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• Erik Villegas

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CAPITULO 15 ANALISIS VECTORIAL EJEMPLO 1 Dibujar algunos vectores del campo vectorial dado por (

)

Solución Se podrán trazar los vectores en varios puntos del plano, al azar. Sin embargo es más demostrativo trazar vectores de magnitud igual. Esto corresponde a encontrar curvas de nivel en los campos escalares. En este caso vectores de igual magnitud se encuentran en círculos. || ||

Vectores de longitud c

√ Ecuación del círculo Para empezar a hacer el dibujo, se elige un valor de c y se dibujan varios vectores en el círculo resultante. Por ejemplo los vectores siguientes se encuentran en el círculo unitario. PUNTO VECTOR (1,0) F(1,0)= j (0,1) F(0,1)= -i (-1,0) F(-1,0)= -j (0,-1) F(0,-1)= i A continuación se muestran estos vectores en el círculo unitario

EJEMPLO 2 Dibujar algunos vectores en el campo vectorial dado por (

)

Solución Para este campo vectorial, los vectores de igual magnitud están sobre las elipses dadas por || ||

√(

)

( )

Lo cual implica que Para c=1, dibujar varios vectores

de magnitud 1 en puntos de la elipse dada por

Para c=2, dibujar varios vectores

de magnitud 2 en puntos de la elipse dada por

Estos vectores se muestran a continuación

EJEMPLO 3 Dibujar algunos vectores en el campo de velocidad dado por (

)

Donde Solución

(

)

Es válido imaginar que v describe la velocidad de un fluido a través de un tubo de radio 4. Los vectores próximos al eje z son más largos que aquellos cercanos al borde del tubo. Por ejemplo en el punto (0, 0,0), el vector velocidad es ( ) . A continuación la figura que muestra estos y varios puntos más.

EJEMPLO 4 a) El campo vectorial dado por considere la función potencial

( (

) )

es conservativo. Para comprobarlo, ( )

. Como

𝛁 =F se sigue que F es conservativo b) Todo campo cuadrático inmerso es conservativo. Para comprobarlo, sea (

)

|| ||

y

(

)

√

donde u=r/||r||. Como

𝛁

(

)

(

)

(

)

( ) √(

(

) )

|| || || || || || Se deduce que F es conservativo. EJEMPLO 5 Decidir si el campo vectorial dado por F es conservativo ) a) ( b) ( ) Solución a) El campo vectorial dado por (

)

)

)

no es conservativo por que (

y

b) El campo vectorial dado por (

(

(

)

)

es conservativo por que

( )

y

EJEMPLO 6 Hallar una función potencial para Solución

(

)

(

)

Del teorema 15.1 sigue que F es conservativo por que ( Si

)

(

y

)

es una función cuyo gradiente es igual a (

𝛁 (

)

(

Lo cual implica que

(

), entonces

) )

(

y

)

(

)

Para reconstruir la función f de estas dos derivadas parciales, integramos ( ) con respecto a y como sigue respecto a x y

(

(

)

)

∫

∫

(

(

)

)

∫ ∫(

y

( )

) con

( ) )

Nótese que ( ) es constante con respecto a x y Para hallar una sola expresión que represente ( ( )

(

( ) ( ) es constante con respecto a y. ) sea

. Entonces se puede escribir (

)

( )

Este resultado se puede verificar formando el gradiente de f. Se verá que es igual a la función original F. EJEMPLO 7 Hallar el rot F para el campo vectorial dado por ( ) ( ) Es F irrotacional ? Solución El rotacional de F está dado por (

)

(

𝛁

|

|

( ) Como rot F = 0. F es irrotacional

||

)

||

|

(

|

)

(

|

|

)

EJEMPLO 8 Hallar una función potencial para (

)

(

)

Solución Del ejemplo 7 se sabe que el campo vectorial dado por F es conservativo. Si f es una )= 𝛁 ( ) entonces función tal que ( ( ) ( ) ( ) E integrando separadamente con respecto a x,y,z se obtiene ( (

) )

(

∫

∫ )

∫(

(

)

)

∫( ∫

)

∫(

( )

), concluir que Comparando estas tres versiones de ( ( ) ( ) ( ) ), resulta ser ( )= Por lo tanto (

(

)

)

EJEMPLO 9 Hallar la divergencia en (2,1,-1) para el campo vectorial ( )= + Solución La divergencia de F es (

)

(

)

(

)

(

En el punto (2,1,-1) la divergencia es ( )

)

( )( )(

)

EJEMPLO 10 Hallar una parametrización suave a trozos de la gráfica C que se muestra en la figura

Solución Como C consta de tres segmentos de recta C1,C2,C3, se puede construir una parametrización suave de cada segmento y unirlas haciendo que el ultimo valor de t en C3, coincida con el primer valor de t en C1+2, como se muestra a continuación . ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

1

( )

2

( )

Por tanto C está dada por

( )

{(

) (

)

Como

es suave a trozos

EJEMPLO 11 Evaluar ∫ ( )ds Donde C es el segmento de recta mostrado en la figura

son suaves, se dice que C

Solución Para empezar se expresa la ecuación de la recta en forma paramétrica ( ) ( ) Entonces ( ) lo cual implica que ( ) ( ) √ ( ) √ √ Por lo tanto la integral de línea toma la forma siguiente ∫(

)

∫ (

)√

√ ∫ (

dt

) √ (

) √

EJEMPLO 12 Evaluar ∫ ( )ds Donde C es la curva suave a trozos mostrada en la figura

Solución Para empezar se expresa la ecuación de la curva en forma paramétrica 1 En esta curva ( )

lo que implica que

( )

( )

por lo tanto

√ ( )

( )

√

√ ∫( )

EJEMPLO 13 Evaluar ∫ (

y se tiene ∫ )√

(

√

√

)

)ds done C es la curva representada por ( )

Solución Puesto que √

( )

y || ( )||

√ ( )

( )

se sigue que ∫(

)

∫ (

∫ (

)√

)(

)

(( (

) √

)

)

EJEMPLO 14 Hallar la masa de un resorte que tiene la forma de una hélice circular ( )

( ) √ Donde la densidad del resorte es ρ(x,y,z)=1+z como se muestra en la figura

Solución

( )

Como || ( )||

√

)

√(

(

)

se sigue que la masa del resorte

es ∫( (

) √

∫

√

(

)

)

√

EJEMPLO 15 Sea

( )=y ( ) (

y evaluar la integral de línea ∫ ( ) ( ) 3

)

a lo largo de la curva

Como r´(t)= - i + (4-2t) j La integral de línea es ∫( )

∫ ((

)

(

)

(

))

(

∫ (

) ∫ (

)

(

)

EJEMPLO 16 Evalué la integral de línea ∫ dado por ( ) ( ) Como se muestra en la figura

(

)dy, donde

C el circulo de radio 3

Solución ∫ ∫ ∫ ((

)(

( )

)

(

)(

∫ ( ∫

( ∫

(

) ) (

(

)) )

))