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CAPÍTULO 4

Diseños factoriales

Uso de software estadístico

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CAPÍTULO 4 9,5

Conceptos básicos en diseños factoriales 4.1. Diseños factoriales con dos factores 4.2. Diseños factoriales con tres factores 4.3. Diseño factorial general 4.4. Modelos de efectos aleatorios 4.5. Uso de un software estadístico

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Competencias Explicar cuando un diseño de experimentos es un diseño factorial, describiendo los conceptos básicos que estos involucran y mostrado cómo se hace tal experimentación. Desarrollar los diseños factoriales de dos y tres factores. Conocer el diseño factorial general y diferenciar los modelos de efectos fijos con los modelos de efectos aleatorios. Interpretar correctamente los análisis gráficos y el análisis de varianza en los diseños factoriales.

Conceptos básicos en diseños factoriales Es frecuente que en muchos procesos existan varios factores de los que es necesario investigar de manera simultánea su influencia sobre una o varias variables de respuesta, donde cada factor tiene la misma importancia a priori desde el momento que se decide estudiarlo, y es poco justificable suponer de antemano que los factores no interactúan entre sí. Los diseños experimentales que permiten estudiar de manera simultánea el efecto de varios factores son los llamados diseños factoriales. El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas o características de calidad y determinar una combinación de niveles de los factores en la cual el desempeño del proceso sea mejor que en las condiciones de operación actuales; es decir, encontrar nuevas condiciones de operación del proceso que eliminen o disminuyan ciertos problema de calidad en la variable de salida. Los factores pueden ser de tipo cualitativo (máquinas, tipos de material, operador, la presencia o ausencia de una operación previa, etc.), o de tipo cuantitativo (temperatura, humedad, velocidad, presión, etc.). Para poder estudiar la manera en que incluye cada factor sobre la variable respuesta, es necesario elegir al menos dos niveles de prueba para cada uno de ellos (tres máquinas, dos operadores, tres velocidades, dos temperaturas, etc.). Con el diseño factorial completa se corren aleatoriamente en el proceso todas las posibles combinaciones que pueden formarse con los niveles seleccionados. Un diseño de experimentos factorial o arreglo factorial es el conjunto de puntos experimentales o tratamientos que pueden formarse considerando todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores. Por ejemplo, con k = 2 factores, ambos con dos niveles de prueba, se forma el diseño factorial , que consiste de cuatro combinaciones o puntos experimentales. Considerando otra vez k = 2 factores, pero ahora uno con tres niveles y el otro con dos niveles, se pueden construir 3 x 2 combinaciones que dan lugar al diseño factorial 3 x 2. Observe que en el nombre del diseño factorial va implícita el número de tratamientos que lo componen. Para obtener el número de corridas experimentales se multiplica el número de tratamientos por el número de réplicas, donde una réplica se lleva a cabo cada vez que se repite el arreglo completo. Más en general, la familia de diseños factoriales consiste de k factores, todos con dos niveles de prueba; y la familia de diseños factoriales consiste de k factores

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Diseños factoriales

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cada uno con tres niveles de prueba. Es claro que si los k factores no tienen la misma cantidad de niveles, entonces no se puede factorizar de esta forma, y debe escribirse el producto de manera más explícita: por ejemplo con k = 3 factores, el primero con cuatro niveles y los dos restantes con dos niveles, se tiene el diseño factorial , que consiste de 16 combinaciones de niveles diferentes.

4.1. Diseños factoriales con dos factores El experimento factorial más sencillo es en el que intervienen solamente dos factores, por ejemplo, A y B. Hay niveles del factor A y niveles del factor B. El experimento tiene réplicas y cada réplica contiene todas las combinaciones de tratamientos . Considere los factores A y B con y ( ) niveles de prueba, respectivamente. Con ellos se puede construir el arreglo o diseño factorial , que consiste de tratamientos. Se llama réplica cada repetición completa del arreglo factorial. Los diseños factoriales que involucran menos de cuatro factores se corren replicados para poder tener la potencia necesaria en las pruebas estadísticas sobre los efecto de interés, de tal forma que si se hacen réplicas, el número total de corridas experimentales es ( ). Efecto principal y efecto de interacción El efecto de un factor se define como el cambio observado en la variable de respuesta debido a un cambio de nivel de tal factor. En particular, los efectos principales son los cambios en la media de la variable de respuesta que se deben a la acción individual de cada factor. En términos matemáticos, el efecto principal de un factor con dos niveles es la diferencia entre la respuesta media observada cuando tal factor estuvo en su primer nivel, y la respuesta media observada cuando el factor estuvo en su segundo nivel. Ejemplo Diseño factorial . Suponga que en un proceso de fermentación tequilera, se tienen dos factores A: tipo de levadura y B: temperatura, cada uno con dos niveles denotados por respectivamente. La respuesta de interés es el rendimiento del proceso de fermentación. En la tabla 4.1 se muestran los cuatro tratamientos o puntos del diseño factorial , y entre paréntesis se ha indicado cada nivel con los códigos (1, -1). En el experimento original cada tratamiento se corrió tres veces (tres réplicas), lo cual da un total de 12 corridas del proceso pero, por simplicidad, en la última columna de la tabla 4.1 sólo se anotaron los resultados de la primera réplica. Tabla 4.1 Diseño factorial

A: Levadura

B: Temperatura Y: Rendimiento 28 41 63 45

Para los datos de la tabla 4.1, los efectos principales están dados por

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Diseños factoriales

Diseños factoriales con dos factores

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Efecto A = Efecto B =

por lo que en términos absolutos el efecto principal de B es mayor. Por otra parte, se dice que dos factores interactúan entre sí o tienen un efecto de interacción sobre la variable de respuesta, cuando el efecto de un factor depende del nivel en que se encuentra el otro. Por ejemplo, los factores A y B interactúan si el efecto de A es muy diferente en cada nivel de B, o viceversa. Ahora veamos esto con los datos de la tabla 4.1: el efecto de A cuando B es baja está determinado por Efecto A (con B bajo) = 41 - 28 = 13 y cuando la temperatura es alta, el efecto de A es Efecto A (con B alta) = 45 - 63 = 13 Como estos dos efectos de A en función del nivel de B son muy diferentes, entonces es evidencia de que la elección más conveniente del nivel de A depende del nivel en que esté B, y viceversa. Es decir, eso es evidencia de que los factores de A y B interactúan sobre Y. En la práctica, el cálculo del efecto A en cada nivel de B no se hace, y más bien se calcula el efecto global de la interacción de los dos factores, que se denotan por AB y se calculan como la diferencia entre la respuesta media cuando ambos factores se encuentran en el m ismo nivel: (-1, -1); (1, 1), y la respuesta media cuando los factores se encuentran en niveles opuestos: (-1, 1) (1, -1). Para el ejemplo, el efecto de interacción levadura x temperatura está dado por

Los valores absolutos (sin importar el signo) de los efectos principales y del efecto de interacción son una medida de importancia de su efecto sobre la variable de respuesta. Sin embargo, como se tienen estimaciones muestrales, para saber si los efectos son estadísticamente significativos (diferentes de coro) se requiere el análisis de varianza (ANOVA).

Modelo estadístico Con un diseño factorial se pueden estudiar los dos efectos individuales y el efecto de interacción de ambos factores. En términos estadísticos, lo que se afirma es que el comportamiento de la respuesta Y en el experimento con k réplicas se podría describir mediante el modelo de efectos:

donde es la media general, es el efecto debido al i-ésimo nivel del factor es el efecto del j-ésimo nivel del factor B, representa al efecto de interacción en la

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Diseños factoriales

Diseños factoriales con dos factores

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combinación es el error aleatorio que supone sigue una distribución con media cero y varianza constante y son independientes entre sí. Para que la estimación de los parámetros en este modelo sea única, se introducen las restricciones:

Es decir, los efectos dados en el modelo son desviaciones respecto de la media global. Puede usarse el análisis de varianza para probar hipótesis relativas a los efectos principales de los factores A y B y la interacción AB. En este modelo, las hipótesis de interés para los tres efectos son:

Estas hipótesis se prueban mediante la técnica de análisis de varianza que para un diseño factorial con réplicas resulta de descomponer la variación total como,

donde los respectivos grados de libertad de cada una de ellas son:

El factor en los grados de libertad de la suma de cuadrados del error ( ) señala que se necesitan al menos dos réplicas del experimento para calcular ese componente y, por ende, para construir una tabla de ANOVA. Recordemos que las sumas de cuadrados divididas entre sus correspondientes grados de libertad se llama cuadrados medios . Al dividir éstos entre el cuadrado medio del error se obtienen estadísticos de prueba con distribución F. Toda esta información se sintetiza en la siguiente tabla: ANOVA para el diseño factorial FV SC GL Efecto A Efecto B Efecto AB Error Total

CM

Valor-p

Si el valor-p es menor al nivel de significancia prefijado, se rechaza la hipótesis nula y se concluye que el correspondiente efecto está activo o influye en la variable de respuesta.

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Diseños factoriales

Diseños factoriales con dos factores

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Recordemos la notación de puntos para representar sumas y medias:

Con esta notación la suma de cuadrados totales es:

donde N = es el total de observaciones en el experimento. Las sumas de cuadrados de efectos son:

y al final, al restar éstas del total, se obtiene la suma de cuadrados del error como:

Ejemplo Consideremos un experimento en el que se quiere estudiar el efecto de los factores A: profundidad de corte sobre el acabado de un metal y B: velocidad de alimentación. Aunque los factores son de naturaleza continua, en este proceso sólo se puede trabajar en 4 y 3 niveles, respectivamente. Por ello, se decide correr un factorial completo 4 x 3 con tres réplicas, que permitirá obtener toda la información relevante en relación al efecto de esos factores sobre el acabado. Al aleatorizar las 36 pruebas se obtienen los datos de la siguiente tabla:

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Diseños factoriales

Diseños factoriales con dos factores

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Datos del experimento factorial 4 x 3

A: Profundidad

0,15

0,18

0,21

0,24

Total

0,20 74 64 198 60 79 68 220 73 82 88 262 92 99 104 299 96 979

B: velocidad 0,25 0,30 92 99 86 266 98 299 88 102 98 104 104 290 99 298 88 95 99 108 108 302 110 317 95 99 104 114 110 313 111 332 99 107 1 171 1 246

Total 763

808

881

944

El acabado ( ) está en unidades de gramos e interesa minimizar su valor De acuerdo a esto para obtener el ANOVA para el ejemplo, calculemos los totales necesarios. De donde:

La suma de cuadrados totales y la suma de cuadrados del error están dadas por

Con esta información se construye el análisis de varianza de la tabla 4.2. Del ANOVA se concluye que los tres efectos A: velocidad, B: profundidad y AB están activos o influyen en el acabado. Dado que el efecto de integración AB resulta significativo, prácticamente toda la información relevante del experimento se aprecia en su representación gráfica (figura 4.1). Nótese que aparecen tantas líneas como niveles tenga el factor que se dibuja en la parte de arriba, que en este caso es la profundidad con sus cuatro niveles que se denotan con la escala de -1 a 1. La significancia de la interacción detectada por el ANOVA se observa en el hecho de que las líneas en la figura 5.1 tienen pendientes relativamente diferentes. Como lo que interesa es minimizar la variable de respuesta, se observa que a mayor velocidad y profundidad hay una tendencia a obtener peores acabados. Además se ve que cuando se tiene velocidad

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Diseños factoriales

Diseños factoriales con dos factores

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alta ( ) el efecto de profundidad es menor (véase la dispersión de las líneas en la figura cuando la velocidad es alta). Por lo tanto, las condiciones de operación o tratamiento que convienen es profundidad y velocidad bajas ( ). El ANOVA de la tabla 5.2 se dice que no está desglosado, ya que cuando en un experimento hay factores cuantitativos con más de dos niveles, el ANOVA se puede desglosar para estudiar con mayor detalle en el efecto de tal factor.

Tabla 5.2 ANOVA para el ejemplo FV SC GL CM Valor-p B: velocidad 3 160.5 2 1 580,25 55,02 0,0000 A: profundidad 2 125,10 3 708,37 24,66 0,0000 AB 557,07 6 92,84 3,23 0,0180 Error 689,33 24 28,72 Total 6 532,0 35 El planteamiento de hipótesis quedaría de la siguiente manera: Con su nivel de significancia como con sus grados de libertad respectivamente tenemos que el valor de F crítica es: y Se concluye que Se rechaza

Se rechaza

Se acepta Resultado arrojado en Minitab para el ejemplo anterior Factores: Corridas base: Bloques base:

2 12 1

Réplicas: Total de corridas: Total de bloques:

3 36 1

Número de niveles: 4; 3

Modelo lineal general: RESPUESTA vs. PRFUNDIDAD; VELOCIDAD Factor PRFUNDIDAD A VELOCIDAD B

Tipo fijo fijo

Niveles 4 3

Valores 0.15; 0.18; 0.21; 0.24 0.20; 0.25; 0.30

Análisis de varianza para RESPUESTA, utilizando SC ajustada para pruebas Fuente PRFUNDIDAD A VELOCIDAD B PRF.*VEL. AB Error Total

GL 3 2 6 24 35

SC sec. 2125,11 3160,50 557,06 689,33 6532,00

SC ajust. 2125,11 3160,50 557,06 689,33

MC ajust. 708,37 1580,25 92,84 28,72

F 24,66 55,02 3,23

P 0,000 0,000 0,018

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CAPÍTULO 4

Diseños factoriales

Diseños factoriales con dos factores

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Comparación de medias Las comparaciones de medias se introdujeron en la sección ´´Diseño completamente al azar y ANOVA´´ del capítulo 2, para después de un ANOVA en el que se rechaza , investigar cuáles medias causa las diferencias detectadas. El ANOVA sólo indica que al menos un par de niveles del factor significativo son diferentes entre sí, pero no dice cuáles son. Por facilidad, denotemos los cuatro niveles de la profundidad (A) del ejemplo anterior como así como los tres niveles de la velocidad (B) como Entonces es, los seis pares de hipótesis para comparar las medias del factor A son:

mientras que para el factor B se tienen los tres pares de hipótesis,

Para probar estas hipótesis con el método LSD habría que calcular las diferencias muestrales en el valor absoluto y compararlas con la diferencia mínima significativa. Cabe aclarar que este análisis es engañoso cuando el efecto de interacción es significativo. Por ello, y sólo por ilustrar el método, se prueban las hipótesis del factor A ignorando por el momento la interacción. La diferencia mínima significativa para comparar los niveles del factor A, está dada por:

Donde es el punto porcentual 100( de la distribución T de Student, los grados de libertad del cuadrado medio del error, y son el total de observaciones en los niveles del factor A, que están comparando. De esta manera, en el ejemplo, como es un diseño balanceado = = 9; entonces,

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Diseños factoriales

Comparación de medias

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De los totales marginales dados en el renglón inferior de la tabla donde se representan los datos del experimento factorial 4 x 3, se obtienen las medias del factor A, al dividir entre 9, que son el número de mediciones involucradas en cada total. Así, las seis posibles diferencias muestrales en valor absoluto resultan ser:

donde sólo la primer diferencia resulta no significativa, es decir, se acepta ; en cambio, en las cinco comparaciones restantes se rechaza . Ejercicios 1.- La pintura tapaporo de aviones se aplica en superficies de aluminio utilizando dos métodos: por inmersión y por aspersión. El objeto de la pintura tapaporo es mejorar la adherencia de la pintura, y en algunas partes puede aplicarse utilizando cualquiera de los dos métodos. Al grupo de ingenieros responsable del proceso de esta operación le interesa saber si tres pinturas tapaporo diferentes difieren en sus pro piedades de adherencia. Se realizó un experimento factorial para investigar el efecto que tiene el tipo de pintura tapaporo y el método de aplicación sobre la adherencia de la pintura. Se pintaron tres ejemplares de prueba con cada pintura utilizando cada uno de los métodos de aplicación, se aplico la pintura final, y se midió la fuerza de adherencia. Probemos la hipótesis apropiada y saquemos conclusiones Tipo de Inmersión Aspersión tapaporo 1 4.0, 4,5 4.3 12.8 5.4, 4.9, 5.6 15.9 2 5.6, 4.9, 5.4 15.9 5.8, 6.1, 6.3 18.2 3 3.8, 3.7, 4.0 11.5 5.5, 5.0, 5.0 15.5 40.2 49.6 Resultado en Minitab Diseño factorial de múltiples niveles Factores: Corridas base: Bloques base:

2 6 1

Réplicas: Total de corridas: Total de bloques:

3 18 1

Número de niveles: 3; 2

Modelo lineal general: Respuesta vs. Tapaporo; Adherencia Factor Tapaporo

Tipo fijo

Niveles 3

Valores 1; 2; 3

28.7 34.1 27.0 89.8 =

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Adherencia

Diseños factoriales

fijo

2

Comparación de medias

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Inmersión; Aspersión

Análisis de varianza para Respuesta, utilizando SC ajustada para pruebas Fuente Tapaporo Adherencia Tapaporo*Adherencia Error Total S = 0,286744

GL 2 1 2 12 17

SC sec. 4,5811 4,9089 0,2411 0,9867 10,7178

R-cuad. = 90,79%

SC ajust. 4,5811 4,9089 0,2411 0,9867

MC ajust. 2,2906 4,9089 0,1206 0,0822

F 27,86 59,70 1,47

P 0,000 0,000 0,269

R-cuad.(ajustado) = 86,96%

Dado que utilizamos un = 0.05 y puesto que el valor de tanto para el factor A (tipo de pintura) como para el factor B(tipo de aplicación), con su nivel de significancia como con sus grados de libertad respectivamente tenemos y . Se concluye que los efectos principales del tipo de pintura tapaporo y del método de aplicación afectan la fuerza de adherencia. Además, puesto que 1,5 , no hay indicios de interacción entre estos factores. En la última columna del ANOVA se muestra el valor P para cada cociente F. Obsérvese que los valores P de los dos estadísticos de prueba para los efectos principales son considerablemente menores que 0,05 mientras que el valor P para el estadístico de prueba de la interacción es mayor que 0,05. Se rechaza

Se rechaza

Se acepta

2.- Se presentan los resultados de un experimento en el que interviene una batería de almacenamiento usada en el mecanismo de lanzamiento de un misil tierra-aire para cargar al hombro. Pueden usarse tres tipos de materiales para hacer las placas de la batería. El objetivo es diseñar una batería que se mantenga relativamente sin alteraciones por la temperatura ambiente. La respuesta de salida de la batería es la vida efectiva en horas. Se seleccionan tres niveles de temperatura y se corre un experimento factorial con cuatro replicas. Los datos son los siguientes: Material 1 2 3

Temperatura ( Baja Media 130 155 34 40 74 180 80 75 150 188 136 122 159 126 106 115 138 110 174 120 168 160 150 139

Alta 20 70 82 58 25 70 58 45 96 104 82 60

a) Pruebe las hipótesis apropiadas y saque conclusiones utilizando el análisis de

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CAPÍTULO 4

Diseños factoriales

Ejercicios

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b) varianza con = 0.05 c) Analice gráficamente la interacción d) Analice los residuales de este experimento 3.- En un artículo se describe un experimento para investigar el efecto de dos factores (tipo de cristal y tipo de fósforo) sobre la brillantez de un cinescopio. La variable de respuesta media es la corriente (en microamperes) necesaria para obtener un nivel especifico de brillantez. Los datos se presentan en la siguiente tabla: Tipo de Tipo de fósforo cristal 1 2 3 1 280 300 290 290 310 285 285 295 290 2 230 260 220 235 240 225 240 235 230 a) Enuncie las hipótesis de interés en este experimento b) Pruebe las hipótesis anteriores y saque conclusiones utilizando análisis de varianza con = 0.05 c) Analice los residuales de este experimento 4.- Se condujo un experimento para determinar si la temperatura del fuego o la posición en el horno afectan la densidad de endurecimiento de un ánodo de carbono. Los datos son los siguientes: Posición Temperatura ( ) 800 825 850 1 570 1 063 565 565 1 080 510 583 1 043 590 2 528 988 526 547 1 026 538 521 1 004 532 a) Enuncie las hipótesis de interés b) Pruebe las hipótesis anteriores utilizando el análisis de varianza con = 0.05. ¿A qué conclusiones se llega? c) Utilizando el método de la LSD de Fisher, investigar las diferencias entre la media de la densidad del endurecimiento de los ánodos en los tres diferentes niveles de temperatura 4.2. Diseños factoriales con tres factores Cuando se quiere investigar la influencia de tres factores (A, B y C) sobre una o más variables de respuesta, y el número de niveles de prueba en cada uno de los factores es a, b y c, respectivamente, se puede construir el arreglo factorial , que consiste de tratamientos o puntos experimentales. Entre los arreglos de este tipo que se utilizan con frecuencia en aplicaciones diversas se encuentran: el factorial , el

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CAPÍTULO 4

Diseños factoriales

Ejercicios

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factorial y los factoriales mixtos con no más de cuatro niveles en dos de los factores, por ejemplo, el factorial 4 x 3 x 2 y el factorial 4 x 4 x 2, por mencionar dos de ellos. Hipótesis de interés El estudio factorial de tres factores (A, B y C) permite investigar los efectos: A, B, C, AB, AC, BC y ABC, donde el nivel de desglose o detalle con el que pueden estudiarse depende del número de niveles utilizando en cada factor. Por ejemplo, si un factor se prueba en dos niveles, todo su efecto marginal (individual) es lineal, o sea que su efecto individual no se puede descomponer; pero, si tuviera tres niveles su efecto marginal se puede descomponer en una parte lineal y otra cuadrática pura. En resumen, se tienen siete efectos de interés sin considerar desglose, y con ellos se pueden plantar las siete hipótesis nulas

cada una aparejada con su correspondiente hipótesis alternativa. El ANOVA para probar estas hipótesis se muestran en la siguiente tabla. ANOVA para el diseño a x b x c FV SC GL Efecto A Efecto B Efecto C Efecto AB Efecto AC Efecto BC Efecto ABC Error Total

CM

Valor-p

Al efecto cuyo valor-p sea menor al valor especificado para alfa, se declara estadísticamente significativo o se dice que está activo. Las sumas de cuadrados son muy similares a las obtenidas para dos factores; habrá que considerar un subíndice adicional para el tercer factor, y comenzando otra vea, por la suma total de cuadrados, éstas resultan ser:

donde N =

es el total de observaciones en el experimento. Las sumas de cuadrados

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CAPÍTULO 4

Diseños factoriales

Diseños factoriales con tres factores

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de efectos son:

Al restar éstas del total, la suma de cuadrados del error resulta ser

cuyos respectivos grados de libertad se dan en la tabla anterior. Una vez hecho el ANOVA, se procede a interpretar los efectos activos, y luego (aunque no necesariamente después) a diagnosticar la calidad del modelo. Ejemplo El experimento. Se desea investigar el efecto del tipo de suspensión (A), abertura de malla (B) y temperatura de ciclaje (C) en el volumen de sedimentación Y(%) de una suspensión. Para ello se decide correr un experimento factorial 3 x 2 x 2 con seis réplicas, y las observaciones obtenidas en las 72 corridas experimentales se muestran en la siguiente tabla:

60, 75, 75 86, 70, 70 55, 53, 53 55, 55, 55

67, 73, 73 67, 68, 68 52, 52, 57 52, 54, 54

62, 68, 65 76, 65, 65 44, 44, 45 48, 48, 45

71, 80, 80 72, 80, 80 60, 60, 60 67, 67, 65

76, 71, 75 70, 68, 73 52, 51, 50 52, 48, 54

75, 75, 75 75, 75, 77 56, 55, 57 59, 50, 55

Los niveles de prueba para cada factor, tanto en unidades originales como en unidades codificadas, se muestran en la siguiente tabla

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CAPÍTULO 4

Diseños factoriales

Diseños factoriales con tres factores

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Factor

U. originales U. codificadas Bajo Medio Alto Bajo Medio Alto A: Tipo de suspensión -1 0 1 B: Abertura de malla -1 1 40 60 C: Temperatura -1 1 0 30 El análisis de varianza para este ejemplo se muestra en la siguiente tabla. De aquí se concluye que no influyen los efectos ABC, AC ni A, dado que su valor-p es mayor que . Por otra parte, se encuentran activos los efectos B, C, AB y en menor medida BC. Éstos son los cuatro efectos que se deben interpretar. Los efectos que no influyeron se pueden eliminar mandándolos al término error. El ANOVA simplificado, pero con el efecto A note que el en ambos ANOVAS es prácticamente igual. En general se recomienda interpretar sólo los efectos significativos. Diseño factorial de múltiples niveles Factores: Corridas base: Bloques base:

3 12 1

Réplicas: Total de corridas: Total de bloques:

6 72 1

Número de niveles: 3; 2; 2

Modelo lineal general: Respuesta vs. Suspensión; Abertura de malla; ... Factor Suspensión Abertura de malla temperatura

Tipo fijo fijo fijo

Niveles 3 2 2

Valores A1; A2; A3 B1; B2 C1; C2

Análisis de varianza para Respuesta, utilizando SC ajustada para pruebas Fuente Suspensión Abertura de malla temperatura Suspensión*Abertura de malla Suspensión*temperatura Abertura de malla*temperatura Suspensión*Abertura de malla* temperatura Error Total

S = 3,74537

GL 2 1 1 2 2 1 2

SC sec. 13,86 480,50 6086,72 788,25 40,86 56,89 31,03

SC ajust. 13,86 480,50 6086,72 788,25 40,86 56,89 31,03

MC ajust. 6,93 480,50 6086,72 394,13 20,43 56,89 15,51

60 71

841,67 8339,78

841,67

14,03

R-cuad. = 89,91%

F 0,49 34,25 433,90 28,10 1,46 4,06 1,11

R-cuad.(ajustado) = 88,06%

Observaciones inusuales de Respuesta Obs 23 36 52

Respuesta 60,0000 76,0000 86,0000

Ajuste 72,6667 66,8333 72,6667

Ajuste SE 1,5290 1,5290 1,5290

Residuo -12,6667 9,1667 13,3333

Residuo estándar -3,70 R 2,68 R 3,90 R

R denota una observación con un residuo estandarizado grande.

P 0,613 0,000 0,000 0,000 0,241 0,049 0,338

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CAPÍTULO 4

Diseños factoriales

Diseños factoriales con tres factores

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Dado que utilizamos un = 0.05 y puesto que el valor de , con su nivel de significancia como con sus grados de libertad en tablas respectivamente tenemos y . ; Se acepta ; Se rechaza ; Se rechaza , Se rechaza ; Se acepta , Se rechaza

Ejercicios 1.- Se investigan el porcentaje de la concentración de madera dura en la pulpa cruda, la libertad de orientación de la fibra o lof, y el tiempo de cocción de la pulpa en cuanto a sus efectos sobre la resistencia del papel. En la siguiente tabla se muestran los datos de un experimento factorial con tres factores. Porcentaje de la Concentración de Madera dura 10 15 20

1.5 horas de tiempo de cocción lof 350 500 650 96.6 97.9 99.4 96.0 96.0 99.8 98.5 96.0 98.4 97.2 96.9 97.6 97.5 95.6 97.4 96.6 96.2 98.1

2.0 horas de tiempo de cocción lof 350 500 650 98.4 99.6 1000.6 98.6 100.4 100.9 97.5 98.7 99.0 98.1 96.0 99.0 97.6 97.0 98.5 98.4 97.8 99.8

a) Analice los datos usando el análisis de varianza bajo el supuesto de que todos los factores son fijos. Use b) Encuentre los valores de P de los cocientes F del inciso a 2.- El departamento de control de calidad de una planta de acabados textiles estudia los efectos de varios factores sobre el teñido de una tela combinada de algodón y fibra sintética que se usa para hacer camisas. Se seleccionan tres operadores, tres duraciones del ciclo y dos temperaturas, y tres ejemplares de prueba pequeños de tela se tiñeron bajo cada conjunto de condiciones. La tela terminada se comparó con un patrón y se asigno una puntuación numérica. Los resultados se presentan en la tabla siguiente

Duración del ciclo 40

50

60

Temperatura 300 350 Operador Operador 1 2 3 1 2 23 27 31 24 38 34 24 28 32 23 36 36 25 26 28 28 35 39 36 34 33 37 34 34 35 38 34 39 38 36 36 39 35 35 36 31 28 35 26 26 36 28 24 35 27 29 37 26 27 34 25 25 34 34

3

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CAPÍTULO 4

Diseños factoriales

Diseños factoriales con tres factores

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a) Enuncie y pruebe las hipótesis apropiadas usando el análisis de varianza con

3.- Un ingeniero mecánico estudia la rugosidad superficial de una pieza producida en una operación de corte de metal. Son de interés tres factores: la rapidez de alimentación (A), la profundidad del corte (B) y el ángulo de la herramienta (C). A los tres factores se les ha asignado dos niveles, y se corren dos réplicas de un diseño factorial

Rapidez de alimentación 30 pulg/min 30 pulg/min

Profundidad del corte 0.025 pulgada 0.04 pulgada Ángulo de la herramienta 15 25 15 25 9 11 9 10 7 10 11 8 10 10 12 16 12 13 15 14

a) Analice los datos usando el análisis de varianza bajo el supuesto de que todos los factores son fijos. Use b) Encuentre los valores de P de los cocientes F del inciso a

4.3. Diseño factorial general Lo que se ha dicho para los dos diseños factoriales con 2 y 3 factores puede extenderse fácilmente para cuando se tienen más factores. Considerarse factores A, B, C,…, K con niveles respectivamente, donde la letra K denota al -ésimo o último factor del conjunto a estudiar, no necesariamente el undécimo, que es el lugar de esta letra en el alfabeto. Con estos niveles y factores se puede construir el diseño factorial general que consiste de tratamientos o puntos de prueba. Con este diseño se pueden estudiar efectos principales, interacciones dobles, interacciones triples, y así sucesivamente hasta la única interacción de los factores (ABC…K). El cálculo del número de interacciones de cierta cantidad de factores se hace mediante la operación ¨combinaciones de en ¨ factores de los , donde

que cuenta el número de diferentes maneras de seleccionar =

Por ejemplo, el diseño factorial tiene cinco efectos principales, 10 interacciones dobles, 10 interacciones triples, cinco interacciones cuádruples y una interacción quíntuple, lo cual da un total de 31 efectos. Por su parte, el factorial también tiene este mismo número de efectos, pero al contar con tres niveles en cada factor, cada efecto principal se puede descomponer en su parte lineal y cuadrática. Cabe destacar que mientras el diseño factorial tiene 32 tratamientos, el factorial tiene 243, una cantidad de tratamientos difícil de manejar. Aun si pudiera correrse, representa una opción muy ineficaz; además, existen arreglos experimentales más pequeños y eficientes.

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CAPÍTULO 4

Diseños factoriales

Diseño factorial general

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De acuerdo con lo antes dicho, en el factorial general se pueden plantear hipótesis que se prueban mediante el análisis de varianza. Si se tienen réplicas. Las primeras tres columnas de este ANOVA se muestran en la siguiente tabla ANOVA para el diseño factorial general FV

SC

GL

Error Total

La suma de cuadrados totales está dada por:

donde N = es el total de observaciones en el experimento. Las sumas de cuadrados de efectos son:

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CAPÍTULO 4

Diseños factoriales

Diseño factorial general

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Al final, la suma de cuadrados del error se calcula por sustracción,

En el ANOVA para el factorial general se observa la necesidad de contar con al menos dos réplicas del experimento para calcular la suma de cuadrados del error ( ), y completar toda la tabla ANOVA. Sin embargo, esta necesidad de réplicas ( , que se ha mencionado,. Es para el caso irreal de que interesan los efectos. Pero resulta que, con excepción del factorial , en un factorial completo prácticamente nunca interesan todos sus posibles efectos, puesto que en términos generales sólo algunos de ellos están activos. El principio de Pareto, que en este contexto también se llama principio de esparcidad de efectos, dice que la mayoría de la variabilidad observada se debe a unos pocos de los efectos posibles; por lo común se debe a algunos efectos principales e interacciones dobles.

4.4. Modelos de efectos aleatorios Hasta aquí los modelos de efectos que se han utilizado son modelos de efectos o factores fijos, lo cual significa que todos los niveles de prueba en cada factor son todos los disponibles para ese factor, o bien, se estudian todos los niveles de interés en ese factor; es en este sentido que los niveles están fijos. Éste es el caso, por ejemplo, cuando en el factor operador se toman los tres únicos operadores como los niveles de prueba, o cuando los niveles del factor máquinas son las cuatro máquinas existentes. O bien, cuando se comparan tres tipos de material porque son los que interesa comprar aunque existan otros materiales de ese tipo. Con factores fijos, las conclusiones obtenida s sólo son validas para los niveles de prueba que se estudian en el experimento. En ocasiones, los niveles de prueba son una muestra aleatoria de la población de niveles posibles. En este caso es más apropiado utilizar un modelo de efectos o factores aleatorios. Un ejemplo de esta situación es cuando se prueban cinco instrumentos de medición, pero la población de los mismos es de 100 instrumentos; obviamente, no es posible experimentar con todos los equipos. Entonces se experimenta sólo con cinco de ellos elegidos al azar, y las conclusiones obtenidas se infieren como válidas para la población entera de instrumentos. La aplicación de un modelo de efectos aleatorios conlleva la necesidad de considerar la incertidumbre asociada con la elección aleatoria de los niveles de prueba. Es decir, ya no tiene sentido, para un factor A, preocuparse por el efecto del nivel

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CAPÍTULO 4

Diseños factoriales

Modelo de efectos aleatorios

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como en efectos fijos. Lo que ahora (con efectos aleatorios) tiene sentido es hablar de la varianza con la que el factor aleatorio contribuye a la variación total; es decir, es preciso estimar dicha varianza y probar si su contribución a la variabilidad total es significativa.

El caso de dos factores aleatorios. Si se consideran dos factores aleatorios A y B, de los cuales se prueban niveles elegidos de una población grande de niveles, entonces si los tratamientos se replican veces, el modelo de efectos aleatorios es

donde es la media general, es el efecto debido al nivel del factor A, es el efecto del nivel del factor B, representa al efecto de interacción en la combinación y es el error aleatorio que se supone sigue una distribución normal con media cero y varianza constante, y son independientes entre sí. El aspecto de este modelo es igual al de efectos fijos, pero el hecho de que los efectos sean aleatorios implica que no tiene sentido probar hipótesis directamente sobre tales efectos (medidas), sino que ahora el interés se enfoca en estudiar la varianza de dichos efectos. Para ello, se supone que los términos son variables aleatorias independientes normales, con media cero y varianzas , , , y , respectivamente. De esta manera, si se calcula la varianza en ambos lados del modelo anterior, se obtiene el modelo de componentes de varianza dado por: +

+

+

donde , , son las contribuciones de cada efecto a la variación total y se llaman componentes de varianza; es el componente de varianza debido al error aleatorio. Las hipótesis de interés son

Los cálculos necesarios para probar estas hipótesis involucran las mismas sumas de cuadrados del modelo de efectos fijos (diseños factoriales con dos factores), de las cuales se obtienen los correspondientes cuadrados medios. Para obtener los estadísticos de prueba apropiados debe tomarse en cuenta que los valores esperados de los cuadrados medios son

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CAPÍTULO 4

Diseños factoriales

Modelo de efectos aleatorios

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de tal forma que para probar la hipótesis mencionadas, los estadísticos de prueba apropiados en el ANOVA son

respectivamente. Observe que en el modelo de efectos aleatorios los cuadrados medios de los efectos principales se comparan con el cuadrado medio de la interacción, y no con el cuadrado medio del error, como se hace en el modelo de efectos fijos. En caso de rechazar alguna de las hipótesis sobre las varianzas, se concluye que el efecto correspondiente contribuye de manera significativa a la variación de la respuesta. La conclusión práctica no consiste en determinar el mejor tratamiento, sino que generalmente se traduce en tomar medidas para que la contribución del componente de varianza se reduzca. Al resolver las ecuaciones dadas por los valores esperados de cuadrados medios para los componentes de varianza, se obtienen estimadores de éstos en función de los cuadrados medios del error, esto es,

Ejemplo En una compañía dedicada a la fabricación de bombas y válvulas, algunos componentes críticos tienen tolerancias muy estrechas que son difíciles de cumplir. De aquí que sea necesario estimar el error de medición con el fin de ver la posibilidad de reducirlo para cumplir con las especificaciones. El ancho de una pieza particular es una característica de calidad crítica, cuyas especificaciones son 69 0,4mm. Se eligen dos inspectores al azar y siete piezas para correr un experimento, a fin de estimar la contribución de los inspectores, de las piezas y del error aleatorio (repetibilidad) en la variabilidad total observada. El experimento utilizado se muestra en la siguiente tabla:

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CAPÍTULO 4

Diseños factoriales

Número de piezas 1 2 3 4 5 6 7

Modelo de efectos aleatorios

Inspector Z 1 2 69,38 69,60 39,72 69,80 69,58 69,70 69,50 69,50 69,48 69,40 69,56 69,40 69,90 70,02

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Inspector W 1 2 69,62 69,52 69,78 69,90 69,70 69,92 69,46 69,50 69,50 69,42 69,68 69,64 69,94 69,88

Nótese que cada inspector mide dos veces cada pieza. Sean los inspectores el factor A y las piezas el factor B, el primero con dos niveles y el segundo con siete niveles, en ambos casos seleccionados al azar. El modelo de componentes de varianza propuesto para describir estos datos es donde es el componente de varianza de los inspectores, es el componente debido a las piezas, es el componente de interacción de ambos factores y es el componente aleatorio. Interesa probar las hipótesis:

y estimar los componentes de varianza. El ANOVA para probar estas hipótesis se muestran en la siguiente tabla. FV A: Insp. B: Pieza AB Error Total

SC 0,00036 0,7516 0,0313 0,097 0,8803

GL 1 6 6 14 27

CM Valor-p 0,00036 0,069 0,8043 0,1252 24,07 0,0000 0,0052 0,75 0,6169 0,0069

Las tres primeras columnas se obtienen igual que el modelo de efectos fijos, pero las dos últimas deben corregirse de acuerdo con el estadístico de prueba apropiado para un modelo de efectos aleatorios ( y ). Los valor-p indican que la variabilidad de las piezas es estadísticamente diferente a cero, mientras que la variabilidad de los inspectores y de la interacción inspector x pieza no es significativa (es igual a cero). Desde el punto de vista del objetivo del experimento, los resultados del ANOVA son los deseados: la reproducibilidad ( + ) es estadísticamente igual a cero, es decir, los inspectores no afectan el proceso de medición. La estimación de los componentes de varianza, a partir de los cuadros medios, queda como:

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CAPÍTULO 4

Diseños factoriales

Modelo de efectos aleatorios

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De aquí se concluye que la reproducibilidad ( + ) no tiene contribución y la repetibilidad expresada como 5.15 es igual a 0,428. Si este valor se compara con la tolerancia de 0.8, se encuentra que ocupa 53% de ésta, cuando lo deseable es que este porcentaje sea menor al 10%, por lo que el instrumento es inadecuado para discriminar entre piezas buenas y malas.

4.5. Uso de un software estadístico Utilizando Minitab 1. El primer paso consisten en seleccionar la opción Estadísticas del Menú Principal de Minitab y, dentro de esa opción, seleccionar la opción DOE luego Factorial y Crear diseño factorial como se presenta en la siguiente Figura.

2. Como consecuencia de la acción anterior le debe aparecer la siguiente pantalla . El paso en esta pantalla será seleccionar en Tipo de diseño la casilla de Diseño factorial completo general luego escoger el número de factores considerados en el experimento (en nuestro ejemplo son dos factores: A y B), por tanto en la casilla usted deberá tener el número 2. Luego

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CAPÍTULO 4

Diseños factoriales

Uso de software

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debe oprimir el botón de la opción para poder escoger su diseño, número de repeticiones y otras opciones. 3. En la siguiente ventana escribir el nombre de nuestros factores A y B, además de indicar el numero de niveles para ambos (4 y 3 respectivamente), también indicará que realizamos tres repeticiones por tratamiento, para esto en la casilla , usted deberá tener el valor de 3. Finalice esta pantalla oprimiendo . Esto lo devolverá a la pantalla anterior .

4. De vuelta en la pantalla . Seleccionar factores y aparecerá una siguiente ventana.

En la casilla seleccionar texto para ambos factores, , indicar los valores correspondientes tanto para el factor A así como para el factor B, luego indicar aceptar, lo que lo llevara nuevamente a la pantalla . 5. De vuelta a la pantalla oprima . MINITAB le creará la siguiente pantalla. Minitab crea las columnas de los tratamientos, lo único que usted tiene que ingresar a MINITAB es una columna con la respuesta del experimento. Proceda entonces a ingresar los datos en la columna C7

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Diseños factoriales

Uso de software

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6. Una vez capturados los datos (estos datos deberán corresponder al factor A con respecto a factor B de acuerdo a la tabla original) en su correspondiente renglón. El siguiente paso es regresar al paso 1.

sólo que esta vez seleccionaría la secuencia: seguida de , y .

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CAPÍTULO 4

Diseños factoriales

Uso de software

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Esta acción resultará en la pantalla donde sólo es necesario indicar la columna de la variable de respuesta seguido de aceptar y MINITAB le ofrecerá el resultado correspondiente.

Para capturar los datos en Minitab, de tres factores, es idéntico al de dos factores, solo que en la ventana correspondiente indicar que se trata de tres factores, y se aplica la misma secuencia.

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CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Series de tiempo

CAPÍTULO 5 Series de tiempo

5.1. Modelo clásico de series de tiempo 5.2. Análisis de fluctuaciones 5.3. Análisis de tendencia 5.4. Análisis de variaciones cíclicas 5.5. Medición de variaciones estacionales e irregulares 5.6. Aplicación de ajustes estacionales 5.7. Pronósticos basados en factores de tendencia y estacionales.

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CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Series de tiempo

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Series de tiempo Toda institución, ya sea la familia, la empresa o el gobierno, tienen que hacer planes para el futuro si ha de sobrevivir y progresar. Hoy en día diversas instituciones requieren conocer el comportamiento futuro de ciertos fenómenos con el fin de planificar, prever o prevenir. Debido a que las condiciones económicas y comerciales varían en el tiempo, los líderes de los negocios deben encontrar formas de mantenerse al día respecto a los efectos que esos cambios tendrán en sus operaciones. Una técnica que pueden usar los líderes de negocios como ayuda en la planeación de las necesidades operativas en lo futuro es el pronóstico. Aunque se han desarrollado numerosos métodos para pronosticar, todos tienen un objetivo común, predecir los eventos futuros de manera que las proyecciones se puedan incorporar en el proceso de toma de decisiones. Suponga que necesitamos hacer pronósticos trimestrales para el volumen de ventas de determinado producto durante el próximo año. Los programas de producción, las compras de materias primas, las políticas de inventarios y las cuotas de venta serán afectados, todos, por esos pronósticos. Entonces, los malos pronósticos darán como resultado una mala planeación y, en consecuencia, aumentarán los costos de la empresa. ¿Cómo se hace para elaborar los pronósticos trimestrales del volumen de ventas? Desde luego que se deben considerar los datos reales de ventas del producto en periodos pasados. Con tales datos históricos podemos identificar el nivel general de ventas y cualquier tendencia, como aumento o disminución en el volumen a través del tiempo. Por ejemplo, un examen más detallado de los datos puede revelar un comportamiento estacional, como el de los picos que se presentan en el tercer trimestre de cada año y los mínimos durante el primer trimestre. Al repasar los datos históricos se puede, con frecuencia, adquirir una mejor comprensión de la tendencia de las ventas en el pasado para poder pronosticar las ventas del producto en el futuro de una mejor manera. Las ventas históricas forman una serie de tiempo que es un conjunto de observaciones de una variable medida en puntos o periodos sucesivos en el tiempo. En esencia, existen dos enfoques de pronósticos: cualitativo y cuantitativo. Los métodos de pronóstico cualitativos son importantes en especial cuando no se dispone de datos históricos, como sería el caso de un departamento de finanzas que desea pronosticar los ingresos de una compañía nueva. Los métodos de pronóstico cualitativos se consideran altamente subjetivos o basados en la opinión. Incluyen el método de elaboración de escenarios, la opinión de expertos y la técnica Delphi. Método Delphi. El método délfico, desarrollado en principio por un grupo de investigación de la Rand Corporation. Trata de determinar pronósticos mediante ¨consenso de grupo¨. En forma normal, a los miembros de un equipo de expertos, todos ellos separados físicamente y desconocidos entre sí, se les pide contestar una serie de cuestionarios. Se tabulan las respuestas del primer cuestionario y éstas se usan para preparar un segundo cuestionario que contiene la información y las opiniones de todo el grupo. A continuación se pide a cada encuestado reconsiderar y, posiblemente, corregir sus respuestas anteriores a la vista de la información obtenida con el grupo.

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CAPÍTULO 5 Series de tiempo

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Este proceso continua hasta que el coordinador siente que ha alcanzado cierto nivel de consenso. El objetivo del método délfico no es llegar al resultado de una sola respuesta, sino producir un conjunto compacto de opiniones dentro del cual esté la mayoría de los expertos. Opinión de expertos. Con frecuencia, los pronósticos se basan en el juicio de un solo experto, o representan el consenso de un grupo de expertos. Por ejemplo, cada año se reúne un grupo de expertos en Merrill Lynch con el fin de pronosticar el nivel del promedio industrial Dow Jones y la tasa prima para el siguiente año. Al hacerlo, los expertos se basan, de manera individual en información que cree que influye en el mercado accionario y las tasas de interés, a continuación combinan sus conclusiones en forma de un pronóstico. No se usa modelo formal alguno, y es improbable que dos expertos cualesquiera visualicen de la misma forma la misma observación. La opinión de expertos es un método de pronóstico que se recomienda normalmente cuando es probable que las condiciones en el pasado no rijan en el futuro. Aunque no se usa modelo cuantitativo formal, el juicio experto ha producido buenos pronósticos en muchos casos. Elaboración de escenarios. Este método consiste en desarrollar un escenario conceptual del futuro, basado en un conjunto bien definido de supuestos. Los distintos conjuntos de supuestos producen diferentes escenarios. La tarea de quien toma decisiones es decidir lo probable que es cada escenario y, a continuación, tomar las decisiones pertinentes. Por otro lado, los métodos de pronóstico cuantitativo utilizan los datos históricos. La meta es estudiar lo que ocurrió en el pasado para entender mejor la estructura fundamental de los datos y proporcionar los medios necesarios para predecir los sucesos futuros. Los métodos de pronóstico cuantitativos se dividen en dos tipos: series de tiempo y causales. Los métodos de pronóstico de series de tiempo implican la proyección de los valores futuros de una variable basada por completo en las observaciones pasadas y presentes de esa variable. Series de tiempo. Una serie de tiempo es un conjunto de valores numéricos obtenidos en periodos iguales en el tiempo

Los métodos de pronóstico causales comprenden la determinación de factores relacionados con la variable que se predice, e incluyen análisis con variables retrasadas, modelado econométrico, análisis de indicador líder, índice de difusión y otros medidores económicos más allá del alcance de este libro. La figura 5.1 representa una perspectiva de los métodos de pronóstico.

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CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Series de tiempo

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Figura 5.1 Clasificación de los métodos de pronósticos

Método de pronostico Cuantitativo s

Causales

Cualitativos

Serie temporal

Suavizamiento

Proyección de tendencia Proyección de tendencia ajustada por influencia estacional

5.1. Modelo clásico de series de tiempo La suposición fundamental del análisis de series de tiempo es que los factores que han influido en los patrones de actividad en el pasado y el presente tendrán más o menos la misma influencia en lo futuro. Entonces la meta principal del análisis de series de tiempo es: identificar y aislar estos factores de influencia con el fin de realizar predicciones (pronosticar), así como fines administrativos de planeación y control. Para conseguir estas metas, se han desarrollado muchos modelos matemáticos que exploran las fluctuaciones entre los factores que componen una serie de tiempo. Tal vez el más esencial sea el modelo multiplicativo clásico para datos registrados cada año, trimestre o mes. En principio, el modelo multiplicativo clásico se usará para pronosticar. Otras aplicaciones incluyen un análisis detallado de los componentes particulares mediante la descomposición de las series de tiempo. Por ejemplo, con frecuencia los economistas estudian una serie de tiempo anual, trimestral o mensual para filtrar el componente cíclico y evaluar su movimiento respecto a la actividad económica general. No obstante, las aplicaciones de la descomposición de una serie de tiempo están fuera de los objetivos de este libro. Para exponer el modelo multiplicativo clásico de series de tiempo, en la figura 5.2 se presentan los ingresos brutos reales de Eastman Kodak Company de 1975 a 1998. Si se intenta observar las características de esta serie de tiempo, es evidente que los ingresos reales muestran una propensión a aumentar en este periodo de 24 años. Esta inclinación global a largo plazo o impresión de un movimiento hacia arriba o hacia abajo se conoce como tendencia

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CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Series de tiempo

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Figura 5.2 Gráfica de ingresos netos reales (en miles de millones de dólares) de Eastman Kodak Company (1975-1998)

Sin embargo, la tendencia no es el único factor componente que influye en estos datos en particular o en otra serie de tiempo anual. Otros dos factores, el componente cíclico y el componente irregular, están presentes en los datos. El componente cíclico describe la oscilación o movimiento hacia arriba o hacia abajo en una serie de tiempo. Los movimientos cíclicos varían en longitud, en general, duran de 2 a 10 años; difieren en intensidad o amplitud, y a menudo se relacionan con los ciclos de los negocios. En algunos años los valores serán más altos que los pronosticados por una sencilla recta de tendencia lineal (es decir, se encuentran en o cerca de un pico) de un ciclo); en otros años los valores serán menores que el pronóstico de una recta de tendencia (esto es, están en o cerca del fondo o depresión de un ciclo). Cualquier dato observado que no siga la tendencia curva modificada por el componente cíclico es un indicio del componente aleatorio o irregular. Cuando los datos se registran por mes o trimestre, se considera un componente adicional llamado factor estacional junto con los componentes de tendencia, cíclico e irregular. Los tres o cuatro componentes que influyen en una serie de tiempo económica o de negocios se resumen en la tabla 5.1. El modelo multiplicativo clásico de series de tiempo establece que todo valor observado en una serie de tiempo es el producto de estos factores de influencia; es decir, cuando los datos se obtienen cada año, una observación registrada en el año se puede expresar por la ecuación (5.1) Modelo multiplicativo clásico de series de tiempo para datos anuales (5.1) donde, en el año i = valor del componente de tendencia = valor del componente cíclico = valor del componente irregular

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Modelo clásico

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Cuando los datos se obtienen por trimestre o por mes, una observación registrada en el periodo puede estar dada por la ecuación (5.2) Modelo multiplicativo clásico de series de tiempo para datos con Componente estacional (5.2) donde = valores respectivos del componente de tendencia, cíclico e irregular en el periodo = valor del componente estacional en el periodo

Tabla 5.1 Factores que influyen en datos de series de tiempo. Componentes

Tendencias

Clasificación del componente Sistemático

Estacional

Sistemático

Cíclico

Sistemático

Irregular

No sistemático

Definición

Razón de la influencia

Duración

Patrón de movimiento global o persistente, a largo plazo hacia arriba o hacia abajo. Fluctuación más o menos regular que ocurre en cada periodo de 12 meses cada año. Oscilación o movimiento repetitivo arriba o abajo en cuatro 4 etapas; pico(prosperidad), contracción (recesión), fondo (depresión) y expansión (recuperación) Fluctuación errática o residual en una serie que está presente después de tomar en cuenta los efectos sistemáticos (de tendencia, estacional y cíclica)

Cambios en tecnología, población, riqueza, Valores.

Varios años

Condiciones de clima, costumbres sociales y religiosas.

Dentro de 12 meses (o datos menstruales o trimestrales). De 2 a 10 años con diferente intensidad en el ciclo completo

Interacción de numerosas combinaciones de factores que influyen en la economía

Variaciones aleatorias en los datos o debidas a eventos no previstos como huelgas, huracanes, inundaciones, asesinatos políticos, tec.

Corta duración y sin repetición.

5.2. Análisis de fluctuaciones El primer paso en un análisis de series de tiempo, consiste en graficar los datos y observar sus tendencias en el tiempo. Primero debe determinarse si parece haber un movimiento hacia arriba o hacia abajo a largo plazo en la serie (una tendencia) o si la serie parece oscilar alrededor de una recta horizontal en el tiempo. En este caso (es decir, no hay tendencia positiva o negativa a largo plazo), puede emplearse el método de promedios móviles o el de suavización exponencial para “emparejar” la serie y

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CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Modelo clásico

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proporcionar un panorama global a largo plazo. Por otro lado, si de hecho existe una tendencia, se pueden aplicar varios métodos de pronóstico de series de tiempo al manejar datos anuales, y otro método para los datos de series de tiempo mensual o trimestral. El patrón o comportamiento de los datos en una serie de tiempo tiene diversos componentes. El supuesto usual es que se combinan cuatro componentes separados: la tendencia, el cíclico, el estacional y el irregular para definir valores específicos de la serie de tiempo. Examinaremos cada uno de estos componentes. El gráfico de la serie permitirá: a) Detectar Outlier: se refiere a puntos de la serie que se escapan de lo normal. Un outliers es una observación de la serie que corresponde a un comportamiento anormal del fenómeno (sin incidencias futuras) o a un error de medición. Se debe determinar desde fuera si un punto dado es outlier o no. Si se concluye que lo es, se debe omitir o reemplazar por otro valor antes de analizar la serie. Por ejemplo, en un estudio de la producción diaria en una fábrica se presentó la siguiente situación ver figura 5.3: Figura 5.3 Producción diaria

Los dos puntos enmarcados en una flecha parecen corresponder a un comportamiento anormal de la serie. Al investigar estos dos puntos se vio que correspondían a dos días de paro, lo que naturalmente afectó la producción en esos días. El problema fue solucionado eliminando las observaciones e interpolando. b) Permite detectar tendencia: la tendencia representa el comportamiento predominante de la serie. Esta puede ser definida vagamente como el cambio de la media a lo largo de un periodo.

c) Variación estacional: la variación estacional representa un movimiento periódico de la serie de tiempo. La duración de la unidad del periodo es generalmente menor que un

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CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Análisis de fluctuaciones

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año. Puede ser un trimestre, un mes o un día, etc. Matemáticamente, podemos decir que la serie representa variación estacional si existe un número s tal que x(t) = x(t + ks). Las principales fuerzas que causan una variación estacional son las condiciones del tiempo, como por ejemplo: 1) en invierno las ventas de helado 2) en verano la venta de lana 3) exportación de fruta en marzo. Todos estos fenómenos presentan un comportamiento estacional (anual, semanal, etc.) d) Variaciones irregulares (componente aleatoria): los movimientos irregulares (al azar) representan todos los tipos de movimientos de una serie de tiempo que no sea tendencia, variaciones estacionales y fluctuaciones cíclicas. Un modelo clásico para una serie de tiempo, supone que una serie x(1), ..., x(n) puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia, estacionalidad y un término de error aleatorio. Existen tres modelos de series de tiempos, que generalmente se aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, entre los componentes de los datos observados. Estos son: 1. Aditivo: X(t) = T(t) + E(t) + A(t) 2. Multiplicativo: X(t) = T(t) · E(t) · A(t) 3. Mixto: X(t) = T(t) · E(t) + A(t) donde: X(t) serie observada en instante t T(t) componente de tendencia E(t) componente estacional A(t) componente aleatoria (accidental) Una suposición usual es que A(t) sea una componente aleatoria o ruido blanco con media cero y varianza constante. Un modelo aditivo (1), es adecuado, por ejemplo, cuando E(t) no depende de otras componentes, como T(t), sí por el contrario la estacionalidad varía con la tendencia, el modelo más adecuado es un modelo multiplicativo (2). Es claro que el modelo 2 puede ser transformado en aditivo, tomando logaritmos. El problema que se presenta, es modelar adecuadamente las componentes de la serie.

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Análisis de fluctuaciones

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5.3. Análisis de tendencia En el análisis de serie de tiempo, las mediciones pueden efectuarse cada hora, día, semana, mes o año o en cualquier otro intervalo regular periódico. Aunque los datos de serie de tiempo presentan, por lo general, fluctuaciones aleatorias, esta serie puede mostrar también desplazamientos o movimientos graduales hacia valores relativamente mayores o menores a lo largo de un lapso importante de tiempo. El desplazamiento gradual de la serie de tiempo se llama tendencia de esa serie; este desplazamiento o tendencia es, por lo común, el resultado de factores a largo plazo, como cambios en la población, características demográficas de la misma, la tecnología y/o las preferencias del consumidor. Por ejemplo, un fabricante de bicicletas podría detectar cierta variabilidad, de año a año, en la cantidad de bicicletas vendidas. Sin embargo, al revisar las ventas durante los últimos 10 años, puede encontrar que hay un aumento gradual en el volumen anual de ventas. Suponga que sus ventas fueron: Año Ventas (miles)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21,6 22,9 25,5 21,9 23,9 27,5 31,5 29,7 28,6 31,4

Este crecimiento anual de las ventas a través del tiempo muestra una tendencia creciente de la serie de tiempo. La figura 5.4 presenta una recta que puede ser una buena aproximación a la tendencia de las ventas de bicicletas. Aunque esa tendencia parece ser lineal y aumentar con el tiempo a veces, en una serie de tiempo, la tendencia se puede describir mejor mediante otros patrones. Figura 5.4 Tendencia lineal de las ventas de bicicletas 35

Venta (miles)

30 25 20 15 10 5 0 0

2

4

6

8

10

12

Año

Si al graficar nuestros datos observamos de manera clara la tendencia lineal a largo plazo (no importando si es positiva o negativa), entonces estaremos en la posición de pronosticar con un buen nivel de confianza, con alguno de los métodos que se indicaran más adelante. La figura 5.5 muestra otros patrones posibles de tendencia. La sección A representa una tendencia no lineal; en este caso, la serie de tiempo crece poco al principio; luego tiene un crecimiento rápido y, finalmente, se nivela.

147

CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Análisis de tendencia

147 147 147

Esa tendencia podría ser una buena aproximación de las ventas de un producto, desde su introducción, pasando por un periodo de crecimiento y llegando a una etapa de saturación del mercado. La tendencia lineal decreciente en la sección B se aplica a una serie de tiempo que tenga una disminución continua a través del tiempo. La recta horizontal de la sección C representa una serie de tiempo que no tiene aumento o disminución consistentes a través del tiempo y que, en consecuencia, no tiene tendencia. Figura 5.5 Ejemplos de algunos posibles patrones de tendencia en series de tiempo

A

B

C

5.4. Análisis de variaciones cíclicas Aunque una serie de tiempo puede presentar una tendencia a través de periodos grandes, sus valores no caerán con exactitud sobre la línea de tendencia. De hecho, con frecuencia estas series temporales presentan secuencias alternas de puntos abajo y arriba de la línea de tendencia. Toda secuencia recurrente de puntos arriba y debajo de la línea de tendencia, que dura más de un año, se puede atribuir a un componente cíclico de la serie. La figura 5.6 es la gráfica de una serie de tiempo con un componente cíclico obvio. Las observaciones se hicieron con intervalos de un año. Figura 5.6 Componente de tendencia y cíclico de una serie de tiempo con datos anuales

V

Los ciclos aparecen como series de Observaciones sobre y debajo de la línea de tendencia

o l u m e n Línea de tendencia Tiempo

Muchas series se tiempo presentan comportamiento cíclico con tramos regulares de observaciones abajo y arriba de la línea de tendencia. En general, este comportamiento de la serie se debe a movimientos cíclicos de la economía a través de varios años. Por ejemplo, los periodos de inflación moderada seguidos de periodos de

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CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Análisis de tendencia

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inflación rápida pueden determinar series de tiempo que se alternan abajo y arriba de una línea de tendencia ascendente en general (como la serie de tiempo de los costos de vivienda). Diversas series de tiempo de principios de la década de los ochenta presentaron este comportamiento

5.5. Medición de variaciones estacionales e irregulares Mientras que la tendencia y los componentes cíclicos de una serie de tiempo se identifican analizando los movimientos de datos históricos a través de varios años, hay muchas series de tiempo que muestran un patrón regular dentro de un periodo de un año. Por ejemplo, un fabricante de albercas inflables espera poca actividad de ventas durante los meses de otoño e invierno, y ventas máximas en los de primavera y verano. Los fabricantes de equipo para la nieve y de ropa de abrigo esperan un comportamiento anual opuesto al del fabricante de albercas. No es de sorprender que el componente de la serie de tiempo que representa la variabilidad en los datos, debida a influencias de las estaciones, se llama componente estacional. Aunque uno suele imaginarse que un movimiento estacional de una serie de tiempo sucede dentro de un año, también se puede usar para representar cualquier patrón regularmente repetitivo cuya duración sea menor de un año. Por ejemplo, los datos diarios de intensidad de tráfico muestran un comportamiento “estacional” dentro del mismo día, así se tiene que el flujo máximo se presenta durante las horas de aglomeración, el moderado durante el resto del día y al caer la noche, y el mínimo a partir de la medianoche hasta temprano por la mañana. El componente irregular de la serie de tiempo es el factor residual, “mil usos”, que explica las desviaciones de la serie de tiempo real respecto a los factores determinados por los efectos de la tendencia y los componentes cíclicos y estacionales. Se debe a factores a corto plazo, imprevisibles y no recurrentes que afecta a la serie de tiempo. Como este componente explica la variabilidad aleatoria de la serie, es impredecible; de esta manera, no se puede esperar predecir su impacto sobre la serie de tiempo

5.6. Aplicación de ajustes estacionales Una aplicación frecuente de índices estacionales es la de ajustar datos de serie de tiempo observados para eliminar la influencia del componente estacional en ellos; se llaman datos con ajuste estacional. Los ajustes estacionales son particularmente pertinentes cuando se desea comparar datos de diferentes meses para determinar si ha tenido lugar un incremento (o decremento) en relación con las expectativas estacionales. Los valores de serie de tiempo mensuales (o trimestrales) observados se ajustan respecto de la influencia estacional dividiendo cada valor entre el índice mensual (o trimestral) de ese mes. El resultado se multiplica luego por 100 para mantener la posición decimal de los datos originales. La serie que resultante se llama ventas desestacionalizadas o ventas ajustadas estacionalmente.

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CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Suavización

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La razón para desestacionalizar las series de ventas es similar las fluctuaciones estaciónales a fin de estudiar la tendencia y el ciclo. Para ilustrar el procedimiento, los totales trimestrales de ventas de la empresa Tabla 5.2 Ajuste para datos trimestrales Año

Trimestre

Ventas

1996

Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño Invierno Primavera Verano Otoño

6,7 4,6 10,0 12,7 6,5 4,6 9,8 13,6 6,9 5,0 10,4 14.1 7,0 5,5 10,8 15,0 7,1 5,7 11,1 14,5 8,0 6,2 11,4 14,9

1997

1998

1999

2000

2001

Índice estacional 0,765 0,575 1,141 1,519 0,765 0,575 1,141 1,519 0,765 0,575 1,141 1,519 0,765 0,575 1,141 1,519 0,765 0,575 1,141 1,519 0,765 0,575 1,141 1,519

Ventas desestacionalizadas 8,76 8,00 8,76 8,36 8,50 8,00 8,59 8,95 9,02 8,70 9,11 9,28 9,15 9,57 9,46 9,88 9,28 9,92 9,72 9,55 10,46 10,79 9,99 9,81

A fin de eliminar el efecto de la variación estacional, la cantidad estacional, la cantidad de ventas para cada trimestre (que contiene efectos de tendencia, cíclicos, irregulares y estaciónales) se divide entre el índice estacional de ese trimestre; esto es, TSCI/S. Por ejemplo, las ventas reales para el primer trimestre de 1996 fueron 6.7 millones de dólares, el índice estacional par el trimestre de invierno es 76.5 el índice 76.5 indica que las ventas en el primer trimestre normalmente se encuentran 23.5% abajo del promedio de un trimestre normal. Dividiendo las ventas reales $6.7 millones entre 76.5 y multiplicando el resultado por 100 se encuentra el valor de las ventas desestacionalizadas del primer trimestre de 1996. El valor es $8758170 que se obtuvo de ($6700000/76.5)100. Este proceso se repite con los demás trimestres en la columna 3 de la tabla 5.2 y los resultados se dan en millones de dólares. Puesto que la componente estacionalizadas contiene solo las componentes de tendencia (T), ciclo © e irregular (I). Al revisar las ventas desestacionalizadas. Es claro que la eliminación del factor estacional permite considerar la tendencia general a largo plazo de las ventas. También se podrá determinar la ecuación de regresión de los datos de tendencia y usarla para pronosticar ventas futuras.

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CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Suavización

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5.7. Pronósticos basados en factores de tendencia y estacionales. Como lo indicamos anteriormente el primer pasó en un análisis de series de tiempo, consiste en graficar los datos y observar sus tendencias en el tiempo. Primero debe determinarse si parece haber un movimiento hacia arriba o hacia abajo a largo plazo en la serie (una tendencia) o si la serie parece oscilar alrededor de una recta horizontal en el tiempo. En este caso (es decir, no hay tendencia positiva o negativa a largo plazo), se recomienda antes de aplicar alguno de los métodos de pronostico ¨suavizar¨ nuestros datos a fin de que la tendencia se observe de manera clara. Los métodos que pueden emplearse para suavizar nuestros datos usualmente son: a) El método de promedios móviles b) El método de suavización exponencial El objetivo de ambos métodos es el de “emparejar” la serie y proporcionar un panorama global a largo plazo. Por otro lado, si de hecho existe una tendencia, se pueden aplicar varios métodos de pronóstico de series de tiempo al manejar datos anuales, y otro método para los datos de series de tiempo mensual o trimestral, los cuales se verán posteriormente. Suavización de una serie de tiempo anual

La tabla 5.3 presenta las ventas mundiales de una fábrica (en millones de unidades) de automóviles, camiones y autobuses hechos por General Motors Corporation (GM). Para un periodo de 24 años, de 1975 a 1998, y la figura 5.7 es una gráfica de serie de tiempo de estos datos. Al examinar este tipo de datos anuales, la impresión visual de las tendencias globales a largo plazo o movimientos de tendencia en la serie quedan veladas por la cantidad de variación de un año a otro. Entonces se vuelve difícil juzgar si en esta serie en realidad existe un efecto de tendencia positivo o negativo a largo plazo . Tabla 5.3 Ventas de fábrica (en millones de unidades) Para la General Motors Corporation (1975-1998)

Año Ventas de fábrica Año 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982

6.6 8.6 9.1 9.5 9.0 7.1 6.8 6.2

1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990

Ventas de fábrica Año 7.8 8.3 9.3 8.6 7.8 8.1 7.9 7.5

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Ventas de fábrica 7.4 7.7 7.8 8.4 8.3 8.4 8.8 8.1

En situaciones como éstas, se pueden usar el método de promedios móviles o la suavización exponencial para suavizar o emparejar la serie de tiempo y proporcionar un panorama global del patrón de movimiento de los datos en el tiempo.

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CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Suavización

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Figura 5.7 Gráfica de las ventas de fábrica (en millones de unidades) Para la General Motors Corporation (1975-1998)

Unidades (millones)

Ventas de fabrica para General Motors 10 8 6 4 2 0 1970

1980

1990

2000

Año

Promedios móviles El método de promedios móviles para suavizar una serie de tiempo es muy subjetivo y dependiente de L, la longitud del periodo seleccionado para calcular los promedios. Para eliminar las fluctuaciones cíclicas, el periodo elegido debe ser un valor entero que corresponda a (o sea múltiplo de) la longitud promedio estimada de un ciclo en una serie. Los promedios móviles para un promedio determinado de longitud L consiste en una serie de promedios aritméticos en el tiempo tales que cada uno se calcula a partir de una secuencia de L valores observados. Estos promedios móviles se representan por el símbolo PM (L) A manera de ejemplo, suponga que se desea calcular promedios móviles de 5 años de una serie que contiene n = 11 años. Como L = 5, los promedios móviles de 5 años consisten en una serie de medidas obtenidas en el tiempo al promediar secuencias consecutivas de cinco valores observados. El primer promedio móvil de 5 años se calcula con la suma de los valores para los primeros 5 años en la serie, dividida entre 5. PM (5) =

Y1 Y2 Y3  Y4 Y5 5

El segundo promedio móvil de 5 años se calcula con la suma de los valores de los años 2 a 6 en la serie, dividida entre 5 Y Y Y Y Y PM (5) = 2 3 4 5 6 5 Este proceso continúa hasta calcular el último promedio móvil de 5 años con la suma de los valores de los últimos 5 años en la serie (años del 7 al 11), dividida entre 5.

PM (5) =

Y7  Y8  Y9  Y10  Y11 5

Cuando se trata de una serie de tiempo anual, L, la longitud del periodo elegido para construir los promedios móviles, debe ser un número de años impar. Al seguir esta regla se observa que no se pueden obtener promedios móviles para los primeros (L –

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CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Suavización

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1)/2 años o los últimos (L -1)/2 años en la serie. Entonces, para un promedio móvil de 5 años, no es posible hacer cálculos para los primeros 2 años o los últimos 2 años de la serie. Al graficar los promedios móviles, cada valor calculado se coloca en el año a la mitad de la secuencia de años usada para calcularlos. Si n = 11 y L = 5, el primer promedio móvil se centra en el tercer año, el segundo promedio móvil se centra en el cuarto año y el último en el noveno año. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo : Suponga que los siguientes datos representan los ingresos totales (en millones de dólares constantes de 1995) de una agencia donde se rentan automóviles, en un intervalo de 11 años de 1987 a 1997: 4.0

5.0

7.0

6.0

8.0

9.0

5.0

2.0

3.5

5.5

6.5

Calcule los promedios móviles de 5 años para esta serie de tiempo anual. Solución El primer promedio móvil de 5 años es 30.0 4.0  5.0  7.0  6.0  8.0 PM (5) =   6.0 5 5 Es decir, para calcular un promedio móvil de 5 años, primero se obtiene la suma de los cinco años y se divide entre 5. Después el promedio se centra en el valor medio, el tercer año de esta serie de tiempo. Los siguientes valores quedan de la siguiente manera: 35.0 5.0  7.0  6.0  8.0  9.0   7.0 PM (5) = 5 5 PM (5) =

35.0 7.0  6.0  8.0  9.0  5.0   7.0 5 5

PM (5) =

30.0 6.0  8.0  9.0  5.0 2.0   6.0 5 5

PM (5) =

8.0  9.0  5.0 2.0  3.5 27.5   5.5 5 5

PM (5) =

9.0  5.0 2.0  3.5  5.5 25.0   5.0 5 5

PM (5) =

5.0 2.0  3.5  5.5  6.5 22.5   4.5 5 5

Estos promedios móviles se centran en sus respectivos valores medios, el quinto, sexto y séptimo años de la serie de tiempo. Se observa que al obtener promedios móviles de 5 años, no se pueden calcular los valores para los primeros dos y los últimos dos valores de la serie de tiempo.

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Suavización

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En la práctica, al obtener promedios móviles se debe usar un programa de computadora como Microsoft Excel o Minitab para evitar los cálculos tediosos. La tabla 5.4 y 5.5 presenta las ventas anuales de la fábrica (General Motors) que ampara el periodo de 24 años de 1975 a 1998 junto con los cálculos para los promedios móviles de 3 y 7 años. La gráfica de las dos series construidas se presenta en la figura 5.8 y 5.9 con los datos originales. Se observa en la tabla 5.4 que al obtener los promedios móviles de 3 años, no se pueden calcular valores para el primero o el último valor en la serie de tiempo. Tabla 5.4 promedios móviles de 3 y 7 años obtenida con Microsoft Excel Año 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Ventas PM 3 años PM 7 años 6,6 #N/A #N/A 8,6 8,1 #N/A 9,1 9,06666667 #N/A 9,5 9,2 8,1 9 8,53333333 8,04285714 7,1 7,63333333 7,92857143 6,8 6,7 7,81428571 6,2 6,93333333 7,78571429 7,8 7,43333333 7,72857143 8,3 8,46666667 7,82857143 9,3 8,73333333 8,01428571 8,6 8,56666667 8,25714286 7,8 8,16666667 8,21428571 8,1 7,93333333 8,08571429 7,9 7,83333333 7,85714286 7,5 7,6 7,74285714 7,4 7,53333333 7,82857143 7,7 7,63333333 7,85714286 7,8 7,96666667 7,92857143 8,4 8,16666667 8,11428571 8,3 8,36666667 8,21428571 8,4 8,5 #N/A 8,8 8,43333333 #N/A 8,1 #N/A #N/A

10 8 6 4 2 0

VENTAS PM 3 años PM 7 años

Figura 5.8 Gráfica de promedios móviles de 3 y 7 año

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CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Suavización

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Tabla 5.5 promedios móviles de 3 y 7 años obtenida con Minitab Tiempo 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Ventas MA 3 años MA 7 años 6,6 * * 8,6 8,10000 * 9,1 9,06667 * 9,5 9,20000 8,10000 9,0 8,53333 8,04286 7,1 7,63333 7,92857 6,8 6,70000 7,81429 6,2 6,93333 7,78571 7,8 7,43333 7,72857 8,3 8,46667 7,82857 9,3 8,73333 8,01429 8,6 8,56667 8,25714 7,8 8,16667 8,21429 8,1 7,93333 8,08571 7,9 7,83333 7,85714 7,5 7,60000 7,74286 7,4 7,53333 7,82857 7,7 7,63333 7,85714 7,8 7,96667 7,92857 8,4 8,16667 8,11429 8,3 8,36667 8,21429 8,4 8,50000 * 8,8 8,43333 * 8,1 * *

Figura 5.9 Gráfica de promedios móviles de 3 y 7 años en Minitab Gráfica de dispersión de Ventas; PM 3 Años; PM 7 Años vs. Año Variable Ventas PM 3 A ño s PM 7 A ño s

9,5 9,0

Datos Y

8,5 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0 1975

1980

1985

1990

1995

2000

A ño

Suavización exponencial La suavización exponencial es otra técnica que se usa para alisar una serie de tiempo y proporcionar una visualización global de los movimientos a largo plazo de los datos. Además, se puede usar el método de suavización exponencial para obtener pronósticos a corto plazo (un periodo futuro) para series de tiempo. El método de suavización exponencial obtiene su nombre del hecho de que proporciona un promedio móvil con ponderación exponencial a través de la serie de tiempo. En toda la serie, cada cálculo de suavización o pronóstico depende de todos los valores observados anteriores. Ésta es otra ventaja respecto al método de pronósticos móviles, que no toma en cuenta todos los valores observados de esta manera. Con la

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Suavización

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suavización exponencial, los pesos asignados a los valores observados decrecen en el tiempo, de manera que al hacer un cálculo, el valor observado más reciente recibe el peso más alto, el valor observado anterior tiene el siguiente peso más alto, y así sucesivamente, por lo que el valor observado inicial tiene la menor ponderación. Aunque la magnitud de los cálculos involucrados puede parecer enorme, la suavización exponencial al igual que los métodos de promedios móviles está disponible entre los procedimientos de Microsoft Excel y Minitab. Si se centra la atención en los aspectos de suavización de la técnica (más que en el aspecto del pronóstico), las fórmulas desarrolladas para suavizar exponencialmente una serie en un periodo dado i se basa en sólo tres términos: el valor observado actual en la serie de tiempo , valor con suavización exponencial calculado anterior Ei 1 y un peso subjetivo asignado o coeficiente de suavización W. Así, para alisar una serie en cualquier periodo , se tiene la siguiente expresión. Obtención de un valor que tiene suavización exponencial en el periodo

donde EI = valor de la serie suavizada exponencialmente que se calcula en el periodo EI – 1 = valor de la serie suavizada exponencialmente que se calcula en el periodo – 1 Yi = valor observado de la serie de tiempo en el periodo W = peso subjetivo asignado o coeficiente de suavización (donde 0 < W < 1) E1 = Y1 La elección del coeficiente de suavización o peso que se asigna a la serie de tiempo es crítica porque afectará en forma directa los resultados. Es desafortunado que esta selección sea subjetiva. Si se desea sólo suavizar una serie con la eliminación de la variación cíclica y la irregular, debe elegirse un valor pequeño para W (cercano a 0). Por otro lado, si la meta es pronosticar, debe elegirse un valor grande para W (más cercano a 1). En el primer caso, se podrán observar las tendencias globales a largo plazo de la serie; en el último caso, es posible predecir direcciones futuras a corto plazo de manera más adecuada. Los cálculos de la suavización exponencial se ilustra para un coeficiente de suavización de W = 0.25. Como punto de partida, se utiliza el valor observado inicial (tabla 5.3), Y1975 = 6.6 como el primer valor de suavización (E 1975 = 6.6) Después, con el valor observado de la serie de tiempo para el año 1976 (Y 1976 = 8.6), se suaviza la serie para el año de 1976 con el cálculo E i  W Yi  (1W )Ei  1 E1976 = WY1976 + (1 – W)E1975 = (0.25)(8.6) + (0.75)(6.6) = 7.10 millones E1977 = WY1977 + (1 – W)E1976 = (0.25)(9.1) + (0.75)(7.1) = 7.6 E1978 = WY1978 + (1 – W)E1977 = (0.25)(9.5) + (0.75)(7.6) = 8.08

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Este proceso continúa hasta obtener los valores de la suavización exponencial para los 24 años en la serie de las ventas anuales de la fábrica (General Motors), como se muestra en la tabla 5.6 y 5.7, y las figuras 5.10 y 5.11 Tabla 5.6 Serie suavizada exponencialmente de las ventas de GM obtenida con Microsoft Excel Año 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Ventas 6,6 8,6 9,1 9,5 9 7,1 6,8 6,2 7,8 8,3 9,3 8,6 7,8 8,1 7,9 7,5 7,4 7,7 7,8 8,4 8,3 8,4 8,8 8,1

SE (W=0.25) 6,6 7,1 7,6 8,075 8,30625 8,0046875 7,70351563 7,32763672 7,44572754 7,65929565 8,06947174 8,20210381 8,10157785 8,10118339 8,05088754 7,91316566 7,78487424 7,76365568 7,77274176 7,92955632 8,02216724 8,11662543 8,28746907

SE (W=0.50) 6,6 7,6 8,35 8,925 8,9625 8,03125 7,415625 6,8078125 7,30390625 7,80195313 8,55097656 8,57548828 8,18774414 8,14387207 8,02193604 7,76096802 7,58048401 7,640242 7,720121 8,0600605 8,18003025 8,29001513 8,54500756

Figura 5.10 Gráfica de una serie suavizada exponencialmente (W = 0.50 y W = 0.25) para las ventas de GM

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Tabla 5.7 Serie suavizada exponencialmente de las ventas de GM obtenida con Minitab Año 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Ventas 6,6 8,6 9,1 9,5 9,0 7,1 6,8 6,2 7,8 8,3 9,3 8,6 7,8 8,1 7,9 7,5 7,4 7,7 7,8 8,4 8,3 8,4 8,8 8,1

Suavizar 0,25 6,60000 7,10000 7,60000 8,07500 8,30625 8,00469 7,70352 7,32764 7,44573 7,65930 8,06947 8,20210 8,10158 8,10118 8,05089 7,91317 7,78487 7,76366 7,77274 7,92956 8,02217 8,11663 8,28747 8,24060

Suavizar 0,50 6,60000 7,60000 8,35000 8,92500 8,96250 8,03125 7,41563 6,80781 7,30391 7,80195 8,55098 8,57549 8,18774 8,14387 8,02194 7,76097 7,58048 7,64024 7,72012 8,06006 8,18003 8,29002 8,54501 8,32250

Figura 5.11 Gráfica de una serie suavizada exponencialmente (W = 0.50 y W = 0.25) para las ventas de GM en Minitab Gr áfi ca de di spersi ón de Ventas; Suavi zar 0,25; Suavi zar 0,50 vs. Año Variab le Ventas Suav izar 0,25 Suav izar 0,50

9,5 9,0

Datos Y

8,5 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0 1975

1980

1985

1990

1995

2000

A ño

Proyección de tendencias Para pronosticar una serie de tiempo que tiene una tendencia lineal a largo plazo. El tipo de serie de tiempo para el cual se aplica el método de proyección de tendencias presenta un aumento o disminución consistentes a través del tiempo; y no es estable como para aplicar los métodos de suavizamiento analizados en la sección anterior.

158

CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Suavización

158 158 158

Veamos la serie de tiempo de ventas de bicicletas de determinado fabricante durante los últimos 10 años, que se muestran en la tabla 5.8 y en la figura 5.12. Observe que en el primer año se vendieron 21 600 bicicletas, en el segundo, 22 900, y así sucesivamente. En el décimo año, el más reciente, se vendieron 31 400 bicicletas. Aunque la figura 5.12 muestra algo de movimiento hacia arriba y hacia abajo durante los 10 años, parece que la serie de tiempo tiene una tendencia general de aumento o crecimiento Tabla 5.8 Serie de tiempo de venta de bicicletas Año Ventas (t) (miles) 1 21,6 2 22,9 3 25,5 4 21,9 5 23,9 6 27,5 7 31,5 8 29,7 9 28,6 10 31,4

Figura 5.12 Serie de tiempo de venta de bicicletas Gráfica de series de tiempo de ventas 32

30

ventas

28

26

24

22 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A ño

En este caso no se trata de que el componente de tendencia de una serie de tiempo siga cada aumento y disminución; más bien ese componente debe reflejar el desplazamiento gradual, que para este caso es el crecimiento, de los valores de la serie de tiempo.

159

CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Proyección de tendencias

159 159 159

Después de examinar los datos de la serie de tiempo en la tabla 5.8 y en la gráfica de la figura 5.12 concordamos que con una tendencia líneas, como la que muestra la figura 5.13, se obtiene una descripción razonable del movimiento en la serie a largo plazo. Vamos a emplear los datos de ventas de bicicletas para ilustrar los cálculos del análisis de regresión, a fin de identificar una tendencia lineal. Recuerde que en la descripción de la regresión lineal simple, describimos cómo se aplica el método de mínimos cuadrados para determinar la mejor relación lineal entre dos variables; tal metodología es la que usaremos para definir la línea de tendencia para la serie de tiempo de ventas de bicicletas. En forma específica, aplicaremos el análisis de regresión para estimar la relación entre el tiempo y el volumen de ventas. Figura 5.13 Tendencias de las ventas de bicicletas, representada por una función lineal Gráfica de análisis de tendencia de ventas Modelo de tendencia lineal Yt = 20,40 + 1,10* t

32

Variable A ctual A justes

30

Medidas de exactitud MA PE 5,06814 MA D 1,32000 MSD 3,07000

ventas

28 26 24 22 20 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A ño

La ecuación de regresión que describe una relación lineal entre una variable independiente, , y una variable dependiente, , es

Para enfatizar que el tiempo es la variable independiente en los pronósticos, usaremos en la ecuación en lugar de ; además, usaremos en lugar de . Así para una tendencia lineal, el volumen estimado de ventas, expresado en función del tiempo, se puede escribir como sigue:

donde = valor de la tendencia de la serie de tiempo en el periodo = ordenada al origen e la línea de tendencia = pendiente de la línea de tendencia = tiempo En esta ecuación igualaremos = 1 para el tiempo en que se obtiene el primer dato de la serie de tiempo, = 2 para el tiempo del segundo dato y así sucesivamente.

160

CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Proyección de tendencias

160 160 160

Observe que, para la serie de tiempo de ventas de bicicletas, = 1 correspondiente al valor más antiguo de esa serie y = 10 al más reciente. Las fórmulas para calcular los coeficientes estimados de regresión, la ecuación que se muestra a continuación.

y

, en

donde = valor de la serie de tiempo en el periodo = número de periodos = valor promedio de la serie de tiempo, = valor promedio de Con las ecuaciones anteriores y los datos de las ventas de bicicletas de la tabla 5.8 podemos calcular como sigue: t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55

= =

Por consiguiente,

21,6 22,9 25,5 21,9 23,9 27,5 31,5 29,7 28,6 31,4 264,5

21,6 45,8 76,5 87,6 119,5 165,0 220,5 237,6 257,4 314,0 1545,5

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385

161

CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Proyección de tendencias

161 161 161

Resumen de Excel donde observamos los coeficientes Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple Coeficiente de determinación R^2 R^2 ajustado Error típico Observaciones

0,874526167 0,764796016 0,735395518 1,958953802 10

ANÁLISIS DE VARIANZA Grados de libertad Suma de cuadrados 1 99,825 8 30,7 9 130,525

Regresión Residuos Total

Coeficientes 20,4 1,1

Intercepción Año

Error típico 1,338220211 0,215673715

Promedio de los cuadrados 99,825 3,8375

F 26,0130293

Valor crítico de F 0,000929509

Estadístico t 15,24412786 5,100296983

Probabilidad 3,3999E-07 0,00092951

Inferior 95% 17,31405866 0,602655521

Es la ecuación del componente de tendencia lineal para la serie de tiempo de ventas de bicicletas. La pendiente 1,1 indica que, durante los últimos 10 años, la empresa ha tenido un crecimiento promedio de ventas igual a 1100 unidades anuales, aproximadamente. Si suponemos que la tendencia en los 10 años pasados es un buen indicador del futuro, aplicamos la ecuación para proyectar el componente de tendencia de la serie de tiempo. Por ejemplo, al sustituir = 11 en esa ecuación, se obtiene la proyección de tenencia para el año próximo,

Así sólo con el componente de tendencia pronosticaríamos ventas de 32 500 bicicletas para el próximo año. Utilice Microsoft Excel o Minitab para resolver los siguientes problemas Ejercicios 1.- En la compañía Pérez, los porcentajes mensuales de los embarques recibidos durante los últimos 12 meses fueron 80, 82, 84, 83, 83, 84, 85, 84, 82, 83, 84 y 83 a) Compare el pronóstico con promedios móviles de tres meses con uno de suavizamiento exponencial con ¿Con cuál se obtienen mejores pronósticos? 2.- La siguiente serie de tiempo representa las ventas de un producto durante los últimos 12 meses. Mes Ventas

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10535 120 105 90 120 145 140 100 80 100 110

a) Use con para calcular los valores de suavizamiento exponencial de la serie de tiempo b) Use una constante de suavizamiento igual a 0,5 para calcular los valores de suavizamiento exponencial. ¿Cuál de las constantes 0,3 o 0,5, parece producir los mejores pronósticos

162

CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Proyección de tendencias

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3.- Los datos que siguen representan el número anual de empleados (en miles) de una compañía petrolera para los años 1978 a 1997. Número de empleados (en miles) Año 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984

Número 1.45 1.55 1.61 1.60 1.74 1.92 1.95

Año 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991

Número 2.04 2.06 1.80 1.73 1.77 1.90 1.82

Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Número 1.65 1.73 1.88 2.00 2.08 1.88

a) Grafique los datos en un diagrama b) Ajuste un promedio móvil de 3 años a los datos y grafique los resultados en el diagrama c) Utilice un coeficiente de suavización W = 0.50, aplique la suavización exponencial a la serie y grafique los resultados en el diagrama 4.- Los siguientes datos representan las ventas anuales (en millones de dólares) de una compañía que procesa alimentos para los años 1972 a 1997 Ventas anuales (millones de dólares) Año 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980

Ventas 41.6 48.0 51.7 55.9 51.8 57.0 64.4 60.8 56.3

Año 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989

Ventas 53.2 53.3 51.6 49.0 38.6 37.3 43.8 41.7 38.3

Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Ventas 36.4 38.4 42.6 34.8 28.4 23.9 27.8 42.1

a) Grafique los datos en un diagrama b) Ajuste un promedio móvil de 7 años a los datos y grafique los resultados en el diagrama c) Utilice un coeficiente de suavización W = 0.25, aplique la suavización exponencial a la serie y grafique los resultados en el diagrama

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CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Ejercicios

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5.- Los datos de inscripciones, en miles, en una universidad estatal durante los últimos seis años son los siguientes: Año 1 2 3 4 5 6 Inscripción 20,5 20,2 19,5 19,0 19,1 18,8 Deduzca una ecuación del componente de tendencia lineal en esta serie de tiempo. Haga comentarios acerca de lo que sucede con la inscripción en esta institución. 6.- Al final de la década de los noventa, muchas empresas trataron de reducir su tamaño para disminuir sus costos. Uno de los resultados de esas medidas de recorte de costos fue una disminución en el porcentaje de empleos gerenciales en la industria privada. Los siguientes datos corresponden al porcentaje de mujeres gerentes, de 1990 1 1995 Año 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Porcentaje 7,45 7,53 7,52 7,65 7,62 7,73 a) Deduzca una ecuación de tendencia lineal para esta serie de tiempo. b) Use la ecuación de la tendencia para estimar el porcentaje de mujeres gerentes para 1996 y 1997 7.- ACT Networks. Inc., desarrolla, fabrica y vende productos para acceso a redes de banda ancha. Los siguientes datos son las ventas anuales de 1992 a 1997 Año 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Ventas 5,4 6,2 12,7 20,6 28,4 44,9 (millones) a) Deduzca una ecuación de tendencia lineal para esta serie de tiempo b) ¿Cuál es el aumento promedio de ventas anuales en esta empresa c) Use la ecuación de tendencia para pronosticar las ventas en 1998

Caso a resolver 1 Pronóstico de ventas de alimentos y bebidas El restaurante Vintage está en la isla Captiva, lugar de descanso cerca de Fort Myers, Florida. El restaurante, cuya dueña y operadora es Karen Payne, acaba de completar su tercer año de funcionamiento. Karen, durante ese lapso, ha tratado de ganarse una reputación como establecimiento de alta calidad que se especializa en mariscos. Sus esfuerzos han tenido éxito y su restaurante ha llegado a ser uno de los mejores y de mayor crecimiento en la isla. Karen ve que, para planear el crecimiento futuro del restaurante, necesita desarrollar un sistema que le permita pronosticar las ventas de alimentos y bebidas cada mes, hasta con un año de anticipación. Cuenta con los siguientes datos sobre las ventas totales de alimentos y bebidas (en miles de dólares) durante los tres años de funcionamiento.

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CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Ejercicios

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Mes Primer año Segundo año Tercer año Enero 242 263 282 Febrero 235 238 255 232 247 265 Marzo 178 193 205 Abril 184 193 210 Mayo 140 149 160 Junio 145 157 166 Julio 152 161 174 Agosto 110 122 126 Septiembre 130 130 148 Octubre 152 167 173 Noviembre 206 230 235 Diciembre Analice los datos de ventas del restaurant. Prepare un informe a Karen que contenga lo que encontró, sus pronósticos y recomendaciones. Dicho informe debe incluir: a) Una gráfica de la serie de tiempo b) Un análisis de influencias estacionales sobre los datos. Indique los índices estacionales para cada mes y haga comentarios acerca de los meses con ventas altas y bajas. ¿Tiene sentido intuitivo esos índices estacionales? Describa por qué. c) Un pronóstico de ventas desde enero hasta diciembre del cuarto año. d) Recomendaciones sobre cuándo se debe actualizar el sistema que ha preparado, para tomar en cuenta nuevos datos de ventas e) Todos los cálculos detallados de su análisis aparecen en el apéndice de su informe. Suponga que las ventas en enero del cuarto año fueron de 295 000 dólares. ¿Cuál fue su error de pronóstico? Si es grande, Karen se quedará confundida por la diferencia entre su pronóstico y el valor real de las ventas. ¿Qué puede hacer para resolver la incertidumbre en el procedimiento de pronóstico?

Caso a resolver 2 Pronóstico de ventas perdidas La tienda de departamentos Carlson sufrió graves daños cuando pasó un huracán el 31 de agosto de 2000. Estuvo cerrada durante cuatro meses (de septiembre a diciembre de 2000), y ahora tiene una dificultad con su aseguradora acerca de la cantidad de ventas perdidas, mientras estuvo cerrada. Se deben resolver dos asuntos clave: 1) la cantidad de ventas de Carlson si no la hubiera dañado el huracán, y 2) si Carlson tiene derecho a una compensación por ventas adicionales a causa de mayor actividad después de la tormenta. A su condado llegaron más de 8000 millones de dólares en fondos federales para desastres y seguros, lo cual ocasionó un aumento en las ventas de las tiendas de departamento y de muchos otros negocios. La siguiente tabla muestra los datos del departamento de comercio de Estados Unidos sobre las ventas totales durante los 48 meses anteriores a la tormenta, en todas las tiendas de departamentos en el condado, y también las ventas totales durante los cuatro meses en que Carlson estuvo cerrada. Los administradores de Carlson le pidieron

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CAPÍTULO 5 Series de tiempo

Ejercicios

165 165 165

analizar estos datos y preparar estimados de las ventas perdidas en sus almacenes durante los meses de septiembre a diciembre de 2000. También le pidieron determinar si es posible alegar exceso de ventas relacionado con el huracán, durante el mismo periodo. Si se puede presentar ese argumento. Carlson tiene derecho a compensaciones por exceso sobre las ventas ordinarias. Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

1996 1997 1,45 1,80 2,03 1,99 2,32 2,20 1,13 2,43 1,71 1,90 1,90 2,13 2,74 2,56 4,20 4,16

1998 2,31 1,89 2,02 2,23 2,39 2,14 2,27 2,21 1,89 2,29 2,83 4,04

1999 2,31 1,99 2,42 2,45 2,57 2,42 2,40 2,50 2,09 2,54 2,97 4,35

2000 2,56 2,28 2,69 2,48 2,73 2,37 2,31 2,23

Prepare un informe a los gerentes de Carlson que resuma lo que encontró, sus pronósticos y recomendaciones. Éste debe incluir: a) Un estimado de ventas si no hubiera habido huracán. b) Un estimado de ventas en tiendas de departamentos de todo el condado, si no hubiera habido huracán c) Un estimado de ventas perdidas de Carlson, de septiembre a diciembre de 200

166

166 166 166

Apéndice Tablas

167

167 167 167

Distribución T de Student Grados de libertad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

0,025

0,01

0,005

1,000 0,816 0,765 0,741 0,727 0,718 0,711 0,706 0,703 0,700 0,697 0,695 0,694 0,692 0,691 0,690 0,689 0,688 0,688 0,687 0,686 0,686 0,685 0,685 0,684 0,684 0,684 0,683 0,683 0,683

1,376 1,061 0,978 0,941 0,920 0,906 0,896 0,889 0,883 0,879 0,876 0,873 0,870 0,868 0,866 0,865 0,863 0,862 0,861 0,860 0,859 0,858 0,858 0,857 0,856 0,856 0,855 0,855 0,854 0,854

1,963 1,386 1,250 1,190 1,156 1,134 1,119 1,108 1,100 1,093 1,088 1,083 1,079 1,076 1,074 1,071 1,069 1,067 1,066 1,064 1,063 1,061 1,060 1,059 1,058 1,058 1,057 1,056 1,055 1,055

3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310

6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697

12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042

31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457

63,656 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750

168

168 168 168 Distribución normal estándar

0

Z

Z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.00 0.0000 0.0398 0.0793 0.1179 0.1915 0.1915 0.2257 0.2580 0.2881 0.3159

0.01 0.0040 0.0438 0.0832 0.1217 0.1850 0.1950 0.2291 0.2612 0.2910 0.3186

0.02 0.0080 0.0478 0.0871 0.1255 0.1985 0.1985 0.2324 0.2642 0.2939 0.3212

0.03 0.0120 0.0517 0.0910 0.1293 0.2019 0.2019 0.2357 0.2673 0.2967 0.3238

0.04 0.0160 0.0557 0.0948 0.1331 0.2054 0.2054 0.2389 0.2704 0.2995 0.3264

0.05 0.0199 0.0596 0.0987 0.1368 0.2088 0.2088 0.2422 0.2734 0.3023 0.3289

0.06 0.0239 0.0636 0.1026 0.1406 0.2123 0.2123 0.2454 0.2764 0.3051 0.3315

0.07 0.0279 0.0675 0.1064 0.1443 0.2157 0.2157 0.2486 0.2794 0.3078 0.3340

0.08 0.0319 0.0714 0.1103 0.1480 0.2190 0.2190 0.2518 0.2823 0.3106 0.3365

0.09 0.0359 0.0753 0.1141 0.1517 0.2224 0.2224 0.2549 0.2852 0.3133 0.3389

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

0.3413 0.3643 0.3849 0.4032 0.4192 0.4332 0.4452 0.4554 0.4641 0.4713

0.3438 0.3665 0.3869 0.4049 0.4207 0.4345 0.4463 0.4564 0.4649 0.4719

0.3461 0.3686 0.3888 0.4066 0.4222 0.4357 0.4474 0.4573 0.4656 0.4726

0.3485 0.3708 0.3907 0.4082 0.4236 0.4370 0.4484 0.4582 0.4664 0.4732

0.3508 0.3729 0.3925 0.4099 0.4251 0.4382 0.4495 0.4591 0.4671 0.4738

0.3531 0.3749 0.3944 0.4115 0.4265 0.4394 0.4505 0.4599 0.4678 0.4744

0.3554 0.3770 0.3962 0.4131 0.4279 0.4406 0.4515 0.4608 0.4686 0.4750

0.3577 0.3790 3.3980 0.4147 0.4292 0.4418 0.4525 0.4616 0.4693 0.4756

0.3599 0.3810 0.3997 0.4162 0.4306 0.4429 0.4535 0.4625 0.4699 0.4761

0.3621 0.3830 0.4015 0.4177 0.4319 0.4441 0.4545 0.4633 0.4706 0.4767

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

0.4772 0.4821 0.4861 0.4893 0.4918 0.4938 0.4953 0.4956 0.4974 0.4981

0.4778 0.4826 0.4864 0.4896 0.4920 0.4940 0.4955 0.4966 0.4975 0.4982

0.4783 0.4830 0.4868 0.4898 0.4922 0.4941 0.4956 0.4967 0.4976 0.4982

0.4788 0.4834 0.4871 0.4901 0.4925 0.4943 0.4957 0.4968 0.4977 0.4983

0.4793 0.4838 0.4875 0.4904 0.4927 0.4945 0.4959 0.4969 0.4977 0.4984

0.4798 0.4842 0.4878 0.4906 0.4929 0.4946 0.4960 0.4970 0.4978 0.4984

0.4803 0.4846 0.4881 0.4909 0.4931 0.4948 0.4961 0.4971 0.4979 0.4985

0.4808 0.4850 0.4884 0.4911 0.4932 0.4949 0.4962 0.4972 0.4979 0.4985

0.4812 0.4854 0.4887 0.4913 0.4934 0.4951 0.4963 0.4973 0.4980 0.4986

0.4817 0.4857 0.4890 0.4916 0.4936 0.4952 0.4964 0.4974 0.4981 0.4986

3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

0.4986 0.4990 0.4993 0.4995 0.4996 0.4997 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999

0.4986 0.4990 0.4993 0.4995 0.4996 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999

0.4987 0.4991 0.4993 0.4995 0.4996 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999

0.4987 0.4991 0.4993 0.4995 0.4997 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999

0.4988 0.4991 0.4994 0.4995 0.4997 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999

0.4988 0.4991 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999

0.4988 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999

0.4989 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999

0.4989 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999

0.4990 0.4992 0.4995 0.4996 0.4997 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999

169

169 169 169

Distribución normal para una cola

Z

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0

0.00 0.5000 0.5398 0.5792 0.6179 0.6554 0.6914 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9331 0.9452 0.9554 0.9640 0.9712 0.9772 0.9821 0.9860 0.9892 0.9918 0.9937 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9986

0.01 0.5039 0.5437 0.5831 0.6217 0.6590 0.6949 0.7290 0.7611 0.7910 0.8185 0.8437 0.8665 0.8868 0.9049 0.9207 0.9344 0.9463 0.9563 0.9648 0.9719 0.9777 0.9825 0.9864 0.9895 0.9920 0.9939 0.9954 0.9966 0.9975 0.9981 0.9986

0.02 0.5079 0.5477 0.5870 0.6255 0.6627 0.6984 0.7323 0.7642 0.7938 0.8212 0.8461 0.8686 0.8887 0.9065 0.9221 0.9357 0.9473 0.9572 0.9656 0.9725 0.9783 0.9829 0.9867 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9975 0.9982 0.9987

0.03 0.5119 0.5517 0.5909 0.6293 0.6664 0.7019 0.7356 0.7673 0.7967 0.8238 0.8484 0.8707 0.8906 0.9082 0.9236 0.9369 0.9484 0.9581 0.9663 0.9731 0.9788 0.9834 0.9871 0.9900 0.9924 0.9942 0.9957 0.9968 0.9976 0.9983 0.9987

0.04 0.5159 0.5556 0.5948 0.6330 0.6700 0.7054 0.7389 0.7703 0.7995 0.8263 0.8508 0.8728 0.8925 0.9098 0.9250 0.9382 0.9494 0.9590 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9874 0.9903 0.9926 0.9944 0.9958 0.9969 0.9977 0.9983 0.9988

0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7421 0.7733 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8943 0.9114 0.9264 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9877 0.9906 0.9928 0.9946 0.9959 0.9970 0.9978 0.9984 0.9988

0.06 0.5239 0.5635 0.6025 0.6405 0.6772 0.7122 0.7453 0.7763 0.8051 0.8314 0.8554 0.8769 0.8961 0.9130 0.9278 0.9406 0.9515 0.9607 0.9685 0.9750 0.9803 0.9846 0.9880 0.9908 0.9930 0.9947 0.9960 0.9971 0.9978 0.9984 0.9988

0.07 0.5279 0.5674 0.6064 0.6443 0.6808 0.7156 0.7485 0.7793 0.8078 0.8339 0.8576 0.8790 0.8979 0.9146 0.9292 0.9417 0.9525 0.9616 0.9692 0.9755 0.9807 0.9849 0.9883 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9971 0.9979 0.9985 0.9989

0.08 0.5318 0.5714 0.6102 0.6480 0.6843 0.7190 0.7517 0.7823 0.8105 0.8364 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9305 0.9429 0.9535 0.9624 0.9699 0.9761 0.9812 0.9853 0.9886 0.9913 0.9934 0.9950 0.9963 0.9972 0.9980 0.9985 0.9989

0.09 0.5358 0.5753 0.6140 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8132 0.8389 0.8621 0.8829 0.9014 0.9177 0.9318 0.9440 0.9544 0.9632 0.9706 0.9767 0.9816 0.9857 0.9889 0.9915 0.9936 0.9952 0.9964 0.9973 0.9980 0.9986 0.9990

170

170 170 170

Valores Críticos de la Distribución Chi-Cuadrado. FUNCION DE DISTRIBUCION

GRADOS DE LIBERTAD

0.005

0.010

0.025

0.050 0.10 0.35 0.71 1.15

0.100 0.900 0.950 2.71 3.84 0.21 4.61 5.99 0.58 6.25 7.81 1.06 7.78 9.49 1.61 9.24 11.07

0.975 5.02 7.38 9.35 11.14 12.83

0.990 6.63 9.21 11.34 13.28 15.09

0.995 7.88 10.60 12.84 14.86 16.75

1.24 1.69 2.18 2.70 3.25

1.64 2.17 2.73 3.33 3.94

2.20 2.83 3.49 4.17 4.87

10.64 12.02 13.36 14.68 15.99

12.59 14.07 15.51 16.92 18.31

14.45 16.01 17.53 19.02 20.48

16.81 18.48 20.09 21.67 23.21

18.55 20.28 21.95 23.59 25.19

3.05 3.57 4.11 4.66 5.23

3.82 4.40 5.01 5.63 6.26

4.57 5.23 5.89 6.57 7.26

5.58 6.30 7.04 7.79 8.55

17.28 18.55 19.81 21.06 22.31

19.68 21.03 22.36 23.68 25.00

21.92 23.34 24.74 26.12 27.49

24.72 26.22 27.69 29.14 30.58

26.76 28.30 29.82 31.32 32.80

5.81 6.41 7.01 7.63 8.26

6.91 7.56 8.23 8.91 9.59

7.96 8.67 9.39 10.12 10.85

9.31 10.09 10.86 11.65 12.44

23.54 24.77 25.99 27.20 28.41

26.30 27.59 28.87 30.14 31.41

28.85 30.19 31.53 32.85 34.17

32.00 33.41 34.81 36.19 37.57

34.27 35.72 37.16 38.58 40.00

21 22 23 24 25

8.03 8.90 8.64 9.54 9.26 10.20 9.89 10.86 10.52 11.52

10.28 10.98 11.69 12.40 13.12

11.59 12.34 13.09 13.85 14.61

13.24 14.04 14.85 15.66 16.47

29.62 30.81 32.01 33.20 34.38

32.67 33.92 35.17 36.42 37.65

35.48 36.78 38.08 39.36 40.65

38.93 40.29 41.64 42.98 44.31

41.40 42.80 44.18 45.56 46.93

26 27 28 29 30

11.16 11.81 12.46 13.12 13.79

13.84 14.57 15.31 16.05 16.79

15.38 16.15 16.93 17.71 18.49

17.29 18.11 18.94 19.77 20.60

35.56 36.74 37.92 39.09 40.26

38.89 40.11 41.34 42.56 43.77

41.92 43.19 44.46 45.72 46.98

45.64 46.96 48.28 49.59 50.89

48.29 49.64 50.99 52.34 53.67

1 2 3 4 5

0.000039 0.000157 0.000982 0.003932 0.0158

0.0717 0.11 0.21 0.30 0.41 0.55

0.22 0.48 0.83

6 7 8 9 10

0.68 0.99 1.34 1.73 2.16

0.87 1.24 1.65 2.09 2.56

11 12 13 14 15

2.60 3.07 3.57 4.07 4.60

16 17 18 19 20

5.14 5.70 6.26 6.84 7.43

0.0100

0.0201

12.20 12.88 13.56 14.26 14.95

0.0506

171

171 171 171

Valores Críticos de la Distribución F - Función de Distribución = 0.90.

1 39.86 8.53 5.54 4.54 4.06

GRADOS DE LIBERTAD DEL NUMERADOR 2 3 4 5 6 7 8 9 49.50 53.59 55.83 57.24 58.20 58.91 59.44 59.86 9.00 9.16 9.24 9.29 9.33 9.35 9.37 9.38 5.46 5.39 5.34 5.31 5.28 5.27 5.25 5.24 4.32 4.19 4.11 4.05 4.01 3.98 3.95 3.94 3.78 3.62 3.52 3.45 3.40 3.37 3.34 3.32

10 60.19 9.39 5.23 3.92 3.30

6 7 D 8 E 9 10 L I 11 B 12 E 13 R 14 T 15 A D 16 17 D 18 E 19 L 20

3.78 3.59 3.46 3.36 3.29

3.46 3.26 3.11 3.01 2.92

3.29 3.07 2.92 2.81 2.73

3.18 2.96 2.81 2.69 2.61

3.11 2.88 2.73 2.61 2.52

3.05 2.83 2.67 2.55 2.46

3.01 2.78 2.62 2.51 2.41

2.98 2.75 2.59 2.47 2.38

2.96 2.72 2.56 2.44 2.35

2.94 2.70 2.54 2.42 2.32

3.23 3.18 3.14 3.10 3.07

2.86 2.81 2.76 2.73 2.70

2.66 2.61 2.56 2.52 2.49

2.54 2.48 2.43 2.39 2.36

2.45 2.39 2.35 2.31 2.27

2.39 2.33 2.28 2.24 2.21

2.34 2.28 2.23 2.19 2.16

2.30 2.24 2.20 2.15 2.12

2.27 2.21 2.16 2.12 2.09

2.25 2.19 2.14 2.10 2.06

3.05 3.03 3.01 2.99 2.97

2.67 2.64 2.62 2.61 2.59

2.46 2.44 2.42 2.40 2.38

2.33 2.31 2.29 2.27 2.25

2.24 2.22 2.20 2.18 2.16

2.18 2.15 2.13 2.11 2.09

2.13 2.10 2.08 2.06 2.04

2.09 2.06 2.04 2.02 2.00

2.06 2.03 2.00 1.98 1.96

2.03 2.00 1.98 1.96 1.94

D E N O M I A D O R

21 22 23 24 25

2.96 2.95 2.94 2.93 2.92

2.57 2.56 2.55 2.54 2.53

2.36 2.35 2.34 2.33 2.32

2.23 2.14 2.22 2.13 2.21 2.11 2.19 2.10 2.18 2.09

2.08 2.06 2.05 2.04 2.02

2.02 2.01 1.99 1.98 1.97

1.98 1.97 1.95 1.94 1.93

1.95 1.93 1.92 1.91 1.89

1.92 1.90 1.89 1.88 1.87

26 27 28 29 30

2.91 2.90 2.89 2.89 2.88

2.52 2.51 2.50 2.50 2.49

2.31 2.30 2.29 2.28 2.28

2.17 2.17 2.16 2.15 2.14

2.08 2.07 2.06 2.06 2.05

2.01 2.00 2.00 1.99 1.98

1.96 1.95 1.94 1.93 1.93

1.92 1.91 1.90 1.89 1.88

1.88 1.87 1.87 1.86 1.85

1.86 1.85 1.84 1.83 1.82

40 60 90 120

2.84 2.79 2.76 2.75

2.44 2.39 2.36 2.35

2.23 2.18 2.15 2.13

2.09 2.04 2.01 1.99

2.00 1.95 1.91 1.90

1.93 1.87 1.84 1.82

1.87 1.82 1.78 1.77

1.83 1.77 1.74 1.72

1.79 1.74 1.70 1.68

1.76 1.71 1.67 1.65

G R A D O S

1 2 3 4 5

172

172 172 172

Valores Críticos de la Distribución F - Función de Distribución = 0.95.

1 G R A D O S

1 2 3 4 5

2

GRADOS DE LIBERTAD DEL NUMERADOR 3 4 5 6 7 8 9

10

161.45 199.50 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40

10.13 9.55 7.71 6.94 6.61 5.79

9.28 6.59 5.41

9.12 6.39 5.19

9.01 6.26 5.05

8.94 6.16 4.95

8.89 6.09 4.88

8.85 6.04 4.82

8.81 6.00 4.77

8.79 5.96 4.74

6 7 D 8 E 9 10 L I 11 B 12 E 13 R 14 T 15 A D 16 17 D 18 E 19 L 20

5.99 5.59 5.32 5.12 4.96

5.14 4.74 4.46 4.26 4.10

4.76 4.35 4.07 3.86 3.71

4.53 4.12 3.84 3.63 3.48

4.39 3.97 3.69 3.48 3.33

4.28 3.87 3.58 3.37 3.22

4.21 3.79 3.50 3.29 3.14

4.15 3.73 3.44 3.23 3.07

4.10 3.68 3.39 3.18 3.02

4.06 3.64 3.35 3.14 2.98

4.84 4.75 4.67 4.60 4.54

3.98 3.89 3.81 3.74 3.68

3.59 3.49 3.41 3.34 3.29

3.36 3.26 3.18 3.11 3.06

3.20 3.11 3.03 2.96 2.90

3.09 3.00 2.92 2.85 2.79

3.01 2.91 2.83 2.76 2.71

2.95 2.85 2.77 2.70 2.64

2.90 2.80 2.71 2.65 2.59

2.85 2.75 2.67 2.60 2.54

4.49 4.45 4.41 4.38 4.35

3.63 3.59 3.55 3.52 3.49

3.24 3.20 3.16 3.13 3.10

3.01 2.96 2.93 2.90 2.87

2.85 2.81 2.77 2.74 2.71

2.74 2.70 2.66 2.63 2.60

2.66 2.61 2.58 2.54 2.51

2.59 2.55 2.51 2.48 2.45

2.54 2.49 2.46 2.42 2.39

2.49 2.45 2.41 2.38 2.35

D E N O M I A D O R

21 22 23 24 25

4.32 4.30 4.28 4.26 4.24

3.47 3.44 3.42 3.40 3.39

3.07 3.05 3.03 3.01 2.99

2.84 2.82 2.80 2.78 2.76

2.68 2.66 2.64 2.62 2.60

2.57 2.55 2.53 2.51 2.49

2.49 2.46 2.44 2.42 2.40

2.42 2.40 2.37 2.36 2.34

2.37 2.34 2.32 2.30 2.28

2.32 2.30 2.27 2.25 2.24

26 27 28 29 30

4.23 4.21 4.20 4.18 4.17

3.37 3.35 3.34 3.33 3.32

2.98 2.96 2.95 2.93 2.92

2.74 2.73 2.71 2.70 2.69

2.59 2.57 2.56 2.55 2.53

2.47 2.46 2.45 2.43 2.42

2.39 2.37 2.36 2.35 2.33

2.32 2.31 2.29 2.28 2.27

2.27 2.25 2.24 2.22 2.21

2.22 2.20 2.19 2.18 2.16

40 60 90 120

4.08 4.00 3.95 3.92

3.23 3.15 3.10 3.07

2.84 2.76 2.71 2.68

2.61 2.53 2.47 2.45

2.45 2.37 2.32 2.29

2.34 2.25 2.20 2.18

2.25 2.17 2.11 2.09

2.18 2.10 2.04 2.02

2.12 2.04 1.99 1.96

2.08 1.99 1.94 1.91

173

173 173 173

Valores Críticos de la Distribución F - Función de Distribución = 0.99.

G R A D O S D E L I B E R T A D D E L D E N O M I A D O R

1 2 3 4 5

1 4052 98.50 34.12 21.20 16.26

GRADOS DE LIBERTAD DEL NUMERADOR 2 3 4 5 6 7 8 5000 5403 5625 5764 5859 5928 5981 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33 99.36 99.37 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29

6 7 8 9 10

13.75 12.25 11.26 10.56 10.04

10.92 9.55 8.65 8.02 7.56

11 12 13 14 15

9.65 9.33 9.07 8.86 8.68

7.21 6.93 6.70 6.51 6.36

6.22 5.95 5.74 5.56 5.42

5.67 5.41 5.21 5.04 4.89

5.32 5.06 4.86 4.69 4.56

5.07 4.82 4.62 4.46 4.32

4.89 4.64 4.44 4.28 4.14

4.74 4.50 4.30 4.14 4.00

4.63 4.39 4.19 4.03 3.89

4.54 4.30 4.10 3.94 3.80

16 17 18 19 20

8.53 8.40 8.29 8.18 8.10

6.23 6.11 6.01 5.93 5.85

5.29 5.18 5.09 5.01 4.94

4.77 4.67 4.58 4.50 4.43

4.44 4.34 4.25 4.17 4.10

4.20 4.10 4.01 3.94 3.87

4.03 3.93 3.84 3.77 3.70

3.89 3.79 3.71 3.63 3.56

3.78 3.68 3.60 3.52 3.46

3.69 3.59 3.51 3.43 3.37

21 22 23 24 25

8.02 7.95 7.88 7.82 7.77

5.78 5.72 5.66 5.61 5.57

4.87 4.82 4.76 4.72 4.68

4.37 4.31 4.26 4.22 4.18

4.04 3.99 3.94 3.90 3.85

3.81 3.76 3.71 3.67 3.63

3.64 3.59 3.54 3.50 3.46

3.51 3.45 3.41 3.36 3.32

3.40 3.35 3.30 3.26 3.22

3.31 3.26 3.21 3.17 3.13

26 27 28 29 30

7.72 7.68 7.64 7.60 7.56

5.53 5.49 5.45 5.42 5.39

4.64 4.60 4.57 4.54 4.51

4.14 4.11 4.07 4.04 4.02

3.82 3.78 3.75 3.73 3.70

3.59 3.56 3.53 3.50 3.47

3.42 3.39 3.36 3.33 3.30

3.29 3.26 3.23 3.20 3.17

3.18 3.15 3.12 3.09 3.07

3.09 3.06 3.03 3.00 2.98

40 60 90 120

7.31 7.08 6.93 6.85

5.18 4.98 4.85 4.79

4.31 4.13 4.01 3.95

3.83 3.65 3.53 3.48

3.51 3.34 3.23 3.17

3.29 3.12 3.01 2.96

3.12 2.95 2.84 2.79

2.99 2.82 2.72 2.66

2.89 2.72 2.61 2.56

2.80 2.63 2.52 2.47

9.78 8.45 7.59 6.99 6.55

9.15 7.85 7.01 6.42 5.99

8.75 7.46 6.63 6.06 5.64

8.47 7.19 6.37 5.80 5.39

8.26 6.99 6.18 5.61 5.20

8.10 6.84 6.03 5.47 5.06

9 6022 99.39 27.35 14.66 10.16

10 6056 99.40 27.23 14.55 10.05

7.98 6.72 5.91 5.35 4.94

7.87 6.62 5.81 5.26 4.85

174

174 174 174

Bibliografía GUTIERREZ, P. H y DE LA VARA, S. R. 2008. Segunda edición. Análisis y Diseño de Experimentos. Mc Graw Hill. MONTGOMERY, C.D.; G.C, RUNGER. 2010. Segunda edición. Probabilidad y Estadística. LIMUSA WILEY MONTGOMERY, C.D. Diseño y Análisis de Experimentos. Segunda edición. LIMUSA WILEY WALPOLE, R.; MAYERS, R.H.; MAYERS, S.L. 1998. Sexta edición. Probabilidad y Estadística Para Ingenieros. Pearson Education ANDERSON, D.R.; SWEENEY, D.J.; WILLIAMS, T.A.2005. Octava edición. Estadística para Administración y Economía. MATH LEARNING BERENSON, M.L.; LEVINE, D.M.; KREHBIEL, T.C. 2001. Segunda edición. Estadística para Administración. Prentice Hall.

Ensenada Baja California agosto de 2012