• Author / Uploaded
• Martinez Fernandez A Franz

• Categories
• Espacio vectorial
• Vector Euclidiano
• Escalar (Matemáticas)
• Geometria plana)
• Sistema coordinado

Citation preview

CAPITULO 1 ALGEBRA DE VECTORES 1.1.- Introducción 1.2.- Escalares y vectores 1.3.- Algebra vectorial 1.3.1.- Producto punto 1.3.2.- Producto cruz 1.3.3.- Triple producto escalar 1.3.4.- Triple producto vectorial 1.4.- Conjuntos recíprocos de vectores 1.5.- Líneas y planos 1.6.- Superficies 1.7.- Coordenadas curvilíneas 1.8.- Funciones evaluadas con vectores 1.9.- Longitud de arco 1.10.- coordenadas cartesianas – coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas 1.11.- Ejercicios 1.1.- Introducción. En cálculo I, encontramos funciones de una sola variable que varía sobre un subconjunto de Nros R que se encuentra sobre una recta.  𝒚 = 𝒇(𝒙) y la gráfica de la función 𝑓(𝑥) es el {(𝒙, 𝒚)/(𝒙, 𝒚) = (𝒙, 𝒇(𝒙))}. Estos puntos en coordenadas rectangulares consiste de todos los pares ordenado (𝒂, 𝒃)  Una recta es representada por 𝑹𝟏 o simplemente por 𝑹, un plano por 𝑹𝟐 , el espacio por 𝑹𝟑 y un espacio n-dimensional por 𝑹𝒏 donde n representa el número de dimensiones.  Entonces se puede tener transformaciones de 𝑹𝒏 → 𝑹𝒎 . Así en cálculo I se tienen de 𝑹 → 𝑹, en análisis vectorial tendremos transformaciones de: 𝑹 → 𝑹𝟐 , 𝑹 → 𝑹𝟑 , 𝑹𝟐 → 𝑹𝟑 , etc. A esto también se llama cálculo de varias variables.  Por ejemplo la gráfica de dos variables se denota por 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) cuya gráfica en el sistema de coordenadas cartesianas son todas las tripletas ordenadas (𝒂, 𝒃, 𝒄) y su gráfica de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) es el {(𝒙, 𝒚, 𝒛)/(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒙, 𝒚, 𝒇(𝒙, 𝒚))}  En las figuras 1 y 2 se muestran un espacio tridimensional, que tiene tres ejes mutuamente ⊥ y tres planos también mutuamente ⊥. Al sistema mostrado en figura 1, se lo denomina sistema de coordenadas de mano derecha

Figura 1

Figura 2

Figura 3b

Figura 3a

1.2.- Cantidades escalares y vectoriales.Cantidades Escalares  Una cantidad escalar queda totalmente definida por su magnitud (que puede ser (+) o (−) junto a su unidad de medida), ejemplos: Cantidad escalar Temperatura Carga eléctrica Masa Tiempo

Magnitud +15 −12 −12 +5 +5 +7

Unidad [°C], [°F], [°K] [°C], [°F], [°K] [C] [C] [Kg] [seg]

+/− + − − + + +

Tabla 1  El tratamiento matemático de las cantidades escalares es la misma que se hace con las cantidades algebraicas (En el curso utilizaremos la palabra escalar como sinónimo de número Real).

Cantidades Vectoriales  Una cantidad vectorial queda totalmente definida si se conocen su magnitud y dirección. Ejemplos: Cantidad vectorial

Velocidad Fuerza Intensidad de campo eléctrico Intensidad de campo magnético

Magnitud

Unidad

120 − 200 80 + 10 +5 −1.5

[Km/hr] [Km/hr] [Km/hr] [N] [V/m] [A/m]

+/−

+ − + + + +

Dirección

(+) del eje x (−) del eje x 30° N-E 45° c/respecto del eje x (+) del eje z (−) del eje z

Tabla 2 Notación de cantidades Vectoriales  En el curso, a una cantidad vectorial (o simplemente vector) lo denotaremos por:

⃗𝑽

⃗𝒗

 Y a su magnitud lo denotaremos por: ⃗⃗⃗⃗ | |

𝑽

𝒗

|⃗⃗⃗⃗ |

 Entendiéndose por magnitud de un vector al tamaño o al largo del vector, por ejemplo: 5 V/m, 1.5 A/m, 200 Km/hr, etc. Representación geométrica de cantidades Vectoriales  Los podemos representar en 𝑹𝟏 , 𝑹𝟐 𝒐 𝒆𝒏 𝑹𝟑

b) En 𝑹𝟐

c) En 𝑹𝟏

a) En 𝑹𝟑

Figura 4 Definición 1.1.- Un vector ≠ 0 es un segmento de línea dirigido, trazado desde un punto P (llamado punto inicial) hacia un punto Q (llamado punto terminal), siendo los puntos P y Q ≠. El vector es denotado por ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑷𝑸. Y su magnitud, que es el ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ largo del segmento de línea es denotado por |𝑷𝑸| y su dirección es la misma que la del segmento de línea dirigido. El vector cero es cuando los puntos P y Q coinciden (son=) y es denotado por ⃗𝟎.  NOTA 1.- Tanto las cantidades escalares como las vectoriales pueden ser función de las variables espaciales (posición) como del tiempo, es decir: F(𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕) 1.3.- Algebra vectorial 1.3.1. Igualdad de vectores. ⃗ , si ellos tienen la misma Definición 1.2.- Dos vectores son iguales, ⃗𝑨 = ⃗𝑩 magnitud y la misma dirección. Cualquier vector con magnitud igual a cero es igual al vector cero. ⃗ =𝑩 ⃗⃗ ⇒ 𝑩 ⃗⃗ = 𝑨 ⃗ 𝑆𝑖 𝑨 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 𝑆𝑖 𝑨 = 𝑩 𝒚 𝑩 = 𝑪 ⇒ ⃗𝑨 = ⃗𝑪 A raíz de la definición anterior, vectores con la misma magnitud y dirección pero con puntos iniciales diferentes, SON IGUALES. En ⃗ ,𝒗 ⃗ 𝑦𝒘 ⃗⃗⃗ todos tienen la misma magnitud √𝟓. la Fig. 5, los vectores 𝒖 ⃗⃗ son ∥ ya que ellos Vemos también en la misma figura que ⃗𝒖 y ⃗𝒘 están sobre líneas que tienen la misma pendiente de ½ y apunta ⃗ =𝒘 ⃗⃗⃗ pese a que en la misma dirección, entonces se dice que 𝒖 ⃗ ∥𝒗 ⃗ pero apuntan en direcciones tienen puntos iniciales ≠. Si bien 𝒖 ⃗ ≠𝒗 ⃗ opuestas, decimos entonces que 𝒖

Figura 5se puede concluir que para un vector con magnitud y dirección dadas, se tiene ∞  Entonces número de vectores iguales a él, todos esos vectores serán iguales defiriendo solo sus puntos inicia y final. La pregunta es: ¿Habrá un solo vector que podemos escoger para representar a todos esos vectores que son iguales? La respuesta es sí, y esta sugerida por los vectores mostrados en la figura 5. Salvo indicación en contrario, al hablar de "el vector" con una magnitud y una dirección dada, significa que su punto inicial está en el origen del sistema de coordenadas. Cuando se fija el punto inicial de un vector, se lo denomina vector fijo o localizado; si el punto inicial no se fija, se llama vector libre o no localizado. En el curso se supondrá que todos los vectores son libres Pensar en los vectores con punto inicial en el origen, es pensar en los vectores en su forma estándar Otra ventaja de usar el origen como el punto inicial de vectores, es que provee una correspondencia conveniente entre un vector y su punto terminal. Ejemplo 1.1. Sea ⃗𝑽 un vector en 𝑹𝟑 cuyo punto inicial está en el origen y cuyo punto final es (3,4,5). Sin embargo el punto (3,4,5) y el vector ⃗𝑽 son objetos ≠, por ⃗ = (𝟑, 𝟒, 𝟓, ), cuando se lo que es conveniente escribir 𝑽 escribe de esta manera se debe sobre entender que el ⃗ 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒐𝒓𝒊𝒈𝒆𝒏 (𝟎, 𝟎, 𝟎) y que su punto punto inicial de 𝑽 terminal es (3,4,5) Figura 6.- Correspondencia entre puntos y vectores

A menos que se indique otra cosa, cuando nos referimos a los vectores como ⃗𝑽 = (𝒂, 𝒃)𝒆𝒏 𝑹𝟐 o como ⃗𝑽 = (𝒂, 𝒃, 𝒄) 𝒆𝒏 𝑹𝟑 , debemos entender que son vectores en el SCC que empiezan en el origen. La correspondencia punto – vector, facilita la verificación de si dos vectores son iguales sin la necesidad de determinar su magnitud tampoco su dirección, parecido a si dos puntos son iguales, nada más hay que ver si los puntos terminales de los vectores que empiezan en el origen son los mismos. Para cada vector, encontrar el único vector que sea igual a aquel cuyo punto inicial es el origen. Luego comparar las coordenadas de los puntos terminales de los nuevos vectores: si las coordenadas son los mismos, entonces los vectores originales son iguales. Para lograr que los nuevos vectores empiecen en el origen, se debe trasladar cada vector de tal manera que empiecen en el origen, para ello se debe sustraer las coordenadas del punto inicial original de las coordenadas del punto terminal original. El punto resultante será el punto terminal del nuevo vector cuyo punto inicial es el origen. Realice esto para cada vector original y luego compare.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ y 𝑹𝑺 ⃗⃗⃗⃗⃗ en Ejemplo 1.2. Considerar los vectores 𝑷𝑸 𝑹𝟑 , donde P(2,1,5), Q(3,5,7), R(1,-3-2) y ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑹𝑺 ⃗⃗⃗⃗⃗ ?. S(2,1,0). ¿Será 𝑷𝑸 Solución.

Figura 7. Para los punto P(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) y Q(𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ) en 𝑅 2, la distancia entre P y Q es:

𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐

1-1

Por la formula anterior se obtiene el resultado siguiente. Para un ⃗⃗⃗⃗⃗ en 𝑅 2, la magnitud de 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ es: vector 𝑃𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐 |𝑷𝑸

1-2

⃗ = (𝑎, 𝑏)𝑒𝑛 𝑅 2 es un Por lo que encontrar la magnitud de un vector 𝑉 caso particular de la 1-2 con P=(0,0) y Q=(a,b), esto es: ⃗ | = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 |𝑽

1-3

Teorema 1.1. La distancia entre los puntos 𝑃 = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) 𝑦 𝑄 = (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) 𝑒𝑛 𝑅 3 es:

𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐 + (𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 )𝟐

1-4

⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐) 𝑒𝑛 𝑅 3 , su magnitud es: Teorema 1.2. Para un vector 𝑉 ⃗ | = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 |𝑽

1-5

Ejemplo 1.3. Calcular: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒆𝒏 𝑹𝟐 con 𝑷 = (−𝟏, 𝟐) 𝒚 𝑸 = (𝟓, 𝟓) a) La magnitud del vector 𝑷𝑸 b) La magnitud del vector ⃗𝑽 = (𝟖, 𝟑) 𝒆𝒏 𝑹𝟐 c) La distancia entre los puntos 𝑷 = (𝟐, −𝟏, 𝟒) 𝒚 𝑸 = (𝟒, 𝟐 − 𝟑) 𝒆𝒏 𝑹𝟑 ⃗ = (𝟓, 𝟖, −𝟐) 𝒆𝒏 𝑹𝟑 d) La magnitud del vector 𝑽 Solución. 1.3.2.- Suma y resta de vectores. Definición 1.3. Un escalar es una cantidad que puede ser representado por un simple número Definición 1.4. Para un escalar 𝒌 𝑦 𝑢𝑛 ⃗𝑽 ≠ ⃗𝟎, la multiplicación escalar del vector ⃗ 𝑝𝑜𝑟 𝑘, denotado por 𝒌𝑽 ⃗ , es el vector cuya magnitud es |𝒌||𝑽 ⃗ | y apunta en la misma 𝑉 dirección de ⃗𝑽 si 𝒌 > 𝟎, 𝑦 𝑎𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎 ⃗𝑽 𝑠𝑖 𝒌 < 𝟎 𝑦 𝑒𝑠 = ⃗0 𝑠𝑖 𝑘 = 0. Para ⃗ = ⃗0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑘. el ⃗0, definimos 𝑘0 ⃗ ⃗⃗⃗ son paralelos Dos vectores 𝑉 y 𝑊 ⃗⃗⃗ ) SSI uno es múltiplo (denotado por ⃗𝑽 ∥ ⃗𝑾 escalar del otro. Se puede pensar que la multiplicación escalar de un vector, es algo así como estirar o encoger el vector, y como voltear el vector en dirección contraria si el escalar es un número negativo. Referirse a la Fig. 8

Figura 8

⃗ significa que su punto inicial ha cambiado pero su magnitud Recordar que trasladar un vector ≠ 0 y dirección son preservadas Suma de vectores. ⃗ y𝑊 ⃗⃗⃗ , denotado por 𝑽 ⃗ +𝑾 ⃗⃗⃗⃗ , se obtiene trasladando Definición 1.5. La suma de los vectores 𝑉 ⃗⃗⃗ de tal manera que su punto inicial coincida con el punto final de 𝑉 ⃗ ; el punto inicial de 𝑉 ⃗ +𝑊 ⃗⃗⃗ 𝑊 ⃗ y su punto final es el nuevo punto final de 𝑊 ⃗⃗⃗ . es el punto inicial de 𝑉

⃗ y Vectores 𝑉 ⃗⃗⃗ 𝑊

Traslación ⃗⃗⃗ al final de 𝑊 ⃗ de 𝑉

Suma de ⃗ +𝑊 ⃗⃗⃗ 𝑉

⃗ y𝑊 ⃗⃗⃗ significa Geométricamente la suma de 𝑉 ⃗⃗⃗ al final de 𝑉 ⃗ como se muestra en añadir 𝑊 figura 9. La definición también es válida para ⃗ , es decir: 𝑉 ⃗ =𝑉 ⃗ +0 ⃗ para cualquier el vector 0 ⃗𝑉 . También se puede ver que 𝑉 ⃗ + (−𝑉 ⃗ ) = ⃗⃗0. En general desde que el múltiplo escalar ⃗ = −1𝑉, ⃗⃗⃗ la sustracción define a un vector −𝑉

Figura 9. Adición de vectores

⃗ y Vectores 𝑉 ⃗⃗⃗ 𝑊

Traslación ⃗⃗⃗ al de −𝑊 ⃗ final de 𝑉

En la figura 10 se utiliza conceptos geométricos para probar algunas leyes del algebra vectorial. Por ejemplo el inciso a) muestra la ley conmutativa de la suma de vectores, el inciso c) muestra la conceptualización de la resta de vectores.

Resta de ⃗ −𝑊 ⃗⃗⃗ 𝑉

Los siguientes teoremas del algebra vectorial en 𝑅 2 y 𝑅 3 sobre vectores cuyo origen es el origen del sistema de coordenadas.

Figura 9. Resta de vectores

a) Suma de vectores

b) Resta de vectores

⃗ = (𝑉1 , 𝑉2 ) y 𝑊 ⃗⃗⃗ = (𝑊1 , 𝑊2 ) en 𝑅 2 Teorema 1.3. Sean los vectores 𝑉 y 𝑚 un escalar. Entonces: ⃗ = (𝒎𝑽𝟏 , 𝒎𝑽𝟐 ) 𝒂) 𝒎𝑽 ⃗ +𝑾 ⃗⃗⃗⃗ = (𝑽𝟏 + 𝑾𝟏 , 𝑽𝟐 + 𝑾𝟐 ) 𝒃) 𝑽 ⃗ = (𝑉1 , 𝑉2 , 𝑉3 ) y 𝑊 ⃗⃗⃗ = (𝑊1 , 𝑊2 , 𝑊3 ) Teorema 1.4. Sean los vectores 𝑉 3 en 𝑅 y 𝑚 un escalar. Entonces: ⃗ = (𝒎𝑽𝟏 , 𝒎𝑽𝟐 , 𝒎𝑽𝟑 ) 𝒂) 𝒎𝑽 ⃗⃗⃗ = (𝑽𝟏 + 𝑾𝟏 , 𝑽𝟐 + 𝑾𝟐 , 𝑽𝟑 + 𝑾𝟑 ) 𝒃) ⃗𝑽 + ⃗𝑾 Teorema 1.5. Sean los vectores 𝑢 ⃗ ,𝑣 𝑦 𝑤 ⃗⃗ y los escalares 𝑚 𝑦 𝑛 ⃗ +𝒘 ⃗ ⃗⃗⃗ = 𝒘 ⃗⃗⃗ + 𝒗 𝒂) 𝒗 Ley conmutativa ⃗ + (𝒗 ⃗ +𝒘 ⃗ +𝒗 ⃗ )+𝒘 ⃗⃗⃗ ) = (𝒖 ⃗⃗⃗ 𝒃) 𝒖 Ley asociativa ⃗ ⃗ ⃗ +𝟎=𝒗 ⃗ = 𝟎+𝒗 ⃗ 𝒄) 𝒗 Aditivo idéntico ⃗ ⃗ + (−𝒗 ⃗)=𝟎 𝒅) ) 𝒗 Inverso Aditivo ⃗ ) = (𝒎𝒏)𝒗 ⃗ 𝒆) 𝒎(𝒏𝒗 Ley asociativa ⃗ +𝒘 ⃗ + 𝒎𝒘 ⃗⃗⃗ ) = 𝒎𝒗 ⃗⃗⃗ 𝒇) 𝒎(𝒗 Ley distributiva ⃗ = 𝒎𝒗 ⃗ + 𝒏𝒗 ⃗ 𝒈) (𝒎 + 𝒏)𝒗 Ley distributiva Vector unitario. Es aquel cuya magnitud es igual a “uno”. Para ⃗ ⃗ ≠ ⃗0, el vector 𝑽 = 𝒏 ⃗ es un vector unitario que cualquier vector 𝑉 ⃗ |𝑽|

c) Combinación de suma y resta

⃗ , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑽 ⃗ = |𝑽 ⃗ |𝒏 ⃗ . apunta en la misma dirección de 𝑉 Hay vectores unitarios específicos que a menudo usaremos, llamados vectores de base, estos son:

Figura 10. Geometría del algebra vectorial

𝑎) 𝑅 2

𝑏)

Figura 11. Vectores base en ≠ dimensiones

𝑐) 𝑅 3 𝑑)

⃗ = (𝟎, 𝟎, 𝟏) 𝒆𝒏 𝑹𝟑 ; 𝒊 = (𝟏, 𝟎, 𝟎), 𝒋 = (𝟎, 𝟏, 𝟎), 𝒌 𝒊 = (𝟏, 𝟎), 𝒋 = (𝟎, 𝟏) 𝒆𝒏 𝑹𝟐 . Los vectores base son una herramienta poderosa dentro el análisis vectorial, son vectores mutuamente ⊥ y existen en diferentes sistemas ortogonales. Todos los vectores ⃗ | = 𝟏. Cada vector en unitarios: |𝒊| = |𝒋| = |𝒌 𝑅 2 𝑜 𝑒𝑛 𝑅 3, se puede escribir como una única combinación escalar de los vectores base: Vectores en su forma de ⃗𝑉 = (𝑎, 𝑏) = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 en 𝑅 2 componen⃗ = (𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 + 𝑐𝑘⃗ en 𝑅 3 𝑉 tes Referirse a la figura 11 Sean: ⃗ = 𝒗𝟏 𝒊 + 𝒗𝟐 𝒋 + 𝒗𝟑 ⃗𝒌, 𝒎 un escalar ⟹ 𝒗 ⃗ = 𝒎𝒗𝟏 𝒊 + 𝒎𝒗𝟐 𝒋 + 𝒎𝒗𝟑 ⃗𝒌 𝒎𝒗 ⃗ = 𝒗𝟏 𝒊 + 𝒗𝟐 𝒋 + 𝒗𝟑 ⃗𝒌, 𝒘 ⃗⃗⃗ = 𝒘𝟏 𝒊 + 𝒘𝟐 𝒋 + 𝒘𝟑 ⃗𝒌 ⟹ 𝒗 ⃗ ⃗ +𝒘 ⃗⃗⃗ = (𝒗𝟏 + 𝒘𝟏 )𝒊 + (𝒗𝟐 + 𝒘𝟐 )𝒋 + (𝒗𝟑 + 𝒘𝟑 )𝒌 𝒗 ⃗ ⟹ |𝒗 ⃗ = 𝒗𝟏 𝒊 + 𝒗𝟐 𝒋 + 𝒗𝟑 𝒌 ⃗ | = √𝒗𝟐𝟏 + 𝒗𝟐𝟐 + 𝒗𝟐𝟑 𝒗

Ejemplo 1.4. Sean los vectores 𝑣 = (2,1, −1) y 𝑤 ⃗⃗ = (3, −4,2) en 𝑅 3. 𝑎) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑣 − 𝑤 ⃗⃗ 𝑏) 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 3𝑣 + 2𝑤 ⃗⃗ 𝑐) 𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑣 𝑦 𝑤 ⃗⃗ 𝑒𝑛 𝑠𝑢 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑) 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢 ⃗ 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 𝑢 ⃗ +𝑣 =𝑤 ⃗⃗ 𝑒) 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢 ⃗ 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 𝑢 ⃗ +𝑣+𝑤 ⃗⃗ = ⃗0 𝑣 𝑤 ⃗⃗ 𝑓) 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑢 ⃗ 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 2𝑢 ⃗ + 𝑖 − 2𝑗 = 𝑘⃗ 𝑔) 𝐸𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠 𝑦 |𝑣 | |𝑤 ⃗⃗ | Solución. 1.3.3.- Producto punto Ya se ha definido el producto de un vector por un escalar. En esta sección definiremos el producto de un vector por otro vector, empezaremos estudiando el producto punto también llamado producto interior. ⃗ = (𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 , 𝒗𝟑 ) y 𝒘 ⃗⃗⃗ = (𝒘𝟏 , 𝒘𝟐 , 𝒘𝟑 ) vectores en 𝑅 3. El producto punto Definición 1.6. Sean 𝒗 ⃗ 𝒚𝒘 ⃗ ∙𝒘 ⃗⃗⃗ denotado por 𝒗 ⃗⃗⃗ está definido por: entre los vectores 𝒗 ⃗ ∙𝒘 ⃗⃗⃗ = (𝒗𝟏 𝒘𝟏 + 𝒗𝟐 𝒘𝟐 + 𝒗𝟑 𝒘𝟑 ) 𝒗 𝟏. 𝟔 𝟐⃗ ⃗⃗⃗ = (𝒘𝟏 , 𝒘𝟐 ) De igual manera para vectores en 𝑹 𝒗 = (𝒗𝟏 , 𝒗𝟐 ) y 𝒘 ⃗ ∙𝒘 ⃗⃗⃗ = (𝒗𝟏 𝒘𝟏 + 𝒗𝟐 𝒘𝟐 ) 𝒗 𝟏. 𝟕 Se debe observar, que el producto punto de dos vectores nos da como resultado una cantidad escalar. Lo que significa que la ley asociativa que vale para la multiplicación de los números y para la adición de los vectores (ver Theorem1.5 (b), (e)), no vale para el producto punto de ⃗⃗⃗ es un escalar, y (𝑢 vectores. ¿Por qué? Porque para vectores 𝑢 ⃗ , 𝑣, 𝑤 ⃗⃗ el producto ⃗𝒗 ∙ 𝒘 ⃗ ∙ 𝑣) ∙ 𝑤 ⃗⃗ no está definido ya que el paréntesis izquierdo de ese producto punto es un escalar y no un vector. ⃗ 𝒚 𝒘 ⃗ 𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒗 ⃗ = 𝒗𝟏 𝒊 + 𝒗𝟐 𝒋 + 𝒗𝟑 𝒌 ⃗ ∙𝒘 ⃗⃗⃗ = 𝒘𝟏 𝒊 + 𝒘𝟐 𝒋 + 𝒘𝟑 𝒌 ⃗⃗⃗ = (𝒗𝟏 𝒘𝟏 + 𝒗𝟐 𝒘𝟐 + 𝒗𝟑 𝒘𝟑 ) Para 𝒗 La definición de producto punto, es una definición analítica en términos de sus componentes, pero también se puede dar una definición geométrica como consecuencia de la definición analítica ⃗ con el mismo punto inicial es el ∢ más Definición 1.7. El ∢ entre dos vectores ≠ 0 pequeño entre ellos ⃗ con No está definido el ∢ entre el vector ⃗0 y cualquier otro vector. Dos vectores cualesquiera ≠ 0 el mismo punto inicial tiene dos ∢ entre ellos: 𝜃 𝑦 360 − 𝜃. Siempre se debe elegir el ∢ 𝜃 más pequeño y no negativo que ∃ entre ellos. Referirse a la figura 12.

A partir de lo señalado por medio de la Figura 12, podemos definir el producto punto de otra forma: ⃗ 𝑦𝑊 ⃗⃗⃗ 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 ≠ ⃗0, y sea 𝜃 el ∢ entre Teorema 1.6. Sean 𝑉 ellos, entonces: ⃗ ∙𝑾 ⃗⃗⃗⃗ = |𝑽||𝑾|𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒄𝒐𝒏 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝝅 𝑽 1.8 ⃗ ∙𝑾 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ∙𝑾 ⃗⃗⃗⃗ 𝑽 𝑽 𝒄𝒐𝒔𝜽 =

⃗ ||𝑾 ⃗⃗⃗⃗ | |𝑽

⟹ 𝜽 = 𝒄𝒐𝒔−𝟏 (

) ⃗ ||𝑾 ⃗⃗⃗⃗ | |𝑽

⃗ = (2,1, −1 ) y Ejemplo 1.5. Calcular el ∢ entre los vectores 𝑉 ⃗𝑊 ⃗⃗ = (3, −4,1) Solución ⃗ son ⊥ ssi 𝑽 ⃗ ⃗ 𝑦𝑊 ⃗⃗⃗ ≠ 0 ⃗ ∙𝑾 ⃗⃗⃗⃗ = 𝟎 Corolario 1.7. Dos vectores 𝑉 Corolario 1.8. Como 𝑐𝑜𝑠𝜃 > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝜃 < 90° 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝜃 < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 90 < 𝜃 ≤ 180°, tenemos:

⃗ ∙𝑊 ⃗⃗⃗ 𝑒𝑠 𝑉

>0 =0 0). Debido a que el volumen es el mismo sin importar cuál base y altura usamos, entonces, repitiendo los mismos pasos usando la base determinada por 𝑢 ⃗ 𝑦 𝑣 (debido a que 𝑤 ⃗⃗ está sobre el mismo lado del plano de las bases como 𝑢 ⃗ 𝑥𝑣 ), entonces, el volumen es 𝑤 ⃗⃗ ∙ (𝑢 ⃗ 𝑥𝑣 ). Repitiendo esto con la base determinada por 𝑤 ⃗⃗ 𝑦 𝑢 ⃗ , tenemos el resultado siguiente: Para cualesquiera vectores 𝑢 ⃗ , 𝑣, 𝑤 ⃗⃗ 𝑒𝑛 𝑅 3

⃗ ∙ (𝒗 ⃗ 𝒙𝒘 ⃗ 𝒙𝒗 ⃗)=𝒗 ⃗ ∙ (𝒘 ⃗) ⃗⃗⃗ ) = 𝒘 ⃗⃗⃗ ∙ (𝒖 ⃗⃗⃗ 𝒙𝒖 𝒖

𝟏. 𝟏𝟐

⃗ ,𝒘 ⃗⃗⃗ 𝑒𝑛 𝑹𝟑 , entonces, escogiendo el orden Como 𝑣 𝑥𝑤 ⃗⃗ = −𝑤 ⃗⃗ 𝑥𝑣 para cualesquiera vectores 𝒗 equivocado para lo tres lados adyacentes en el triple producto escalar en la fórmula (1.12) dará como resultado el negativo del volumen del paralelepípedo. Tomando el valor absoluto del triple producto escalar para cualquier orden de los tres lados adyacentes se obtendrá, siempre, el volumen del paralelepípedo Teorema 1.15. Si los vectores 𝑢 ⃗ , 𝑣, 𝑤 ⃗⃗ 𝑒𝑛 𝑅 3 representan a cualesquiera tres lados adyacentes de un paralelepípedo, entonces, el volumen del paralelepípedo es:

|𝒖 ⃗ ∙ (𝒗 ⃗ 𝒙𝒘 ⃗⃗⃗ )|

⃗ 𝒙(𝒗 ⃗ 𝒙𝒘 ⃗⃗⃗ ) enunciado en el teorema Otro tipo de triple producto es el triple producto vectorial 𝒖 siguiente. Teorema 1.16. Para cualesquiera vectores 𝑢 ⃗ , 𝑣, 𝑤 ⃗⃗ 𝑒𝑛 𝑅 3

⃗ 𝒙(𝒗 ⃗ 𝒙𝒘 ⃗ ∙𝒘 ⃗ − (𝒖 ⃗ ∙𝒗 ⃗ )𝒘 𝒖 ⃗⃗⃗ ) = (𝒖 ⃗⃗⃗ )𝒗 ⃗⃗⃗

1.13

Un análisis de la fórmula del teorema 1.16 nos da alguna idea de la geometria del triple producto ⃗ 𝒙 (𝒗 ⃗ 𝒙𝒘 vectorial. Por el lado derecho de la formula 1.13, vemos que 𝒖 ⃗⃗⃗ ) es una combinación

escalar de 𝑣 𝑦 𝑤 ⃗⃗ , y por lo tanto está tendido en el plano que contiene a los vectores 𝑣 𝑦 𝑤 ⃗⃗ (esto es: 𝑢 ⃗ 𝑥(𝑣𝑥𝑤 ⃗⃗ ), 𝑣 𝑦 𝑤 ⃗⃗ 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑟𝑒𝑠). Esto toma sentido desde que el teorema 1.11, 𝑢 ⃗ 𝑥(𝑣𝑥𝑤 ⃗⃗ ) es ⊥ a ambos a 𝑢 ⃗ 𝑦 𝑎 𝑣𝑥𝑤 ⃗⃗ . En particular, ser perpendicular a 𝑣 𝑥𝑤 ⃗⃗ quiere decir que ⃗ 𝒙(𝒗 ⃗ 𝒙𝒘 𝒖 ⃗⃗⃗ )está tendido en el plano que contiene a 𝑣 𝑦 𝑤 ⃗⃗ , ya que ese plano es por sí mismo ⃗ 𝒙 (𝒗 ⃗ 𝒙𝒘 perpendicular a 𝑣 𝑥𝑤 ⃗⃗ . Pero entonces ¿ 𝒖 ⃗⃗⃗ ) cómo es también perpendicular a 𝑢⃗, el cual podría ser cualvector?. El siguiente ejemplo podría ayudar a ver cómo trabaja esto.

Figura 21

⃗ 𝒙(𝒗 ⃗ 𝒙𝒘 Ejemplo 1.14. Encontrar 𝒖 ⃗⃗⃗ ) para 𝑢 ⃗ = (1,2,4), 𝑣 = (2,2,0), 𝑤 ⃗⃗ = (1,3,0) Solución Para los vectores 𝑣 = 𝑣1 𝑖 + 𝑣2 𝑗 + 𝑣3 𝑘⃗ y 𝑤 ⃗⃗ = 𝑤1 𝑖 + 𝑤2 𝑗 + 𝑤3 𝑘⃗, el producto vectorial se escribe: ⃗⃗ ⃗ 𝒙𝒘 𝒗 ⃗⃗⃗ = (𝒗𝟐 𝒘𝟑 − 𝒗𝟑 𝒘𝟐 )𝒊 + (𝒗𝟑 𝒘𝟏 − 𝒗𝟏 𝒘𝟑 )𝒋 + ´(𝒗𝟏 𝒘𝟐 − 𝒗𝟐 𝒘𝟏 )𝒌

Es a menudo más fácil usar la forma componente de los vectores para determinar el producto vectorial, porque puede ser representado como un determinante. No entraremos en la teoría de determinantes a profundidad, sólo cubriremos lo esencial y necesario para nuestros propósitos. Una matriz de 2x2 es un arreglo de dos filas y dos columnas de escalares, escrito como: a b 𝑎 𝑏 o ( ) [ ] c d 𝑐 𝑑 Donde a, b,c,d son escalares. El determinante de tal matriz escrito como 𝒂 𝒃 𝒂 𝒃 | | 𝒐 𝒅𝒆𝒕 [ ] 𝒄 𝒅 𝒄 𝒅 Es el escalar definido por la siguiente formula 𝑎 𝑏 | | = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 𝑐 𝑑 Ejemplo 1.15.

1 2 | |= 3 4

Solución. Una matriz de 3x3 es un arreglo de tre filas y tre columnas de escalares, escrito como: 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎1 𝑎2 𝑎3 |𝑏1 𝑏2 𝑏3 | 𝑜 ( 𝑏1 𝑏2 𝑏3 ) 𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐1 𝑐2 𝑐3 Y su determinante esta dado por la formula 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑏 𝑏3 𝑏 𝑏3 𝑏 𝑏2 1.14 |𝑏1 𝑏2 𝑏3 | = 𝑎1 | 2 | − 𝑎2 | 1 | + 𝑎3 | 1 | 𝑐2 𝑐3 𝑐1 𝑐3 𝑐1 𝑐2 𝑐1 𝑐2 𝑐3

Una forma de recordar la formula anterior es: multiplicar cada escalar de la 1ra fila por el determinante de la matriz de 2x2 queda después de eliminar la fila y la columna que contiene al escalar, luego sumar aquellos productos, colocacndo de manera alternada + y -, empezando con el signo + Ejemplo 1.16. Calcular 1 0 2 |4 −1 3| = 1 0 2 Solución. Se ha definido el determinante como un escalar, derivado de operaciones algebraicas sobre escalares en una matriz. Sin embargo, si se coloca tres vectores en la primera fila de una matriz de 3×3, entonces, la definición todavía tiene sentido, ya que estaríamos multiplicando escalares sobre esos tres vectores. Esto nos da un determinante que es ahora un vector, y nos deja escribir el producto vectorial de 𝑣 = 𝑣1 𝑖 + 𝑣2 𝑗 + 𝑣3 𝑘⃗ y 𝑤 ⃗⃗ = 𝑤1 𝑖 + 𝑤2 𝑗 + 𝑤3 𝑘⃗ como un determinante: ⃗𝒌 𝒊 𝒋 𝑽𝟐 𝑽𝟑 𝑽𝟏 𝑽𝟑 𝑽𝟏 𝑽𝟐 ⃗𝑽𝒙𝑾 ⃗⃗⃗⃗ = | 𝑽 𝑽𝟐 𝑽𝟑 | = 𝒊 |𝑾 𝑾 | − 𝒋 |𝑾 𝑾 | + ⃗𝒌 |𝑾 𝑾 | 𝟏 𝟐 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 𝑾𝟏 𝑾𝟐 𝑾𝟑 ⃗ = (𝑽𝟐 𝑾𝟑 − 𝑽𝟑 𝑾𝟐 )𝒊 + (𝑽𝟑 𝑾𝟏 − 𝑽𝟏 𝑾𝟑 )𝒋 + (𝑽𝟏 𝑾𝟐 − 𝑽𝟐 𝑾𝟏 )𝒌 ⃗ 𝑥𝑊 ⃗⃗⃗ si 𝑉 ⃗ = 4𝑖 − 𝑗 + 3𝑘⃗ 𝑦 𝑊 ⃗⃗⃗ = 𝑖 + 2𝑘⃗ Ejemplo 1.17. Calcular 𝑉 Solución

Figura 22

El triple producto escalar también puede ser escrito como un eterminante. El teorema siguiente provee una definición alternativa del determinante de una matriz de 3×3 Como el volumen de un paralelepípedo cuyos lados adyacentes son las filas de la matriz y forman un sistema de mano derecha (un sistema de mano izquierad nos daría un volumen negativo). Teorema 1.17. Para cualesquiera vectores 𝑢 ⃗ = (𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 ), 𝑣 = (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ), 𝑤 ⃗⃗ = (𝑤1 , 𝑤2 , 𝑤3 ) 𝑒𝑛 𝑅 3 𝒖𝟏 𝒖𝟐 𝒖𝟑 ⃗ ∙ (𝒗 ⃗ 𝒙𝒘 ⃗⃗⃗ ) = | 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟑 | 𝒖 𝒘𝟏 𝒘𝟐 𝒘𝟑 Ejemplo 1.18. Encontrar el volumen del paralelepipedo con lados adyacentes: 𝑢 ⃗ = (2,1,3), 𝑣 = (−1,3,2), 𝑤 ⃗⃗ = (1,1, −2) referirse al figura 22 Solución

1.4.- Conjuntos recíprocos de vectores 1.5.- Líneas y planos Estudiados algunas operaciones con vectores, podemos ya empezar con el estudio de algunos cuerpos geométricos simples como líneas y planos. Agarrando conceptos vectoriales, es mucho más sencillo el estudio de cuerpos tridimensionales

Línea que pasa por un punto y paralelo a un vector. Sea 𝑃 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) un punto en 𝑅 3, sea 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) un vector ≠ 0 y sea L una línea que pasa por el punto P y es ∥ al vector 𝑣 . Ver figura 23. Figura 23 Sea 𝑟 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) un vector posición del origen al punto P. Si multiplicamos el vector 𝑣 por un escalar 𝑡, el vector se alargará o se contraerá mientras conserva su dirección si 𝑡 > 0, y cambiará de dirección (opuesto a 𝑣 ) si 𝑡 < 0, entonces, de la figura 23 vemos que cada punto sobre la línea L puede ser obtenida adicionando el vector 𝑡𝑣 al vector 𝑟 para algún escalar t. Esto es, como 𝑡 varía sobre todos los números reales, el vector 𝑟 + 𝑡𝑣 apuntara a cada punto sobre L (Y de esta Para un punto 𝑃 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) y un vector 𝑣 en 𝑅 3 , la línea L que pasa por P y es ∥ a 𝑣 esta dado por:

manera se irá generando la recta L). Un resumen de la representación de un vector sobre L sería:

Como se puede apreciar, se ha utilizado la correspondencia vector y su punto terminal. Como ⃗ + 𝒕𝒗 ⃗ es (𝒙𝟎 + 𝒂𝒕, 𝒚𝟎 + 𝒃𝒕, 𝒛𝟎 + 𝒄𝒕 ). Esta última 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐), entonces el punto terminal del vector 𝒓

expresión es la representación paramétrica de la línea L con 𝑡 como parámetro.

Para un punto 𝑃 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) y un vector 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) en 𝑅 3 ≠ 0, la línea L que pasa por P y es ∥ a 𝑣 consiste de todos los puntos (𝑥, 𝑦, 𝑧) dado por:

𝒑𝒂𝒓𝒂 ∞− < 𝒕 < ∞+

𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒂𝒕, 𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝒃𝒕, 𝒛 = 𝒛𝟎 + 𝒄𝒕

1.17

Observar que el punto P, en ambas representaciones, se obtiene haciendo 𝑡 = 0 Si en la fórmula 1.17 𝑎 ≠ 0, entonces podemos resolver para 𝑡: 𝑡 = (𝑥 − 𝑥0 )/𝑎, de igual manera podemos resolver en términos de 𝑦 y 𝑧, si ni 𝑏 tampoco 𝑐 son = 0, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟: 𝑡 =

(𝑦−𝑦0 ) 𝑏

; 𝑡=

(𝑧−𝑥0 ) 𝑐

. Los

tres valores son iguales para el mismo valor de 𝑡, por lo que podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones denominado representación simétrica de L: Para un punto 𝑃 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) y un vector 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) en 𝑅 3 , con 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ 0, la línea L que pasa por P y es ∥ a 𝑣 consiste de todos los puntos (𝑥, 𝑦, 𝑧) dado por las ecuaciones:

𝒙 − 𝒙 𝟎 𝒚 − 𝒚𝟎 𝒛 − 𝒛 𝟎 = = 𝒂 𝒃 𝒄

𝟏. 𝟏𝟖

¿Qué podemos decir si 𝑎 = 0?, no podemos realizar la división entre cero “0”, pero conocemos ya que 𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑡 por tanto: 𝑥 = 𝑥0 + 0𝑡 ⟹ 𝑥 = 𝑥0 , por lo que la representación simétrica de L quedaría: 𝒙 = 𝒙𝟎 ,

Figura 24

𝒚−𝒚𝟎 𝒃

=

𝒛−𝒛𝟎 𝒄

𝟏. 𝟏𝟗

La afirmación anterior indica que la línea L esta sobre el plano 𝒙 = 𝒙𝟎 , el cual es ∥ al plano 𝑦𝑧 (ver figura 24). Ecuaciones similares se pueden derivar para los casos en que 𝑏 = 0 o 𝑐 = 0

Ha debido observar que la representación vectorial de L (Ec. 1.16) es más compacta que las fórmulas paramétricas y simétricas. Lo que significa una ventaja utilizar la representación vectorial. Técnicamente, sin embargo, la representación vectorial nos da los vectores cuyos puntos terminales están sobre la línea L, no nos da la línea (L) misma. Así que usted tiene que recordar ⃗ + 𝒕𝒗 ⃗ con sus puntos finales. Por otro lado, la representación asociar o identificar los vectores 𝒓 paramétrica siempre nos da solo los puntos sobre L y nada más. Ejemplo 1.19. Escribir la línea L que pasa por 𝑃 = (2,3,5) y es paralelo al vector 𝑣 = (4, −1,6), en las formas siguientes 𝑎) 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙, 𝑏) 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎, 𝑐) 𝑠𝑖𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎. Finalmente: 𝑑) encuentre dos puntos sobre L distintos a P. ⃗ = (𝟐, 𝟑, 𝟓)𝒚 𝒍𝒂 𝒍í𝒏𝒆𝒂 𝑳 𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒅𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒓 ⃗ + 𝒕𝒗 ⃗ : (𝟐, 𝟑, 𝟓) + 𝒕(𝟒, −𝟏, 𝟔) Solución. (𝒂) 𝒓 (𝒃) 𝑳 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 (𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆: 𝒙 = 𝟐 + 𝟒𝒕, 𝒚 = 𝟑 − 𝒕, 𝒛 = 𝟓 + 𝟔𝒕 𝒑𝒂𝒓𝒂 − ∞ < 𝒕 < +∞ 𝒙−𝟐 𝒚−𝟑 𝒛−𝟓 (𝒄) 𝑳 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 (𝒙, 𝒚, 𝒛)𝒕𝒂𝒍𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆: = −𝟏 = 𝟔 𝟒 (𝒅) 𝑯𝒂𝒄𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒕 = 𝟏 𝒚 𝒕 = 𝟐 𝒆𝒏 (𝒃), 𝒔𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒊𝒆𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐𝒔 (𝟔, 𝟐, 𝟏𝟏) 𝒚 (𝟏𝟎, 𝟏, 𝟏𝟕) 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒆 𝑳 Línea que pasa por dos puntos. Sea 𝑃1 = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y 𝑃2 = (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) dos puntos ≠ en 𝑅 3 y sea L una línea que pasa por los puntos 𝑃1 y 𝑃2 . Y sean 𝑟1 = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y 𝑟2 = (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) vectores posición apuntando hacia 𝑃1 𝑦 𝑃2 respectivamente. Entonces, como se puede ver en la figura 25 𝑟2 − 𝑟1 es el vector de 𝑃1 𝑎 𝑃2 . Si ahora multiplicamos el vector 𝑟2 − 𝑟1 por el escalar 𝑡 y lo sumamos éste al vector 𝑟1 , se obtiene toda la línea como una variación de 𝑡

Sean 𝑃1 = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y 𝑃2 = (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) puntos ≠ en 𝑅 3 y sean 𝑟1 = (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) y 𝑟2 = (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) dos vectores posición. Entonces la línea L que pasa por los puntos 𝑃1 y 𝑃2 tiene las representaciones siguientes: Vectorial:

⃗ 𝟏 + 𝒕(𝒓 ⃗𝟐−𝒓 ⃗ 𝟏 ), 𝒓

𝒑𝒂𝒓𝒂 ∞− < 𝒕 < ∞+

𝟏. 𝟐𝟎

Paramétrica: 𝒙 = 𝒙𝟏 + 𝒕(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 ), 𝒚 = 𝒚𝟏 + 𝒕(𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 ), 𝒛 = 𝒛𝟏 + 𝒕(𝒛𝟐 − 𝒛𝟏 ) 𝒑𝒂𝒓𝒂 ∞− < 𝒕 < ∞+ Simétrica:

𝒙−𝒙𝟏 𝒙𝟐 −𝒙𝟏

=

𝒚−𝒚𝟏 𝒚𝟐 −𝒚𝟏

=

𝒛−𝒛𝟏 𝒛𝟐 −𝒛𝟏

(𝒔𝒊 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐 , 𝒚𝟏 ≠ 𝒚𝟐 , 𝒛𝟏 ≠ 𝒛𝟐 )

𝟏. 𝟐𝟐

Ejemplo 1.20. Escribir la línea L que pasa por los puntos 𝑃1 = (−3,1 − 4) y 𝑃2 = (4,4, −6) en sus formas (a) vectorial, (b) paramétrica y (c) simétrica Solución (𝒂) (−𝟑, 𝟏, −𝟒) + 𝒕[(𝟒, 𝟒, −𝟔) − (−𝟑, 𝟏, −𝟒)] = (−𝟑, 𝟏, −𝟒) + 𝒕(𝟕, 𝟑 − 𝟐) 𝒑𝒂𝒓𝒂 − ∞ < 𝒕 < +∞ (𝒃) 𝒙 = −𝟑 + 𝒕(𝟒 − (−𝟑)) = −𝟑 + 𝒕𝟕, 𝒚 = 𝟏 + 𝒕𝟑, 𝒛 = −𝟒 − 𝒕𝟐 𝒑𝒂𝒓𝒂 − ∞ < 𝒕 < +∞ (𝒄)

𝒙+𝟑 𝟕

=

𝒚−𝟏 𝟑

=

𝒛+𝟒 −𝟐

Distancia entre un punto y una línea. Sea L una línea en 𝑅 3 que en su forma vectorial se expresa como 𝑟 + 𝑡𝑣 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∞− < 𝒕 < ∞+ y sea P un punto sobre L. La distancia desde P hasta L es la longitud del segmento de línea desde P a L el cual es ⊥ a L (ver figura 26). Escoja un punto Q y sea 𝑤 ⃗⃗ el vector que va desde Q a P. Si 𝜃 es el ∢ entre 𝑤 ⃗⃗ y 𝑣 , entonces 𝑑 = |𝑤 ⃗⃗ |𝑠𝑒𝑛𝜃. Como |𝑣 𝑥𝑤 ⃗⃗ | = ⌈𝑣 ⌉|𝑤 ⃗⃗ |𝑠𝑒𝑛𝜃 con 𝑣 ≠ 0, entonces: Figura 26

𝒅=

|𝒗 ⃗ 𝒙𝒘 ⃗⃗⃗ | |𝒗 ⃗|

𝟏. 𝟐𝟑

Ejemplo 1.21. Encontrar la distancia 𝑑 desde 𝑃 = (1,1,1) a la línea del ejemplo 1.20 Solución. Está claro que dos líneas 𝐿1 𝑦 𝐿2 representados en su forma vectorial por 𝑟1 + 𝑠𝑣1 𝑦 𝑟2 + 𝑡𝑣2 , respectivamente, son ∥, denotado por 𝐿1 ∥ 𝐿2 𝑠𝑖 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑣1 ∥ 𝑣2 . También 𝐿1 ⊥ 𝐿2 𝑠𝑖 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑣1 ⊥ 𝑣2 . En 𝑅 2 , dos líneas pueden ser ya sea idénticos, ∥ o intersectarse. En 𝑅 3 ellos tienen una posibilidad adicional: Dos líneas pueden ser asimétricas, es decir, no se intersectan tampoco son ∥. Sin embargo, si bien no son ∥, las líneas asimétricas están sobre planos ∥, (ver figura 27)

Figura 27

Para determinar si dos líneas en 𝑅 3 se intersectan, es a menudo más fácil usar la representación paramétrica de las líneas. En este caso, usted debería usar variables como parámetro diferentes para las líneas (usualmente 𝑠 𝑦 𝑡), ya que los valores de los parámetros no pueden ser los mismos en el punto de intersección. Colocar las dos tripletas (𝑥, 𝑦, 𝑧) iguales, dará como resultado un sistema de 3 ecuaciones con dos incógnitas (𝑠 𝑦 𝑡). Ejemplo 1.22. Encontrar el punto de intersección (si ∄) de las líneas siguientes:

𝒙+𝟏 𝒚−𝟐 𝒛−𝟏 = = 𝟑 𝟐 −𝟏

Solución. Consideraremos ahora planos en 𝑅 3

Figura 28.- Plano P

𝒚

𝒙+𝟑=

𝒚−𝟖 𝒛+𝟑 = −𝟑 𝟐

Plano que pasa por un punto y es ⊥ a un vector. Sea 𝑃 un plano en 𝑹𝟑 , y suponga que contiene 𝑷𝟎 = (𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 , 𝒛𝟎 ). ⃗ = (𝒂, 𝒃, 𝒄) 𝒖𝒏 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 ≠ 𝟎 y ⊥ al plano P, el cual se llama Sea 𝒏 vector normal al plano. Sea (𝒙, 𝒚, 𝒛) cualquier punto en el plano ⃗ = (𝒙 − 𝒙𝟎 , 𝒚 − 𝒚𝟎 , 𝒛 − 𝒛𝟎 ) esta tendido en P. Entonces el vector 𝒓 ⃗ ≠ 𝟎, ⟹ 𝒓 ⃗ ⊥𝒏 ⃗ y por lo tanto plano P (figura 28). Así que si 𝒓 ⃗ ∙𝒏 ⃗ = 𝟎, todavía tenemos 𝑟 ∙ 𝑛⃗ = 0. ⃗ = 𝟎. Si 𝒓 𝒓 A la inversa, si (𝒙, 𝒚, 𝒛) es cualquier punto en 𝑅 3 tal que: ⃗ = (𝒙 − 𝒙𝟎 , 𝒚 − 𝒚𝟎 , 𝒛 − 𝒛𝟎 ) ≠ 𝟎 y 𝒓 ⃗ ∙𝒏 ⃗ ⊥𝒏 ⃗ = 𝟎, entonces 𝒓 ⃗ y por 𝒓 tanto (𝒙, 𝒚, 𝒛) esta tendido en el plano P. Esto prueba el teorema siguiente:

⃗ = (𝒂, 𝒃, 𝒄) 𝒖𝒏 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 ≠ 𝟎 Teorema 1.18. Sean P un plano en 𝑅 3, (𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 , 𝒛𝟎 ) un punto en P, y 𝒏 el es ⊥ 𝑃. Entonces, P consiste de los puntos (𝑥, 𝑦, 𝑧) que la ecuación vectorial: ⃗ =𝟎 ⃗ ∙𝒓 𝒏 𝟏. 𝟐𝟒 ⃗ = (𝒙 − 𝒙𝟎 , 𝒚 − 𝒚𝟎 , 𝒛 − 𝒛𝟎 ), o equivalentemente: Donde 𝒓 𝒂(𝒙 − 𝒙𝟎 ) + 𝒃(𝒚 − 𝒚𝟎 ) + 𝒄(𝒛 − 𝒛𝟎 ) = 𝟎

𝟏. 𝟐𝟓

La Ec. 1.25, se lo denomina forma punto – normal del plano P Ejemplo 1.23. Encontrar la ecuación del plano P que contiene al punto (−3,1,3) y es ⊥ al vector 𝑛⃗ = (2,4,8) Solución Si multiplicamos los términos en la Ec. 1.25 y combinamos los términos constantes, obtendremos la Ec. Del plano en su forma normal ax + by + cz + d = 0 1.26 Por ejemplo, la forma normal del plano del ejemplo 1.25 es 2𝑥 + 4𝑦 + 8𝑧 − 22 = 0 Plano conteniendo tres puntos no colineales. EN 𝑅 2 𝑦 𝑅 3 dos puntos determinan una línea, dos puntos no determinan un plano en 𝑅 3. A decir verdad, Tres puntos colineales no determinan un plano, pero un infinito número de planos podría contener la línea sobre la cual están estos tres puntos colineales. Sin embargo, tres puntos no colineales determinan un plano. Si Q, R y S son puntos no colineales ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 𝑄𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ los son vectores ≠ 0 los cuales en 𝑅 3, entonces 𝑄𝑅 no son ∥ (por no colinealidad) y el producto vectorial de ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥𝑄𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ es ⊥ a 𝑄𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 𝑄𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ . Así que 𝑄𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 𝑄𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ (y por lo tanto R, 𝑄𝑅 R y S) están completamente en el plano, con vector ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥𝑄𝑆 ⃗⃗⃗⃗⃗ ver figura 29 normal 𝑛⃗ = 𝑄𝑅

Figura 29

Ejemplo 1.24. Encontrar la ecuación del plano P que contiene a los puntos (2,1,3), (1, −1,2) y (3,2,1) Solución Mencionamos antes que líneas asimétricas en 𝑅 3 están en planos ∥ separados. Y como dos líneas asimétricas no determinan un plano. Pero dos líneas (no idénticas) ya sea que se intersecten o sean ∥ si determinan un plano. En ambos casos, para encontrar la ecuación del plano que contienen a esas dos líneas, simplemente seleccione un total de tres puntos no colineales entre esas dos líneas (un punto de una línea y los otros dos de la otra línea) luego utilice la técnica empleada en el ejemplo 1.24 para escribir la ecuación del plano. Le dejaremos algunos problemas de esto como ejercicios al lector. Distancia entre un punto y un plano. La distancia entre un punto en 𝑅 3 y un plano es la longitud del segmento de línea que desde el punto al plano que es ⊥ al plano. En el teorema siguiente se da una fórmula para la distancia. Teorema 1.19. Sea 𝑄 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) un punto en 𝑅 3, y P un plano cuya ecuación en su forma normal es 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 que no contiene a 𝑄. ⟹ la distancia D desde Q a P es:

𝑫=

|𝒂𝒙𝟎 + 𝒃𝒚𝟎 + 𝒄𝒛𝟎 + 𝒅| √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐

𝟏. 𝟐𝟕

Ejemplo 1.25. Encontrar la distancia D desde (2,4, −5) al plano del ejemplo 1.24. Solución Línea de la intersección de dos planos.

Figura 30

Dos planos son ∥ si ellos tienen vectores normales que son ∥, y los planos son ⊥ si sus vectores normales son ⊥. Si dos planos se intersectan, ellos generan una línea (Fig. 30). Suponga que dos planos 𝑃1 𝑦 𝑃2 con vectores normales 𝑛⃗1 𝑦 𝑛⃗2 respectivamente se intersectan en una línea L. Ya que 𝑛⃗1 𝑥𝑛⃗2 ⊥ 𝑛⃗1 , entonces 𝑛⃗1 𝑥𝑛⃗2 es ∥ 𝑎 𝑃1 . Así también, 𝑛⃗1 𝑥𝑛⃗2 ⊥ 𝑛⃗2 significa que 𝑛⃗1 𝑥𝑛⃗2 es ∥ 𝑎 𝑃2 . Por tanto 𝑛⃗1 𝑥𝑛⃗2 𝑒𝑠 ∥ a la intersección de 𝑃1 𝑦 𝑃2 , esto es 𝑛⃗1 𝑥𝑛⃗2 𝑒𝑠 ∥ 𝑎 𝐿. Por lo tanto, podemos escribir L en su forma vectorial como sigue

⃗ + 𝒕(𝒏 ⃗⃗ 𝟏 𝒙𝒏 ⃗ 𝟐 ), 𝑳: 𝒓

𝒑𝒂𝒓𝒂 ∞− < 𝒕 < ∞+

𝟏. 𝟐𝟖

Donde 𝑟 es cualquier vector que apunta a un punto que ∈ a ambos planos. Para encontrar un punto que ∈ a ambos planos, encontramos una solución (x, y, z) común a las dos ecuaciones de ambos planos que están en su forma normal. Esto Puede ser hecho más fácil poniendo una de las variables de coordenada al cero, que lo deja a menudo Para resolver dos ecuaciones en sólo dos desconocidos. Esto se obtiene sin mayores complicaciones haciendo una de las variables = 𝑎 0, y nos dejará un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Ejemp. 1.26. Solución Ejemp. 1.26. Solución Ejemp. 1.26. Solución Ejemp. 1.26. Solución Ejemp. 1.26. Solución Ejemp. 1.26. Solución

Hallar la línea de intersección L de los planos 𝟓𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝒛 − 𝟏𝟎 = 𝟎 𝒚 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝒛 + 𝟑 = 𝟎 Hallar la línea de intersección L de los planos 𝟓𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝒛 − 𝟏𝟎 = 𝟎 𝒚 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝒛 + 𝟑 = 𝟎 Hallar la línea de intersección L de los planos 𝟓𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝒛 − 𝟏𝟎 = 𝟎 𝒚 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝒛 + 𝟑 = 𝟎 Hallar la línea de intersección L de los planos 𝟓𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝒛 − 𝟏𝟎 = 𝟎 𝒚 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝒛 + 𝟑 = 𝟎 Hallar la línea de intersección L de los planos 𝟓𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝒛 − 𝟏𝟎 = 𝟎 𝒚 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝒛 + 𝟑 = 𝟎 Hallar la línea de intersección L de los planos 𝟓𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝒛 − 𝟏𝟎 = 𝟎 𝒚 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝒛 + 𝟑 = 𝟎

1.6.- Superficies Un plano (estudiado en la sección anterior) es un ejemplo de superficie, el cual puede ser definido de manera informal como el conjunto solución de la ecuación 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 𝑒𝑛 𝑅 3 para algunas funciones de variable real. Por ejemplo el plano dado por 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 es el conjunto solución de 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 para la función 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑. Las superficies son bidimensionales y el plano es la superficie más simple ya que es plano. En esta sección veremos algunas superficies que son más complejas. Las más importantes son la esfera y el cilindro. Definición 1.9. Una esfera S es el conjunto de todos los puntos (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑒𝑛 𝑅 3 los cuales se encuentran a una distancia fija 𝑟 (𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜) desde un punto fijo 𝑃0 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) llamado centro de la esfera: 𝑺 = {(𝒙, 𝒚, 𝒛): (𝒙 − 𝒙𝟎 )𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟎 )𝟐 + (𝒛 − 𝒛𝟎 )𝟐 = 𝒓𝟐 } 𝟏. 𝟐𝟗 Utilizando notación vectorial, de manera equivalente se puede escribir: ⃗⃗ : |𝑿 ⃗⃗ − 𝑿 ⃗⃗ 𝟎 | = 𝒓} 𝑺 = {𝑿 ⃗⃗ = (𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝒚 𝑿 ⃗⃗ 𝟎 = (𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 , 𝒛𝟎 ) son vectores Donde 𝑿

Figura 31. Esferas en 𝑅 3

Observar en la Fig. 31-a que la intersección de la esfera con el plano 𝑥𝑦 es un circulo de radio 𝑟 (es el circulo mayor dado por 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 como un subconjunto de 𝑅 2). Similarmente para la intersección con los planos 𝑥𝑧 y 𝑦𝑧. En general, un plano intersecta con la esfera ya sea en un solo punto o en un círculo Ejemplo. 1.27. Hallar la intersección de la esfera cuya ecuación es 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟏 Con el plano 𝒛 = 𝟏𝟐 Solución Ejemplo. 1.28. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 + 𝟐𝒛𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟏𝟔𝒛 + 𝟏𝟎 = 𝟎 ¿Es la Ec. de una esfera? Solución

Figura 33. Cilindros en 𝑅 3

Los cilindros que consideraremos son cilindros circulares rectos. Esto son cilindros obtenidos por el movimiento de línea L a lo largo de un circulo C en 𝑅 3 de una forma talque L es siempre perpendicular al plano que contiene a C. Consideraremos solo los casos donde el plano que contiene a C es paralelo a uno de los tres planos coordenados (Figura 33). Por ejemplo, la ecuación del cilindro cuya base circular C está en el plano 𝑥𝑦 y centrado en (𝑎, 𝑏, 0) y con radio 𝑟 es: (𝒙 − 𝒂)𝟐 + (𝒚 − 𝒃)𝟐 = 𝒓𝟐 Donde el valor de la coordenada z es irrestricta. Ecuaciones similares pueden escribirse cuando la base circular está en uno de los otros planos coordenados. El plano que intersecta al cilindro circular recto lo puede hacer en un círculo, en una elipse o en una o dos líneas, dependiendo de si ese plano es paralelo, oblicuo o perpendicular respectivamente, al plano que conteniendo a C. La intersección de la superficie con el plano es llamado la traza (huella) de la superficie. Las ecuaciones de las esferas y cilindros son ejemplos de ecuaciones de 2do grado en 𝑅 3, esto es, ecuaciones que tienen el aspecto siguiente: 𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑪𝒛𝟐 + 𝑫𝒙𝒚 + 𝑬𝒙𝒛 + 𝑭𝒚𝒛 + 𝑮𝒙 + 𝑯𝒚 + 𝑰𝒛 + 𝑱 = 𝟎

𝟏. 𝟑𝟑

para algunas constantes A, B, C, …., I, J. Si la ecuación 1.33 no es esfera, cilindro, plano, línea o punto, entonces, la superficie resultante se llama superficie cuadratica Un tipo de ecuación cuadrática es la del elipsoide, dado por la ecuación de la forma: 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + + =𝟏 𝟏. 𝟑𝟒 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 En el caso que 𝑎 = 𝑏 = 𝑐, se trata precisamente de la esfera. En general, una elipsoide tiene la forma de huevo (piense en una elipse como rotada alrededor de su eje mayor). Su traza en coordenadas planas es una elipse Figura 34. Elipsoide

Otros dos tipos de superficies cuadráticas son el hiperboloide de una hoja (Figura 35), cuya ecuación tiene la forma: 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + − =𝟏 𝟏. 𝟑𝟓 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 Y el hiperboloide de dos hojas (Figura 36), cuya ecuación es de la forma: 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 − − =𝟏 𝟏. 𝟑𝟔 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 Para el hiperboloide de una hoja, la traza en cualquier plano paralelo al plano 𝒙𝒚 es una elipse. Las trazas en planos paralelos a los planos 𝒙𝒛 𝒚 𝒚𝒛 son hipérbolas (Figura 35), excepto para el caso especial en que 𝒙 = ±𝒂 𝒚 𝒚 = ±𝒃; en esos planos las trazas son un par de líneas intersectadas (ver ejercicio 8). Para el hiperboloide de dos hojas, la traza en cualquiera de los planos 𝒙𝒚 𝒐 𝒙𝒛 es una hipérbola (ver figura 36). No hay traza en el plano 𝒚𝒛. En cualquier plano paralelo al plano 𝒚𝒛 para el cual |𝒙| > |𝒂|, la traza es una elipse. La elipse paraboloide es otra clase de superficie cuadrática, cuya ecuación tiene la forma siguiente:

𝒙 𝟐 𝒚𝟐 𝒛 + = 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄

𝟏. 𝟑𝟕

Las trazas (dibujar, esquematizar, esbozar) en planos ∥ al plano 𝒙𝒚 son elipses, sin embargo en el mismo plano 𝒙𝒚 es solo un punto. Las trazas en planos ∥ a los planos 𝒚𝒛 𝒐 𝒙𝒛 son parábolas. La figura 37 muestra el caso cuando 𝒄 > 𝟎. Cuando 𝒄 < 𝟎 la superficie es volcada hacia abajo. En el caso en que 𝒂 = 𝒃, la superficie es designada paraboloide de revolución, el cuál es a menudo es utilizado como una superficie reflectante (por ejemplo en faros de vehículo). Una superficie cuadrática mas complicada es el paraboloide hiperbólico, representado por la ecuación:

Figura 37. Paraboloide

𝒙 𝟐 𝒚𝟐 𝒛 − = 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄

𝟏. 𝟑𝟖

El paraboloide hiperbólico es algo tramposo al ser dibujado; es recomendable, para dibujar este tipo de ecuaciones, utilizar herramientas de software. Por ejemplo, la figura 38 fue creado usando el paquete gratis Gnuplot. Este Muestra la gráfica del paraboloide hiperbólico 𝑧 = 𝑦 2 − 𝑥 2 , que es un caso especial donde 𝑎 = 𝑏 = 1 𝑦 𝑐 = −1 en la ecuación (1.38). Las líneas de la malla en la superficie son las trazas en planos ∥ a los planos coordenados. Así vemos que las trazas en planos ∥ al plano 𝑥𝑧 son parábolas apuntando hacia arriba, mientras las trazas en planos ∥ al plano 𝑦𝑧 son parábolas apuntando hacia abajo. También, observe que las trazas en planos ∥ al plano 𝑥𝑦 son hipérbolas, sin embargo en el plano 𝑥𝑦 la traza un par de líneas intersectadas (o par de líneas transversales) a través del origen. Esto es cierto en general cuando c < 0 en la ecuación (1.38). Cuando c > 0, la superficie sería similar al mostrado e la figura 38, sólo rotado 90° alrededor del eje z y la naturaleza de las trazas en planos paralelos a los planos 𝑦𝑧 𝑜 𝑥𝑧 serían puestos al revés La última superficie cuadrática que consideraremos es el cono elíptico, cuya ecuación es: 𝒙𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + − =𝟎 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐

𝟏. 𝟑𝟗

Las trazas en planos ∥ al plano 𝑥𝑦 son elipses, excepto en el mismo plano 𝑥𝑦 donde la traza es solo un punto. Las trazas en planos ∥ a los planos xz o yz son hipérbolas, excepto en los mismos planos xz o yz donde las trazas son un par de líneas transversales. Note que cada punto en el cono elíptico esta sobre una línea que se encuentra totalmente sobre la superficie; en la figura 39 todas estas líneas pasan por el origen. Esto hace que el cono elíptico sea un ejemplo de superficie gobernada (regida o controlada). El cilindro también es una superficie controlada.

Algo que no puede ser tan obvio es que ambos, tanto hiperboloide de una hoja como el paraboloide hiperbólico son superficies controladas. En efecto, en ambas superficies hay dos líneas por cada punto sobre la superficie (vea el ejercicio 11-12). Tales superficies son denominadas superficies doblemente controladas, y el par de líneas se llaman reguladores (o controladores). Está claro que para cada uno de los seis tipos de superficies cuadráticas que se han considerado, la Superficie puede ser trasladado fuera del origen (por ejemplo reemplazando 𝑥 2 por (𝑥 − 𝑥0 )2 en la ecuación).

Figura 39. Cono elíptico

Puede ser probado que cada superficie cuadrática puede ser trasladada y/o rotada, con la finalidad de que su respectiva ecuación se ajuste a uno de los seis tipos que describimos.

Por ejemplo, 𝑧 = 2𝑥𝑦 es un caso de la ecuación (1.33) con “diversas” variables, por ejemplo con D≠ 0 con el propósito de obtener en término del 𝑥𝑦. Esta ecuación no se corresponde con ninguno de los tipos considerados. Sin embargo, rotando 45° los ejes 𝑥 𝑦 𝑦 en el plano 𝑥𝑦 por medio de transformación de coordinadas 𝑥 = (𝑥 ´′ − 𝑦 ′ )/√2, 𝑦 = (𝑥 ´′ + 𝑦 ′ )/√2, 𝑧 = 𝑧 ′ , luego 𝑧 = 2𝑥𝑦 se convierte en el paraboloide hiperbólico 𝑧 ′ = (𝑥 ′ )2 − (𝑦 ′ )2 en el sistema de coordenadas (𝑥 ′ , 𝑦 ′ , 𝑧 ′ ). Esto es, 𝑧 = 2𝑥𝑦 es un paraboloide hiperbólico como la ecuación 1.38, pero rotada 45° en el plano 𝑥𝑦. 1.7.- Coordenadas curvilíneas 1.10.- Sistema de coordenadas ortogonales – coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

Las leyes de la física, mecánica, electrónica, eléctrica, electromecánica, mecatrónica son independientes del sistema de

Figura 40 Todas las definiciones, teoremas, corolarios, etc., referidos a cantidades escalares – vectoriales y el álgebra vectorial, hasta ahora, fueron agarrando el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares. Expresión de una longitud diferencial vectorial.

⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒍 = 𝒊𝒅𝒍𝒙 + 𝒋𝒅𝒍𝒚 + ⃗𝒌𝒅𝒍𝒛 = 𝒊𝒅𝒙 + 𝒋𝒅𝒚 + ⃗𝒌𝒅𝒛 Expresión de una superficie diferencial vectorial. ⃗⃗⃗⃗ , normal (⊥) a dos  Es un vector, 𝒅𝒔 coordenadas que describen al escalar ⃗⃗⃗⃗ | = 𝑑𝑠. diferencial de área |𝒅𝒔  Son tres las diferenciales de área que se deben considerar:

⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒔𝒙 = 𝒊𝒅𝒍𝒚 𝒅𝒍𝒛 = 𝒊𝒅𝒚𝒅𝒛 ⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒔𝒚 = 𝒊𝒅𝒍𝒙 𝒅𝒍𝒛 = 𝒊𝒅𝒙𝒅𝒛

𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒚𝒛

⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒔𝒛 = 𝒊𝒅𝒍𝒙 𝒅𝒍𝒚 = 𝒊𝒅𝒙𝒅𝒚

𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒙𝒚

𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒙𝒛

Expresión de diferencial de volumen. Figura 41. Diferenciales de longitud, área y Es el producto de los cambios diferenciales volumen en longitud en las tres direcciones de las coordenadas

𝒅𝒗 = 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 Ejemplo 1.31. Dado un vector 𝐴 = −𝑖 + 𝑗2 − 𝑘⃗ 2 en coordenadas cartesianas, calcule a) Su magnitud |𝐴| b) Expresión del vector unitario 𝑛⃗𝐴 en la dirección de 𝐴 c) El ∢ que forma 𝐴 con el eje 𝑧 Solución. Ejemplo 1.32. Dado 𝐴 = 𝑖5 − 𝑗2 + 𝑘⃗ 𝑦 𝐴 = −𝑖3 + 𝑘⃗ 4 calcule ⃗ a) 𝐴 ∙ 𝐵

Ejemplo 1.33. a) Escriba la expresión del vector que va desde el punto 𝑃1 (1,3,2) hasta el punto 𝑃2 (3, −2,4) b) Determine la longitud de la línea ̅̅̅̅̅̅ 𝑃1 𝑃2 c) Encuentre la distancia perpendicular desde el origen hasta esta línea Solución. ⃗ = 𝑖2 − 𝑗6 + 𝑘⃗ 3, calcule Ejemplo 1.34. Dado un vector 𝐵 ⃗| a) La magnitud de |𝐵 b) La expresión de 𝑛⃗𝐵 ⃗ con los ejes x, y, z. c) Los ángulos de forma 𝐵 Solución. Ejemplo 1.35. Dados dos puntos𝑃1 (1,3,2) y 𝑃1 (−3,4,0)

1.10.2.- Sistema de coordenadas cilíndricas.Un punto en este sistema 𝑃(𝑟1 , 𝜙1 , 𝑧1 ) es la intersección de una superficie cilíndrica circular 𝑟 = 𝑟1 , un semiplano con el eje z como arista y que forma un ∢ 𝜙 = 𝜙1 con el plano 𝑥𝑦, y un plano ∥ al plano 𝑥𝑦 en 𝑧 = 𝑧1 . Referirse a la figura 41.

Figura 42. Sup. Cilíndrica circular, un semiplano c/eje z como arista y un plano ∥ plano 𝑥𝑦

a)

a) Las coordenadas cilíndricas son utilizados en problemas que involucran simetría cilíndrica b) Está compuesto de 𝒊) una distancia radial 𝒓 ∈ [𝟎, ∞) 𝒊𝒊) Un ∢ azimutal 𝝓 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅) que se mide a partir del eje x (+) 𝒊𝒊𝒊) 𝒛 ∈ − + (∞ , ∞ ), tiene el mismo significado que coord. cartesianas. c) Como en el caso de las coord. Cartesianas ⃗ ⃗ ⃗ , 𝝓, 𝒛 ⃗ 𝒓 son mutuamente perpendiculares u orto ⃗⃗ = 𝟎, etc. ⃗ ∙𝝓 normal: 𝒓 d) Así mismo, el producto vectorial de estos vectores unitarios produce resultados cíclicos, es decir: ⃗⃗ = 𝒛 ⃗⃗ 𝒙𝒛 ⃗⃗ ⃗ 𝒙𝝓 ⃗ 𝒛 ⃗ =𝝓 ⃗, 𝝓 ⃗ =𝒓 ⃗ 𝒙𝒓 𝒓 e) La expresión general de un vector en coord. Cilíndricas: ⃗⃗ 𝑨𝝓 + 𝒛 ⃗ =𝒏 ⃗ |=𝒓 ⃗ 𝑨𝒓 + 𝝓 ⃗ 𝑨 |𝑨 ⃗ 𝑨𝒛 𝑨 f)

Magnitud de 𝐴

⃗ | = √(𝑨𝒓 )𝟐 + (𝑨𝝓 )𝟐 + (𝑨𝒛 )𝟐 |𝑨 g) Viendo la Fig. 2.42a, es interesante notar la

b)

𝒅𝒍𝒓 = 𝒅𝒓,

𝒅𝒍𝝓 = 𝒓𝒅𝝓,

𝒅𝒍𝒛 = 𝒅𝒛

c. Longitud diferencial vectorial.

⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝒓𝒅𝝓 + 𝒛 𝒅𝒍 = ⃗𝒓𝒅𝒓 + ⃗𝝓 ⃗ 𝒅𝒛 d. Diferencial de superficie vectorial

⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝒓𝒅𝝓𝒅𝒛 𝒅𝒔𝒓 = 𝒓 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝒅𝒓𝒅𝒛 𝒅𝒔𝝓 = ⃗𝝓 ⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝒔𝒛 = 𝒛 ⃗ 𝒅𝒓𝒅𝝓 e. Diferencial de volumen 𝒅𝒗 = 𝒓𝒅𝒓𝒅𝝓𝒅𝒛

𝑺𝒖𝒑. 𝒄𝒊𝒍í𝒏𝒅𝒓𝒊𝒄𝒂 𝝓 − 𝒛 𝑷𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒓 − 𝒛 𝑷𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒓 − 𝝓

Ejemplo 1.36. Transformar: a) Dado un vector en coord. cilíndricas escribirlo en coordenadas cartesianas: ⃗ 𝑨𝝓 + 𝒛 ⃗ =𝒓 ⃗ = 𝒊𝑨𝒙 + 𝒋𝑨𝒚 + ⃗𝒌𝑨𝒛 ⃗ 𝑨𝒓 + ⃗𝝓 ⃗ 𝑨𝒛 ⟹ 𝑨 𝑨 a) Dado un vector en coord. cartesianas escribirlo en coordenadas cilíndricas: ⃗ 𝑨𝝓 + 𝒛 ⃗𝑨 = 𝒊𝑨𝒙 + 𝒋𝑨𝒚 + ⃗𝒌𝑨𝒛 ⟹ ⃗𝑨 = 𝒓 ⃗ 𝑨𝒓 + ⃗𝝓 ⃗ 𝑨𝒛 Solución. Figura 44 Ejemplo 1.37. Suponiendo que un campo vectorial expresado en coordenadas cilíndricas es: ⃗ 𝟐𝒓 + ⃗𝒛𝒛, ⃗𝑨 = ⃗𝒓(𝟑𝒄𝒐𝒔𝝓) − ⃗𝝓 a) Cuál es el campo en el punto 𝑃(4,60°, 5) b) Expresar el campo vectorial 𝐴𝑃 en 𝑃 en coordenadas cartesianas c) Exprese la situación del punto 𝑃 en coordenadas cartesianas. Solución. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ desde el origen 𝑂 hasta el punto 𝑄(3,4,5) en Ejemplo 1.38. Exprese el vector de posición 𝑂𝑄 coordenadas cilíndricas. Solución. Ejemplo 1.39. Las coordenadas cilíndricas de dos puntos son: 𝑃1 (4,60°, 1) y 𝑃1 (3,180°, −1). Determine la distancia entre estos dos puntos Solución. 1.10.3.- Sistema de coordenadas esféricas.-

Un punto 𝑷(𝑹𝟏 , 𝜽𝟏 , 𝝓𝟏 ) en este sistema está especificado por la intersección de: una superficie esférica centrada en el origen con radio 𝑹 = 𝑹𝟏 ; Un cono circular recto con su vértice en el origen, su eje coincide con el eje 𝒛 (+) y con un ángulo mitad 𝜽 = 𝜽𝟏 ; y un semiplano con el eje 𝒛 como arista y que forma un ángulo 𝝓 = 𝝓𝟏 con el plano 𝒙𝒛. Ver figura 45

Figura 45. Superficie esférica, un cono circular recto y un semiplano que contiene el eje z. ⃗⃗ en 𝑷 es radial desde el origen y muy ≠ 𝑎 𝑟 en coordenadas Cilíndricas Notar que el vector base 𝑹 ya que este último es ⊥ al eje 𝒛. El vector base ⃗𝜽 está en el plano 𝝓 = 𝝓𝟏 y es tangencial a la ⃗ es el mismo que en las coordenadas cilíndricas superficie esférica, mientras que el vector base ⃗𝝓

a)

a)

Está compuesto de 1) una distancia radial 𝑅 ∈ [0, ∞), 2) un ∢ azimutal 𝜙 ∈ [0,2𝜋) (= al de las coordenadas cilíndricas), y 3) un ∢ zenith 𝜃 ∈ [0, 𝜋] que es medido desde el eje z (+) b) Todas las coordenadas son otra vez mutuamente ortogonales para extenderse a lo largo del espacio 3D. c) El producto vectorial de los vectores base da resultados cíclicos. ⃗, ⃗⃗ = ⃗𝑹 ⃗𝝓 ⃗ 𝒙𝑹 ⃗ = ⃗𝝓 ⃗𝜽𝒙𝝓 ⃗𝑹 ⃗ 𝒙𝜽 ⃗, ⃗⃗ = ⃗𝜽 d) Expresión general de un vector en este sistema: ⃗ 𝑨𝝓 ⃗ 𝑨𝜽 + ⃗𝝓 ⃗ =𝒏 ⃗ |=𝑹 ⃗⃗ 𝑨𝑹 + 𝜽 ⃗ 𝑨 |𝑨 𝑨 e) Su longitud escalar (magnitud), está dado por: ⃗ | = √𝑨𝟐𝑹 + 𝑨𝟐𝜽 + 𝑨𝟐𝝓 |𝑨 f)

El vector posición (ver figura 46-a) está dado por: ⃗𝑹 ⃗ 𝟏 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑹𝟏 𝑶𝑷 = ⃗𝑹 But needs knowledge of 𝜃1 𝑦 𝜙1 to be complete Cantidades diferenciales. g) Las cantidades diferenciales

b)

𝒅𝒍𝑹 = 𝒅𝑹, 𝒅𝒍𝜽 = 𝑹𝒅𝜽 𝒅𝒍𝝓 = 𝑹𝒔𝒆𝒏𝜽𝒅𝝓 j) En éste sistema de coordenadas, solo R es una longitud. Las otras dos 𝜃 𝑦 𝜙 son ángulos. Remitiéndonos a la figura 46-b donde se muestra un elemento de volumen diferencial, vemos que se requieren los coeficientes métricos 𝑅 𝑦 𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃 para convertir 𝑑𝜃 𝑦 𝑑𝜙, respectivamente, en longitudes diferenciales (𝑅)𝑑𝜃 𝑦 (𝑅𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑑𝜙. La expresión general para una longitud diferencial vectorial es:(In the end) ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑹𝒔𝒆𝒏𝜽𝒅𝝓 ⃗ 𝒅𝑹 + ⃗𝜽𝑹𝒅𝜽 + ⃗𝝓 𝒅𝒍 = ⃗𝑹 k) Diferencial de superficie vectorial: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑹 = 𝑹 ⃗⃗ 𝑹𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒅𝜽𝒅𝝓 𝒅𝑺 (𝑺𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆 𝒆𝒔𝒇é𝒓𝒊𝒄𝒂 𝜽 − 𝝓) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜽 = 𝜽 ⃗ 𝑹𝒔𝒆𝒏𝜽𝒅𝑹𝒅𝝓 𝒅𝑺 (𝑺𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆 𝒄𝒐𝒎𝒊𝒄𝒂 𝑹 − 𝝓) ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝝓 = 𝝓 ⃗⃗ 𝑹𝒅𝑹𝒅𝜽 𝒅𝑺 (𝑷𝒍𝒂𝒏𝒐 𝑹 − 𝜽) l) Un volumen diferencial es el producto de los cambios diferenciales en longitud en las tres direcciones de coordenadas 𝒅𝒗 = 𝑹𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒅𝑹𝒅𝜽𝒅𝝓 En la tabla siguiente se muestran relaciones vectoriales en los tres sistemas ortogonales

Tabla 1.- Relaciones vectoriales en los tres sistemas ortogonales más comunes

Figura 47. Interrelación entre las variables espaciales (𝒙, 𝒚, 𝒛), (𝒓, 𝜽, 𝒛) 𝒚 (𝑹, 𝜽, 𝝓)

Ejemplo 1.40. Transformar: b) Dado un vector en coord. esféricas escribirlo en coordenadas cartesianas: ⃗ 𝑨𝝓 ⟹ ⃗𝑨 = 𝒊𝑨𝒙 + 𝒋𝑨𝒚 + ⃗𝒌𝑨𝒛 ⃗𝑨 = ⃗𝑹 ⃗ 𝑨𝑹 + ⃗𝜽𝑨𝜽 + ⃗𝝓 b) Dado un vector en coord. cartesianas escribirlo en coordenadas esféricas: ⃗ 𝑨𝒛 ⟹ 𝑨 ⃗⃗ 𝑨𝝓 ⃗ 𝑨𝜽 + 𝝓 ⃗ = 𝒊𝑨𝒙 + 𝒋𝑨𝒚 + 𝒌 ⃗ =𝑹 ⃗⃗ 𝑨𝑹 + 𝜽 𝑨 Ejemplo 1.41. Transformar las coordenadas cartesianas (4, −6,12) en coordenadas esféricas Solución. Ejemplo 1.42. Exprese el vector unitario 𝑘⃗ en coordenadas esféricas. Solución. Ejemplo 1.43. Calcule la fórmula de la Sup. De una esfera de radio 𝑅0 integrando el área superficial diferencial en coordenadas esféricas

Ejemplo 1.44. Suponiendo que una nube de electrones confinada en una región entre dos esferas con radios de 2 y 5 cm, tiene una densidad de carga de:

−𝟑𝒙𝟏𝟎𝟖 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝝓 [𝒄/𝒎𝟑 ] 𝟒 𝑹

Encuentre la carga total contenida en la región Solución. Problemas de corral y N_3110_3

Transformación de coordenadas. Tabla 2. Transformación de coordenadas

1.10.2.- Sistema de coordenadas polares.1.8.- Funciones con valores vectoriales. Empezaremos con el estudio de funciones cuyos valores son vectores Definición 1.10. Una función con valores vectoriales y de una variable real, es ⃗ (𝒕) con un número real 𝒕; donde 𝒕 esta en algún una regla que asocia un vector 𝒇 𝟏 subconjunto D de 𝑹 (llamado dominio de f). Entonces, podemos escribir 𝑓: 𝐷 ⟶ 𝑅 3 para denotar que 𝑓 es un mapeo (o una traza) de 𝐷 en 𝑅 3 ⃗ es una función evaluada como vector en 𝑹𝟑 , definida ∀ los Nros ⃗ (𝒕) = 𝒕𝒊 + 𝒕𝟐 𝒋 + 𝒕𝟑 𝒌 Por ejemplo, 𝒇 reales 𝒕. Por lo que podemos escribir 𝒇: 𝑹 ⟶ 𝑹𝟑 . Para 𝒕 = 𝟏 el valor de la función es el vector 𝒊 + ⃗ el cual en coordenadas cartesianas tiene el punto terminal (𝟏, 𝟏, 𝟏). 𝒋+𝒌 Una función evaluada como vector de una variable real puede escribirse en términos de sus componentes como: ⃗ ⃗ (𝐭) = 𝒇𝟏 (𝐭)𝒊 + 𝒇𝟐 (𝐭)𝒋 + 𝒇𝟑 (𝐭)𝒌 𝒇 O en la forma ⃗ (𝐭) = (𝒇𝟏 (𝒕), 𝒇𝟐 (𝒕), 𝒇𝟑 (𝒕)) 𝒇

Figura 48.

Donde las funciones (𝒇𝟏 (𝒕), 𝒇𝟐 (𝒕), 𝒇𝟑 (𝒕)), se denominan componentes de la función ⃗𝒇(𝒕). La 1ra forma es utilizada ⃗ (𝒕) es un vector, en cuando se quiere hacer énfasis en que 𝒇 cambio la 2da forma se considera cuando se quiere hacer referencia solo al punto final de los vectores. Identificando los vectores por medio de su punto final, una curva en el espacio puede ser escrito como una función evaluada como vector. Ejemplo 1.45. Si 𝑓 (𝑡): 𝑅 ⟶ 𝑅 3 está definida por: ⃗ (𝒕) = (𝒄𝒐𝒔𝒕, 𝒔𝒆𝒏𝒕, 𝒕). 𝒇 Solución Es la ecuación de una hélice (Fig. 48). Según el valor de t se incrementa, el punto terminal de 𝑓 (𝑡) traza la curva espiral hacia arriba. Para cada t, las coordenadas x e y de 𝑓 (𝑡) son 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡, entonces: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒕 + 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒕 = 𝟏 De esta manera, la curva esta tendida sobre la superficie de un cilindro circular recto 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏

Lo anterior ayuda a pensar en las funciones con valores vectoriales y de variable real en 𝑅 3, como una generalización de las funciones paramétricas en 𝑅 2 que usted ya los estudio en el cálculo de una sola variable. Mucho de la teoría de funciones de variable real de una variable puede ser aplicado a funciones de valores vectorial de una variable real. Como c/u de las tres funciones componentes son de variable real, algunas veces se dará el caso que el resultado del cálculo de una sola variable simplemente puede ser aplicado a c/u de las funciones componentes para producir un resultado similar para las funciones de valores vectoriales. Sin embargo, hay veces donde tales generalizaciones no se aplican. Naturalmente, el concepto de límite puede ser extendido a funciones de valores vectoriales, como se indica en la definición siguiente. Definición 1.11. Sea ⃗𝒇(𝒕) una función evaluada como vector, sea 𝑎 un número real y sea 𝑐 un vector. Entonces, decimos que el límite de ⃗𝒇(𝒕) cunado 𝒕 tiende a 𝒂 es igual a 𝑐, lo cual ⃗ (𝒕) − 𝒄 ⃗ , si 𝒍𝒊𝒎|𝒇 ⃗ | = 𝟎. se escribe como: 𝐥𝐢𝐦 ⃗𝒇(𝒕) = 𝒄 𝒕⟶𝒂

𝒕⟶𝒂

⃗ (𝒕) = (𝒇𝟏 (𝒕), 𝒇𝟐 (𝒕), 𝒇𝟑 (𝒕)), entonces Si 𝒇 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝐥𝐢𝐦 𝒇𝟏 (𝒕) , 𝐥𝐢𝐦 𝒇𝟐 (𝒕) , 𝐥𝐢𝐦 𝒇𝟑 (𝒕)) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒕) 𝒕⟶𝒂

𝒕⟶𝒂

𝒕⟶𝒂

𝒕⟶𝒂

Siempre y cuando los tres límites del lado derecho existan

La definición 1.11 muestra que conceptos como continuidad y derivabilidad de funciones con valores vectoriales pueden también ser definidos en términos de sus funciones componentes. Definición 1.12. Sea ⃗𝒇(𝒕) = (𝒇𝟏 (𝒕), 𝒇𝟐 (𝒕), 𝒇𝟑 (𝒕)) una función evaluada como vector, y sea 𝒂 un Nro real que ∈ 𝒂𝒍 𝑫𝒇 . Entonces ⃗𝒇(𝒕) es continua en 𝒂 si 𝐥𝐢𝐦 ⃗𝒇 (𝒕) = ⃗𝒇(𝒂). Equivalentemente, ⃗𝒇(𝒕) 𝒕⟶𝒂

es continua en 𝒂 ssi 𝒇𝟏 (𝒕), 𝒇𝟐 (𝒕) 𝒚 𝒇𝟑 (𝒕) son continuas en 𝑎. ⃗⃗⃗′ (𝒂) o La derivada de ⃗𝒇(𝒕) en 𝒂, denotado por 𝒇

⃗ 𝒅𝒇 𝒅𝒕

(𝑎), es el límite

⃗𝒇(𝒂 + 𝒉) − ⃗𝒇(𝒂) 𝒔𝒊 𝒆𝒍 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒉⟶𝟎 𝒉 ⃗⃗⃗′ (𝒂) = (𝒇′𝟏 (𝒂), 𝒇′𝟐 (𝒂), 𝒇′𝟑 (𝒂)), si las derivadas de sus funciones componentes Equivalentemente, 𝒇 ⃗ (𝒕) es diferenciable en 𝒂 si 𝒇 ⃗⃗⃗′ (𝒂) existe existen. Entonces, se dice que 𝒇 ⃗⃗⃗′ (𝒂) = 𝐥𝐢𝐦 𝒇

Recuerde que la derivada de una función de variable real y de una sola variable es un número real, que representa la pendiente de la línea tangente a la gráfica de la función en un punto. Similarmente, la derivada de una función de valor vectorial es un vector tangente a la curva en el espacio al cual la función representa, y esta tendido sobre la línea tangente a la curva. (Figura 49) ⃗𝒇(𝒕) = (𝒄𝒐𝒔𝒕, 𝒔𝒆𝒏𝒕, 𝒕), Ejemplo 1.46. Sea determinar: 𝑎) ⃗⃗⃗ 𝑓 ′ (𝑡), 𝑏) 𝐿𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔 𝐿 𝑒𝑛 2𝜋, 𝑐) 𝐿 𝑒𝑛 𝑠𝑢 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 Solución

⃗⃗⃗′ (𝒂) y línea Figura 49. Vector tangente 𝒇 ⃗⃗⃗′ (𝒂) tangente 𝑳 = ⃗𝒇(𝒂) + 𝒔𝒇

⃗ (𝒕) Una función escalar es una función de variable real. Note que si 𝒖(𝒕) es una función escalar y 𝒇 ⃗ ⃗ es una función de valor vectorial, entonces el producto, definido por 𝒖𝒇(𝒕) = 𝒖(𝒕)𝒇(𝒕) ∀ 𝒕, es una función de valor vectorial (ya que el producto de un escalar por un vector es un vector). Las propiedades básicas de las derivadas de funciones evaluadas como vectores están resumidas en el teorema siguiente: Teorema 1.20. Sean 𝑓 (𝑡) 𝑦 𝑔(𝑡) funciones de valor vectorial diferenciables, sea 𝑢(𝑡) una función escalar diferenciable, sea 𝑚 un escalar y 𝑐 un vector constante. Entonces: ⃗ ⃗ ) 𝒅(𝒈 ⃗ ) 𝒅(𝒈 ⃗⃗ ) ⃗⃗ ) 𝒅 𝒅 𝒅𝒇 𝒅 𝒅(𝒇 𝒅 𝒅(𝒇 ⃗)=𝒎 ⃗ +𝒈 ⃗ −𝒈 ⃗) = 𝟎 ⃗⃗ ) = ⃗⃗ ) = 𝒂) (𝒄 𝒃) (𝒎𝒇 𝒄) + 𝒅) − (𝒇 (𝒇 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝒅 𝒅𝒖 𝒅𝒇 𝒅 𝒅𝒇 𝒅𝒈 𝒅 𝒅𝒇 𝒅𝒈 ⃗)= ⃗ +𝒖 ⃗ ∙𝒈 ⃗ ∙ ⃗ 𝒙𝒈 ⃗𝒙 ⃗⃗ ) = ⃗⃗ + 𝒇 ⃗⃗ ) = ⃗⃗ + 𝒇 𝒆) 𝒇 𝒇) ∙𝒈 𝒈) 𝒙𝒈 (𝒖𝒇 (𝒇 (𝒇 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕

Ejemplo 1.47. La espiral esférica Solución

𝑓(𝑡) = (

𝑐𝑜𝑠𝑡

√1+𝑎2 𝑡 2

,

𝑠𝑒𝑛𝑡 √1+𝑎2 𝑡 2

,

−𝑎𝑡 √1+𝑎2 𝑡 2

),

para 𝑎 = 0

Ejemplo 1.48. Suponga que ⃗𝒇(𝒕) es diferenciable. Encuentre la derivada de ⃗ (𝒕)| |𝒇 Solución Ejemplo 1.49 Sea ⃗ (𝒕) = (𝟓𝒄𝒐𝒔𝒕, 𝟑𝒔𝒆𝒏𝒕, 𝟒𝒔𝒆𝒏𝒕) 𝒓 El vector posición de un objeto en 𝑡 ≥ 0. Encuentre los vectores de 𝑎) 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑦 𝑏) 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 Solución Figura 50. Espiral esférica para 𝒂 = 𝟎. 𝟐 1.9.- Longitud de arco ⃗ (𝒕) = (𝒙(𝒕), 𝒚(𝒕), 𝒛(𝒕)) el vector posición de un objeto que se mueve en 𝑹𝟑 . Ya que |𝒗 ⃗ (𝒕)| es la Sea 𝒓 rapidez del objeto en el tiempo 𝒕, parece natural definir la distancia 𝒔 recorrida por el objeto desde 𝒕 = 𝒂 hasta 𝒕 = 𝒃 como la integral definida 𝒃

𝒃

⃗ (𝒕)|𝒅𝒕 = ∫ √(𝒙′(𝒕))𝟐 + (𝒚′(𝒕))𝟐 + (𝒛′(𝒕))𝟐 𝒅𝒕, 𝒔 = ∫ |𝒗 𝒂

𝟏 − 𝟒𝟎

𝒂

El cual es análogo al caso del cálculo de una sola variable para funciones paramétricas en 𝑅 2 . Ciertamente es así como definiremos la distancia recorrida y, en general, la longitud de arco de una curva en 𝑅 3 . Definición 1.13. Sea ⃗𝒇(𝒕) = (𝒙(𝒕), 𝒚(𝒕), 𝒛(𝒕)) una curva en 𝑹𝟑 cuyo dominio incluye el intervalo [𝑎, 𝑏]. Suponga que en el intervalo (𝑎, 𝑏) la 1ra derivada de cada componente de la función 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) 𝑦 𝑧(𝑡) existe y son continuos, y que ninguna sección de la curva es repetida. Entonces, la longitud de arco 𝑳 de la curva desde 𝒕 = 𝒂 hasta 𝒕 = 𝒃 es: 𝑏

𝒃

⃗⃗⃗′ (𝑡)|𝑑𝑡 = ∫ √(𝒙′(𝒕))𝟐 + (𝒚′(𝒕))𝟐 + (𝒛′(𝒕))𝟐 𝒅𝒕 𝐿 = ∫ |𝑓 𝑎

1.41

𝒂

Una función de variable real cuya 1ra derivada es continua se llama continuamente diferenciable (o funciones de 𝒞 1 ), y una función cuyas derivadas de todos los órdenes son continuas es denominado suave o alisado (o función de 𝒞 ∞ ). Todas las funciones que consideraremos serán suaves. Una curva suave 𝑓 (𝑡) es uno cuya derivada ⃗⃗⃗ 𝑓′(𝑡) nunca es un vector cero y cuyas funciones componentes todas son suaves. Observar que no se ha realizado ninguna prueba de la fórmula que nos calcula la longitud de arco de una sección de una curva, esto está fuera del alcance de la asignatura. Ejemplo 1.50. Encontrar la longitud L de la hélice 𝑓 (𝑡) = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡) 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑡 = 0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑡 = 2𝜋 Solución. Parecido al caso en 𝑅 2, si hay valores de 𝑡 en el intervalo [𝑎, 𝑏] donde la derivada de las funciones componentes no es continua, entonces, debemos particionar [𝑎, 𝑏] en subintervalos donde todas las funciones componentes son continuamente diferenciables (excepto posiblemente en los extremos, mismos que pueden ser ignorados). La suma de las longitudes del arco sobre los subintervalos será la longitud del arco sobre [𝑎, 𝑏]. Observar que la curva trazada por 𝑓 (𝑡) = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡) es también trazada por la función 𝑓 (𝑡) = (𝑐𝑜𝑠2𝑡, 𝑠𝑒𝑛2𝑡, 2𝑡). Por ejemplo, sobre el intervalo [0, 𝜋] 𝑔(𝑡) traza la misma sección de curva que 𝑓 (𝑡) en [0, 2𝜋]. Intuitivamente, esto nos dice que 𝑔(𝑡) traza dos veces más rápido la curva que 𝑓 (𝑡). Esto tiene sentido desde que, miramos a las funciones como vectores posición y a sus derivadas como

⃗⃗⃗′ (𝑡)| = √2 𝑦 |𝑔 ⃗⃗⃗′ (𝑡)| = 2√2, respectivamente. vectores velocidad, la rapidez de 𝑓 (𝑡) 𝑦 𝑔(𝑡) son |𝑓 Entonces, se dice que 𝑔(𝑡) 𝑦 𝑓 (𝑡) tiene parametrizaciones diferentes para la misma curva.

Definición 1.14. Sea 𝑪 una curva suave en 𝑅 3 representada por la función 𝑓 (𝑡) definida sobre el intervalo [𝑎, 𝑏] y sea ∝ : [𝑐, 𝑑] ⟶ [𝑎, 𝑏] un mapeo suave uno a uno del [𝑐, 𝑑] sobre [𝑎, 𝑏]. Entonces, la función 𝑔: [𝑐, 𝑑] ⟶ 𝑅 3 definido por 𝑔(𝑠) = 𝑓 (𝛼(𝑠)) es una parametrización de C con 𝑠 como parámetro. Si 𝛼 es estrictamente creciente sobre [𝑐, 𝑑] entonces decimos que 𝑔(𝑠) es equivalente a 𝑓 (𝑡)

Note que la diferenciabilidad de 𝑔(𝑠) sigue la regla de la cadena para funciones con valores vectoriales

Teorema 1.21. Regla de la cadena.- Si 𝑓 (𝑡) es una función de valores vectoriales diferenciable de t, y 𝑡 = 𝛼(𝑠) es una función escalar diferenciable de 𝑠, entonces 𝑓 (𝑠) = 𝑓 (𝛼(𝑠)) es una función evaluada como vector diferenciable de 𝑠, y 𝑑𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝑡 = 1.42 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑑𝑠 Para cualquier 𝑠 donde la función compuesta 𝑓 (𝛼(𝑠)) está definida Ejemplo 1.51. Todas las parametrizaciones siguientes son equivalentes para la misma curva ⃗𝒇(𝒕) = (𝒄𝒐𝒔𝒕, 𝒔𝒆𝒏𝒕, 𝒕) 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝒆𝒏 [𝟎, 𝟐𝝅] ⃗⃗ (𝒔) = (𝒄𝒐𝒔𝟐𝒔, 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒔, 𝟐𝒔) 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒔 𝒆𝒏 [𝟎, 𝝅] 𝒈 ⃗𝒉(𝒔) = (𝒄𝒐𝒔𝟐𝝅𝒔, 𝒔𝒆𝒏𝟐𝝅𝒔, 𝟐𝝅𝒔) 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕 𝒆𝒏 [𝟎, 𝟏] Solución Una curva puede tener muchos parametrizaciones, con velocidades diferentes, así cuál de ellos es mejor utilizar. En algunas situaciones la parametrización de longitud del arco puede ser útil. La idea detrás de esto es reemplazar el parámetro t, por cualquier parametrización dada 𝑓 (𝑡) definida en [𝑎, 𝑏] por el parámetro 𝑠 dado por 𝒕

⃗⃗⃗′ (𝒖)|𝒅𝒖 𝒔 = 𝒔(𝒕) = ∫ |𝒇 𝒂

En términos de movimiento a lo largo de una curva, s es la distancia recorrida a lo largo de la curva transcurrido un tiempo t. Así el nuevo parámetro será la distancia en vez de tiempo. Hay una correspondencia natural entre s y t: desde un punto inicial sobre la curva, la distancia recorrida a lo largo de la curva (en una dirección determinada) esta únicamente determinada por la cantidad de tiempo transcurrido, y viceversa. Ya que s es la longitud del arco de la curva sobre el intervalo [𝑎, 𝑡] para cada t en [𝑎, 𝑏], entonces esta es una función de t. Por el Teorema Fundamental de Cálculo, su derivada es ′ (𝒕)

𝒔

𝒅𝒔 𝒅 𝒕 ′ ⃗⃗⃗ (𝒖)|𝒅𝒖 = ⃗⃗⃗ = = ∫ |𝒇 𝒇′ (𝒕) 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒂

𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒕 𝒆𝒏 [𝒂, 𝒃]

CURVAS EN R3. ⃗ una FV, donde 𝒇𝟏 (𝒕), 𝒇𝟐 (𝒕), 𝒇𝟑 (𝒕) son ⃗ (𝒕) = 𝒇 ⃗ 𝟏 (𝒕)𝒊 + 𝒇 ⃗ 𝟐 (𝒕)𝒋 + 𝒇 ⃗ 𝟑 (𝒕)𝒌 Sea 𝒇 ⃗, ⃗ = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋 + 𝒛𝒌 FE de 𝒕. ⟹ para c/valor de 𝒕, ∃ un vector posición 𝒓 cuyo punto inicial está en el origen de coordenadas y su punto final está especificado por el punto 𝑃 ∈ 𝑹𝟑 . Cuando t varía ⟹ 𝑷 va mapeando la curva 𝐶, es decir 𝑷 𝒔𝒆 𝒎𝒖𝒆𝒗𝒆 𝒂 𝒍𝒐 𝒍𝒂𝒓𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝑪. Por tanto por la igualdad de vectores se tiene: 𝒙 = 𝒇𝟏 (𝒕), 𝒚 = 𝒇𝟐 (𝒕), 𝒛 = 𝒇𝟑 (𝒕) Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas de la curva 𝐶 en 𝑅 3, que es una función de 𝑓(𝑡) con 𝑡 como parámetro. Como se muestra en la figura adjunta, sea 𝑃 un punto de una curva 𝐶 para el cual 𝑓 = 𝑓 (𝑡), y 𝑄 el punto que corresponde a 𝑓 (𝑡 + ∆𝑡). Entonces: ⃗ (𝒕 − ∆𝒕) − 𝒇 ⃗ (𝒕) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒇 𝑷𝑸 ⃗ ′ (𝒕) 𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝑪 𝒆𝒏 𝑷 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 =𝒇 ∆𝒕⟶𝟎 ∆𝒕⟶𝟎 ∆𝒕 ∆𝒕 𝑼𝒏 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒕𝒊 ∈ 𝑪, 𝒔𝒆 𝒅𝒊𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒔 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒔𝒊𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒔𝒊 ⃗𝒇′ (𝒕𝒊 ) = 𝟎, 𝒅𝒆 𝒍𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐 𝒆𝒔 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑵𝑶 𝒔𝒊𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 La dirección de 𝐶 que está en 𝑅 3 en un punto NO singular P. es la del vector tangente a C en P. Una FV suave es una FV que tiene una derivada continua y no tiene puntos singulares.

EJERCICIOS-1 1. Trazar la curva C representada por la FV 𝑓 (𝑡) = a cos 𝑡 𝑖 + a sen 𝑡 𝑗 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 en 𝑅 3 y hallar su dirección en el punto (0, 𝑎, 0) 2. (a) Hallar la FV 𝑓 (𝑡) que representa la recta 𝐿 que pasa por un punto (𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 ) y es ∥ a un ⃗ = (𝐵1 , 𝐵2 , 𝐵3 ). (b) Hallar las formas paramétricas y vectorial para la vector dado no nulo 𝐵 recta L. 3. (a) Hallar la FV 𝑓 (𝑡) que representa la recta L que pasa por los puntos (𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 ) y (𝐵1 , 𝐵2 , 𝐵3 ) (b) Hallar las formas paramétricas y vectorial para la recta L. 4. Si una curva 𝐶 en 𝑅 3 está representada por una FV suave 𝑓 (𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 < 𝑡 < 𝑏, ⟹ demostrar que su longitud 𝐿 está dada por la integral 𝒃

𝒃

⃗ ′ (𝒕)| 𝒅𝒕 = ∫[𝒇 ⃗ ′ (𝒕) ∙ ⃗𝒇′ (𝒕)]𝟏/𝟐 𝒅𝒕 𝑳 = ∫|𝒇 𝒂

𝒂

SOLUCION. Según cálculo elemental, el elemento de arco (𝒅𝒔)𝟐 = (𝒅𝒙)𝟐 + (𝒅𝒚)𝟐 + (𝒅𝒛)𝟐 𝟏/𝟐

𝒅𝒔 𝒅𝒇𝟏 𝟐 𝒅𝒇𝟐 𝟐 𝒅𝒇𝟑 𝟐 = [( ) +( ) +( ) ] 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 = |𝒇′ (𝒕)| El elemento de arco es:

= [(𝒇′𝟏 )𝟐 + (𝒇′𝟐 )𝟐 + (𝒇′𝟑 )𝟐 ]

𝟏/𝟐

= [𝒇′ (𝒕) ∙ 𝒇′ (𝒕)]𝟏/𝟐

𝒅𝒔 = |𝒇′ (𝒕)|𝒅𝒕 ⟹ la longitud total 𝐿 es la integral de ds sobre C. 𝒃

𝒃

𝑳 = ∫ 𝒅𝒔 = ∫ |𝒇′ (𝒕)|𝒅𝒕 = ∫ [𝒇′ (𝒕) ∙ 𝒇′ (𝒕)]𝟏/𝟐 𝒅𝒕 𝑪

𝒂

𝒂

5. Hallar la longitud de 𝐶 representada por la FV 𝑓 (𝑡) = a cos 𝑡 𝑖 + a sen 𝑡 𝑗 1 6. Hallar la longitud de 𝐶 representada por la FV 𝑓 (𝑡) = 2𝑡𝑖 + 𝑡 2 𝑗 + 3 𝑡 3 𝑘⃗ 7. Hallar la longitud de C representada por la FV

0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 0≤𝑡≤1 𝑓 (𝑡) = cos 𝑡 𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑗 + ln cos 𝑡 𝑘⃗ , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/4

La longitud de arco 𝒔(𝒕) de una curva es una función de la variable escalar 𝒕 desde algún punto fijo 𝒂 hasta 𝒕. Esta es la longitud 𝐿 de 𝑪 con el límite superior b sustituido por t. 𝒕

𝒔(𝒕) = ∫ |𝒇′ (𝒕)|𝒅𝒕 𝒂

8. Demostrar que la longitud de arco 𝒔 puede servir como un parámetro en las representaciones de curvas sin puntos singulares. Solución. Diferenciando la longitud de arco, de una curva, obtenemos para 𝒂 < 𝒕 < 𝒃 𝒅𝒔 ⃗⃗⃗′ (𝒕)| > 𝟎 ⟹ 𝒔 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 ↑ 𝑦 𝒄𝒐𝒏𝒕. 𝑒𝑛 𝑎 ≤ 𝒕 ≤ 𝒃, 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝒔 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑖𝑛𝑣. = |𝒇 𝒅𝒕 ⃗⃗ (𝒔) = ⃗𝒇(𝒒(𝒔)) 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑟𝑒´𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟 𝒕 = 𝒒(𝒔) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝟎 ≤ 𝒔 ≤ 𝒍, 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝐹𝑉 𝑠𝑢𝑎𝑣𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑠 𝒈 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝐶 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑓 (𝑡) ⃗ , se ⃗ =𝒈 ⃗⃗ (𝒔) = 𝒈𝟏 (𝒔)𝒊 + 𝒈𝟐 (𝒔)𝒋 + 𝒈𝟑 (𝒔)𝒌 Determinando el vector de posición 𝒓 = [𝒙, 𝒚, 𝒛] como 𝒓 determina las correspondientes ecuaciones paramétricas 𝒙 = 𝒈𝟏 (𝒔), 𝒚 = 𝒈𝟐 (𝒔), 𝒛 = 𝒈𝟑 (𝒔), En lugar de las funciones vectoriales 𝒇(𝒕) 𝒐 𝒈(𝒔) para representar la curva C en 𝑅 3, usaremos ⃗ ⃗ (𝒕) = 𝒓 ⃗ (𝒕) = 𝒙(𝒕)𝒊 + 𝒚(𝒕)𝒋 + 𝒛(𝒕)𝒌 con frecuencia 𝒓( 𝒕) 𝒐 𝒓(𝒔). Esto es: 𝒇 𝒂≤𝒕≤𝒃 ⃗ (𝒔) ⃗⃗a(𝒔) ⃗+ = 𝒙(𝒔)𝒊 +≤ 𝒚(𝒔)𝒋 𝒛(𝒔)𝒌 𝟎 ≤ 𝒔 ≤a 𝒍𝐶 por una FV 9. Una curva C se denota por la FV 𝑓 (𝑡) = 𝒈 cos= 𝑡 𝑖𝒓 a sen 𝑡 𝑗, 0 𝑡 ≤+ 2𝜋. Representar con la longitud de arco s como parámetro. Cuando una curva 𝑪 se representa por una FV 𝒈(𝒔) con longitud de arco 𝒔 como parámetro, se tiene:

⃗⃗ (𝒔) 𝒅𝒈 𝒅𝒔

⃗⃗ ′ (𝒔) = =𝒈

⃗⃗⃗ 𝒇′ (𝒕) ⃗⃗⃗′ (𝒕)| |𝒇

= ⃗𝑻,

⃗ es el vector unitario tangente a 𝐶 en cualquier Donde 𝑇

punto 10. Hallar el vector unitario tangente a la curva C representada por la FV 𝑓 (𝑡) = a cos 𝑡 𝑖 + a sen 𝑡 𝑗 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋, 𝑒𝑛 𝑡 = 𝜋/2 ⃗ con respecto a 𝑠, se obtendrá el vector normal o perpendicular al Observación. Si derivamos 𝑻 ⃗ vector unitario tangente 𝑻 en cualquier punto de la curva C. Superficies. Las superficies se describen, en general, por medio de ecuaciones paramétricas del tipo 𝒙 = 𝒙 ( 𝒖 , 𝒗), 𝒚 = 𝒚 ( 𝒖 , 𝒗 ), 𝒛 = 𝒛 ( 𝒖, 𝒗 ), donde 𝒖 y 𝒗 son parámetros. Si se fija 𝒗 = 𝒄, 𝒄𝒕𝒕𝒆, entonces se vuelve una expresión paramétrica de un parámetro que describe una curva en el espacio a lo largo de la cual varía 𝒖. Esta es la curva que se designa con 𝒗 = 𝒄. Así para cada 𝒗 existe una curva en el espacio. De modo similar, 𝒗 varía a lo largo de la curva 𝒖 = 𝒌 𝒄𝒕𝒕𝒆;

⃗ ⃗ (𝒖, 𝒗) = 𝒙(𝒖, 𝒗)𝒊 + 𝒚(𝒖, 𝒗)𝒋 + 𝒛(𝒖, 𝒗)𝒌 𝒓 ⃗ a la superficie S representada por 𝒓 ⃗ (𝒖, 𝒗) si ⃗⃗⃗ Observación. El vector unitario normal 𝒏 𝑟𝑢 𝑥 ⃗⃗⃗ 𝑟𝑣 ≠ 0,

⃗⃗ = esta expresada por: 𝒏

⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒖 𝒙 ⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒗 , |𝒓 ⃗⃗⃗⃗𝒖 𝒙 ⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒗 |

donde ⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒖 =

⃗ 𝝏𝒓 𝝏𝒖

𝝏𝒙

𝝏𝒚

𝝏𝒛

= 𝝏𝒖 𝒊 + 𝝏𝒖 𝒋 + 𝝏𝒖 ⃗𝒌 que es un vector tangente a una

curva constante 𝑣 en el punto 𝑃. De forma similar ⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒗 =

⃗ 𝝏𝒓 𝝏𝒗

𝝏𝒙

𝝏𝒚

𝝏𝒛

= 𝝏𝒗 𝒊 + 𝝏𝒗 𝒋 + 𝝏𝒗 ⃗𝒌 que es un vector

tangente a una curva constante 𝑢 en el punto 𝑃. Por tanto se concluye que en cualquier punto P ⃗⃗⃗⃗𝒖 𝒙 ⃗⃗⃗⃗ el vector ⃗⃗⃗ 𝑟𝑢 𝑥 ⃗⃗⃗ 𝑟𝑣 es normal o perpendicular a la superficie S en el punto P. Ahora como |𝒓 𝒓𝒗 | es

⃗ = la magnitud de este vector, entonces 𝒏

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝒗 𝒓𝒖 𝒙 𝒓 |𝒓 ⃗⃗⃗⃗𝒖 𝒙 ⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒗 |

Observación. Un punto (𝑢, 𝑣) sobre una superficie S se llama punto singular sí 𝑟⃗⃗⃗𝑢 𝑥 ⃗⃗⃗ 𝑟𝑣 = 0; de otro modo se llama punto no singular, si 𝑟⃗⃗⃗𝑢 𝑦 ⃗⃗⃗ 𝑟𝑣 son continuas, entonces los planos tangentes existen solamente en los puntos no singulares. Geométricamente la condición para que 𝑟⃗⃗⃗𝑢 𝑥 ⃗⃗⃗ 𝑟𝑣 = 0 es que las curvas u=k y v=c, donde k y c son constantes, no sean singulares, ni mutuamente tangentes en su punto de intersección. ⃗ para una superficie S representada por 𝑥 = 𝑥, 𝑦 = 𝑦 , 𝑧 = 𝑧 (. 𝑥 , 𝑦 ) donde x e 11. Hallar un VUN 𝒏 y son parámetros. Elemento diferencial de área de una superficie es un vector expresado por

⃗ ⃗ 𝝏𝒓 𝝏𝒓 𝒅𝒖 𝒙 𝒅𝒗 = ⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒖 𝒙 ⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒗 𝒅𝒖𝒅𝒗 𝝏𝒖 𝝏𝒗 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓 𝒙 ⃗⃗⃗⃗ 𝒓 ⃗⃗⃗⃗⃗ es un vector normal ⃗ = 𝒖 𝒗 ), 𝒅𝑺 Por la definición de VUN (⃗𝒏 |⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒓 𝒙 ⃗⃗⃗⃗ 𝒓 | ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒅𝑺

𝒖

𝒗

⃗ (𝒖, 𝒗) en cualquier punto P, a la superficie representada por 𝒓 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗𝒖 𝒙 ⃗⃗⃗⃗ su magnitud es 𝒅𝑺 = |𝒅𝑺| = |𝒓 𝒓𝒗 |𝒅𝒖𝒅𝒗 es igual al área de la superficie S limitada por cuatro curvas situadas sobre S. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | 𝒅𝑺 = 𝒏 ⃗ |𝒅𝑺 ⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑺 = ∬ |⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒅𝑺| = ∬ 𝒏 𝒅𝑺, 12.

⃗ 𝑒𝑠 𝑉𝑈𝑁 𝑑𝑒 𝑆 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑝𝑡𝑜 𝑃 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝒏

Hallar el área de una superficie S representada por 𝒙 = 𝒂𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒄𝒐𝒔 𝒗, 𝒚 = 𝒂𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒔𝒆𝒏 𝒗, 𝒛 = 𝒂𝒄𝒐𝒔 𝒖 𝟎 < 𝒖 < 𝝅 𝒚 𝟎 < 𝒗 < 𝟐𝝅

⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒗 𝒅𝒗

⃗⃗⃗⃗ 𝒓𝒖 𝒅𝒖

𝒖

𝒖 + 𝒅𝒖

𝒗

𝒗 + 𝒅𝒗

∆𝑺

⃗𝒇(𝒕)

⃗𝒇(𝒕 + ∆𝒕)

⃗𝒇′ (𝒕)

𝑷

𝑸

𝑶

𝑪