An (t )

n = 1, 2

M b1 (t ) = M bst1 A1 (t ) M b 2 (t ) = M bst2 A2 (t ) M b = M b1 (t ) + M b 2 (t ) = M bst1 A1 (t ) + M bst2 A2 (t ) 4.2. EDIFICIO DE VARIOS PISOS CON PLANTA SIMETRICA -

Tiene el mismo desplazamiento en un sentido lo mismo que en el otro.. Se deforman en su posición perpendicular. La ecuación que gobierna el movimiento del sistema es: ..

.

..

m u + c u + ku = − m 1 u g (t ) -

Masas ubicadas en los CM. (4.4.2)

 m1   m 0 m=  2  0      mN   k11  k k k  12 22 n 2  k=        k1N k21.. . . kNN 

(4,2.1)

1  1    1 =   1      ..

⇒

.

..

m u + c u + ku = − m v u g (t )

Donde: x = 1

u1   u2    u =  uj     uN 

          

Desarrollo modal de las fuerzas sísmicas efectivas:

m v = m1 =

N

∑ Sn = n =1

N

∑Γ n =1

n

m φn

……… (13.2.2)

Donde:

Γn =

Lhn ; Mn

Lhn =

N

∑ j =1

mj φ j ;

Mn =

N

∑m j =1

j

φ jn2

 m1   m   1  2   1      Lhn = φ nT m v = φ nT m 1 = φ 1n φ 2n  φ jn  φ N n    1 mj             1  mN  

[

]

[

= φ 1n φ 2 n  φ jn  φ N n

]

 m1  m   2       mj       m N 

Lhn = m1 φ1n + m2 φ2 n +  + m j φ jn +  + m N φN n

Lhn =

Sn = Γ n m φ n

N

∑m j =1

j

φ jn

ó

 S1n   m1   φ 1n   m φ 11 n   S     φ   mφ  2 n   m2   2n   22 n               S  Γ= n   φ  Γ= n  m φ  j n   mj   jn   j jn                    SNn  mN  φ Nn  mNφ Nn S jn = Γn m j φjn

k1 = 2 *

12 (2 EI c ) 48 EI c = = 2k 3 h h3

k2 = 2 *

12 EI c 24 EI c = = k 3 h h3

(k

)

− ωn2 m φn = 0

ω1 , φ1 ; ω2 , φ2 M n = φ nT m φ n

, n = 1, 2

3 m 2 = 3m

M1 = M2

Lhn = φ nT m 1

, n = 1, 2

L1h = 2m Lh2 = − m S n = Γn m φ n

, n = 1, 2

4 1 S1 = Γ 1 m φ 1 = m   3 1

S = m 1 = S1 + S 2

1  2 S2 = Γ 2 m φ 2 = − m   3 1 

Respuesta Modal ..

.

..

q n + 2 ξ n ω n q n + ω n2 q n = − Γn u g (t ) N

N

n =1

n =1

(4.1.7)

u = ∑ φn q n (t ) = ∑ u n u n = φn q n (t ) ; n = 1, 2

Aquí:

q n (t ) = Γn An (t ) u n = φn Γn An (t ) u jn = Γn φjn Dn (t )

(4.2.5)

ó

……….………………

An (t ) = ωn2 Dn (t )

 u1n   φ 1n  u  φ   2n   2n        un =   =   Γ n An (t ) = u φ jn    jn           u N n   φ N n 

 φ 1n Γ n An (t )   φ Γ A (t )   2n n n      φ Γ A (t )   jn n n        φ N n Γ n An (t )

Deformación Relativa (desplazamiento relativo) DRIFT Es la diferencia del desplazamiento del nivel superior con respecto al inferior.

Para el caso dinámico: ∆ jn (t ) = u jn (t ) − u j −1 , n(t ) = φ jn Γn An (t ) − φ j −1 , n Γn An (t ) = Γn ( φ jn − φ j −1 , n ) An (t )

La fuerza estática equivalente: f n (t )

f n (t ) = S n An (t )

ó

f jn (t ) = S jn An (t )

j = 1, 2,…, N La respuesta rn (t ) :

rn (t ) = rnst An (t )

………………………. (4.2.8)

st Aquí rn que se determina por análisis estructural de las fuerzas S n .

Sn

 S1n  S   2n      =   S jn      S   Nn 

Para el caso dinámico: ∆ jn (t ) = u jn (t ) − u j −1 , n(t ) = φ jn Γn An (t ) − φ j −1 , n Γn An (t ) = Γn ( φ jn − φ j −1 , n ) An (t )

La fuerza estática equivalente: f n (t ) f n (t ) = S n An (t )

ó

f jn (t ) = S jn An (t )

j = 1, 2,…, N N

Vinst = ∑S jn j =i

N

M inst = ∑ ( h j − hi ) S jn j =i

N

Vbnst = ∑ S jn = Γn Lhn = M n* j =1

M = Γn L * n

h n

(L ) =

h 2 n

Mn

Lhn Γn = Mn

hn* =

L0n Lhn N

st M bn = ∑ h j S jn = Γn Lθn = hn* M n* j =1

Γ  u stjn =  n2  φ jn  ωn 

∆stjn = u stjn − u stj−1 , n =

Γn

ω

2 n

φ j −1 , n =

Γn

(φ

ωn2

jn

− φ j −1 , n )

N

Vbnst = Γn Lhn = Γn ∑ m j φ jn j =1

=

(Γ mφ) ∑ N

n

j =1

=

j

jn

S jn

N

∑S j =1

jn

Respuesta Total N

N

r (t ) = ∑ rn (t ) =

∑r

n =1

st n

n =1

An (t )

Aceleraciones de piso .. t

..

..

..

u = ug + u = ug +

N

∑φ n =1

n

q n (t )

ó .. t

..

u = u g (t ) +

N

∑φ n =1

ó

n

..

Γn D n (t )

 .. t   u1  1   t  ..   1  u2         ..     .. t  = u g (t )   +  uj   1         1   .. t   uN    .. t

uj

N

..

∑φ

= u g (t ) +

n =1

 φ 1n  φ   2n  N      .. ∑n= 1  φ jn  Γ n Dn (t)        φ Nn  ..

jn

Γn D n (t )

..

Aquí D n (t ) se obtiene resolviendo la ecuación diferencial ..

.

..

D n (t ) + 2 ξ ωn D n (t ) + ωn2 Dn (t ) = − u g (t ) RESUMEN ..

1. u g (t ) 2. Propiedades

m, k , ξn −

3. Solución del eigen problema ( k − ω n2 m) φ n = 0

, ωn y φn

4. Calculo de S n . 5. Calculo de la contribución de las respuestas de cada n – ésimo modo a) Calculo del análisis estructural estático del edificio sujeto a las respuestas laterales S v , para determinar la respuesta rnst, la respuesta estática modal para cada cantidad de respuesta deseada r (t).

b) Determinación de la seudo aceleración An (t) del n – ésimo modo de un ..

Sistema de 1 g.d.l.a u g (t ) .

An (t ) = ωn2 Dn (t ) c) Determinación de rn (t ) .

rn (t ) = rnst An (t )

Ejemplo 4.1 a) Desplazamiento de piso: 2

u = ∑ u n = u1 + u 2 n =1 2

= ∑φn Γn Dn n =1

Aquí:

Para n = 1, 2

u n =φn Γn Dn

u1 =φ1Γ1 D1

Γ1 =

L1h M1

L1h = φ1T m 1 2

= ∑φ jn m j j =1

1 / 2 φ1 =   1 

u 2 =φ2 Γ2 D2

Γ2 =

Lh2 M2

Lh2 = φ2T m 1 2

= ∑φ jn m j j =1

− 1 φ2 =   1 

 2 0 m = m   0 1

 2 0  1 L = [1/2 1] m    = 2m  0 1  1 h 1

 2 0  1 / 2 M = φ m φ = [1/2 1] m    = 3/2m  0 1  1  T 1 1 1

L1h Γ1 = = 4/3 M1

2 0 1     h L2 [ −= 1 1] m    −= m  0 1  1 2 0 − 1     T M2 = φ 2 m φ 2 = [ − 1 1] m    = 3m 0 1  1  Γ2 =

Lh2 = −1 / 3 M2

Cálculo de u n ,

n = 1, 2

u1 =φ1Γ1 D1

u 2 =φ2 Γ2 D2

4  1/ 2  2 / 3 =   D1 (t) =   D1 3  1   4 / 3

− 1  − 1  1/ 3  =   D2 (t) =   D2 3  1   − 1/ 3

Respuesta Total

 2 / 3  1/ 3  u = u1 + u2 =   D1 +   D2  4 / 3  − 1/ 3

 u1   u11   u12  u=   =   +    u2   u21   u22  u1 = u11 + u12 u 2 = u12 + u 22

u1 =

2 1 D1 + D2 3 3

u2 =

4 1 D1 − D2 3 3

b) Cortante de piso: Cálculo de Sn: Sn = Γ n m φ n

n = 1,2

Si n = 1, 2

S1 = Γ1 m φ1

4  02   1/2 S1 = m    3  10   1   4 / 3m S1 =    4 / 3m

S 2 = Γ2 m φ2

1  2 0  − 1 S1 = − m    3  10   1   2 / 3m  S1 =    − 1/ 3m

 S11   S1   4 / 3m S1 =   =   =    S21   S2  1  4 / 3m S11 = 4 / 3m S 21 = 4 / 3m

 S12   S1   2 / 3m  S2 =   =   =    S22   S2  2  − 1/ 3m S12 = 2 / 3m S 22 = −1 / 3m

-

Cortante en la Base:

Modo 1

Modo 2

V11st = -

2 m 3

1 V12st = m 3

Para pisos intermedios

Modo 1

V21st =

4 m 3

Modo 2

1 V22st = − m 3

Ejemplo 4.4

La ecuación diferencial es: ..

∧

.

mtt u t + k tt u t = pt (t ) Aquí:

 2 0 mt = m   0 1

EI  54.8 − 17.51 kt = 3   h  − 17.51 1 .61 ∧

u  ut =  1  u 2 

u0

u 3  u   4 =  u 5   u 6  

Solución del eigen problema: ∧

( k tt −ωn2 mtt ) φn = 0 ∧

2 k tt −ω =0 n mtt

ω1 = 2.198

EI mh 3

;

 0.3871 φ1 =   1 

ω2 = 5.850

a)

EI mh 3

;

 − 1.292 φ2 =   1 

Desplazamiento de piso rotaciones de nudo -

Desplazamientos de piso

u1  ut =   u 2  -

Rotaciones de piso

u0

u 3  u   4 =  u 5   u 6  

Desplazamientos de piso u n =φn Γn Dn (t )

Para n = 1

Para n = 2

u1 =φ1Γ1 D1

u 2 =φ2 Γ2 D2

Γ1 =

L1h M1

Γ2 =

Lh2 M2

L1h = 1.774m

Lh2 = −1.583m

M 1 =1.3m

M 2 = 4.337 m

Γ1 =1.365

Γ2 = −0.365

 0.3871 u1 = 1.365  D1 1   0.5284 u1 (t ) =   D1 1 . 365  

 − 1.292 u2 = − 0.365  D2 1   0.4716  u 2 (t ) =   D2 − 0 . 365  

u = u1 + u 2

 u1   u11   u12   = +   u2   u21   u22  u1 = 0.5284 D1 + 0.4716 D2 u 2 =1.365 D1 − 0.365 D2

..

Dn + 2ξ nωn Dn + ωn2 Dn = − u g (t ) Rotaciones de piso u0 =T ut

Para cada modo:

u 0 n = T u nt

Aquí:

u0 n

u 3 n  u   4n  =  u 5 n    u  6n  

 u1n  u nt =   = u n  u2n 

 − 0.4426  − 0.4426 1 T= h  0.9836   0.9836

− 0.2459 − 0.2459 − 0.7869  − 0.7869

-

Para n = 1

 − 0.4 26 − 0.2459  − 0.4 26 − 0.2459 0.5284   1 u01 = T u1 =   D1 h  0 .983 6 − 0 .7869   1 .36 5     0 .983 6 − 0 .7869 

 u31   u3   − 0.5696 u  u     41  4  1  − 0.5696   =   =   D1(t) u 51   u5  h  − 0.5544  u61   u6   − 0.5544 1 -

Para n = 2

 − 0.4 26 − 0.2459  − 0.4 26 − 0.2459 0.4716   1  u02 = T u2 =   D2 h  0.9836 − 0.7869  − 0.365    0.9836 − 0.7869

 u32   u3   − 0.1189 u  u     42   4  1  − 0.1189   =   =   D2 (t)  u52   u5  h  0.7511  u62   u6   0.7511 2 La respuesta total: u 0 = u 01 + u 02

 u3   − 0.5696 u     4  1  − 0.5696   =   D1 +  u5  h  − 0.5544  u6   − 0.5544 1 u 3 = − 0.5696 h 1 u 4 = − 0.5696 h 1 u 5 = − 0.5544 h 1 u 6 = − 0.5544 h

 u1  u   2  u3  u=   u4   u5     u 6  b)

 − 0.1189  − 0.1189 1    D2 h  0.7511  0.7511

1 0.1189 h 1 − 0.1189 h 1 + 0.7511 h 1 + 0.7511 h

−

D1 D1 D1 D1

..

.

D2 D2 D2

..

m u + c u + ku = − m 1u g (t )

Fuerzas en los elementos Acciones de extremo en un elemento

Sistema de coordenadas Para θ =θa :

D2

4 EI θa l

2 EI θa l

6 EI θa l2

6 EI θa l2

Para u 2 = u a :

6 EI ua l2

12 EI ua l3

6 EI ua l2 12 EI ua l3

Para u 3 =θb : 2 EI θb l

4 EI θb l

6 EI θb l2

6 EI θb l2

Para u 4 = ub :

6 EI ub l2 6 EI ub l2 12 EI ub l3

•

•

Momento total en el extremo a y b Ma =

4 EI 2 EI 6 EI 6 EI θa + θb + 2 u a − 2 u b l l l l

Mb =

2 EI 4 EI 6 EI 6 EI θa + θb + 2 u a − 2 u b l l l l

Fuerza cortante total en el extremo a y b

12 EI ub l3

Va =

6 EI 6 EI 12 EI 12 EI θa + 2 θb + 3 u a − 3 u b 2 l l l l

Vb = −

6 EI 6 EI 12 EI 12 EI θa − 2 θb − 3 u a + 3 u b 2 l l l l

- Puesto que las deformaciones axiales de vigas y columnas son despreciables, entonces: u a = ub = 0

Ma =

4 EI 2 EI θa + θb l l

Para la viga del primer nivel

Ma =

4( 2 EI ) 2(2 EI ) 8 EI 4 EI θa + θb = θa + θb h h h h

MASA MODAL EFECTIVA Y ALTURA MODAL

M na = Γ n Lhn =

( Lhn ) 2 Mn

; hn* =

Lθn Lhn

……………(4.2.9a)

N

Lθn = φnT mh = ∑m j h jφ jn

……………. (4.2.9b)

j =1

El cortante debido al n – ésimo

rn (t ) = rnst An (t )

…………….. (13.2.8)

Vbn (t ) =Vbnst An (t )

…………… (13.2.12a)

[ A (t ) = ω D (t )] n

2 n

n

De ala tabla 13.2.1 Vbn (t ) = M n* An (t ) st El valor Vbn

es la resultante de las fuerzas S n

…………… (13.2.12b)

N

Vbnst = ∑S jn j =1

Similarmente el valor de Vbn (t ) es la resultante de las fuerzas estáticas equivalentes f jn (t )

N

Vbn (t ) = ∑ f jn (t ) j =1

(a) ..

(b)

.

..

*)

m u + c u + ku = − m1u g (t )

*)

M n q n (t ) + cn q n (t ) + k n q n (t ) = Pn (t )

..

.

n = 1, 2,…., N Para n = 1 ..

.

M 1 q 1 (t ) + c1 q 1 (t ) + k1 q1 (t ) = P1 (t )

Comparando el cortante de un sistema de un grado de libertad

Vb (t ) = mAn (t )

…………….. (4.2.13)

Comparando las ecuaciones (4.2.12b) y (4.2.13) se obtiene que el cortante en la base de un sistema de un piso son masas concentradas Mn* (Fig. 4.2.3b) es la misma como el cortante en la base para el n – ésimo en un sistema de varios pisos con su masa distribuida en todos los niveles del piso. El momento de volteo

rn (t ) = rns An (t ) st M bn (t ) = M bn An (t )

De la tabla 4.2.1 M bn (t ) = hn* ( M n* An (t )) = hn*Vbn (t )

…………… (4.2.15)

Comparando con el momento de volteo de un sistema de un piso de altura h M b (t ) = hVb (t ) N

N

h =1

j =1

……………. 4.2.16)

∑hn* M n* = ∑h j m j

…………….

(4.2.17)

S = m1 = ∑sv =

n

∑Γ n =1

n

m φn

 m1  m   2    0 m1 = ≈   0 mj  ≈       mN 

 1   m1   1  m     2        =   1   mj          1   mN 

N x N N x1       Nx1

La masa total:

 m1  m   2   m j = 1T m1 = [1 1  1  1]   mj       m N  = m1 + m2 +  + m j +  + m N N

= ∑m j j =1

Premultiplicando por 1T N

1T S = 1T m 1 = ∑ Γn 1T m φn n =1

N

N

∑

m j = ∑ Γn (1T m φn )

j =1

n =1

 m1   m   2    0  N ≈  = ∑ Γ n [ 1 1  1  1]  φn   0 mj n= 1  ≈       m N  1x N N x N        1xN

 φ 1n  φ   2n     Γ n m1 m2  m j  mN    φ jn       φ Nn 

[

N

=∑

n= 1

]

N

= ∑ Γn (m1 φ1n + m2 φ2 n +  + m j φ jn +  + m N φNn ) n =1 N

= ∑ Γn n =1

N

∑ j =1

Pero:

mj =

N

∑m j =1

N

∑ n =1

j

φjn

Γn (

N

∑ j =1

m j φ jn )

N

∑ j =1 N

∑ j =1

m j φ jn = Lhn

mj =

N

∑

Γn Lhn =

n =1

N

∑ n =1

M n*

Pero:

(Γn Lhn = M n* ) N

Tabla 13.2.1

∑

m j = mT

∑

M n* = M 1* + M 2* + 

j =1

↓

↓

0.90 mT

0.05mT N

∑

S = mh =

n =1

Γn m φn

φnT S mh Γn = = φnT Mn Mn Lθn = φnT m h =

⇒

S =

N

∑

n =1

N

∑m n =1

N

1T S = 1T m h = ∑ n =1

∑ j =1

N

m j hj = ∑ n =1

h j φ jn

Lθn m φn Mn

Premultiplicando por 1T

N

j

N Lθn Lθn h (1T m φn ) = ∑ Ln Mn Mn n =1

 Lθn  ( Lhn ) 2  h  =  Ln  M n

N

∑ n =1

hn* M n*

4.3. EDIFICIOS CON PLANTA ASIMÉTRICA DE VARIOS PISOS

m0  k u m0 .    u y y θ  y     1  2 .+  =− 2ugy(t) . (431) 0 rm kθy uθ  rm0 uθ ↑ .

mv

Desarrollo modal de las fuerzas sísmicas efectivas

 m 0   1 . Pef −=  2    ugy(t) 0 r m  0  m1  . Pef = −   u gy (t) 0  De aquí:

 m1  2 N S =   ∑ Sn  0  n= 1 NOTA: Que N representa el número de pisos Se sabe que: S n = rn m φn

Observe:

 S yn  Sn =    Sθ n 

..…………….. (4.3.2)

m 0  m=  2   0 r m  φ yn  φ =  φ θn 

 Syn  m 0   φ yn   = Γ n 2    S θn   0 r m  φ θn   S yn   mφ yn    = Γn 2   Sθ n   r m φ θ n 

...……………. (4.3.7)

Ahora:

m 1  2N  mφ yn  S=   = ∑ Γn  2   0  n= 1  r m φ θ n 

…………...…. (4.3.3)

Cálculo de:

Lhn Γn = Mn N

Lhn = ∑ m j φjn j =1

= 1 m φn T

Pero:

Lhn = v T m φn

1  v=    0 T

1  Lhn =   m φ n  0

T T m 0   φ yn = 1 0  2    0 mr   φ θn

[]

 φ yn  T = 1 m l   = 1 mφ yn φ θn 

[ ] T

Lhn = 1T m φyn

……………… (4.3.4)

φ m 0     y n T T T Mn = φ n m φ n = φ yn φ θ n  2     0 r m  φ θ n 

[]

 m φ yn  Mn = φ φ  2   r m φ θ n 

[ ] T T yn θ n

T M n = φyn m φyn + φθTn r 2 m φθn

N

2 M n = ∑ m j φ jyn + r2 j =1

 S yn   m φ yn  Sn =   = Γ n  2   Sθ n   r m φ θ n  ó S yn = Γn m φyn Sθn = r 2 Γn m φθn

N

∑m j =1

j

φ j2θn

  φ 1yn   S1yn   m1      m   φ 2yn   S2yn   2    0     ≈    S yn =   = Γ n    S jyn   0≈ m j   φ jyn               φ   SN yn   mN   N yn  ↑ ↑ m φ yn De aquí:

S jyn = Γn m j φjyn S jθn = r 2 Γn m j φjθn

Premultiplicando por 1T a la ecuación (4.3.3)

2N 2N  m φ  m T  1 T T  yn  1 =   = 1 ∑ Sn = 1 ∑ Γ n  2   0  n= 1 n= 1  r m φ θ n 

ó

 1 m 1  mφ   1 mφ yn    = ∑ Γ 1   = ∑ Γ n 2 T   0   mr φ  n=1  r 1 mφ θn T 2N 1 T yn n 2 n= 1 θ n

T 2N

 2N T  Γ 1 m φ ∑ n yn    n= 1  =    2N   ∑ Γ n r 2 1T m φ θ n   n= 1  2N

mT = 1T m 1 = m1 + m2 +  + m y = ∑ Γn 1T m φ yn n =1

2N

0 = ∑ Γn r 2 1T m φθn n =1

Desarrollando el primero:

 m1   φ 1 yn   m    2   φ 2 yn    0  2N ≈    mT = ∑ Γ n[1111]    0 mj   φ jyn  n= 1  ≈        φ  m N   N yn   =

2N

∑

n= 1

=

Γn

]

∑ Γ (m φ 2N

n =1

=

[

 φ 1 yn     φ 2 yn     m1 m2  m j  m N    φ jyn        φ N yn 

2N

∑ n =1

n

1 1 yn

 N  Γn  ∑m j φ jyn  =  j =1 

Donde:

Lhyn =

N

∑m j =1

y

φ jyn

Ahora:

mT = Desarrollando el segundo:

N

∑M n =1

m2φ2 yn  m j φ jyn  m N φN yn )

* yn

2N

∑Γ n =1

n

Lhyn

2N

∑Γ

0 =

n

n =1

r 2 1T m φθn

2N

∑Γn r 2

=

n =1

=

n =1

M

* yn

=

j =1

j

φ jθn

 N   ∑ Γn r 2 m j φ jθn  = ∑   n =1  j =1 

∑I

Donde:

∑m

2N

2N

∴

N

* 0n

2N

∑I n =1

* 0n

= 0

(L )

h 2 yn

I 0*n =

,

Mn

N

∑Γ j =1

n

r 2 m j φ jθ n

Respuestas Modales: - Desplazamientos: N

u = φ q = ∑ φn q n = n =1

N

∑u n =1

n

u n = φn q n (t ) = φn Γn Dn (t )

Aquí:

 u yn   φ yn  un =   , φ n =    uθ n  φ θn

 uyn   φ yn   Γ n φ yn Dn (t)    = Γ n Dn (t)   =    uθ n   φ θ n   Γ n φ θ n Dn (t)  u yn (t ) = Γn φyn Dn (t ) uθn (t ) = Γn φθn Dn (t )

….…………

(4.3.11) Para los desplazamientos laterales (y), los desplazamientos horizontales (θ) para el j – ésimo nivel, es:

u jyn = Γn φjyn Dn (t )

…..…………

u jθn = Γn φjθn Dn (t )

(4.3.12) Observe:

 u1 yn     u 2 yn     u yn =    u jyn        u N yn 

, φ yn

 φ 1 yn     φ 2 yn     =    φ jyn        φ N yn 

Fuerzas del Edificio: f n = S n An (t )

Aquí:

 f yn   S yn  fn =   , Sn =    fθ n   Sθ n 

(4.1.11)

De aquí:

 f yn   S yn    =   An (t)  f θ n   Sθ n  f yn = S yn An (t ) f θn = Sθn An (t )

……………..………. (4.3.13)

Para el j – ésimo nivel f jyn = S jyn An (t ) f jθn = S jθn An (t )

………………..…… (4.3.14)

La respuesta debido al n – ésimo modo, es:

rn = rnst An (t )

………………..…… (4.3.15)

st Ahora la respuesta rn se determina por Análisis Estructural del edificio debido

a las fuerzas S yn y Sθn S n = Γn m φn

 Syn  φ yn  Γ n mφ yn   = Γ n m  =    Sθ n   φ θ n   Γ n mφ θ n  S yn = Γn m φyn

ó

S jyn = Γn m j φ jyn

Sθn = Γn mφθn

ó

S jθn = Γn m j φ jθn

Figura 4.3.1. rn (t ) = rnst An (t )

→ Vinst =

N

∑S j =i

jyn

↓ Vin (t ) = Vinst An (t ) rn (t ) = rnst An (t ) ↓ Ti = Tin (t ) = Tinst An (t )

Tin (t ) =

N

∑S θ

j n

j =1

rn (t ) = rnst An (t ) ↓ Vbn (t ) = Vbnst An (t ) = M n* An (t )

…………… (4.3.16)

M bn (t ) = M

st bn

An (t ) = h M An (t ) * n

* n

Fuerzas en los Elementos •

Las fuerzas en los elementos, momentos, cortantes, torsores, etc. Son vigas, columnas, placas, etc. Para cada marco del edificio.

•

Para este propósito tenemos: - u n está en los grados de libertad del edificio, ubicados en los centros de masas. - u in el desplazamiento para el i – ésimo marco ubicado en los g. d. l. del marco. Para el marco x – x u in = a xi u n Donde.

Para el marco y – y u in = a yi u n

a xi = [ 0 − y i I ]

;

a yi = [ I + xi I ]

NOTA:

 u yn  un =    uθn  Ahora: Marco x – x

 u yn  uin = [ 0 − yi I ]   = − yi I uθ n = − yi uθ n  uθ n  = − y i Γ n φ θ n D n (t ) Marco y – y

u   u in = [I −xi I ]  yn =u yn +xi uθn uθ n   = Γ + xi φ n φ θ n Dn (t ) θ n Γ n Dn (t ) = Γ xi n Dn (t ) (φ yn +

φ θ n )

Para el j – ésimo nivel: Marco x – x

u jin =− y i Γn Dn (t ) φjθn

Marco y – y

u jin = Γn Dn (t ) (φjθn + xiφjθn )

j = 1, 2,…N i = 1, 2,… # de marcos

(4.5.22)

Alternativamente, las fuerzas estáticas equivalentes f in para el i-ésimo marco con rigidez lateral kxi si está orientada en la dirección x y kyi si esta en la dirección y, se define: Marco x – x f in (t ) = k xi u in (t ) = Γn k xi ( −y i ) φθn

f 1in   f 2 in      f jin      f Nin 

          

Con estas fuerzas se realiza un análisis estructural estático en cada instante de tiempo t. Marco y – y

[

]

f in (t ) = k yi u in (t ) = Γn k yi (φ yn + xi φθn ) Dn (t )

f 1in   f 2 in      f jin      f Nin 

          

2N

2N

n =1

n =1

r (t ) = ∑ rn (t ) = ∑rnst An (t )