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• Marcelo Torres

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Condensadores, Diel´ ectricos y Energ´ıa 1.

Definici´ on de Capacidad. Condensadores

CAPACIDAD. CONDENSADORES − Uno de los usos m´as comunes de los conductores en electrost´atica es para el almacenamiento de carga el´ectrica. Para tales aplicaciones, el sistema de mayor inter´es es el condensador (tambi´en denominado capacitor). − Un condensador se define como un sistema de dos conductores con cargas iguales pero opuestas (Fig. 1). La carga Q de los conductores recibe el nombre de carga del condensador, y cada uno de los dos conductores se suelen denominar armaduras o placas del condensador.

Figura 1:

− La capacidad de un condensador se define como la relaci´on de la carga del condensador a la diferencia de potencial entre las placas del condensador: Q . (1) V V = V+ − V− designa la diferencia de potencial entre las placas del condensador (V+ es el potencial en la placa positiva y V− el potencial en la placa negativa). Es tambi´en frecuente escribir la diferencia de potencial entre las placas como ∆V . C=

− En relaci´on a la definici´on anterior de capacidad es conveniente tener en cuenta los siguientes puntos: La capacidad C de un condensador nos mide la capacidad de dicho sistema para almacenar carga, ya que, para una cierta diferencia de potencial V entre las placas, nos dice cu´anta carga tendremos en cada una (igual pero de signo opuesto): Q = CV 1

La capacidad de un condensador es una cantidad caracter´ıstica del condensador y s´olo depende de la geometr´ıa del sistema y del medio diel´ectrico (aislante) situado entre las placas del condensador. La unidad de la capacidad en el sistema internacional es el faradio (F): 1 faradio = 1

culombio voltio

Cuando tengamos un condensador, lo podemos encontrar en dos configuraciones distintas: (a) a potencial constante: la diferencia de potencial V entre las placas se mantiene constante mediante una bater´ıa conectada a las placas del condensador; (b) a carga constante: las placas del condensador no est´an conectadas a ninguna bater´ıa, y la carga Q de las placas no puede variar.

Figura 2: En ambos casos, la capacidad del condensador es la misma (s´olo depende de la geometr´ıa de las placas y del medio entre las mismas).

CALCULO DE LA CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR − En general, lo m´as conveniente para calcular la capacidad de un condensador suele ser calcular la diferencia de potencialZ V entre las placas a partir del campo el´ectrico E entre placa+

dichas placas, V = V+ − V− = −

placa−

C=

E · dl, y calcular la capacidad usando (1):

Q Q , = R placa+ V − placa− E · dl

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donde placa + y placa - son las placas positiva y negativa, respectivamente, del condensador. − Los tres ejemplos m´as t´ıpicos de condensadores son: Condensador plano: tambi´en denominado condensador plano-paralelo o de placas paralelas. Consiste en dos conductores planos, paralelos, de igual a´rea A y separados una peque˜ na distancia d (ver Fig. 3). Por condensador plano ideal se entiende que la distancia d entre las placas es muy peque˜ na en comparaci´on con su tama˜ no, por lo que se puede aproximar cada placa a 2

un plano infinito uniformemente cargado (con densidad superficial de carga σ = Q/A en la placa positiva, y −σ = −Q/A en la placa negativa). Tambi´en se suele decir que en un condensador ideal, al considerarse las placas infinitas, se pueden despreciar los efectos de borde.

Figura 3: La capacidad de un condensador plano ideal es: C = ε0

A d

(3)

Notar que, de la expresi´on (3), es f´acil deducir que, en el sistema internacional, las unidades de ε0 se pueden escribir como F/m: ε0 = 8,8542 × 10−12 F/m. Condensador esf´ erico: en este caso, las dos placas tienen forma esf´erica, como se muestra en Fig. 4. Se tiene una esfera conductora de radio a y una superficie esf´erica conductora de radio b (a < b) conc´entrica con la primera.

Figura 4: La capacidad de este condensador es: C = 4πε0

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ab b−a

(4)

Condensador cil´ındrico: como se muestra en Fig. 5, las dos placas tienen forma cil´ındrica. Se tiene un cilindro conductor de radio a y una superficie cil´ındrica conductora de radio b (a < b), coaxial con la primera.

Figura 5: Supondremos que a y b son muy peque˜ nos en comparaci´on con la altura L de los cilindros conductores, de modo que se puede suponer que los cilindros son infinitos. Tenemos en este caso un condensador cil´ındrico ideal. Su capacidad es: C=

2.

2πε0 L ln(b/a)

(5)

Condensador con Diel´ ectrico

− Cuando un diel´ectrico (aislante) se introduce entre las placas de un condensador, su capacidad aumenta en un factor κ > 1:

C = κC0

(6)

donde C0 es la capacidad del condensador sin diel´ectrico (cuando hay vac´ıo entre las placas) y C la capacidad del condensador con diel´ectrico. − El resultado anterior es v´alido tanto si el condensador se encuentra a potencial constante (conectado a una bater´ıa o fuente de voltaje), como si se encuentra a carga constante (no conectado a ninguna bater´ıa o fuente de voltaje). − La constante κ es la constante diel´ ectrica del material. El valor de κ depende del material considerado: es una constante caracter´ıstica del material. La constante diel´ectrica es siempre mayor que uno: κ > 1. [Nota: para el aire κaire ' 1 y, por tanto, si hay aire entre las placas del condensador, C = κC0 ' C0 . En la pr´actica, tener aire o vac´ıo entre las placas es equivalente.] La constante diel´ectrica κ es una cantidad adimensional. 4

− Se define la permitividad el´ ectrica ε de un material (o simplemente permitividad) como: ε = κε0 (7) En relaci´on a la permitividad ε es conveniente recordar: Dado que κ > 1, se tendr´a que ε > ε0 (en el caso del aire, εaire ' ε0 , ya que, κ ' 1). Las unidades de ε son las mismas que las de la permitividad del vac´ıo ε0 . As´ı, en el sistema internacional, sus unidades ser´an de F/m. En general, cuando se tenga un medio diel´ectrico, los resultados (desde el punto de vista del c´alculo de campos el´ectricos, potenciales, capacidades,...) ser´an los mismos que en el caso del vac´ıo para una misma distribuci´on de cargas, pero sustituyendo la permitividad del vac´ıo por la permitividad correspondiente del medio. As´ı, por ejemplo, la capacidad de un condensador plano con un medio diel´ectrico de permitividad ε, ser´a C = κC0 = κε0

A A =ε d d

− Dado que la constante diel´ectrica κ = ε/ε0 , tambi´en recibe con frecuencia el nombre de permitividad relativa del medio y se le designa por εr : κ ≡ εr =

ε ε0

− Para poder entender porqu´e cuando introducimos un diel´ectrico entre las placas de un condensador su capacidad aumenta en un factor κ, consideraremos por separado el caso del condensador a carga constante y a potencial constante: condensador a carga constante: la carga Q0 del condensador no var´ıa al introducir el diel´ectrico entre las placas. El aumento de la capacidad se debe a la disminuci´on de la diferencia de potencial: V =

V0 < V0 κ

donde V0 es la diferencia de potencial entre las placas cuando existe vac´ıo entre ellas, y V es la diferencia de potencial cuando se ha introducido el diel´ectrico. La disminuci´on de la diferencia de potencial se debe a que el diel´ectrico ha reducido el valor del campo el´ectrico entre las placas del condensador: E=

E0 =⇒ E < E0 κ

E es el campo el´ectrico entre las placas cuando se ha situado el diel´ectrico entre ellas, y E0 es el valor del campo el´ectrico entre las placas del condensador cuando se tiene vac´ıo entre las mismas.

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Figura 6:

condensador a potencial constante: la diferencia de potencial V0 entre las placas se mantiene constante mediante una bater´ıa o fuente de alimentaci´on (ver Fig. 7). En este caso, el aumento en la capacidad del condensador, se debe al aumento de la carga en las placas del condensador: Q = κQ0 > Q0 donde Q0 es la carga del condensador cuando se tiene vac´ıo entre las placas, y Q la carga despu´es de introducir el diel´ectrico.

Figura 7:

− Todos los condensadores comerciales usan diel´ectricos entre las placas del condensador. Sus ventajas principales son: (1) Un diel´ectrico aumenta la capacidad del condensador. (2) El diel´ectrico proporciona una estructura mec´anica de soporte entre las placas conductoras.

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3.

Diel´ ectricos

EL DIPOLO ELECTRICO − Un dipolo el´ ectrico es un sistema formado por dos cargas q y −q separadas una peque˜ na distancia d. − Se define el momento dipolar p de un dipolo como una cantidad vectorial cuya magnitud es igual al producto de la carga q por la distancia d entre las cargas, y cuya direcci´ on y sentido es la que va de la carga negativa a la positiva: p = qd

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− En Fig. 8 se muestran las l´ıneas de campo y las superficies equipotenciales debidas a un dipolo alineado en la direcci´on horizontal (la flecha indica el momento dipolar del dipolo, orientado de la carga negativa a la positiva). Las l´ıneas continuas indican las superficies equipotenciales y las l´ıneas discontinuas las l´ıneas de campo el´ectrico.

Figura 8:

PAR DE FUERZAS SOBRE UN DIPOLO EN UN CAMPO UNIFORME − La fuerza neta sobre un dipolo en un campo el´ectrico uniforme es cero. − Sin embargo, existe un par de fuerzas sobre el dipolo que tiende a alinear al dipolo con el campo (es decir, a que el momento dipolar p del dipolo se sit´ ue en la misma direcci´on y sentido que el campo E). El momento del par est´a dado por: N=p×E

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TEORIA MICROSCOPICA DE DIELECTRICOS − Se define un diel´ ectrico como un medio material no conductor, en el que las part´ıculas cargadas (electrones y protones) que constituyen los a ´tomos y mol´eculas del medio no son libres de moverse bajo la acci´ on de un campo el´ectrico. Los electrones y protones de los a´tomos de un medio diel´ectrico se encuentran ligados a los a´tomos y mol´eculas del medio. − Un diel´ectrico se ve afectado por la presencia de un campo el´ectrico. El efecto de un campo el´ectrico sobre un diel´ectrico es la polarizaci´ on del diel´ectrico. La polarizaci´ on de un diel´ectrico consiste en la separaci´ on a nivel macrosc´ opico entre la carga positiva y negativa del diel´ectrico debido a la presencia de un campo el´ectrico externo. Notar que en el proceso de polarizaci´on de un diel´ectrico su carga no cambia: simplemente tiene lugar una separaci´on entre la carga positiva y negativa del diel´ectrico pero su carga neta no cambia. − La polarizaci´on de un diel´ectrico tiene su origen a nivel microsc´opico en la formaci´on de peque˜ nos dipolos moleculares que tienden a orientarse en la misma direcci´on que el campo. − Como consecuencia de la polarizaci´on, un diel´ectrico es capaz de reducir el camo el´ectrico debido a una cierta distribuci´on de cargas: E = Eκ0

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donde E0 es el campo creado por una cierta distribuci´on de cargas en vac´ıo, y E el valor del campo para la misma distribuci´on de cargas cuando se ha sustituido el vac´ıo por un diel´ectrico de constante diel´ectrica κ. Debido a esto, la capacidad de un condensador aumenta al introducir un diel´ectrico entre las placas.

RUPTURA DIELECTRICA − Como sabemos, un campo el´ectrico da lugar a peque˜ nos desplazamientos de las cargas ligadas en las mol´eculas del diel´ectrico. Si el campo el´ectrico es muy fuerte, puede sacar a los electrones de las mol´eculas, que se acelerar´an bajo la acci´on del campo el´ectrico. De este modo, el diel´ectrico se puede volver conductor, dando lugar a corrientes muy grandes. Este fen´omeno se conoce como ruptura diel´ ectrica (tambi´en decimos que ha tenido lugar una descarga el´ectrica). El campo el´ectrico m´aximo que puede resistir un material diel´ectrico sin que se produzca ruptura recibe el nombre de rigidez diel´ ectrica del material o campo de ruptura. Por ejemplo, en el aire, a presi´on atmosf´erica, la rigidez diel´ectrica es de 3 MV/m. − En un condensador, definimos el potencial de ruptura como la m´axima diferencia de potencial que podemos establecer entre sus placas antes de que se produzca la ruptura del diel´ectrico situado entre las mismas (notar que el potencial de ruptura corresponde al valor de la diferencia de potencial entre las placas del condensador cuando se ha alcanzado el campo de ruptura en el diel´ectrico). El potencial de ruptura determina la m´axima carga Qmax que se puede almacenar en las placas del condensador: 8

Qmax = CVr , donde C es la capacidad del condensador y Vr el potencial de ruptura. En un condensador, es conveniente tener un diel´ectrico entre las placas con un campo de ruptura grande, de modo que el potencial de ruptura sea grande y, as´ı, la carga m´axima que puede almacenarse en el condensador.

4.

Combinaci´ on de Condensadores

− El condensador es un elemento muy com´ un en los circuitos el´ectricos. Se suele representar, como elemento de un circuito, mediante el s´ımbolo: a`. − En general, en un circuito dado, se suelen tener varios condensadores conectados entre s´ı formando una combinaci´ on, sistema o asociaci´ on de condensadores. − Se denomina capacidad equivalente de una combinaci´on o asociaci´on de condensadores a la capacidad de un condensador u ´ nico tal que al ser cargado a la misma diferencia de potencial, almacena la misma carga. − Los dos tipos de asociaci´on de condensadores m´as frecuentes son: (a) combinaci´ on en paralelo: en este caso, todos los condensadores se encuentran a la misma diferencia de potencial [ver Fig. 9 (a)]. La capacidad equivalente est´a dada por la suma de las capacidades de cada uno de los condensadores del sistema: C = C1 + C2 + ... + CN

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(b) combinaci´ on en serie: en este tipo de asociaci´on [Fig. 9 (b)] todos los condensadores tienen la misma carga. La capacidad equivalente C del sistema est´a dada por la relaci´on: 1 1 1 1 = + + ... + C C1 C2 CN

Figura 9:

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5.

Energ´ıa de un Condensador

− Los condensadores no solamente permiten almacenar carga, sino tambi´en almacenar energ´ıa. − Por energ´ıa de un condensador, entendemos la energ´ıa (trabajo) que ha sido necesario gastar para cargarlo a la carga Q que actualmente tiene. − Esta energ´ıa, que designaremos por U , se puede calcular usando cualquiera de las siguientes expresiones. Q2 = 1 CV 2 U = 21 QV = 2C 2

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En las expresiones anteriores, C es la capacidad del condensador, Q su carga, y V la diferencia de potencial entre las placas del condensador. Es frecuente designar a esta energ´ıa U del condensador como energ´ıa electrost´ atica del condensador. Naturalmente, la unidad de U en el sistema inernacional es el julio. − La energ´ıa de un condensador se puede considerar almacenada en el campo el´ectrico E existente entre las placas del condensador. − Definimos la densidad de energ´ıa del campo el´ectrico en un punto como la energ´ıa el´ectrica almacenada en ese punto por unidad de volumen y est´a dada por: 1 u = εE 2 2

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donde E es el valor del campo el´ectrico en dicho punto, y ε el valor de la permitividad el´ectrica en dicho punto (ε = κε0 ). La unidad de u en el sistema internacional es de julios/m3 .

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