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1 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

2 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

EVALUACION DE LA CAPACIDAD DE CALIDAD DE UN PROCESO INDUSTRIAL METODOS ESTADISTICOS SUGERIDOS POR LA NORMA ISO 9000

ANGEL FRANCISCO ARVELO L. Ingeniero Industrial Master en Estadística Matemática

CARACAS, MARZO de 1997

3 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN Angel Francisco Arvelo Luján es un Profesor Universitario Venezolano en el área de Probabilidad y Estadística, con más de 40 años de experiencia en las más reconocidas universidades del área metropolitana de Caracas. Universidad Católica “Andrés Bello” : Profesor Titular Jubilado 1970 a 2003 Universidad Central de Venezuela: Profesor por Concurso de Oposición desde 1993 al presente Universidad Simón Bolívar: Profesor desde 2005 al presente Universidad Metropolitana: Profesor desde 1973 a 1987 Universidad Nacional Abierta: Revisor de contenidos, desde 1979 hasta 2004 Sus datos personales son : Lugar y Fecha de Nacimiento: Caracas, 16-02-1947 Correo electrónico: [email protected] Teléfono: 58 416 6357636 Estudios realizados: Ingeniero Industrial. UCAB Caracas 1968 Máster en Estadística Matemática CIENES , Universidad de Chile 1972 Cursos de Especialización en Estadística No Paramétrica Universidad de Michigan 1982 Doctorado en Gestión Tecnológica: Universidad Politécnica de Madrid 2006 al Presente El Profesor Arvelo fue Director de la Escuela de Ingeniería Industrial de la Universidad Católica “Andrés Bello” (1974-1979) , Coordinador de los Laboratorios de esa misma Universidad especializados en ensayos de Calidad, Auditor de Calidad, y autor del libro “Capacidad de Procesos Industriales” UCAB 1998. En numerosas oportunidades, el Profesor Arvelo ha dictado cursos empresariales en el área de “Estadística General” y “Control Estadístico de Procesos”. Una mayor información pueden ser obtenidos en la siguiente página web: www.arvelo.com.ve

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PROLOGO La actual crisis económica por la que atraviesa nuestro país , con la consecuente pérdida en la capacidad de compra de los consumidores, ha traído como consecuencia que muchas empresas industriales vean en la exportación una salida para su desarrollo. Sin embargo, a la hora de tratar de penetrar los mercados internacionales, nuestras empresas se han encontrado con la dificultad de que allí, las normas de calidad son mucho más exigentes, y de obligatorio cumplimiento. Así por ejemplo, el cumplimiento de las cláusulas establecidas en la Norma ISO9000 y sus anexos, ya es un requisito mundialmente exigido para cualquier empresa industrial o de servicios, que pretenda competir en los mercados de los países desarrollados. Con el objeto de garantizarle a los consumidores y usuarios, que las empresas productoras y de servicios tienen un sistema de aseguramiento de la calidad, y que dicho sistema es permanente en el tiempo, ha aparecido la figura de las llamadas "Auditorías de Calidad" , en donde un agente externo a la empresa certifica ante terceros , la existencia de este sistema de aseguramiento de la calidad, y que la empresa responderá ante el consumidor frente a cualquier problema derivado de la producción de alguna pieza defectuosa , o de alguna falla en la prestación del servicio. Aunque las cláusulas previstas en la norma ISO - 9000 , son de un carácter bastante general, y están enfocadas exclusivamente hacia el sistema y no hacia el producto, algunas de ellas hacen mención a la necesidad de que la empresa cuente con la existencia de métodos estadísticos para el control de calidad, y sugiere la implantación de técnicas de muestreo para detectar a tiempo la aparición de cualquier tipo de fallas . La aplicación de métodos de muestreo en la industria venezolana, ya era conocida aún antes de la aparición de la Norma ISO-9000, y así desde hace ya muchos años , COVENIN adoptó los planes de muestreo por atributos , conocidos como "Tablas Militares 105-D" , como normas venezolanas. Sin embargo, además de los planes de muestreo, otra evaluación muy importante en las auditorías de calidad, son los llamados estudios de capacidad o de habilidad de procesos, los cuales requieren de una metodología estadística.

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Así por ejemplo, la Norma Venezolana Covenin 9004-90, en donde se dan los lineamientos para la "Gestión de Calidad", establece textualmente en su Título Nº 10 "Calidad en Producción" , Sección 10.2 " Capacidad del Proceso", lo siguiente: « A los procesos de producción se les debe verificar su capacidad para producir de acuerdo con las especificaciones establecidas para el producto. Deben ser identificadas las operaciones asociadas con las características del producto o proceso, que puedan tener efectos significativos sobre la calidad del producto. Se debe establecer un control apropiado para asegurar la permanencia de estas características dentro de las especificaciones y que se hayan realizado los cambios y modificaciones apropiadas. La verificación de los procesos de producción debe incluir la revisión de los procedimientos relativos a material, equipo , sistemas de computación , procedimientos y el personal involucrado .» El concepto de capacidad de procesos se refiere fundamentalmente a la disposición que tiene el proceso para cumplir con las especificaciones que le son impuestas por las normas, y así por ejemplo , si el proceso presenta un alto grado de variabilidad y las especificaciones son muy estrechas, entonces generará un alto porcentaje de piezas defectuosas , es decir fuera de especificación . Si por el contrario, el proceso es muy preciso, y fabrica piezas con poco margen de variabilidad, entonces con calibraciones adecuadas, se podrá lograr que la totalidad de las piezas caigan dentro de las especificaciones exigidas, y el proceso se denominará capaz. Un proceso "capaz" es entonces, aquel que puede cumplir a cabalidad con los requisitos de calidad impuestos por las especificaciones. El concepto de capacidad de procesos no es nuevo en los textos de "Control Estadístico de Calidad " , pero si es una novedad dentro del medio industrial venezolano. De hecho , antes de la aparición de la Norma ISO-9000 , solo era puesto en práctica por un limitado número de industrias , tales como las petroleras , la industria automotriz , y algunas transnacionales. El objetivo del presente trabajo, es presentar de una manera clara y precisa, la metodología estadística necesaria para estimar la capacidad de cualquier proceso industrial que deba someterse a ciertas especificaciones externas, y puede ser de utilidad tanto para la empresa a fin de autoevaluarse, como para el auditor externo . La metodología que aquí se presenta no es propia, de hecho aparece dispersa en buena parte de los textos de "Control Estadístico de Calidad". Considero que mi

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principal contribución es organizarla, y presentarla de una manera didáctica, a fin de que pueda ser fácilmente utilizada por las personas relacionadas con el tema. Dado que la metodología aquí descrita requiere conocimientos básicos de Estadística, Probabilidades e Inferencia Estadística, es conveniente que las personas responsables de aplicarla , repasen los conceptos fundamentales de tales asignaturas, puesto que algunos de ellos como el cálculo de ciertos estadísticos muestrales de deformación y de curtosís, o el manejo de tablas normales , y pruebas de hipótesis, se suponen ya conocidos. He tratado de desarrollar la metodología conciliando dos aspectos: el práctico y el académico. El aspecto práctico es sumamente importante puesto que este trabajo está dirigido a personas del medio industrial, a quienes les interesa principalmente el aspecto metodológico, con el fin de evaluar su proceso. El aspecto académico es también para mí sumamente importante, ya que dada mi condición de Profesor Universitario , actividad a la que he dedicado gran parte de mi vida profesional por más de 26 años , no me sentiría satisfecho si me limitara a dar un "recetario" de fórmulas y procedimientos, sin justificación teórica alguna. Para conciliar estos dos aspectos decidí dividir el trabajo en cinco capítulos; los cuatro primeros se refieren exclusivamente a aspectos de carácter práctico que constituyen la esencia de la metodología, y en el quinto capítulo se da el fundamento teórico de la misma. En lo personal, considero que el Capitulo V es junto con la síntesis de la metodología , el gran aporte de este trabajo , ya que en los textos de Control de Calidad no aparece la justificación de muchos procedimientos , como la deducción de los coeficientes para construir los gráficos de control , o los coeficientes para estimar la desviación típica del proceso a partir del rango medio, etc., y cuyas demostraciones han sido desarrolladas por mí , con la ayuda de técnicas de Estadística Matemática . Sinceramente espero que el presente trabajo sea una contribución para el desarrollo del sector industrial venezolano, de utilidad para las personas relacionadas con el Control Estadístico de Calidad, y para aquellos estudiantes y profesionales interesados en conocer el porque de las cosas.

EL AUTOR

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CAPITULO I :

DISTRIBUCION NORMAL Y CAPACIDAD DE PROCESOS INDUSTRIALES .

La curva normal es la más importante de las distribuciones estadísticas, y representa un modelo teórico de comportamiento para una variable aleatoria continua “X”, cuya función de densidad de probabilidad viene dada por la ecuación:

f ( x)

1 2

(x - ) 2 2 e 2

- LS

CPK < 0

Como los parámetros del proceso son desconocidos , el verdadero valor de CPK es desconocido , y puede ser estimado a partir de la estimación de los parámetros del proceso . Para un proceso bajo control con un gráfico ( X , R ) tenemos:  PK = Mínimo valor entre LS X d2 ; X - LI d2 C 3R 3R

mientras que para un proceso bajo control con un gráfico ( X , S ) :

 PK = Mínimo valor entre C

LS X X - LI c4 ; c4 3S 3S

Algunos textos y programas de computación hacen la distinción entre un C PK para el límite inferior , y otro CPK para el límite superior , los definen como C PKI y CPKS respectivamente, y luego definen el “Coeficiente de Capacidad Real “ C PK para el proceso como el menor valor entre los dos, lo cual es obviamente equivalente a lo anterior. En el caso de especificaciones unilaterales , no es aplicable el concepto de Proceso Centrado , y resulta obvio que a medida que la media del proceso se aleje en sentido contrario del límite único de especificación, el proceso es más capaz, pues el porcentaje de defectuosas disminuye, tal como se muestra en la figura siguiente para la situación de una sola especificación inferior:

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La capacidad potencial "CP " no existe en estos casos , debido a que no hay un valor máximo para la capacidad del proceso . Cuanto más se aleje la media del proceso del límite único de especificación , mayor será su capacidad . Para calcular la Capacidad real "CPK", solo interesa la distancia de la media al único límite de especificación existente, la cual debe ser mayor que " 3 ", para que el proceso sea considerado capaz . CPK =

CPK =

Ls 3

( Solo la especificación superior)

LI 3

( Solo la especificación inferior )

La estimación de la capacidad del proceso se hace al igual que antes , a partir de los parámetros estimados del proceso bajo control . Con relación al valor mínimo que pueden tomar estos coeficientes para los fines de aprobación de una auditoría de calidad , es conveniente aclarar que la Norma ISO - 9000 es muy general y no los establece ; solamente consagra la conveniencia de que el proceso de producción sea capaz . ( Véase en la "Introducción" , el texto exacto de la norma. ) .Sin embargo , algunos autores , tales como Douglas C. Montgomery en su texto "Control Estadístico de Calidad " del Grupo Editorial Iberoamericana, Pag. 242, recomienda algunos valores mínimos para el coeficiente "CPK " , en función del tipo de proceso , y de la incidencia que tenga la característica de calidad en la seguridad del usuario o en la calidad del producto terminado. Los valores mínimos para "CPK " , recomendados por el Dr. Douglas Montgomery son ESPECIFICACIONES BILATERALES

ESPECIFICACIONES UNILATERALES

Procesos existentes

1.33

1.25

Procesos nuevos

1.50

1.45

1.50

1.45

1.67

1.60

Parámetro de seguridad, de resistencia, o crítico del proceso existente. Parámetro de seguridad, de resistencia, o crítico del proceso nuevo

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Se entiende por característica de seguridad aquella cuya falta de cumplimiento pueda ocasionar daños físicos al usuario tales como por ejemplo , la resistencia de un material . Se entiende por parámetro crítico aquel cuya falta de cumplimiento ocasiona que el producto terminado sea declarado como inservible . El valor CP= 1.33 corresponde a un proceso centrado con límites de especificación de ± 4 , mientras que el de CP= 1.67 para ± 5 . Ejemplo : Un dado de extrusión se emplea para producir barras de aluminio . El diámetro de las barras es una característica de calidad crítica , que debe encontrarse dentro de las especificaciones ( 0.5035 ± 0.0010 ) pulgadas. Se toman 20 muestras de 5 barras cada una , y se les calcula su media y su rango muestral . Los valores dados en la tabla siguiente son los tres últimos dígitos de las mediciones ; esto es, 34.2 se lee como 0.50342 Muestra

1

2

3

4

X

34.2

31.6

31.8

33.4

R

3

4

4

5

4

2

7

9

12

13

14

15

16

17

18

35.2 33.4

35.0

Muestra 11

X

35.4

34.0

36.0

37.2

R

8

6

4

7

5

6

35.0 32.1

3

10

7

8

9

32.6 33.8 34.8

4

38.6

10

19

34.4 33.9 7

10

8

4

20 34.0 4

a) Establezca los diagramas ( X , R ) , revisando los límites de control tentativos si es necesario , suponiendo que pueden encontrarse causas asignables . b) Calcule los coeficientes CP y CPK, e interprete el resultado. c) Estime el porcentaje de defectuosos que está produciendo el proceso. Solución : a) X = 34.32 , R = 5.65 Los límites de control tentativos son: U. C.L X = 34.32 + 0.577 ( 5.65 ) = 37.58 Línea Central: X = 34.32

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L. C.L X = 34.32 - 0.577 ( 5.65 ) = 31.06 U.C.LR = 2.114 (5,65 ) = 11.94 Línea Central R = 5,65 L.C.L R = 0

La muestra Nº 10 está fuera de control para X . Suponiendo que fueron encontradas las causas asignables , la muestra Nº 10 puede ser eliminada , y resulta: X = 34.09 ; R = 5.74 Eliminada la muestra Nº 10 , los límites de control revisados pasan a ser:

U. C.L X = 34.09 + 0.577 ( 5.74 ) = 37.40 Línea Central: X = 34.09

L. C.L X = 34.09 - 0.577 ( 5.65 ) = 30.83 U.C.LR = 2,114 ( 5,74 ) = 12.13 Línea Central R = 5.74 L.C.L R = 0 El proceso queda bajo control b) Los parámetros estimados del proceso son : 

X = 34.09 ;  =

5.74 = 2.326

2.47  P = = 45.0 25.0 = 1.35 C 6(2.47)

El proceso es potencialmente capaz .

Sin embargo, como  = 34.09 , y el punto central de la especificación es 35.0, el proceso está corrido hacia la izquierda. Los coeficientes de capacidad real estimados son:

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 pkI = X LI = 34.09 25 = 1.23 ; C  pks = L S X = 45 34.09 = 1.47 C 3 (2.47) 3 (2.47) 3 3

CPK = Menor valor entre { 1.23 ; 1.47 } = 1.23 A pesar de estar la media corrida hacia la izquierda , la especificaciones le resultan tan cómodas , que el proceso sigue siendo capaz. Otra manera de estimar a CPK, es mediante el índice de localización: Para nuestro caso , se tiene: T = LS - LI = 45.0 -25.0 = 20.0 = X

K=

0

= 34.09 - 35.0 = 0.91

2 (0.91) 2 = = 0.091 20.0 T

El índice de localización resulta ser 0.091 ó 9.1 % , lo que se interpreta como una relación entre el corrimiento de la media con el radio de la especificación . No existen normas acerca de los valores permisibles para este índice de localización, entre otras razones porque su incidencia en la capacidad real del proceso depende de su capacidad potencial "Cp" , de manera que un valor de k=0.091 , puede interpretarse como descentralización no influyente cuando C P es mucho mayor que 1 como este caso, pero muy influyente en la Capacidad real si CP 1. Una vez calculado "k" , se tiene : CPK= CP( 1- k) = 1.35 ( 1 - 0.091) = 1.23 lo que coincide con la estimación realizada por el otro método . c) En cuanto a la estimación del porcentaje de piezas defectuosas que actualmente está produciendo el proceso , tenemos que el porcentaje de piezas conformes es: P ( 25 =

X

45 ) = P (

( 4.42 ) -

25 34.09 2.47

Z

45 34.09 ) = P ( -3.68 2.47

( -3.68) = 0.99988

P ( defectuosas) = 1 - 0.99988 = 0.00012 = 0.012 % .

Z

4.42)

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El porcentaje estimado de piezas defectuosas da evidentemente insignificante , pues el proceso resultó capaz ; pero podría reducirse aún más si se centrara .

EJERCICIOS PROPUESTOS : 1º) Veinticinco muestras de tamaño 5 cada una , se extraen de un proceso a intervalos regulares, y se obtienen los siguientes datos: i 25

i 25

Xi = 367.00 ; i 1

Ri = 8.60 i 1

a) Calcule los límites de control para el diagrama ( X , R ) . b) Suponiendo que el proceso está bajo control , y que los límites de especificación son 14.50 ± 0.50 , ¿ qué conclusiones se pueden extraer acerca de la capacidad del proceso, para operar dentro de estas especificaciones ? . c) Estime el porcentaje de artículos defectuosos que se producirán bajo las condiciones actuales de operación. d) Estime los coeficientes CP , CPK, y el "índice de localización" . Interprete los resultados . Solución : a) [14.48 ; 14.88] y [ 0 ; 0.73] . c) 1.54 % . d) C P = 1.13 ; CPK= 0.72 ; k= 0.36 . 2º) Se toman 18 muestras de tamaño 10 cada una ,con el propósito de construir un gráfico ( X , S), para controlar el contenido de una cierta sustancia dentro de unas piezas. i 18

Los resultados obtenidos dan:

i 18

Si = 8.24 .

Xi = 595.8 ; i 1

i 1

a) Encuentre los límites de control para el gráfico ( X , S ) . b) Si las especificaciones establecen que el contenido mínimo de esta sustancia debe ser de 33 gramos , estime el porcentaje de piezas que no la cumplen. c) Calcule el coeficiente Cpk, e interprete el resultado. Solución : a) [ 32.65 ; 33.55 ] y [ 0.13 ; 0.79] b) 41.68% . c) C PK= 0.07

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OTROS METODOS PARA ESTIMAR LA CAPACIDAD DEL PROCESO A pesar de que la metodología anteriormente descrita para estimar la capacidad del proceso es la que más se utiliza, y es prácticamente la única que aparece dispersa en algunos textos de " Control Estadístico de Calidad " , algunos autores consideran que la misma presenta un punto débil, cual es el supuesto de normalidad para las piezas individuales que fabrica el proceso. En efecto , la distribución estadística de la característica de calidad en estudio para las piezas individuales , se suele llamar en el léxico del "Control Estadístico de Procesos" , la "Distribución subyacente " , y en el caso de la teoría de los gráficos de control , el supuesto de normalidad para esta distribución subyacente es el fundamento para determinar todos los coeficientes A 2, A3, B3, B4 , d2 , c4 , etc. , indispensables para su construcción . Por otro lado , dado que el gráfico de control se aplica para promedios , X , R , S , etc., la normalidad de estos promedios no garantiza la normalidad de las observaciones individuales, pues en la teoría estadística se estudia un teorema conocido como " Teorema Central del límite " , el cual garantiza la normalidad de los promedios , sea cual fuere la distribución de las observaciones individuales .

De lo anterior se deduce entonces que la normalidad de la distribución subyacente no queda plenamente demostrada a partir de las gráficas de control, y que es necesario demostrarla de una manera más rigurosa mediante la aplicación de las pruebas de ajuste estudiadas en el Cap. II . Una de las consecuencias de la no normalidad sobre la distribución subyacente, es que ya no es válido el porcentaje de 99.73 % de observaciones individuales para el intervalo [µ- 3 ; µ + 3 ] . Según la "Desigualdad de Chebyshev" , para una distribución subyacente cualquiera , este porcentaje es de 88.89 % por lo menos: 2

P(|X-µ|

3 )

1-

9

2

=

8 = 88.89 % 9

En el Cap. V ( Fundamentos Teóricos ) , se dan algunos de los resultados obtenidos por ciertos investigadores, acerca del efecto de la no normalidad sobre los gráficos de control .

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ESTIMACION DE LA CAPACIDAD A PARTIR DEL HISTOGRAMA Con el fin de garantizar que la distribución subyacente sigue realmente una Distribución Normal , este método toma un conjunto de observaciones individuales provenientes del proceso ( 100 por lo menos), las agrupa en intervalos de clase para construir el histograma , posteriormente les hace una prueba de normalidad por alguno de los métodos ya explicados en el Cap.II, y en caso de que sea aceptada , a partir de allí estima su capacidad. Aparentemente el método tiene la ventaja de garantizar la normalidad , y además de hacer una mejor estimación de los parámetros del proceso , pues indudablemente una estimación de " " basada en "S" para 100 observaciones individuales , es mucho más confiable que otra estimación basada en “R” ó en “S” , para varios subgrupos de un tamaño relativamente pequeño . Sin embargo ,el problema que se presenta ahora es el de ¿ cómo garantizar que estas 100 ó más observaciones individuales , han sido tomadas bajo unas condiciones estables de operación del proceso ? ; pues si durante el desarrollo del muestreo aparecen causas asignables , la estimación de " " que se haga a partir de ellas no será realista , la hipótesis de normalidad resultará rechazada , la capacidad del proceso resultará subevaluada , y con el agravante de que aquellas observaciones correspondientes a la acción de las causas asignables no podrán ser identificadas. Lamentablemente, sin la ayuda de las gráficas de control, no podemos tener una probabilidad relativamente alta de poder afirmar que el proceso está operando bajo condiciones estables, y de allí que la estimación de su capacidad no pueda aislarse de la construcción de tales gráficas. La forma como opera el método es la siguiente : 1º) Se procede a tomar una muestra de 100 observaciones individuales como mínimo del proceso . La muestra se toma en subgrupos de 4 ó 5 observaciones cada una, a intervalos de tiempo suficientemente distantes , al igual que como se explicó para la construcción de una gráfica ( X , R) , lo que exigirá tomar 20 ó 25 subgrupos . 2º) Se procede al igual que antes a construir el gráfico, y a eliminar aquellas muestras fuera de control, una vez detectada la causa asignable. 3º) Con el proceso bajo control , se toman todas aquellas observaciones individuales correspondientes a las muestras que no fueron eliminadas sin

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hacer distinción de subgrupos, y se clasifican en una tabla agrupada de frecuencias , siguiendo los procedimientos de Estadística Descriptiva . Esto garantiza que las observaciones individuales provienen de un proceso estable, sin la acción aparente de causas asignables . 4º) A la tabla agrupada de frecuencias se le dibuja un histograma , y se le aplican pruebas de normalidad , o papel probabilístico. 5º) De resultar afirmativa la prueba de ajuste, se estiman los parámetros del proceso , a partir de la tabla agrupada de frecuencias. 6º) Con los parámetros estimados , se estima el porcentaje de piezas fuera de especificación, y los coeficientes de capacidad C P y CPK . Ejemplo: Tomemos los datos correspondientes a las 20 muestras de 5 pastillas del capítulo anterior Estos datos ya fueron analizados, y los parámetros del proceso estimados, resultando ser µ = 4.98 ,

= 0.1333 .

Apliquemos ahora este nuevo método , a fín de obtener una estimación de los parámetros del proceso a partir del histograma . Como la muestra Nº 7 fue eliminada, los datos quedaron reducidos a 19 muestras de tamaño 5 cada una, es decir 95 observaciones. Estas 95 observaciones se clasifican en una tabla de frecuencias: Peso

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

5.0

5.1

5.2

5.3

frecuencia

1

1

2

13

20

30

18

7

3

107 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Los parámetros estimados resultan ser  = X = 4.98 ;  = S = 0.1458 A continuación procedemos a verificar la normalidad de las observaciones individuales, mediante la aplicación de la prueba chi - cuadrado de bondad del ajuste, para lo cual es necesario clasificarlas en intervalos. Teniendo en cuenta que se trata de una variable continua los límites reales de cada observación son de ± 0,05. Posteriormente con las tablas normales se calculan las frecuencias esperadas, y se procede tal como se explicó en el Cap. II , teniendo en cuenta que la hipótesis a probar es : H0: El peso de una pastilla se ajusta a una Distribución Normal . H1: El peso de una pastilla no se ajusta a una Distribución Normal . Los resultados obtenidos se dan en la tabla a continuación: Peso de la Pastilla < 4.75 4.75 - 4.85 4.85 - 4.95 4.95 - 5.05 5.05 - 5.15 5.15 - 5.25 5.15 5.25

fi 4 13 20 30 18 7 3 10

pi 0.0582 0.1302 0.2330 0.2657 0.1926 0.0888 0.0315 =0.1203

ei 5.53 12.37 22.13 25.24 18.29 8.44 2.99 11.43

108 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Siguiendo las reglas de la prueba chi- cuadrado (Capitulo II), como el último intervalo resultó con una frecuencia esperada menor que 5 , se fundió con el anterior . i=k

( fi - e i ) 2 ei i=1

2

Para este caso k = 6 , pues al final resultaron 6 intervalos después de hecha la fusión de los dos últimos intervalos. Hechos los cálculos, se obtiene :

2

= 1.74 ; mientras que el valor crítico dado

por la tabla chi cuadrado con 6-1-2= 3 grados de libertad, a un nivel de significación del 5% , es :

2

0.05;3

= 7.81 , lo que evidentemente conlleva a la

aceptación de la hipótesis de que el peso de cada pastilla individualmente sigue una Distribución Normal . También hubiera podido verificarse la normalidad con el papel probabilístico, el cual hubiera quedado de la siguiente forma:

Una vez verificada la normalidad de los pesos individuales, y con los parámetros estimados :  = 4.98 ;  = 0.1458 , que resultó ligeramente mayor que 0.1333, estimación a partir de R del gráfico de control , se hace el análisis de especificaciones y de capacidad , a igual que como se explicó en las secciones respectivas .

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Es de hacer notar que este método de estimación de la capacidad del proceso a partir de su histograma , está muy poco difundido en la Bibliografía de Control Estadístico de Calidad ; solo aparece tratado de una forma muy breve en los siguientes textos: 1º) Control Estadístico de Calidad . Douglas C. Montgomery Grupo Editorial Ibero Americana. México 2º) Control de Calidad . Bertrand L. Hansen Editorial Hispano Europea . Barcelona . España Este último texto lo denomina "Método de la Amplitud Unica" , ya que para estimar el porcentaje poblacional de piezas dentro de los límites muestrales, utiliza el rango o amplitud de la muestra unificada . En opinión muy personal del autor, las razones que han prevalecido para la escasa difusión de este método, a pesar de ser muy completo, son las siguientes: 1º) En primer lugar una razón teórica, pues el uso de los estimadores convencionales de "µ" y de " " supone que las observaciones muestrales son aleatorias e independientes, y como en éste método las observaciones son tomadas en subgrupos, es discutible la legitimidad de estos supuestos. Sin embargo, el supuesto de independencia entre las observaciones tiene cierto asidero, pues el método exige que el histograma sea construído para el proceso bajo control , y con esta exigencia se garantiza que no existan diferencias significativas entre los distintos subgrupos . 2º) En segundo lugar, una razón práctica, pues éste método es mucho más laborioso , requiere un mayor conocimiento de los métodos estadísticos , y al final arroja la misma estimación del parámetro "µ" . En cuanto a la estimación de " " , este método dará siempre una estimación ligeramente mayor , pues la suma total de cuadrados para las observaciones se verá ligeramente afectadas por las diferencias poco significativas entre los subgrupos. La ventaja de este método con relación al convencional es la de garantizar con bastante certeza la normalidad del proceso. El método convencional no la garantiza, sino que la supone.

110 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Posiblemente el lector se preguntará; « ¿qué hacer en caso en caso de que la normalidad resulte rechazada ? » . La respuesta a esta pregunta la dan los métodos no paramétricos , o libres de distribución , que permiten analizar las especificaciones sin la necesidad del supuesto de normalidad , pero con la desventaja de requerir tamaños de muestra mayores . Una información más detallada sobre estos métodos puede encontrarse en el ya citado texto del Dr. Douglas Montgomery , Pag. 262 , así como también en el texto "Estadística para Ingenieros " de los autores Albert Bowker y Gerald Lieberman , de la Editorial Prentice Hall . También existe un método conocido como " Lot Plot " , el cual puede ser aplicado aún cuando la distribución no sea normal . Una explicación detallada de este método puede encontrarse en el texto " Control de Calidad y Estadística Industrial" del autor Acheson J. Duncan , en el Cap. 23 de "Procesos y procedimientos especiales " , y que se utiliza principalmente como plan de muestreo por variables .

INFERENCIAS RELATIVAS A LA CAPACIDAD DEL PROCESO Hemos visto que la capacidad del proceso se mide a través de tres indicadores: El porcentaje de piezas defectuosas que produce , el cual debe ser prácticamente cero para un proceso capaz , y los dos coeficientes de capacidad, el potencial "CP " y el real "CPK" , los cuales deben ser ambos mayores que 1 para un proceso capaz . A lo largo de este capítulo, hemos visto como estimar estos indicadores de la capacidad del proceso . Sin embargo, no podemos olvidar que estos procedimientos conducen a estimaciones puntuales de tales indicadores porque se apoyan en la estimación puntual de los parámetros del proceso . Al ser toda estimación puntual un valor particular de un estadístico muestral, esta estimación estará sujeta a la aleatoriedad de la muestra , y por lo tanto no se puede afirmar que el valor estimado del parámetro sea exactamente igual al verdadero valor poblacional. Hasta el momento , los textos de "Control Estadístico de Calidad" y presumiblemente las auditorías de calidad , han tratado el problema basados

111 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

exclusivamente en la estimación puntual , olvidando por completo que la estimación obtenida es en realidad un valor particular de una variable aleatoria , y que si se hiciera otra evaluación de la capacidad a partir de otra muestra , muy seguramente el resultado sería otro. Desde un punto de vista estrictamente teórico , lo más correcto sería que la estimación de estos indicadores de capacidad se hiciera por intervalos , y que la decisión relativa a la aprobación de una auditoría de calidad se hiciera mediante una prueba de hipótesis . Es decir , que si las normas exigieran por ejemplo , que para un determinado proceso el valor mínimo del coeficiente de capacidad real debe ser de 1.33 , entonces la decisión de aprobación o improbación de la capacidad del proceso a los fines de dar cumplimiento a lo exigido por la Norma ISO - 9000 , se hiciera mediante la Prueba de Hipótesis: H0 : CPK

1.33

H1 : CPK < 1.33

El proceso cumple con la norma. El proceso no cumple con la norma.

Hasta la fecha , no ha sido desarrollada una metodología para probar este tipo de hipótesis , y según algunas investigaciones realizadas por el autor , el problema se encuentra en fase de investigación . El problema sería fácil de resolver en caso de que la hipótesis se refiera al coeficiente de Capacidad Real "CP" , y la decisión se tomara en base a una sola muestra , como por ejemplo la unificada, considerada en el método anterior de estimación a partir del histograma . La prueba de hipótesis: H0 : CP

CP0

H1 : CP < CP0 se reduce a una prueba unilateral para la varianza , de las ya estudiadas en la

H0 :

2

L S - LI 6 Cp0

H1:

2

L S - LI 6 Cp0

2

que sería de la forma: 2

En cuanto a la estimación por intervalos para los coeficientes de capacidad , y para el porcentaje de defectuosos que fabrica el proceso , se presenta el mismo

112 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

problema , pues hasta la fecha no se ha encontrado la distribución estadística de sus correspondientes estimadores . Una estimación por intervalos para "CP" en base a una sola muestra , podría ser obtenida a partir del intervalo de confianza para 2, que como se sabe de la Inferencia Estadística es :

(n -1)S2 2

/ 2; n-1

;

(n -1)S2 2 1

; lo que daría el siguiente

/ 2; n-1

intervalo del (1- ). 100% de confianza para CP : 2 1

/ 2; n-1

n 1

En donde:

2 1

/ 2; n-1 =

L S-LI ; 6S

2

/ 2; n-1

n 1

L S-LI 6S

Abscisa que en una Distribución chi- cuadrado con (n-1) grados de libertad deja a la derecha un área "1 -

2

/ 2; n-1

2

".

= Abscisa que en una Distribución chi- cuadrado con (n-1) grados de libertad deja a la derecha un área "

2

".

El problema está en que la estimación de la capacidad del proceso no es recomendable hacerla en base a una sola muestra por las razones de estabilidad que ya conocemos ,y por ese motivo las fórmulas anteriores no son aplicables cuando la estimación de " " se hace a partir del rango medio R , o a partir de S , según el gráfico de control utilizado, pues se modifican las condiciones teóricas bajo las cuales se obtiene el intervalo de confianza anterior.

113 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Por este motivo se hace necesario encontrar la distribución del estimador de C P y de CPK , bajo estas nuevas condiciones de estimación, en base a “k” subgrupos de tamaño “n” cada uno. En el apéndice se encuentran unos artículos de aparición relativamente recíente en revistas especializadas, en donde se aborda el problema. Uno de los artículos titulados " How Reliable is your Capability Index ?" de A.F Bissel, enfrenta el problema de la estimación por intervalos para los coeficientes de capacidad , mediante la introducción de dos índices básicos que define como: L S LI LS LI I= ; IK= ó IK = ;y posteriormente analiza el número efectivo de grados de libertad con que se realiza la estimación, el cual designa por “f”. analiza el número efectivo de grados de libertad con que se realiza la estimación , el cual designa por "f" . Finalmente , el autor A.F Bissel obtiene unas expresiones aproximadas para el intervalo de confianza correspondiente a I K, a partir del cual se puede obtener el de CPK. También se incluye en el apéndice , otro artículo titulado " Bootstrap Confidence Interval Estimates of CPK . An Introduction ". Este artículo propone una metodología para estimar por intervalos al coeficiente CPK, por un método denominado "Bootstrap " , que consiste en tomar una muestra aleatoria de tamaño "n" del proceso , y posteriormente tomar otra muestra con reemplazamiento , también de tamaño "n" , pero proveniente de la muestra original, la cual denomina " muestra bootstrap" . Como existen nn muestras bootstrap posibles , cada una de ellas conduce a un valor estimado de CPK ( no necesariamente todos únicos) . La distribución de estos valores de CPK, dependerá evidentemente de la muestra original tomada del proceso, y a partir de allí obtiene un intervalo de confianza para CPK , el cual resulta centrado en su valor puntual estimado, y con una amplitud función de la desviación típica de estos diferentes valores de C PK. También se incluye en el apéndice un programa para obtener el referido intervalo de confianza para CPK , por este método "Bootstrap" . La estimación por intervalos tanto para " CP " como para " CPK " , es sin embargo demasiado reciente y aún no ha sido incorporada en los textos de "Control Estadístico de Calidad". No es de extrañar que un futuro próximo, en las

114 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

auditorías de calidad se exijan , así como también las pruebas de hipótesis para la verificación de que el proceso cumple con los requisitos cuantitativos mínimos de capacidad , que aún la norma ISO - 9000 no establece .

RELACION ENTRE LOS LIMITES NATURALES DEL PROCESO Y LOS LIMITES NATURALES DE SUS COMPONENTES Es muy frecuente que la capacidad de un proceso resulte erróneamente evaluada porque su límites naturales de variación han sido mal establecidos. En la Pag. 67 vimos que para hacer la evaluación de la capacidad del proceso es necesario comparar sus límites naturales de variación con las especificaciones , y que estos límites naturales se hallan: L.N.I = µ - 3

L.N.S = µ + 3

En algunas oportunidades los límites naturales de variación para una variable no se determinan por la observación directa de ella, si no indirectamente a través de otras , y es muy frecuente que en esa determinación se cometan errores , que luego afecten la evaluación de la capacidad del proceso Ejemplos de tales situaciones son las siguientes: 1º) Imaginemos que tenemos un envase cilíndrico , y que se han determinado los límites naturales de variación para su diámetro y para su altura. Supongamos que los del diámetro son (10.00 ± 0.25 ) cms , y que los de la altura son ( 18.00 ± 0.30 ) cms . ¿ Cuales son los límites naturales de variación para el volumen del envase ? . Una persona poco experimentada en el manejo de técnicas estadísticas haría el siguiente razonamiento : La situación más desfavorable para el volumen es cuando tanto el diámetro como la altura están en el límite natural inferior , es decir 9.75 cms y 17.70 cms respectivamente , y teniendo en cuenta que V= r2h , el mínimo volumen para el envase es 1.312,52 cm3, y luego haría un razonamiento similar para el máximo , con un diámetro de 10.25 cms y una altura de 18.30 cms , obteniendo un límite natural superior para el volumen de 1.510,04 cm3. Tal razonamiento aparentemente lógico, es incorrecto desde el punto de vista estadístico, por la siguiente razón :

115 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Los límites naturales de variación para cada variable, se dan para un 99% de probabilidad de cobertura , de manera que obtener un envase que tenga ambas dimensiones diámetro y altura por debajo o por encima de su respectivo límite natural de variación , tiene una probabilidad muy inferior al 1% ; suponiendo independencia entre ambas variables esta probabilidad sería : 2x0.005 x 0.005 = 5 x 10-5. El intervalo calculado [ 1.312 , 52 ; 1.510, 04 ] , es en consecuencia mucho más amplio que el intervalo natural de variación para el volumen . 2º) Otra situación similar a la anterior se presenta cuando en un proceso hay que mezclar diversos ingredientes . Supongamos que en una determinada etapa del proceso hay que mezclar dos envases de un ingrediente "A" con un envase de otro ingrediente "B" , y que estudios estadísticos han comprobado que los límites naturales de variación para el ingrediente "A" son entre 420 y 438 gramos , mientras que los del ingrediente "B" entre 510 y 516 gramos . Un razonamiento similar al utilizado anteriormente nos llevaría a la falsa conclusión de que los límites naturales de variación para el producto resultante son entre 2 x 420 + 510 = 1350 gramos y 2 x 438 + 516 = 1392 gramos . Este intervalo [ 1350 ; 1392] resulta mucho más amplio que el de 99% de probabilidad de cobertura , ya que es muy poco probable que al azar seleccionemos dos envases "A" con un contenido inferior a 420 , acompañados de otro envase con contenido inferior a 510 gramos . Esta probabilidad sería(0.005)3, para cada lado , y en total 2x(0.005) 3, lo que evidentemente da una probabilidad de cobertura superior al 99% para el intervalo encontrado. El lector seguramente se preguntará que si el razonamiento anterior no es el correcto , ¿ que debe hacerse entonces para encontrar los límites naturales de variación del proceso ? . Lamentablemente el problema no es fácil de resolver en el caso general . Solamente cuando las variables involucradas siguen cada una de ellas Distribuciones Normales independientes, y la relación entre la variable del proceso es una función lineal de ellas , existe un procedimiento sencillo para resolver el problema . En el primer ejemplo , donde la función no es lineal : V = r2h , la situación es compleja desde el punto de vista estadístico , pues hay que encontrar la Distribución del Volumen, a partir de la Distribución del diámetro y de la altura , aplicando técnicas de Transformación de Variables Aleatorias , Funciones de Variables Aleatorias , y métodos aproximados basados en desarrollos en series

116 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

de Taylor . Una explicación muy detallada sobre estas técnicas puede encontrarse en los siguientes textos : 1º) Estadística Matemática con Aplicaciones . Menderhall , Wackerly y Scheaffer . Grupo Editorial Iberoamericana . Cap. 6 2º) Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas . Meyer . Addison Iberoamericana . Cap. 5 y 6 .

Wesley

En el segundo ejemplo , la relación es lineal , pues si designamos por "Y" al peso de la mezcla , se tiene : Y = XA1 + XA2 + XB, siendo XA y XB el peso de un envase "A" y de uno "B" respectivamente . Nótese que no es correcto escribir Y = 2 X A + XB , pues al ser aleatorio el peso de cada caja , no necesariamente el peso total de las dos cajas es de una multiplicado por 2 . En la Teoría Estadística se estudia un teorema cuya demostración se da en el Cap. V , y el cual establece lo siguiente : Si X1 , X1 .... Xn son variables aleatorias independientes , y normalmente distribuidas , entonces una función lineal de ellas : Y = a0 + a1 X1 + a2 X2+ .... + an Xn también seguirá una Distribución normal , y sus parámetros son : Y

= a0 + a1 2 Y

= a12

1

+ a2

2+

2 1

+ a22

2 2

.... + an

n

+ .... + an2

2 n

Aplicando este teorema para el ejemplo 2 , podemos hallar los límites naturales de variación para el peso de la mezcla , procediendo como sigue: Si los límites naturales para el peso de las cajas tipo "A" son 420 y 438 , suponiendo normalidad tenemos : A= 429 , y 6 A = 438- 420 = 18 A = 3 y 2 por consiguiente XA N ( 429 ; 3 ) . De manera análoga, si para el ingrediente "B" sus límites naturales de variación son 510 y 516 , entonces se obtiene : B= 513 , B= 1 , y XB N(513;12) .

117 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Al ser Y = XA1 + XA2 + XB, mediante la aplicación del teorema se concluye entonces que Y N ( 1371 ; 19 ), y en consecuencia los limites naturales de variación para el peso de la mezcla sería : Límite Natural Inferior = Límite Natural Superior =

Y

-3 Y+

Y=

3

Y=

1371 - 3

19 = 1357.92

1371 + 3

19 = 1384.08

El intervalo obtenido es evidentemente más estrecho que el obtenido por el razonamiento incorrecto explicado anteriormente . Ejemplo propuesto : Para hacer un montaje , es necesario ensamblar tres componentes de la forma como se indica en la figura :

Las dimensiones de cada componente son variables aleatorias independientes, que siguen cada una distribución normal , y sus límites naturales de variación son de (1.00 ± 0.04 ) pulgadas para X1 , (3.00 ± 0.05 ) pulgadas para X2 y (2.00 ± 0.02 ) pulgadas para X3. Analice si el proceso es capaz de cumplir con las especificaciones ( 6.00 ± 0.06 ) para el ensamble . Calcule el porcentaje de piezas fuera de especificación y su coeficiente de capacidad CP. Solución : No es capaz . 0.74 % . CP = 0.8944 .

ANALISIS DE CAPACIDAD MEDIANTE DISEÑO DE EXPERIMENTOS Cuando un proceso resulta no capaz para cumplir unas especificaciones , la pregunta que inmediatamente debe hacerse el ingeniero o investigador es «¿qué puedo hacer para convertir este proceso en capaz ? » . La gran mayoría de las veces no es posible conseguir una ampliación de las especificaciones , que sería el camino más cómodo y económico para convertir al proceso en capaz , pues las mismas son generalmente exigencias de normas internacionales .

118 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Otra posibilidad para convertir el proceso en capaz es la aplicación de las diversas recomendaciones del Dr. Deming , tendientes a reducir la variabilidad del proceso , ya mencionadas anteriormente. La alternativa de sustituir las maquinarias y equipos por otros más precisos es tan costosa , que muchas veces no es considerada . El "Diseño de Experimentos" es una principales herramientas estadísticas que permite reducir la variabilidad de un proceso, mediante la identificación de los factores y variables que más lo afectan . En efecto, en un proceso industrial intervienen una serie de variables , algunas de ellas controlables , tales como temperatura , presión , tiempo , velocidad de giro de ciertas maquinarias , etc., que afectan en mayor o en menor grado las características del producto obtenido . Un experimento controlado consiste en tomar una serie de observaciones de las características de calidad del producto, modificando simultáneamente varias de las variables de entrada al proceso . Así por ejemplo, para distintos niveles de presión , temperatura , etc. , se observa el valor de una cierta característica de calidad , y se analiza su variabilidad . Mediante el uso de estas técnicas se logra identificar las llamadas variables activas , que son aquellas que realmente tienen una incidencia significativa en el comportamiento del proceso , y en las características de calidad del producto terminado. La identificación de estas variables activas es de gran utilidad para aumentar la capacidad del proceso , pues mediante un control más estricto de ellas, se puede lograr un comportamiento más estable del proceso , y en consecuencia un producto mucho más homogéneo. Estas técnicas de "Diseño de Experimentos" son de reciente aplicación en el medio industrial , pero eran ya conocidas aún antes de la segunda guerra mundial , con aplicaciones muy concretas en la agricultura , pues allí intervienen gran cantidad de variables como condiciones climatológicas , características del suelo , tipos de fertilizantes , etc. , y mediante su aplicación se logró identificar la combinación óptima de estos factores , y obtener un óptimo aprovechamiento del suelo . Las técnicas de Diseño de Experimentos son el complemento indispensable para los " Diagramas Causa - Efecto" , pues no todas las causas que se señalan

119 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

en ellos son significativamente influyentes en el proceso , y mediante la utilización del " Diseño de Experimentos " , algunas de las causas consideradas inicialmente como importantes en la calidad del producto , pueden ser desechadas, e incorporadas otras . En el apéndice se incluye un artículo titulado « Designing Process Capability Studies» de George C. Runner, en donde se hace referencia a los beneficios de los experimentos diseñados en el Control Estadístico de Procesos. Una mayor información sobre estos métodos , puede encontrarse en el texto "Diseño y Análisis de Experimentos" del mismo autor ya mencionado Douglas C. Montgomery , del Grupo Editorial Iberoamericana .

EJERCICICIOS DE RECAPITULACION

1º) Los datos siguientes representan la resistencia a la presión interna de unas botellas para bebidas gaseosas expresada en p.s.i, y están organizados en 20 muestras de 5 boteas cada una . Muestra Nº

Muestra Nº

1

265

205

263

307

220

11

2

197

286

274

243

231

12

267

281

265 214

318

3

346

317

242

258

276

13

300

208

187 264

271

4

280

242

260

321

228

14

250

299

258 267

293

5

265

254

281

294

223

15

260

308

235 283

277

6

200

235

246

328

296

16

276

264

269 235

290

7

221

176

248

263

231

17

334

280

265 272

283

8

265

262

271

245

301

18

280

274

253 287

258

9

261

248

260

274

337

19

250

278

254 274

275

10

278

250

265

270

298

20

268

257

260

210

234 299

280 269

215

251

a) Construya un gráfico de control ( X , R) . Analice si el proceso está bajo control , y determine los límites de control .

120 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

b) Si las especificaciones exigen que las botellas para bebidas gaseosas deben tener una resistencia interna mínima de 200 p.s.i . Analice si este proceso es capaz de cumplir con esta especificación . c) Estime el coeficiente de capacidad real , y el porcentaje de botellas que no cumplen con la especificación . d) Unifique las muestras , construya el histograma , verifique la normalidad del proceso , y recalcule el coeficiente CPK, y el porcentaje de piezas fuera de especificación . Solución : a) Proceso bajo control . Para X : ( 210.46 ; 308.66 ) . Para R : ( 0 ; 163. 49 ) . b) No es capaz . c) CPK = 0.64 . 2.68 % .

2º) Las especificaciones para una pieza son 600 ± 20 . La producción de esta pieza ha estado bajo control durante un largo tiempo , mediante el uso de un gráfico ( X , R ) . Los límites de este diagrama para subgrupos de tamaño 9 son: Diagrama para X

Diagrama para R

Límite Superior

616

32.36

Linea Central

610

17.82

Límite Inferior

604

3.28

a) ¿ Cuáles son sus conclusiones acerca de la capacidad del proceso ? . b) Estime los coeficientes CP, CPK y el porcentaje de piezas fuera de especificación. Solución : a) No es capaz por no estar centrado . b) C P= 1.11 potencialmente capaz . CPK = 0.56 . 4.75 % fuera de especificación .

es

3º) Un proceso distribuido normalmente emplea el 66.67 % de la banda de especificación, está centrado en la dimensión nominal, y se localiza a la mitad entre los límites de especificación superior e inferior.

121 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

a) ¿ Cual es su coeficiente de capacidad actual CP ? . b) ¿ Qué porcentaje de defectuosas produce actualmente ? . c) Suponga que la media se corre a una distancia de exactamente 2 desviaciones típicas por debajo del límite superior de especificación. ¿ Cual es ahora su nuevo coeficiente de capacidad real ? . d) Después del corrimiento , ¿cuál es el nuevo porcentaje de piezas defectuosas? . Solución : a) CP = 1.50 . b) 3.40 por millón de piezas producidas . c) C PK = 0.67 d) 2.28 % . 4º) Se utiliza un diagrama ( X , R ) con subgrupos de tamaño 8 , para controlar la resistencia a la tensión ( expresada en libras) de un hilo. Se seleccionaron 30 muestras, se calculó para cada una su media y su rango , y i 30

se obtuvo:

i 30

Xi = 607,80 , i 1

Ri = 144 . i 1

Suponiendo que el proceso queda bajo control , y que existe una especificación inferior que establece que la resistencia de este hilo debe ser de 16 lb. como mínimo, calcule el coeficiente de capacidad , y el porcentaje de piezas fuera de especificación . Solución : CPK = 0.84

no es capaz . 0.59 %

5º) Se utiliza un diagrama ( X , S ) , con subgrupos de tamaño 4 para controlar una cierta característica de calidad . Los límites de este diagrama son: Diagrama para X

Diagrama para S

Límite Superior

201.63

2.266

Línea Central

200.00

1.000

Límite Inferior

198.37

0

Suponiendo que el diagrama indica control, y que las especificaciones son 200.00 ± 2.50 . a) ¿ Cuáles son sus conclusiones acerca de la capacidad del proceso ? .

122 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

b) Estime el coeficientes CP , y el porcentaje de piezas fuera de especificación . Solución: CP = 0.77

no es capaz . 2.14 % .

6º) Un eje consiste en seis secciones diferentes colocadas una al lado de la otra. Se sabe que las longitudes de estas secciones componentes son variables aleatorias independientes, distribuidas normalmente con las siguientes medias y varianzas : (8.10 ; 0.05) , ( 7.25 ; 0.04 ) , ( 9.75 ; 0.06) (3.45 ; 0.04) , (17.15 ; 0.10) y (6.20 ; 0.07) . Si las especificaciones establecen que el eje ensamblado tenga una longitud de (52.0 ± 1.5) pulgadas. Calcule el coeficiente de capacidad real del proceso de ensamblaje, y el porcentaje de ejes fuera de especificación. Solución : CPK = 0.78

no es capaz . 1.37%

7º) Dos resistencias son conectadas en serie, para armar un circuito cuya resistencia total debe ser de (16.00 ± 0.25) ohmios. Suponiendo que la resistencia de cada una, es una variable aleatoria normalmente distribuida, ¿cuáles deben ser los límites naturales máximos de variación de estas resistencias? , para que la conexión sea capaz de cumplir con la especificación. Solución : 8.0000 ± 0.1768

123 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

CAPITULO V : FUNDAMENTOS TEORICOS Los diferentes métodos y procedimientos , destinados a estimar la capacidad de un proceso industrial, y que han sido analizados en los capítulos anteriores, tienen su fundamento en la “Teoría Estadística”, especialmente en la “Estadística Matemática” . Tal como se explicó en la introducción , el autor no ha querido condicionar la explicación de estos métodos al desarrollo paralelo de su fundamentación , debido a que tal enfoque desvirtuaría el propósito de esta obra , la cual pretende servir de referencia a aquellas personas , ingenieros , técnicos , empresarios ,científicos , auditores de calidad , etc., que para los fines de dar cumplimiento a lo establecido en las Normas ISO-9000 , tengan que evaluar la capacidad de un proceso industrial determinado . El objetivo de este capítulo es imprimirle a la obra un carácter más académico , que muestre el fundamento teórico de los métodos , procedimientos y fórmulas que han sido presentadas a lo largo de los cuatro capítulos anteriores , a fin de que se entienda que detrás de toda esta metodología existe todo un basamento teórico , y que los coeficientes , tablas y fórmulas utilizadas no tienen jamás un carácter empírico ; sino que por el contrario , obedecen a un riguroso proceso matemático de demostración . La lectura de este capítulo no es necesaria para aquellas personas a quienes solo interesa el aspecto metodológico, y para ellos es suficiente con los cuatro capítulos anteriores . Para una mejor comprensión, es conveniente que el lector repase algunos conceptos previos de "Teoría de Probabilidades" e "Inferencia Estadística " , tales como : Valor esperado y Varianza de Variables aleatorias. Función generadora de momentos . Funciones de variables aleatorias . Métodos para la obtención de estimadores . Estimadores insesgados . La justificación de las diferentes propiedades y metodologías ha sido desarrollada en el mismo orden en que han sido tratadas.

124 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL La función de densidad correspondiente a la curva normal es : 1 2

f ( x)

(x - ) 2 2 e 2 ;

-

µ) = 1

µ) = P (X > µ) , y como además : P(X

µ) = P (X > µ) =

1 2

" " es la mediana .

4º) También el parámetro "µ" es la moda de la distribución , pues al ser f(x) una función del tipo exponencial , el máximo se alcanzará cuando el exponente sea máximo ; y evidentemente [-( x - µ)2] es máximo , cuando x= µ. 5º) La demostración de que el coeficiente momento de curtosis vale "3" para cualquier Distribución Normal , es quizás la más interesante , y parte de la definición del coeficiente momento de curtosis para la población dado por: =

E( X E( X))4 ( Var( X))2

E( X - E(X) )4= E (X4- 4 X3 E(X) + 6 X2 (E(X))2 - 4 X (E(X))3+ (E(X))4) = E (X4 ) - 4 E(X3) E(X) + 6 E(X2) (E(X))2 - 4 E(X) (E(X))3+ (E(X))4= E (X4 ) - 4 E(X3) E(X) + 6 E(X2)(E(X))2 - 3 (E(X))4 Los tres primeros momentos ya se conocen, y el cuarto se obtiene derivando por cuarta vez la función generadora de momentos, y evaluando en t=0 :

127 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

E(X4) =

d 4 M X (t) dt

4

=

4

2

+6

2

4

+3

t 0

E( X - E(X) )4 =

4

3 y como Var (X) =

+6

2

2

+3

4

3

-4(

+3

2

)

+6(

2

+

2

)

2

-3

4

=

4

2

=

3 (

4 2 2

)

= 3

Con relación al valor 0,263 para el coeficiente percentílico de curtosis , el mismo sale de las tablas normales , pues como es sabido este coeficiente se calcula mediante la expresión :

Coeficiente percentílico de curtosis = Según las tablas : Q3= µ + 0.674

1 (Q3 Q1) 2 = P90 P10

( 75% de área a la izquierda )

Q1 = µ - 0.674

( 25% de área a la izquierda

P90= µ + 1.282

( 90% de área a la izquierda )

P10= µ - 1.282

( 10% de área a la izquierda )

Sustituyendo en la expresión, resulta el valor 0,263 antes señalado , para cualquier curva normal , independientemente de sus parámetros .

ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DE UNA DISTRIBUCION NORMAL A lo largo de toda la obra se ha planteado el problema de la estimación de los parámetros de una Distribución Normal . Esta estimación resulta indispensable para estimar la capacidad del proceso , y hemos visto que para el caso del parámetro " " no hay lugar a dudas de que la media de la muestra " X " , resulta el mejor estimador ; mientras que para el parámetro " 2" no existe un estimador óptimo . La justificación teórica de esta situación es la siguiente:

128 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Para estimar los parámetros de una distribución cualquiera, existen dos métodos importantes : el de máxima verosimilitud y el de momentos . La aplicación de cualquiera de estos dos métodos a la Distribución Normal, en base a una muestra aleatoria X1, X2 , ...., Xn proveniente de la variable "X", conduce a los mismos estimadores , cuales son: i n

i n

Xi  = Media Muestral = X =

X )2

(Xi ;  2 =Varianza Muestral = S2=

i 1

n

i 1

n

En efecto, al aplicar el método de máxima - verosimilitud a la Distribución Normal , y en base a una muestra aleatoria X 1, X2 , ...., Xn, encontramos que la función de verosimilitud viene dada por la función de densidad conjunta de la muestra : i n

1 e 2

L(X1, X2 , ...., Xn) =

( x1 2

) 2

2

1 e 2



( xn 2

) 2

)2

( xi

2

i 1

1

=

n

n

( 2 )

2

e

2

Los estimadores son aquellos valores de los parámetros que le dan a la muestra máxima verosimilitud, y para obtenerlos hay que maximizar a la función de verosimilitud L(X1, X2 , ...., Xn), para lo que resulta más cómodo maximizar su logaritmo, puesto que los productos se transforman en sumas lo que facilita la derivación ,y por ser el logaritmo una función creciente , en donde éste alcance su máximo , la función también . i n

Tomando logaritmos : ln L = - n ln parcialmente

para

hallar

n ln(2 ) 2

los

i 1

valores

i n

ln L

( xi = 2

2

maximizan ( xi

= 0

2

; y luego derivando

2 2 que

= -

n

; simplificando: ( xi

+ 2

)

i 1

2

3

) = 0

i 1 i n

i n

ln L

resulta:

i n

)

i 1

)2

( xi

)2

( xi

2

= 0

-n +

i 1 2

= 0

129 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

i n

xi 

i 1

= X

n

y al resolver el sistema, se obtienen los estimadores:

i n

X) 2

( xi 2 =

i 1

n

= S2

Al analizar el Hessiano con las segundas derivadas , se comprueba que se trata de un máximo . El método de momentos también conduce a los mismos estimadores , tal como se demuestra a continuación : Según este método , los momentos muestrales se utilizan para estimar a sus correspondientes poblacionales , y partir de esa estimación se obtiene la de los parámetros . E( X )

Para la Normal , los momentos poblacionales son :

m1

E( X 2 )

2

2

X i n

mientras que los momentos muestrales son:

xi2 i 1

m2

n

Para hallar los estimadores por este método de momentos , es necesario 

X i n

resolver el siguiente sistema para  y  2 :

xi2 2



n

i n

xi2 2

i 1

X i n

cuya solución es:

2

i 1

n

( xi X

2

=

i 1

n

X) 2 = S2

130 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Esto demuestra que los dos métodos proporcionan los mismos estimadores, pero sin embargo, el de 2 no es óptimo por la razón siguiente: Un buen estimador puntual debe reunir cuatro requisitos: a) Ser insesgado. b) Ser consistente. c) Ser suficiente. d) Tener mínima varianza. Cuando se examina a los estimadores anteriores a la luz de estas propiedades, se encuentra que " X " las cumple todas, y por tanto es el mejor estimador posible para " " . Con S2 no ocurre lo mismo , pues no es ni insesgado ni de mínima varianza , y por lo tanto no es un estimador óptimo para 2. Para suplir esta deficiencia , se han propuesto otros estimadores , entre los i n

( xi cuales el más importante es :  2 = Cuasivarianza Muestral = S 2c =

X)2

i 1

n 1

Este estimador tampoco es de mínima varianza , pero es insesgado , y por ello algunos autores lo prefieren frente al de máxima verosimilitud. En la bibliografía estadística es frecuente que se designe por S2 indistintamente a uno u otro estimador , y se les llame a ambos "Varianza Muestral" , lo que obviamente ocasiona una gran confusión a los lectores no enterados de la problemática . i n

xi Otro estimador para " " es :  =

X

i 1

2

n

Este estimador es insesgado , tal como se demuestra a continuación : Sea: X

N(

Como Y = | X -

; 2) , y sea: Y = | X -

| , se tiene : Y =

|.

(X

) ; si X

(X

) ; si X

131 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Una de las propiedades del valor esperado establece que si Y = (X) , y "X" es una variable aleatoria continua con función densidad f(x) , entonces el valor esperado de la variable “Y” viene dado por :

( x)f( x)dx .

Aplicando esta propiedad al caso en que la variable “X” es una normal, se obtiene:

E(Y) =

(x

)

Por simetría: E(Y) = 2

( x )2 2 2 dx

1 e 2

(x

)

1 e 2

+

(x

1 e 2

)

( x )2 2 2 dx

x Con el cambio de variable: z =

2 E(Y) = e 2

z2 2

=

( x )2 2 2 dx =

se obtiene : E(Y) = 2

0

1 z e 2

z2 2

dz

2

0

Basándonos en este resultado , tenemos entonces que para el caso de una muestra aleatoria X1, X2 , ...., Xn , obtendremos entonces "n" desviaciones absolutas Y1, Y2 , ...., Yn, cada una con valor esperado igual al obtenido anteriormente . i n

i n

Xi Por tanto, si se define el estimador de " " como:  =

i 1

2

n

Yi =

i 1

2

n

i n

E( Yi ) se concluye que : E(  )=

i 1

2

n

=

2 2

=

; lo que demuestra que

el estimador es insesgado . Es importante recordar que sobre estimador se apoya la Prueba de Geary, analizada en el segundo capítulo Otros estimadores para " " son los basados en la gráfica de control (Pag. 64), que son los que realmente se utilizan para estimar la capacidad del proceso:

132 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

 =

R R Gráfico ( X , R) ;  = Gráfico ( X , S) d2 c4

La justificación teórica de estos estimadores será analizada más adelante. FUNDAMENTO DE LAS TABLAS NORMALES Es sabido de la Teoría de Probabilidad , que para encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria continua "X" , tome un valor dentro de un intervalo [a,b] , es necesario integrar su función de densidad f(x) entre esos límites, lo que da como resultado el área bajo la curva en el intervalo. Cuando este concepto lo aplicamos a la curva normal , encontramos lo siguiente:

Esta integral no ha podido ser resuelta por los métodos ordinarios de integración, y se ha tenido que recurrir a métodos numéricos. Si se resolviera la integral para valores particulares de los parámetros "µ" y " " , nos encontraríamos con el problema de que las tablas serían incompletas , pues su uso estaría limitado a aquellas aplicaciones en donde los parámetros tomen valores contenidos en la tabla . La tipificación de la normal aparece entonces como una respuesta a la necesidad de elaborar unas tablas generales , que puedan ser utilizadas para cualquier valor de los parámetros . La tipificación de la Normal puede ser demostrada por dos procedimientos diferentes:

x 1º) Haciendo en la integral el cambio de variable: z = Por efecto de esta sustitución, la integral queda transformada en : b

P (a

X

b) =

a

z2

1 -2 e dz 2

133 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

En la nueva integral, los parámetros no aparecen dentro de la función a integrar, y además se observa que esta función corresponde a la función de densidad de una curva normal con = 0 y =1, que se define como la Normal Tipificada o Estándar . De lo anterior se deduce entonces que el área bajo la curva en una normal cualquiera para un intervalo [ a , b ] , es igual al área bajo la normal tipificada abentre los límites y . Las tablas dan el resultado de la integración numérica correspondiente a la función de densidad de la normal tipificada desde "- " hasta un límite y2

1 -2 e dy . y cualquiera "z' , es decir su función de distribución: (z) = 2 éste es el fundamento del procedimiento explicado en el uso de las tablas normales. z

Con relación al uso de la tablas, es fácil ver por simetría las siguientes relaciones entre las lecturas : (-z) = 1 D(z) =

(z)

(z) -

(-z) =

(z) - ( 1 -

(z) ) = 2

(z) -1

Los porcentajes de 68.27% , 95.42 % y 99.73 % dados en la Pag. 3 , y sobre los cuales se apoya toda la Teoría de Gráficos de Control , salen de las tablas Normales , pues para una Normal cualquiera al tipificarla se tiene : P(µ-

X

µ+

) = P ( -1

Z

1 ) = D ( 1 ) = 0.6827 .

P(µ-2

X

µ + 2 ) = P ( -2

Z

2 ) = D ( 2 ) = 0.9545.

P(µ-3

X

µ + 3 ) = P ( -3

Z

3 ) = D ( 3 ) = 0.9973 .

2º) Otra manera de demostrar la tipificación de la normal es a partir de su función generatriz de momentos . En efecto si X

N(µ ; 2), y se define la variable Z =

X-

La función generatriz de momentos de la variable "Z" será : tZ

MZ(t) = E(e ) = E( e

t

X

)= E( e

t

X

e

t

)= e

t

E( e

t

X

)

134 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Teniendo en cuenta que la función generatriz de momentos para la Distribución tX

Normal , es: MX(t) = E(e ) = e

E( e

t

t

X

t

) = Mx ( ( ) ) = e t

t

1 2 t 2

1 2

2

t

1 2

t2 2

2 2

t

t

= e

, se deduce entonces que: 1 2 t 2

; y por lo tanto :

1 2 t 2 e

MZ(t) = e = ; que corresponde a la función generatriz de e momentos de una Distribución Normal con =0 y =1 , lo que demuestra que la Xtransformación Z = convierte a una Distribución Normal cualquiera en la Normal Tipificada , y de allí la razón de las tablas normales . PROCESOS CENTRADOS En el Capítulo I se estableció la conveniencia de que un proceso esté centrado , y posteriormente, al considerar la Capacidad del Proceso , se enunció el siguiente Teorema: " Dada una Distribución Normal con desviación típica " " , y un intervalo fijo [a,b], el área bajo la curva en el intervalo será máxima cuando la media de la distribución coincida con el punto medio del intervalo " . Sobre este Teorema se fundamenta el hecho de que la capacidad máxima del proceso se obtiene cuando está centrado. Su demostración es la siguiente:

Supongamos que tenemos un intervalo fijo [a ,b] , y que la media de la Distribución está ubicada en un punto cualesquiera " " ; el área bajo en el intervalo [a, b] será entonces una función de " " . Designando por

( )=

b a

1 e 2

( ) a la referida función, se tiene que : -

(x- ) 2 2 2

b

dx =

a

z2

1 -2 e dz = 2

(

b-

)- (

a-

)

135 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Se busca aquel valor de " " que maximiza el área bajo la curva en el intervalo 1 b 1 a [a, b] , para lo cual hay que derivar ( ) : ´( ) = ( )+ ( )= 0 Como (z) representa la Función de Distribución de la Normal Tipificada, su derivada ´(z) será su función de densidad , que como se sabe es : z2

1 e 2 ´(z)= f(z) = La primera derivada de la función 2 cero proporciona entonces la siguiente ecuación:

´( ) =

1

1 2

e

-

(b- ) 2 2 2

+

1

1 2

e

-

(a- ) 2 2 2

=0

e

-

(b- ) 2 2 2

lo que conduce a : b- = - ( a- ) , pues por hipótesis a

a b 2 central del intervalo [a ,b] . b-

= - ( a- )

=

La primera derivada

Al hacer un análisis con la segunda derivada =

a b se cumple: 2

=e

-

(a- ) 2 2 2

( ) igualada a

.

b. ´( ) se anula en el punto

´´( ) , se encuentra que para

´´( ) < 0 ,lo comprueba que en él se alcanza un máximo.

Cuando el teorema anterior se aplica al caso particular, en el que el intervalo fijo [a, b] está representado por los límites de la especificación [L I , LS] , se concluye entonces que un proceso centrado tiene máxima probabilidad de producir una pieza dentro de los límites de especificación, y por lo tanto tiene máxima capacidad . También se mencionó que en algunas oportunidades conviene descentrar el proceso. Esta situación se da cuando el costo de una pieza defectuosa es diferente por un lado que por el otro . Para encontrar el punto donde debe ubicarse la media del proceso , en situaciones como esta se procede como sigue : Supongamos que la pieza debe encontrarse entre los límites de especificación [LI , LS] , y que cuando cumple con la especificación el beneficio para la empresa es de Bs. K, dado por la diferencia entre el precio de venta de una pieza buena y el costo de producirla.

136 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Supongamos también que una pieza defectuosa puede ser corregida y llevada a los límites de especificación, pero que debido al costo de la corrección el beneficio disminuye . Sea K1< K , el beneficio obtenido por una pieza que se encuentre por debajo del límite inferior , y sea K2< K el beneficio obtenido por una pieza por encima del límite superior . Estos valores se obtienen restando del precio de venta de una pieza buena el costo de producirla y el costo de corregirla. En caso de que la pieza no se pueda corregir por alguno de los dos extremos, entonces K1 ó K2 serán negativos, y representan la pérdida por producir una pieza defectuosa , que es su costo de producción . Designando por "Y" al beneficio por producir una pieza, tenemos que su valor esperado será : E ( Y ) = K1 P ( X < LI ) + K P ( LI

X

LS) + K2 P ( X >LS) =

( )

Este valor esperado es una función ( ) de la media del proceso, y lo que se busca es aquel valor de “ “ que maximiza la ganancia esperada . Tipificando a la variable "X" se obtiene: ( ) = K1 P ( Z


)]+ K2 [1-

(

LS

LS

)

)] =

) + K2

Al derivar para hallar el valor de “ ” que maximiza, resulta : ´( ) = (K1 -K) (-

1

)

´(

LI

) + ( K- K2 ) (-

1

) ´(

LS

)=0

Teniendo en cuenta que ´(z) representa la función de densidad de la Normal Tipificada, y simplificando , resulta :

(K1 -K) e

-

(LI - ) 2 2 2

+ ( K- K2 ) e

-

(LS - ) 2 2 2

=0

( K- K2 ) e

-

(LS - ) 2 2 2

= (K -K1) e

-

(LI - ) 2 2 2

+

137 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

ln( K- K2 )( -

(LS - ) 2 2

2

) = ln(K -K1) ( -

(LI - ) 2 2

2

Al despejar de esta expresión, se obtiene :

) 2 K K1 LI L S + ln K K2 2 L S LI

=

Esta fórmula es muy importante, pues permite determinar el punto donde debe ubicarse la media del proceso para obtener el máximo beneficio esperado , y en ella puede verse que cuando K1 = K2 , es decir cuando el beneficio o la pérdida es el mismo a ambos lados de la distribución , el proceso debe estar centrado. De esta fórmula también se deduce que cuando K 1 < K2 , es decir cuando el beneficio es mayor del lado derecho que del izquierdo , que es la situación más frecuente pues las defectuosas por la izquierda por lo general son incorregibles, entonces la media del proceso debe estar corrida hacia la derecha .

TAMAÑO DE MUESTRA REQUERIDO PARA UNA PRUEBA BILATERAL DE MEDIA La justificación de la fórmula dada en el Capítulo II , es la siguiente :

Ho:

0

H1:

0

En una prueba de hipótesis del tipo :

con varianza

2

es decir :

z

0

conocida , la zona de aceptación es :

/2

n

X

0

z

/2

z

X

0

/2

n

z

/2

n

Si el proceso se desajusta y pasa a producir con una media 1, se quiere que la probabilidad de no detectar tal desajuste y seguir aceptando que = 0, sea apenas " " ,es decir: P( Supongamos que

1 > 0,

0

z

/2

n

X

0

z

/2

n

=

1)

=

.

es decir que la media se corrió hacia la derecha.

138 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Despreciando el área a la izquierda del límite 0

z

/2

n

; se tiene que el área bajo la zona de aceptación de H0 es

Teniendo en cuenta para tipificar , que la varianza de la media muestral " X " es 2 n

0

z

/2

, se obtiene :

n

1

=- z .

n

Al despejar “n” , se llega a la fórmula:

(z n =

/2

(

1

z )2 0

2

)2

A una fórmula idéntica se llega, si se supone que la media se corrió hacia la izquierda.

DISTRIBUCION DEL RANGO MUESTRAL La obtención de los diferentes coeficientes utilizados en la construcción de un gráfico de control ( X , R ) , así como la posterior estimación de los parámetros del proceso , está fundamentada en la distribución de la variable aleatoria "Rango Muestral " . Por este motivo , no es posible explicar la teoría que sustenta la construcción de tales gráficas , sin antes analizar este problema . Como es sabido , el Rango de una muestra aleatoria X 1, X2 , ...., Xn, es un estadístico definido como : R = Máximo { X1, X2 , ...., Xn } - Mínimo { X1, X2 , ...., Xn } .

Para hallar la distribución de "R" , comencemos por encontrar la distribución de

139 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

U = Máximo { X1, X2 , ...., Xn } y la de V = Mínimo { X1, X2 , ...., Xn } , para un caso general , en donde la variable observada "X" , tiene una función de densidad continua cualesquiera f(x) . Estamos en presencia de un caso de una función de variables aleatorias, y aplicando el método de la "Función de Distribución" , para la variable "U" : G(u) = P (U P(X u) =

u) = P(X1 u u

f ( x)dx

X2 u ......

G(u) = (

u

u ) = [P(X u)]n

Xn

f ( x)dx)n

Al derivar para obtener la función de densidad de “U” resulta: u

g(u) = n f (u) (

f ( x)dx)n

1

Al proceder de manera análoga con “V” se obtiene: H(v) = P (V

v) = 1 - P (V > v) = 1- P(X1 > v

X2 > v ......

Xn > v )

= 1 - [P( X > v)] n . P( X > v) =

v

f ( x)dx

H(v) = 1 - (

v

f ( x)dx)n

h(v) = n f ( v) (

v

f ( x)dx)n

1

Como las variables "U" y "V" no son independientes, no es posible multiplicarlas para hallar su función de densidad conjunta, y de allí obtener la función de densidad de R = U - V . El razonamiento para encontrar V , es el siguiente:

(u,v) , función de densidad conjunta entre U y

Para que "U" caiga en el intervalo (u , u +du) , y simultáneamente "V" en el intervalo (v , v + dv) , es necesario que una cualquiera de las "n" observaciones caiga en (u , u +du) , otra cualquiera en (v , v + dv), y las ( n- 2) restantes en el intervalo ( v + dv, u) . Tomando en cuenta que tenemos "n" observaciones de "X" , y que la menor puede ser cualquiera de ellas , la mayor cualquier otra , y las intermedias las (n - 2) restantes, el número de permutaciones entre las observaciones es según n! la fórmula multinomial: = n (n-1) 1 ! 1 ! (n- 2) !

140 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

La probabilidad de que los eventos anteriores ocurran es : n 2

u

(u,v) du dv = n (n-1) [ f(u) du ] [ f(v) dv] ( f ( x) dx)

.

v

u

n 2

y en consecuencia : (u,v) = n (n-1) f(u) f(v) ( f ( x) dx)

.; v

v

(u,v) = n (n-1) f(u) f(v) ( F(u) - F(v)) n-2.; v

u u

Una vez encontrada la función de densidad conjunta entre U y V , ya es posible hallar la función de densidad del Rango R = U - V , aplicando nuevamente el método de la función de distribución , según el cual : Q(r)=P(R

r)=P(U-V

r)=P(U

V+r)

Esta probabilidad se calcula por integración de la función conjunta: Q(r)=

v r v

n(n 1) f(u) f(v) ( F(u) - F(v)) n-2 du dv

Q( r ) = n (n -1)

f ( v)dv

v r v

f (u) ( F(u) - F(v)) n-2 du

La segunda integral puede ser resuelta mediante la sustitución : y = F(u) , pues dy = f(u) du , y cambiando los límites de integración resulta : Q( r ) = n (n -1)

Q( r ) = n

f ( v)dv

F( v r ) F( v )

( y F(v))n

2

dy

f ( v)(F(v r ) F(v))n 1dv

Por último, al derivar la función de distribución Q(r) , se obtiene la función de densidad " q(r) " para el rango muestral , y resulta : q( r ) = n ( n -1 )

f ( v)(F(v r ) F(v))n

2

f ( v r )dv ; r

0

Cuando la expresión anterior se aplica al caso de la Distribución Normal, el problema adquiere una dimensión muy compleja desde el punto de vista

141 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

matemático, pues su función de densidad f(x), no es posible integrar, y por lo tanto no es posible obtener expresiones analíticas exactas para las funciones F(v+r) ni F(v) . Para resolver tal situación, existen algunas expresiones, obtenidas por desarrollos en serie u otros métodos numéricos, que permiten con bastante exactitud aproximar a f(x) ó a F(x) . Una de tales fórmulas, es por ejemplo la siguiente:

(z)

1-

1 e 2

( 83 z 351) z 562 703 165 z

; 0 < z < 5.5

Esta fórmula permite generar la tabla de la Función de Distribución para la Normal Tipificada , con valores de "z" comprendidos entre 0 < z < 5.5 , con un error relativo inferior al 0,042% . Teniendo en cuenta que F(x) =

(

x

) , y mediante el uso de fórmulas

polinómicas aproximadas para desarrollar en serie una función exponencial , es posible resolver la integral para " q(r) " , y luego obtener el valor esperado del rango muestral mediante la resolución de la integral. E(R) =

0

r q(r) dr =d2

El valor esperado del Rango Muestral resulta proporcional a " " ; ésta constante de proporcionalidad , es la que se designa por el coeficiente "d 2" en las respectivas tablas , y su valor obviamente depende de "n" . Cuando se construye la gráfica ( X , R) , el Rango Medio " R " de los diferentes subgrupos es un estimador de E(R) , pues la media muestral de cualquier variable es siempre un estimador insesgado de su valor esperado , y de allí la justificación del procedimiento descrito, según el cual : E(R) = R = d2 

 =

R d2

A partir de " q(r) " se obtiene tambíen la "Desviación Típica del Rango Muestral", que se necesitará luego para determinar los límites de control correspondientes a "R", que también resulta proporcional a " " , siendo "d3" la constante de proporcionalidad .

142 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

E(R2) =

0

r 2q(r)dr ; Var ( R ) = E(R2) - [ E(R) ]2 ; y se llega a

R=

Var(R) =d3

El valor numérico del coeficiente "d3" depende de "n" , y se encuentra en las tablas de "Constantes para las Gráficas de Control". Lamentablemente no existe una fórmula general que permita generar el valor de los coeficientes d2 y d3 en función del tamaño de muestra "n" , y es necesario calcularlos evaluando la integral por métodos numéricos , para cada valor de "n" . Para el caso particular n=2 , es posible calcular el valor de los coeficientes “ d 2 “ y “d3”,sin necesidad de métodos numéricos , mediante el siguiente razonamiento: En este caso, el rango muestral , puede definirse como: R = | X 2 - X1| siendo X1 y X2 dos observaciones independientes provenientes de un proceso normal , con media µ y varianza 2 . Por ser la variable Y = X 2 - X1 una combinación lineal entre dos normales independientes obtenemos que: Y ( 0 ; 2 2) (Veáse Pag. 118) , y además R=|Y|. Al ser la variable "Y" una normal de media "0" y varianza 2 2, podemos aplicar la propiedad ya demostrada, y obtenemos: 2

E(R) =

2

=

2

Se definió "d2" como la constante de proporcionalidad entre E(R) y " " , por tanto 2 , para el caso n=2 se tiene: d2 = = 1.128 ; tal como aparece en las tablas . Para hallar la varianza del Rango Muestral , se tiene: Var ( R ) = E(R2) - [ E(R) ]2 ; E(R2) = E(X2- X1)2= E(Y2) = Var (Y) ; por tener "Y" valor esperado igual a cero. Pero Var (Y) = 2 Var ( R ) =2

2

-

2

4

E(R2) = 2 2

= (2

4

2

y por tanto :

)

2

143 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

"d3" se definió como la constante de proporcionalidad entre Por tanto para el caso n=2 : d3=

2

4

R

=

Var(R) , y

.

= 0.853

LIMITES DE CONTROL PARA LA GRAFICA ( X , R) Cuando se elabora una gráfica ( X , R) y resulta estar bajo control , lo que se está haciendo en realidad , es una prueba de hipótesis bilateral para la media

Ho:

0

del tipo:

en donde

H1:

0

es la “Gran Media” , representada por la media

0

histórica del proceso; de forma que cuando la muestra cae entre los límites de control para la media , lo que se está aceptando es que el proceso está operando sin cambios significativos con relación a la forma como lo venía haciendo en el pasado. Si la varianza "

2

aceptada cuando :

" del proceso fuera conocida , esta hipótesis resultaría 0

z

/2

n

X

0

z

/2

n

Los dos extremos de este intervalo definen los límites de control para la media de la muestra , con las siguientes modificaciones : a)

0

está representado por la “Gran Media “ X ”

b) Z /2 = 3, lo que trae como consecuencia que el nivel de significación de la prueba sea de apenas 0.27% , o lo que es lo mismo , en caso de que no exista un corrimiento real de la media con relación a su promedio histórico , la muestra tiene una probabilidad de 99.73 % , de caer entre los límites de control . c) Como el valor de " " es desconocido, se sustituye por su correspondiente valor estimado a partir del gráfico de control, que tal como hemos visto es R  = . d2 Por las aproximaciones anteriores, se obtiene que los límites del intervalo de aceptación para la Hipótesis son:

U. C.L X

0

z

/2

n

= X + 3

R d2 n

= X + A2 R

144 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

L. C.L X =

0

z

R X 3 X - A2 R = d2 n = n

/2

En consecuencia, tenemos que la justificación del coeficiente A2 es: A2 =

3 d2 n

Con relación a los límites de control para el rango, lo que se hace es definir el intervalo R ± 3 R, que en realidad no tiene una probabilidad de 99.73% para el "Rango Muestral" , pues éste no sigue una Distribución Normal . Teniendo en cuenta que : se obtiene que :

R

= d3

R

= d3

, y que el valor estimado de " " es  =

R , d2

R . d2

Los límites de control para el "Rango Muestral" serán entonces : U. C.LR = R + 3

L.C.LR = R - 3

R

R

= R + 3 d3

= R - 3 d3

R 3 d3 ) R = D4 R = (1 + d2 d2

R 3 d3 ) R = D3 R = (1 d2 d2

La relación entre los coeficientes es en consecuencia : D4= 1 +

3 d3 d2

; D3 = 1-

3 d3 d2

0

JUSTIFICACION DE LA GRAFICA ( X ,S) Para justificar la metodología de construcción de una gráfica ( X ,S), es necesario hallar primero la Distribución estadística de la variable aleatoria "S" , al igual que como se hizo antes con la variable aleatoria "R" . Para hallar esta Distribución , partimos de una ya conocida que es la de "S 2 "*4.

145 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

En efecto , en la Inferencia Estadística se demuestra mediante la aplicación de (n 1)S2

"Formas Cuadráticas" , que la variable

se distribuye como una Chi -

2

Cuadrado con (n-1) grados de libertad . Designando por "U" a la referida variable tenemos entonces : U=

(n 1)S2

2

2

(n-1)

La función de densidad de "U" es conocida , y su expresión es : n 1 u 1 2 u e 2

1

f(u) =

n 1 ( )2 2

n 1 2

; u>0

y puesto que la variable "S" , esta relacionada con "U" a través de : U

S=

n 1

se cae en un problema de " Funciones de variables aleatorias" , en donde se quiere hallar la función de densidad de "S" a partir de la de "U" . Para resolverlo , se aplica el método de la Función de Distribución , y se obtiene: G(s) = P ( S n 1

G(s) =

2

0

s2

U

s) = P (

n 1

1 n 1 ( )2 2

n 1 2

s )=P(U

n 1 u 1 2 u e 2

n 1 2

s2 )

du

Esta integral corresponde a la "Función de Distribución" de la variable "U" , en el n 1 n 1 valor 2 s 2 , es decir : G (s) = F ( 2 s 2 ) . Por derivación de G(s) , se obtiene la función de densidad correspondiente a "S" , y resulta : g ( s) = G´ (s) = F´ (

n 1 2

s2 )

2(n 1) 2

s=

2(n 1) 2

s f(

n 1 2

s2 )

146 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

1

g ( s) =

n 1 ( )2 2

n 1 2

(

n 1 2

s

2

n 1 2 n 1 1 2 s 2 ) e 2

2(n 1) 2

s

Al simplificar, se obtiene el resultado buscado, función de densidad de la variable aleatoria "S" : g(s)=

1 n 1 ( ) 2

n 3 2 2

(

n 1 2

n 1 2 n 1 2 s ) 2 e 2

sn

El valor esperado de "S" es en consecuencia: E(S) =

E(S) =

o

s

1 n 1 ( ) 2

n 3 2 2

(

n 1 2

n 1 2 n 1 2 s 2 ) e 2

sn

2

2

0

;s

0

s g(s) ds

ds

Esta integral puede ser resuelta mediante la sustitución: y =

n 1 2

2

s2

Hecha la sustitución, y las simplificaciones algebraicas de rigor , se llega a: E(S) =

1 n 1 ( ) 2

La integral obtenida es justamente

E(S) =

1 n 1 ( ) 2

2 n -1

2 n -1

0

n 1 y 2 e-y

dy

n ( ) , y por lo tanto : 2 n ( ) = c4 2

en donde el coeficiente c4 , viene dado por la expresión : c4 =

n ( ) 2 n 1 ( ) 2

2 n -1

147 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Las tablas lo que hacen es computar el valor de c4 , para diversos valores del tamaño de muestra "n" , y así por ejemplo : Para n=2

Para n=5

(2) 1 ( ) 2

c4 =

c4 =

2

1

5 ( ) 2 c4 = 2 (2) 4

c4 =

2 =

2

3 1 2 2 2

= 0.7979

=

3 = 0.9400 4 2

Una mayor explicación sobre las propiedades de la Función Gamma, puede encontrarse en los textos de "Cálculo Avanzado" , como por ejemplo el de Murray R. Spiegel , de la colección Schaum de la Editorial Mac.Graw Hill . Una vez encontrado E(S) , es necesario ahora hallar Var ( S) , a fin de poder calcular los límites de control para "S" . Como Var (S) = E (S2) - [ E(S)]2 , se plantea el problema de calcular E (S2) , el cual pudiera ser resuelto , resolviendo la siguiente integral : E (S 2) =

0

s2g(s)ds

Este camino es sin embargo muy complicado, y resulta mucho más sencillo para encontrar E (S2), aprovechar la demostración que se hace en “Inferencia Estadística” , para comprobar que S2 , es un estimador insesgado para 2, y según la cual : E (S2) = 2 . En conclusión : Var ( S ) = Al tener E(S) y

s

2

- c 24

2

= (1 - c 24 )

2

s

1 c24

,ya se está en condiciones de justificar los límites de control

para la gráfica ( X ,S). Como ya se explicó antes, la gráfica es realidad una Prueba de Hipótesis Ho: 0 bilateral para la media, del tipo: ; en donde si H1: 0 la varianza " 2" del proceso fuera conocida , H0 resultaría aceptada cuando : 0

z

/2

n

X

0

z

/2

n

Se hacen las mismas consideraciones anteriores, y se tiene:

148 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

a)

0

está representado por la “Gran Media “ X

b) Z /2 = 3. c) Como el valor de " " es desconocido, hay que estimarlo, y en dicha estimación es en donde se diferencia ésta gráfica con la ( X ,R). Se demostró que : E(S) = c4 , y se sabe que la media de las desviaciones típicas muestrales S , es un estimador insesgado de E(S) . Por lo tanto :  =

E(S) = S = c 4 

S c4

Sustituyendo el valor estimado  , en los límites de aceptación para H0, se obtienen los límites de control , y resulta:

U. C.L X

0

z

/2

L. C.L X =

0

z

/2

n

= X + 3

n =

X - 3

S

= X + A3 S

c4 n S

c4 n =

X - A3 S

En consecuencia , tenemos que la justificación del coeficiente A3 es : A3

3 c4 n

Con relación a los límites de control para la desviación típica muestral , la justificación es prácticamente la misma que para el Rango Muestral, y están basados en el intervalo S ± 3 s , que a pesar de no tener una probabilidad de 99.73% por no ser la variable "S" una Distribución Normal , tiene según la Desigualdad de Chebyshev una probabilidad de por lo menos 88.89% de contener al valor de "S" de una muestra aleatoria , proveniente de un proceso bajo control. Teniendo en cuenta que :  =

s

S , se obtiene que :  s c4

1 c24 1 c 24

, y que el valor estimado de “ ” es: S c4

Los límites de control para el "Rango Muestral" serán entonces :

149 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

U. C.L s

S 3  s = S + 3 1 c 24

L. C.L s

S 3  s = S - 3 1 c 24

S = B4 S c4 S = B3 S c4

La relación entre los coeficientes es en consecuencia :

B4

1

3 1 c 24 c4

; B3

1

3 1 c 24 c4

0

EFECTOS DE LA NO NORMALIDAD Una gran limitación de las gráficas de control es el supuesto de normalidad para la Distribución subyacente. Esta limitación ha quedado manifiesta en este capítulo, donde todas las demostraciones anteriores, parten del supuesto de que f(x), función de densidad para la característica de calidad de las piezas individuales, es la correspondiente a una Distribución Normal . Evidentemente si este axioma no se cumple, toda la teoría anterior pierde su fundamento. Algunos autores han investigado el efecto de la no normalidad sobre la teoría de los gráficos de control, especialmente en los ( X ,R). A continuación se transcribe textualmente lo que el Dr. Douglas C. Montgomery dice sobre el particular , en su texto : "Control Estadístico de la Calidad" : «Varios autores han estudiado el efecto de las desviaciones respecto de la normalidad, en los diagramas de control. Burr ( 1967) hace notar que las constantes de los límites de control según la teoría normal común, son muy sólidas respecto a la suposición de normalidad, y pueden utilizarse a no ser que la población sea extremadamente anormal. Schilling y Nelson ( 1976) también estudiaron el efecto de lo no normalidad sobre los límites de control del diagrama de x . Investigaron la Distribución uniforme, la de triángulo recto, la gamma ( con = 1 , r = 1/2 , 1, 2, 3 y 4), y dos bimodales, formadas por la combinación de dos distribuciones normales. Su estudio indica que en la mayoría de los casos, es suficiente con utilizar muestras de tamaño 4 ó 5 para asegurar una solidez razonable con respecto a la suposición normal. Los peores casos se observaron para valores pequeños de "r" en la distribución gamma [ r = 1/2 y r =1(la distribución

150 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

exponencial)] . Por ejemplo, tales investigadores informan que el riesgo " " real es de 0.014 ó menos, si n 4 para la distribución gamma con r = 1/2 , en contraste con un valor teórico de 0.0027 para la distribución normal. Mientras que el uso de límites de control de tres sigma en el diagrama de X producirá un riesgo " " de 0.0027 si la distribución subyacente es normal, no se puede decir lo mismo para el diagrama de R. La distribución muestral de R es asimétrica, incluso en un muestreo a partir de la distribución normal, y la larga extremidad (o cola) se encuentra en el lado alto o positivo. Por lo tanto, los límites simétricos de tres sigmas son solamente una aproximación, y el riesgo " " en tal diagrama de R no es igual a 0,0027. ( en realidad , para n = 4 , es de = 0.000461). Además, el diagrama de R es más sensible a desviaciones respecto a la normalidad que el diagrama de X . » Una alternativa frente a la no normalidad son los métodos no paramétricos , o libres de distribución , pero tienen el inconveniente de requerir mayores tamaños de muestra . En los artículos incluidos en el apéndice se hace referencia a estos métodos .

RELACION MATEMATICA ENTRE LOS COEFICIENTES DE CAPACIDAD En el capítulo IV se estableció que entre los coeficientes CP y CPK , existe una relación matemática dada por: CPK= CP ( 1 - k ) Su demostración es la siguiente: "k" es el "índice de localización " , definido por : K donde:

= Corrimiento de la media = 0

-

2 T

0

= Punto central de la especificación =

LI L S . 2

= Media real del proceso. T = Tolerancia en las especificaciones = L S - LI .

151 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Por definición : Cp

L s LI 6

Además: CPK = mínimo entre

T 6 Ls 3

;

2

k

T = 6 CP

6 Cp

(1*)

3 Cp

- Li 3

Si el proceso está corrido hacia la derecha: Cpk

Ls 3

LS -

=3

CPK

Pero tal como puede apreciarse en la gráfica: LS -

=

T 2

T 2

= 3

T 2

CPK T 2

3 Cpk

3 Cpk

3 Cp

3 Cp 3 Cpk 3 Cp

Al despejar CPK resulta: k CP = CP - CPK

CPK= CP ( 1 - k )

Sustituyendo en 1* resulta: k

Si el proceso está corrido hacia la izquierda: Cpk

Cp

Cpk Cp

LI 3

y procediendo de manera análoga, se llega a idéntico resultado ; lo que completa la demostración de que para ambos casos se verifica: C PK= CP ( 1 - k )

FUNCION LINEAL DE VARIABLES NORMALES En el capítulo IV , se enunció el siguiente Teorema : Si X1 , X1 .... Xn son variables aleatorias independientes , y normalmente distribuidas , entonces una función lineal de ellas : Y = a0 + a1 X1 + a2 X2+ .... + an Xn

152 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

también seguirá una Distribución normal , y sus parámetros son : Y

2 Y

= a0 + a1

= a12

2 1

1

+ a22

+ a2 2 2

2+

.... + an

+ .... + an2

n

2 n

Su demostración es la siguiente: Sea MY(t) = E (e tY) ; la función generadora de momentos correspondiente a la variable "Y" . Desarrollando se obtiene : MY(t)= E(et(a0

a1X1 a2X2  anXn )

E(e( ta0

)

a1tX1 a2tX2  antXn )

)

E(eta0 eta1X1 etanXn )

Al ser variables aleatorias independientes, el valor esperado del producto es igual al producto de los valores esperados, y por lo tanto: MY(t)

E(eta0 )E(eta1X1 )E(etanXn ) = eta0 E(eta1X1 )E(etanXn )

Cada uno de los valores esperados resultantes, corresponde a una función generadora de momentos, pero evaluada en ait, es decir : E(etai Xi ) = MXi (a i t) Se sabe que para una Normal, su función generatriz de momentos es:

MXi ( t) E(e

tXi

)

e

i

t

1 2 it 2

MXi (a i t) E(e

tai Xi

)

e

i

ai t

1 2

2 i

ai2 t2

y por lo tanto , la función generadora de momentos para "Y" va a resultar:

MY ( t)

a0 t

e e

at

1 1

1 2

2 2 2 1 1

at

e

n

an t

1 2

2 n

an2 t2

i n

( a0

= e

ai i ) t i 1

1 in 2 ( ai 2 i1

2 i

) t2

La función generadora de momentos obtenida para la variable "Y" , corresponde i n Y

a0

justamente a la de una Distribución Normal , con parámetros:

i n 2

ai2

Y

i 1

tal como se quería demostrar.

ai i 1 2 i

i

;

153 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

CAPITULO VI : CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 1º) Para realizar un estudio de capacidad es requisito indispensable elaborar como paso previo un gráfico de control, con el objeto de verificar la estabilidad del proceso. En general , es preferible utilizar un gráfico ( X , R) , a menos que por razones técnicas sea necesario mantener un control más estricto sobre la variabilidad del proceso, en cuyo caso debe utilizarse uno ( X , S) . La formación de subgrupos debe hacerse de manera que cada uno de ellos sea lo más homogéneo posible, y que exista una gran probabilidad de variación de un subgrupo a otro , para lo cual es recomendable tomar las muestras de cada subgrupo a partir de la producción de un período breve de tiempo , o de un mismo lote. 2º) Existen dos metodologías importantes para evaluar la capacidad de un proceso de producción , que son: a) A partir del gráfico de control. b) A partir del histograma. Ambas metodologías tienen ciertas limitaciones en su fundamentación teórica, y por ser complementarias, lo recomendable es utilizar ambas, a fin de obtener una mejor estimación de la capacidad del proceso. Una evaluación hecha por una sola de las metodologías, tiene el inconveniente de estar basada en unos supuestos, de los cuales no se tiene una razonable certeza, de que el proceso o la muestra los cumple. 3º) No existen en las Normas ISO-9000 señalamientos acerca de la metodología a seguir para evaluar la capacidad del proceso , ni tampoco acerca de los valores mínimos exigidos para los indicadores de su capacidad . Lo recomendable es que el organismo competente señale pautas sobre el particular, ya que actualmente la certificación de la capacidad del proceso , a los fines de dar cumplimiento a lo previsto en la Norma ISO-9000 , queda a criterio del auditor . 4º) Los indicadores de capacidad deberían ser estimados por intervalos, y la certificación de capacidad mediante pruebas de hipótesis..

154 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Esta recomendación permitiría que el auditor tome una decisión más racional con relación a la certificación de capacidad.. Como este problema se encuentra en fase de desarrollo, una recomendación para la Universidades e Institutos de Investigación, es que inicien un análisis más a fondo del problema, a fin de desarrollar una nueva metodología que permita establecer de una manera más precisa que la actual, los requisitos que debe reunir un proceso de producción, para que le sea concedida la certificación de capacidad. 5º) La condición óptima de operación de un proceso es cuando está centrado , pues en éste punto su capacidad de calidad es máxima . En conclusión, los responsables de la calidad del proceso deben canalizar su esfuerzos para tratar de lograr un proceso centrado; con la única excepción de la situación en que el costo de corregir una pieza defectuosa es diferente para cada extremo, en cuyo caso, la media de operación del proceso debe determinarse por la fórmula dada en el capítulo IV. 6º) Es recomendable la realización de experimentos con el proceso, a fin de poder detectar los factores que lo afectan de manera significativa, y reducir así su variabilidad. La cláusula de la Norma ISO-900O (ver Introducción) así lo sugiere , y por lo tanto un estudio de capacidad solamente , no es suficiente para dar cumplimiento a lo establecido en ella . 7º) La revisión de las especificaciones del proceso es también otra recomendación muy importante , pues el estudio de capacidad supone que son conocidas . Un error en la fijación de las especificaciones ocasiona consecuencias gravísimas en la evaluación de la capacidad del proceso, y por ello es muy importante que estén perfectamente definidas. 8º) Otra recomendación importante para las empresas de producción, es la que se refiere a la formación de su personal en Métodos Estadísticos. A lo largo de toda la obra hemos visto como la evaluación de capacidad exige el manejo de numerosas destrezas en técnicas estadísticas, para cuya realización se requiere un entrenamiento adecuado del personal. Esta recomendación es extensible también a las Facultades de Ingeniería,, ya que en los planes de estudio de las diversas especialidades de Ingeniería , es

155 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

frecuente encontrar que la enseñanza de la Estadística no existe , o está minimizada. Si se toma en consideración que el Ingeniero es por lo general, el profesional llamado a gerenciar los procesos de producción, resulta obvio que para poder establecer metas de calidad en la producción industrial, debe fortalecerse su formación en esta disciplina.

COMENTARIO FINAL Un estudio de capacidad no puede ser visto como un hecho aislado con el propósito de aprobar una auditoría , y lograr una certificación de calidad ; debe formar parte de un programa continuo de mejoramiento de la calidad, en donde el liderazgo gerencial es de vital importancia . Las técnicas de control y mejoramiento de procesos no son métodos que se aplican una vez, sólo cuando el proceso está en problemas, sino que deben tener un carácter permanente, para lo cual se requiere el apoyo decidido de la gerencia . La participación y el compromiso de la gerencia constituyen el paso más importante en todo el proceso de mejoramiento. La gerencia desempeña un papel modelo, y el resto de la organización la considerará como guía y ejemplo. El trabajo en equipo es también muy importante, pues la identificación de los factores que afectan el comportamiento del proceso requiere del concurso de todo el personal involucrado. Una de las tareas clave en la aplicación de los diagramas de control estadístico, es la determinación de las variables apropiadas sobre las cuales se debe aplicar el control, así como también los puntos del proceso de producción , en los que debe establecerse el control; y para ello se requiere de un adecuado trabajo en equipo . Un programa de Control Estadístico de Procesos debe reunir los siguientes requisitos para que pueda tener éxito: 1. Liderazgo gerencial. 2. Trabajo en equipo. 3. Educación del personal a todos los niveles.

156 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

4. Enfasis en el mejoramiento continuo.. Todos los miembros de la gerencia y del equipo, deben recibir capacitación relativa a las herramientas apropiadas para el mejoramiento del proceso. Un diagrama de flujo del proceso para mejorar su entendimiento acerca de la forma como opera, es un buen método para analizarlo, y para establecer los puntos donde podrían aplicarse con provecho los controles. También es importante desarrollar criterios de medición relativos a las variables claves, para lo cual se debe contar con equipos de laboratorio adecuadamente calibrados. En este sentido es muy importante también contar con normas y procedimientos escritos acerca de la forma como deben hacerse estos ensayos y mediciones, ya que si no existe uniformidad, ésta variabilidad se reflejará injustamente como una variabilidad del proceso, y en consecuencia en una inadecuada evaluación de su capacidad.. Por último, es importante recordar que el contenido de esta obra sólo considera los aspectos relativos al estudio de capacidad, pero que esto es sólo uno de los muchos aspectos que evalúa la Norma ISO-9000, y que por lo tanto su cumplimiento no garantiza la obtención de la correspondiente certificación de calidad. La evaluación del sistema de calidad hecho por la norma ISO-9000 es muchísimo más amplia, y obedece a un concepto más global como es el de CALIDAD TOTAL.

157 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Tabla N° 1: Area bajo la Distribución Normal Estándar entre 0 y z.

z

,00

,01

,02

,03

,04

,05

,06

,07

,08

,09

0,0

0,0000

0,0040

0,0080

0,0120

0,0160

0,0199

0,0239

0,0279

0,0319

0,0359

0,1

0,0398

0,0438

0,0478

0,0517

0,0557

0,0596

0,0636

0,0675

0,0714

0,0753

0,2

0,0793

0,0832

0,0871

0,0910

0,0948

0,0987

0,1026

0,1064

0,1103

0,1141

0,3

0,1179

0,1217

0,1255

0,1293

0,1331

0,1368

0,1406

0,1443

0,1480

0,1517

0,4

0,1554

0,1591

0,1628

0,1664

0,1700

0,1736

0,1772

0,1808

0,1844

0,1879

0,5

0,1915

0,1950

0,1985

0,2019

0,2054

0,2088

0,2123

0,2157

0,2190

0,2224

0,6

0,2257

0,2291

0,2324

0,2357

0,2389

0,2422

0,2454

0,2486

0,2517

0,2549

0,7

0,2580

0,2611

0,2642

0,2673

0,2704

0,2734

0,2764

0,2794

0,2823

0,2852

0,8

0,2881

0,2910

0,2939

0,2967

0,2995

0,3023

0,3051

0,3078

0,3106

0,3133

0,9

0,3159

0,3186

0,3212

0,3238

0,3264

0,3289

0,3315

0,3340

0,3365

0,3389

1,0

0,3413

0,3438

0,3461

0,3485

0,3508

0,3531

0,3554

0,3577

0,3599

0,3621

1,1

0,3643

0,3665

0,3686

0,3708

0,3729

0,3749

0,3770

0,3790

0,3810

0,3830

1,2

0,3849

0,3869

0,3888

0,3907

0,3925

0,3944

0,3962

0,3980

0,3997

0,4015

1,3

0,4032

0,4049

0,4066

0,4082

0,4099

0,4115

0,4131

0,4147

0,4162

0,4177

1,4

0,4192

0,4207

0,4222

0,4236

0,4251

0,4265

0,4279

0,4292

0,4306

0,4319

1,5

0,4332

0,4345

0,4357

0,4370

0,4382

0,4394

0,4406

0,4418

0,4429

0,4441

1,6

0,4452

0,4463

0,4474

0,4484

0,4495

0,4505

0,4515

0,4525

0,4535

0,4545

1,7

0,4554

0,4564

0,4573

0,4582

0,4591

0,4599

0,4608

0,4616

0,4625

0,4633

1,8

0,4641

0,4649

0,4656

0,4664

0,4671

0,4678

0,4686

0,4693

0,4699

0,4706

1,9

0,4713

0,4719

0,4726

0,4732

0,4738

0,4744

0,4750

0,4756

0,4761

0,4767

158 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo 2,0

0,4772

0,4778

0,4783

0,4788

0,4793

0,4798

0,4803

0,4808

0,4812

0,4817

2,1

0,4821

0,4826

0,4830

0,4834

0,4838

0,4842

0,4846

0,4850

0,4854

0,4857

2,2

0,4861

0,4864

0,4868

0,4871

0,4875

0,4878

0,4881

0,4884

0,4887

0,4890

2,3

0,4893

0,4896

0,4898

0,4901

0,4904

0,4906

0,4909

0,4911

0,4913

0,4916

2,4

0,4918

0,4920

0,4922

0,4925

0,4927

0,4929

0,4931

0,4932

0,4934

0,4936

2,5

0,4938

0,4940

0,4941

0,4943

0,4945

0,4946

0,4948

0,4949

0,4951

0,4952

2,6

0,4953

0,4955

0,4956

0,4957

0,4959

0,4960

0,4961

0,4962

0,4963

0,4964

2,7

0,4965

0,4966

0,4967

0,4968

0,4969

0,4970

0,4971

0,4972

0,4973

0,4974

2,8

0,4974

0,4975

0,4976

0,4977

0,4977

0,4978

0,4979

0,4979

0,4980

0,4981

2,9

0,4981

0,4982

0,4982

0,4983

0,4984

0,4984

0,4985

0,4985

0,4986

0,4986

3,0

0,4987

0,4987

0,4987

0,4988

0,4988

0,4989

0,4989

0,4989

0,4990

0,4990

159 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Tabla 2: Diferentes áreas bajo la curva normal estándar

z

(z)

(-z)

D(z)

z

(z)

(-z)

D(z)

0,01

0,5040

0,4960

0,0080

0,51

0,6950

0,3050

0,3899

0,02

0,5080

0,4920

0,0160

0,52

0,6985

0,3015

0,3969

0,03

0,5120

0,4880

0,0239

0,53

0,7019

0,2981

0,4039

0,04

0,5160

0,4840

0,0319

0,54

0,7054

0,2946

0,4108

0,05

0,5199

0,4801

0,0399

0,55

0,7088

0,2912

0,4177

0,06

0,5239

0,4761

0,0478

0,56

0,7123

0,2877

0,4245

0,07

0,5279

0,4721

0,0558

0,57

0,7157

0,2843

0,4313

0,08

0,5319

0,4681

0,0638

0,58

0,7190

0,2810

0,4381

0,09

0,5359

0,4641

0,0717

0,59

0,7224

0,2776

0,4448

0,10

0,5398

0,4602

0,0797

0,60

0,7257

0,2743

0,4515

0,11

0,5438

0,4562

0,0876

0,61

0,7291

0,2709

0,4581

0,12

0,5478

0,4522

0,0955

0,62

0,7324

0,2676

0,4647

0,13

0,5517

0,4483

0,1034

0,63

0,7357

0,2643

0,4713

0,14

0,5557

0,4443

0,1113

0,64

0,7389

0,2611

0,4778

0,15

0,5596

0,4404

0,1192

0,65

0,7422

0,2578

0,4843

0,16

0,5636

0,4364

0,1271

0,66

0,7454

0,2546

0,4907

0,17

0,5675

0,4325

0,1350

0,67

0,7486

0,2514

0,4971

0,18

0,5714

0,4286

0,1428

0,68

0,7517

0,2483

0,5035

0,19

0,5753

0,4247

0,1507

0,69

0,7549

0,2451

0,5098

0,20

0,5793

0,4207

0,1585

0,70

0,7580

0,2420

0,5161

0,21

0,5832

0,4168

0,1663

0,71

0,7611

0,2389

0,5223

160 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

0,22

0,5871

0,4129

0,1741

0,72

0,7642

0,2358

0,5285

0,23

0,5910

0,4090

0,1819

0,73

0,7673

0,2327

0,5346

0,24

0,5948

0,4052

0,1897

0,74

0,7704

0,2296

0,5407

0,25

0,5987

0,4013

0,1974

0,75

0,7734

0,2266

0,5467

0,26

0,6026

0,3974

0,2051

0,76

0,7764

0,2236

0,5527

0,27

0,6064

0,3936

0,2128

0,77

0,7794

0,2206

0,5587

0,28

0,6103

0,3897

0,2205

0,78

0,7823

0,2177

0,5646

0,29

0,6141

0,3859

0,2282

0,79

0,7852

0,2148

0,5705

0,30

0,6179

0,3821

0,2358

0,80

0,7881

0,2119

0,5763

0,31

0,6217

0,3783

0,2434

0,81

0,7910

0,2090

0,5821

0,32

0,6255

0,3745

0,2510

0,82

0,7939

0,2061

0,5878

0,33

0,6293

0,3707

0,2586

0,83

0,7967

0,2033

0,5935

0,34

0,6331

0,3669

0,2661

0,84

0,7995

0,2005

0,5991

0,35

0,6368

0,3632

0,2737

0,85

0,8023

0,1977

0,6047

0,36

0,6406

0,3594

0,2812

0,86

0,8051

0,1949

0,6102

0,37

0,6443

0,3557

0,2886

0,87

0,8078

0,1922

0,6157

0,38

0,6480

0,3520

0,2961

0,88

0,8106

0,1894

0,6211

0,39

0,6517

0,3483

0,3035

0,89

0,8133

0,1867

0,6265

0,40

0,6554

0,3446

0,3108

0,90

0,8159

0,1841

0,6319

0,41

0,6591

0,3409

0,3182

0,91

0,8186

0,1814

0,6372

0,42

0,6628

0,3372

0,3255

0,92

0,8212

0,1788

0,6424

0,43

0,6664

0,3336

0,3328

0,93

0,8238

0,1762

0,6476

0,44

0,6700

0,3300

0,3401

0,94

0,8264

0,1736

0,6528

0,45

0,6736

0,3264

0,3473

0,95

0,8289

0,1711

0,6579

0,46

0,6772

0,3228

0,3545

0,96

0,8315

0,1685

0,6629

0,47

0,6808

0,3192

0,3616

0,97

0,8340

0,1660

0,6680

0,48

0,6844

0,3156

0,3688

0,98

0,8365

0,1635

0,6729

0,49

0,6879

0,3121

0,3759

0,99

0,8389

0,1611

0,6778

161 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

0,50

z

0,6915

(z)

0,3085

(-z)

0,3829

1,00

D(z)

z

0,8413

(z)

0,1587

(-z)

0,6827

D(z)

1,01

0,8438

0,1562

0,6875

1,51

0,9345

0,0655

0,8690

1,02

0,8461

0,1539

0,6923

1,52

0,9357

0,0643

0,8715

1,03

0,8485

0,1515

0,6970

1,53

0,9370

0,0630

0,8740

1,04

0,8508

0,1492

0,7017

1,54

0,9382

0,0618

0,8764

1,05

0,8531

0,1469

0,7063

1,55

0,9394

0,0606

0,8789

1,06

0,8554

0,1446

0,7109

1,56

0,9406

0,0594

0,8812

1,07

0,8577

0,1423

0,7154

1,57

0,9418

0,0582

0,8836

1,08

0,8599

0,1401

0,7199

1,58

0,9429

0,0571

0,8859

1,09

0,8621

0,1379

0,7243

1,59

0,9441

0,0559

0,8882

1,10

0,8643

0,1357

0,7287

1,60

0,9452

0,0548

0,8904

1,11

0,8665

0,1335

0,7330

1,61

0,9463

0,0537

0,8926

1,12

0,8686

0,1314

0,7373

1,62

0,9474

0,0526

0,8948

1,13

0,8708

0,1292

0,7415

1,63

0,9484

0,0516

0,8969

1,14

0,8729

0,1271

0,7457

1,64

0,9495

0,0505

0,8990

1,15

0,8749

0,1251

0,7499

1,65

0,9505

0,0495

0,9011

1,16

0,8770

0,1230

0,7540

1,66

0,9515

0,0485

0,9031

1,17

0,8790

0,1210

0,7580

1,67

0,9525

0,0475

0,9051

1,18

0,8810

0,1190

0,7620

1,68

0,9535

0,0465

0,9070

1,19

0,8830

0,1170

0,7660

1,69

0,9545

0,0455

0,9090

1,20

0,8849

0,1151

0,7699

1,70

0,9554

0,0446

0,9109

1,21

0,8869

0,1131

0,7737

1,71

0,9564

0,0436

0,9127

1,22

0,8888

0,1112

0,7775

1,72

0,9573

0,0427

0,9146

1,23

0,8907

0,1093

0,7813

1,73

0,9582

0,0418

0,9164

1,24

0,8925

0,1075

0,7850

1,74

0,9591

0,0409

0,9181

162 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

1,25

0,8944

0,1056

0,7887

1,75

0,9599

0,0401

0,9199

1,26

0,8962

0,1038

0,7923

1,76

0,9608

0,0392

0,9216

1,27

0,8980

0,1020

0,7959

1,77

0,9616

0,0384

0,9233

1,28

0,8997

0,1003

0,7995

1,78

0,9625

0,0375

0,9249

1,29

0,9015

0,0985

0,8029

1,79

0,9633

0,0367

0,9265

1,30

0,9032

0,0968

0,8064

1,80

0,9641

0,0359

0,9281

1,31

0,9049

0,0951

0,8098

1,81

0,9649

0,0351

0,9297

1,32

0,9066

0,0934

0,8132

1,82

0,9656

0,0344

0,9312

1,33

0,9082

0,0918

0,8165

1,83

0,9664

0,0336

0,9328

1,34

0,9099

0,0901

0,8198

1,84

0,9671

0,0329

0,9342

1,35

0,9115

0,0885

0,8230

1,85

0,9678

0,0322

0,9357

1,36

0,9131

0,0869

0,8262

1,86

0,9686

0,0314

0,9371

1,37

0,9147

0,0853

0,8293

1,87

0,9693

0,0307

0,9385

1,38

0,9162

0,0838

0,8324

1,88

0,9699

0,0301

0,9399

1,39

0,9177

0,0823

0,8355

1,89

0,9706

0,0294

0,9412

1,40

0,9192

0,0808

0,8385

1,90

0,9713

0,0287

0,9426

1,41

0,9207

0,0793

0,8415

1,91

0,9719

0,0281

0,9439

1,42

0,9222

0,0778

0,8444

1,92

0,9726

0,0274

0,9451

1,43

0,9236

0,0764

0,8473

1,93

0,9732

0,0268

0,9464

1,44

0,9251

0,0749

0,8501

1,94

0,9738

0,0262

0,9476

1,45

0,9265

0,0735

0,8529

1,95

0,9744

0,0256

0,9488

1,46

0,9279

0,0721

0,8557

1,96

0,9750

0,0250

0,9500

1,47

0,9292

0,0708

0,8584

1,97

0,9756

0,0244

0,9512

1,48

0,9306

0,0694

0,8611

1,98

0,9761

0,0239

0,9523

1,49

0,9319

0,0681

0,8638

1,99

0,9767

0,0233

0,9534

1,50

0,9332

0,0668

0,8664

2,00

0,9772

0,0228

0,9545

163 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

z

(z)

(-z)

D(z)

z

(z)

(-z)

D(z)

2,01

0,9778

0,0222

0,9556

2,51

0,9940

0,0060

0,9879

2,02

0,9783

0,0217

0,9566

2,52

0,9941

0,0059

0,9883

2,03

0,9788

0,0212

0,9576

2,53

0,9943

0,0057

0,9886

2,04

0,9793

0,0207

0,9586

2,54

0,9945

0,0055

0,9889

2,05

0,9798

0,0202

0,9596

2,55

0,9946

0,0054

0,9892

2,06

0,9803

0,0197

0,9606

2,56

0,9948

0,0052

0,9895

2,07

0,9808

0,0192

0,9615

2,57

0,9949

0,0051

0,9898

2,08

0,9812

0,0188

0,9625

2,58

0,9951

0,0049

0,9901

2,09

0,9817

0,0183

0,9634

2,59

0,9952

0,0048

0,9904

2,10

0,9821

0,0179

0,9643

2,60

0,9953

0,0047

0,9907

2,11

0,9826

0,0174

0,9651

2,61

0,9955

0,0045

0,9909

2,12

0,9830

0,0170

0,9660

2,62

0,9956

0,0044

0,9912

2,13

0,9834

0,0166

0,9668

2,63

0,9957

0,0043

0,9915

2,14

0,9838

0,0162

0,9676

2,64

0,9959

0,0041

0,9917

2,15

0,9842

0,0158

0,9684

2,65

0,9960

0,0040

0,9920

2,16

0,9846

0,0154

0,9692

2,66

0,9961

0,0039

0,9922

2,17

0,9850

0,0150

0,9700

2,67

0,9962

0,0038

0,9924

2,18

0,9854

0,0146

0,9707

2,68

0,9963

0,0037

0,9926

2,19

0,9857

0,0143

0,9715

2,69

0,9964

0,0036

0,9929

2,20

0,9861

0,0139

0,9722

2,70

0,9965

0,0035

0,9931

2,21

0,9864

0,0136

0,9729

2,71

0,9966

0,0034

0,9933

2,22

0,9868

0,0132

0,9736

2,72

0,9967

0,0033

0,9935

2,23

0,9871

0,0129

0,9743

2,73

0,9968

0,0032

0,9937

2,24

0,9875

0,0125

0,9749

2,74

0,9969

0,0031

0,9939

2,25

0,9878

0,0122

0,9756

2,75

0,9970

0,0030

0,9940

2,26

0,9881

0,0119

0,9762

2,76

0,9971

0,0029

0,9942

2,27

0,9884

0,0116

0,9768

2,77

0,9972

0,0028

0,9944

164 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

2,28

0,9887

0,0113

0,9774

2,78

0,9973

0,0027

0,9946

2,29

0,9890

0,0110

0,9780

2,79

0,9974

0,0026

0,9947

2,30

0,9893

0,0107

0,9786

2,80

0,9974

0,0026

0,9949

2,31

0,9896

0,0104

0,9791

2,81

0,9975

0,0025

0,9950

2,32

0,9898

0,0102

0,9797

2,82

0,9976

0,0024

0,9952

2,33

0,9901

0,0099

0,9802

2,83

0,9977

0,0023

0,9953

2,34

0,9904

0,0096

0,9807

2,84

0,9977

0,0023

0,9955

2,35

0,9906

0,0094

0,9812

2,85

0,9978

0,0022

0,9956

2,36

0,9909

0,0091

0,9817

2,86

0,9979

0,0021

0,9958

2,37

0,9911

0,0089

0,9822

2,87

0,9979

0,0021

0,9959

2,38

0,9913

0,0087

0,9827

2,88

0,9980

0,0020

0,9960

2,39

0,9916

0,0084

0,9832

2,89

0,9981

0,0019

0,9961

2,40

0,9918

0,0082

0,9836

2,90

0,9981

0,0019

0,9963

2,41

0,9920

0,0080

0,9840

2,91

0,9982

0,0018

0,9964

2,42

0,9922

0,0078

0,9845

2,92

0,9982

0,0018

0,9965

2,43

0,9925

0,0075

0,9849

2,93

0,9983

0,0017

0,9966

2,44

0,9927

0,0073

0,9853

2,94

0,9984

0,0016

0,9967

2,45

0,9929

0,0071

0,9857

2,95

0,9984

0,0016

0,9968

2,46

0,9931

0,0069

0,9861

2,96

0,9985

0,0015

0,9969

2,47

0,9932

0,0068

0,9865

2,97

0,9985

0,0015

0,9970

2,48

0,9934

0,0066

0,9869

2,98

0,9986

0,0014

0,9971

2,49

0,9936

0,0064

0,9872

2,99

0,9986

0,0014

0,9972

2,50

0,9938

0,0062

0,9876

3,00

0,9987

0,0013

0,9973

165 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

z

(z)

(-z)

D(z)

z

(z)

(-z)

D(z)

3,01

0,9987

0,0013

0,9974

3,51

0,9998

0,0002

0,9996

3,02

0,9987

0,0013

0,9975

3,52

0,9998

0,0002

0,9996

3,03

0,9988

0,0012

0,9976

3,53

0,9998

0,0002

0,9996

3,04

0,9988

0,0012

0,9976

3,54

0,9998

0,0002

0,9996

3,05

0,9989

0,0011

0,9977

3,55

0,9998

0,0002

0,9996

3,06

0,9989

0,0011

0,9978

3,56

0,9998

0,0002

0,9996

3,07

0,9989

0,0011

0,9979

3,57

0,9998

0,0002

0,9996

3,08

0,9990

0,0010

0,9979

3,58

0,9998

0,0002

0,9997

3,09

0,9990

0,0010

0,9980

3,59

0,9998

0,0002

0,9997

3,10

0,9990

0,0010

0,9981

3,60

0,9998

0,0002

0,9997

3,11

0,9991

0,0009

0,9981

3,61

0,9998

0,0002

0,9997

3,12

0,9991

0,0009

0,9982

3,62

0,9999

0,0001

0,9997

3,13

0,9991

0,0009

0,9983

3,63

0,9999

0,0001

0,9997

3,14

0,9992

0,0008

0,9983

3,64

0,9999

0,0001

0,9997

3,15

0,9992

0,0008

0,9984

3,65

0,9999

0,0001

0,9997

3,16

0,9992

0,0008

0,9984

3,66

0,9999

0,0001

0,9997

3,17

0,9992

0,0008

0,9985

3,67

0,9999

0,0001

0,9998

3,18

0,9993

0,0007

0,9985

3,68

0,9999

0,0001

0,9998

3,19

0,9993

0,0007

0,9986

3,69

0,9999

0,0001

0,9998

3,20

0,9993

0,0007

0,9986

3,70

0,9999

0,0001

0,9998

3,21

0,9993

0,0007

0,9987

3,71

0,9999

0,0001

0,9998

3,22

0,9994

0,0006

0,9987

3,72

0,9999

0,0001

0,9998

3,23

0,9994

0,0006

0,9988

3,73

0,9999

0,0001

0,9998

3,24

0,9994

0,0006

0,9988

3,74

0,9999

0,0001

0,9998

3,25

0,9994

0,0006

0,9988

3,75

0,9999

0,0001

0,9998

3,26

0,9994

0,0006

0,9989

3,76

0,9999

0,0001

0,9998

3,27

0,9995

0,0005

0,9989

3,77

0,9999

0,0001

0,9998

166 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

3,28

0,9995

0,0005

0,9990

3,78

0,9999

0,0001

0,9998

3,29

0,9995

0,0005

0,9990

3,79

0,9999

0,0001

0,9998

3,30

0,9995

0,0005

0,9990

3,80

0,9999

0,0001

0,9999

3,31

0,9995

0,0005

0,9991

3,81

0,9999

0,0001

0,9999

3,32

0,9995

0,0005

0,9991

3,82

0,9999

0,0001

0,9999

3,33

0,9996

0,0004

0,9991

3,83

0,9999

0,0001

0,9999

3,34

0,9996

0,0004

0,9992

3,84

0,9999

0,0001

0,9999

3,35

0,9996

0,0004

0,9992

3,85

0,9999

0,0001

0,9999

3,36

0,9996

0,0004

0,9992

3,86

0,9999

0,0001

0,9999

3,37

0,9996

0,0004

0,9992

3,87

0,9999

0,0001

0,9999

3,38

0,9996

0,0004

0,9993

3,88

0,9999

0,0001

0,9999

3,39

0,9997

0,0003

0,9993

3,89

0,9999

0,0001

0,9999

3,40

0,9997

0,0003

0,9993

3,90

1,0000

0,0000

0,9999

3,41

0,9997

0,0003

0,9994

3,91

1,0000

0,0000

0,9999

3,42

0,9997

0,0003

0,9994

3,92

1,0000

0,0000

0,9999

3,43

0,9997

0,0003

0,9994

3,93

1,0000

0,0000

0,9999

3,44

0,9997

0,0003

0,9994

3,94

1,0000

0,0000

0,9999

3,45

0,9997

0,0003

0,9994

3,95

1,0000

0,0000

0,9999

3,46

0,9997

0,0003

0,9995

3,96

1,0000

0,0000

0,9999

3,47

0,9997

0,0003

0,9995

3,97

1,0000

0,0000

0,9999

3,48

0,9997

0,0003

0,9995

3,98

1,0000

0,0000

0,9999

3,49

0,9998

0,0002

0,9995

3,99

1,0000

0,0000

0,9999

3,50

0,9998

0,0002

0,9995

4,00

1,0000

0,0000

0,9999

167 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Tabla 2.3: Valores de “z” en función del área

Area

A la izquierda

Central

Area

A la izquierda

Central

0,001

-3,090

0,001

0,510

0,025

0,690

0,005

-2,576

0,006

0,520

0,050

0,706

0,010

-2,326

0,013

0,530

0,075

0,722

0,020

-2,054

0,025

0,540

0,100

0,739

0,025

-1,960

0,031

0,550

0,126

0,755

0,030

-1,881

0,038

0,560

0,151

0,772

0,040

-1,751

0,050

0,570

0,176

0,789

0,050

-1,645

0,063

0,580

0,202

0,806

0,060

-1,555

0,075

0,590

0,228

0,824

0,070

-1,476

0,088

0,600

0,253

0,842

0,080

-1,405

0,100

0,610

0,279

0,860

0,090

-1,341

0,113

0,620

0,305

0,878

0,100

-1,282

0,126

0,630

0,332

0,896

0,110

-1,227

0,138

0,640

0,358

0,915

0,120

-1,175

0,151

0,650

0,385

0,935

0,130

-1,126

0,164

0,660

0,412

0,954

0,140

-1,080

0,176

0,670

0,440

0,974

0,150

-1,036

0,189

0,680

0,468

0,994

0,160

-0,994

0,202

0,690

0,496

1,015

0,170

-0,954

0,215

0,700

0,524

1,036

0,180

-0,915

0,228

0,710

0,553

1,058

0,190

-0,878

0,240

0,720

0,583

1,080

0,200

-0,842

0,253

0,730

0,613

1,103

0,210

-0,806

0,266

0,740

0,643

1,126

168 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo 0,220

-0,772

0,279

0,750

0,674

1,150

0,230

-0,739

0,292

0,760

0,706

1,175

0,240

-0,706

0,305

0,770

0,739

1,200

0,250

-0,674

0,319

0,780

0,772

1,227

0,260

-0,643

0,332

0,790

0,806

1,254

0,270

-0,613

0,345

0,800

0,842

1,282

0,280

-0,583

0,358

0,810

0,878

1,311

0,290

-0,553

0,372

0,820

0,915

1,341

0,300

-0,524

0,385

0,830

0,954

1,372

0,310

-0,496

0,399

0,840

0,994

1,405

0,320

-0,468

0,412

0,850

1,036

1,440

0,330

-0,440

0,426

0,860

1,080

1,476

0,340

-0,412

0,440

0,870

1,126

1,514

0,350

-0,385

0,454

0,880

1,175

1,555

0,360

-0,358

0,468

0,890

1,227

1,598

0,370

-0,332

0,482

0,900

1,282

1,645

0,380

-0,305

0,496

0,910

1,341

1,695

0,390

-0,279

0,510

0,920

1,405

1,751

0,400

-0,253

0,524

0,930

1,476

1,812

0,410

-0,228

0,539

0,940

1,555

1,881

0,420

-0,202

0,553

0,950

1,645

1,960

0,430

-0,176

0,568

0,960

1,751

2,054

0,440

-0,151

0,583

0,970

1,881

2,170

0,450

-0,126

0,598

0,975

1,960

2,241

0,460

-0,100

0,613

0,980

2,054

2,326

0,470

-0,075

0,628

0,990

2,326

2,576

0,480

-0,050

0,643

0,995

2,576

2,807

0,490

-0,025

0,659

0,999

3,090

3,290

0,500

0,000

0,674

1,000

169 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Anexo No 2 : Coeficientes para la construcción de gráficas de control

170 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

Anexo No 3 : Percentiles de la Distribución Chi Cuadrado

grados libertad v 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47

X0,005

X0,010

X0,025

X0,050

X0,100

X0,900

X0,950

X0,975

X0,990

X0,995

0,00 0,01 0,07 0,21 0,41 0,68 0,99 1,34 1,73 2,16 2,60 3,07 3,57 4,07 4,60 5,14 5,70 6,26 6,84 7,43 8,03 8,64 9,26 9,89 10,52 11,16 11,81 12,46 13,12 13,79 14,46 15,13 15,82 16,50 17,19 17,89 18,59 19,29 20,00 20,71 21,42 22,14 22,86 23,58 24,31 25,04 25,77

0,00 0,02 0,11 0,30 0,55 0,87 1,24 1,65 2,09 2,56 3,05 3,57 4,11 4,66 5,23 5,81 6,41 7,01 7,63 8,26 8,90 9,54 10,20 10,86 11,52 12,20 12,88 13,56 14,26 14,95 15,66 16,36 17,07 17,79 18,51 19,23 19,96 20,69 21,43 22,16 22,91 23,65 24,40 25,15 25,90 26,66 27,42

0,00 0,05 0,22 0,48 0,83 1,24 1,69 2,18 2,70 3,25 3,82 4,40 5,01 5,63 6,26 6,91 7,56 8,23 8,91 9,59 10,28 10,98 11,69 12,40 13,12 13,84 14,57 15,31 16,05 16,79 17,54 18,29 19,05 19,81 20,57 21,34 22,11 22,88 23,65 24,43 25,21 26,00 26,79 27,57 28,37 29,16 29,96

0,00 0,10 0,35 0,71 1,15 1,64 2,17 2,73 3,33 3,94 4,57 5,23 5,89 6,57 7,26 7,96 8,67 9,39 10,12 10,85 11,59 12,34 13,09 13,85 14,61 15,38 16,15 16,93 17,71 18,49 19,28 20,07 20,87 21,66 22,47 23,27 24,07 24,88 25,70 26,51 27,33 28,14 28,96 29,79 30,61 31,44 32,27

0,02 0,21 0,58 1,06 1,61 2,20 2,83 3,49 4,17 4,87 5,58 6,30 7,04 7,79 8,55 9,31 10,09 10,86 11,65 12,44 13,24 14,04 14,85 15,66 16,47 17,29 18,11 18,94 19,77 20,60 21,43 22,27 23,11 23,95 24,80 25,64 26,49 27,34 28,20 29,05 29,91 30,77 31,63 32,49 33,35 34,22 35,08

2,71 4,61 6,25 7,78 9,24 10,64 12,02 13,36 14,68 15,99 17,28 18,55 19,81 21,06 22,31 23,54 24,77 25,99 27,20 28,41 29,62 30,81 32,01 33,20 34,38 35,56 36,74 37,92 39,09 40,26 41,42 42,58 43,75 44,90 46,06 47,21 48,36 49,51 50,66 51,81 52,95 54,09 55,23 56,37 57,51 58,64 59,77

3,84 5,99 7,81 9,49 11,07 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 19,68 21,03 22,36 23,68 25,00 26,30 27,59 28,87 30,14 31,41 32,67 33,92 35,17 36,42 37,65 38,89 40,11 41,34 42,56 43,77 44,99 46,19 47,40 48,60 49,80 51,00 52,19 53,38 54,57 55,76 56,94 58,12 59,30 60,48 61,66 62,83 64,00

5,02 7,38 9,35 11,14 12,83 14,45 16,01 17,53 19,02 20,48 21,92 23,34 24,74 26,12 27,49 28,85 30,19 31,53 32,85 34,17 35,48 36,78 38,08 39,36 40,65 41,92 43,19 44,46 45,72 46,98 48,23 49,48 50,73 51,97 53,20 54,44 55,67 56,90 58,12 59,34 60,56 61,78 62,99 64,20 65,41 66,62 67,82

6,63 9,21 11,34 13,28 15,09 16,81 18,48 20,09 21,67 23,21 24,72 26,22 27,69 29,14 30,58 32,00 33,41 34,81 36,19 37,57 38,93 40,29 41,64 42,98 44,31 45,64 46,96 48,28 49,59 50,89 52,19 53,49 54,78 56,06 57,34 58,62 59,89 61,16 62,43 63,69 64,95 66,21 67,46 68,71 69,96 71,20 72,44

7,88 10,60 12,84 14,86 16,75 18,55 20,28 21,95 23,59 25,19 26,76 28,30 29,82 31,32 32,80 34,27 35,72 37,16 38,58 40,00 41,40 42,80 44,18 45,56 46,93 48,29 49,64 50,99 52,34 53,67 55,00 56,33 57,65 58,96 60,27 61,58 62,88 64,18 65,48 66,77 68,05 69,34 70,62 71,89 73,17 74,44 75,70

171 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66

26,51 27,25 27,99 28,73 29,48 30,23 30,98 31,73 32,49 33,25 34,01 34,77 35,53 36,30 37,07 37,84 38,61 39,38 40,16

28,18 28,94 29,71 30,48 31,25 32,02 32,79 33,57 34,35 35,13 35,91 36,70 37,48 38,27 39,06 39,86 40,65 41,44 42,24

30,75 31,55 32,36 33,16 33,97 34,78 35,59 36,40 37,21 38,03 38,84 39,66 40,48 41,30 42,13 42,95 43,78 44,60 45,43

33,10 33,93 34,76 35,60 36,44 37,28 38,12 38,96 39,80 40,65 41,49 42,34 43,19 44,04 44,89 45,74 46,59 47,45 48,31

35,95 36,82 37,69 38,56 39,43 40,31 41,18 42,06 42,94 43,82 44,70 45,58 46,46 47,34 48,23 49,11 50,00 50,88 51,77

60,91 62,04 63,17 64,30 65,42 66,55 67,67 68,80 69,92 71,04 72,16 73,28 74,40 75,51 76,63 77,75 78,86 79,97 81,09

65,17 66,34 67,50 68,67 69,83 70,99 72,15 73,31 74,47 75,62 76,78 77,93 79,08 80,23 81,38 82,53 83,68 84,82 85,96

69,02 70,22 71,42 72,62 73,81 75,00 76,19 77,38 78,57 79,75 80,94 82,12 83,30 84,48 85,65 86,83 88,00 89,18 90,35

73,68 74,92 76,15 77,39 78,62 79,84 81,07 82,29 83,51 84,73 85,95 87,17 88,38 89,59 90,80 92,01 93,22 94,42 95,63

76,97 78,23 79,49 80,75 82,00 83,25 84,50 85,75 86,99 88,24 89,48 90,72 91,95 93,19 94,42 95,65 96,88 98,11 99,33

67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98

40,94 41,71 42,49 43,28 44,06 44,84 45,63 46,42 47,21 48,00 48,79 49,58 50,38 51,17 51,97 52,77 53,57 54,37 55,17 55,97 56,78 57,58 58,39 59,20 60,00 60,81 61,63 62,44 63,25 64,06 64,88 65,69

43,04 43,84 44,64 45,44 46,25 47,05 47,86 48,67 49,48 50,29 51,10 51,91 52,72 53,54 54,36 55,17 55,99 56,81 57,63 58,46 59,28 60,10 60,93 61,75 62,58 63,41 64,24 65,07 65,90 66,73 67,56 68,40

46,26 47,09 47,92 48,76 49,59 50,43 51,26 52,10 52,94 53,78 54,62 55,47 56,31 57,15 58,00 58,84 59,69 60,54 61,39 62,24 63,09 63,94 64,79 65,65 66,50 67,36 68,21 69,07 69,92 70,78 71,64 72,50

49,16 50,02 50,88 51,74 52,60 53,46 54,33 55,19 56,05 56,92 57,79 58,65 59,52 60,39 61,26 62,13 63,00 63,88 64,75 65,62 66,50 67,37 68,25 69,13 70,00 70,88 71,76 72,64 73,52 74,40 75,28 76,16

52,66 53,55 54,44 55,33 56,22 57,11 58,01 58,90 59,79 60,69 61,59 62,48 63,38 64,28 65,18 66,08 66,98 67,88 68,78 69,68 70,58 71,48 72,39 73,29 74,20 75,10 76,01 76,91 77,82 78,73 79,63 80,54

82,20 83,31 84,42 85,53 86,64 87,74 88,85 89,96 91,06 92,17 93,27 94,37 95,48 96,58 97,68 98,78 99,88 100,98 102,08 103,18 104,28 105,37 106,47 107,57 108,66 109,76 110,85 111,94 113,04 114,13 115,22 116,32

87,11 88,25 89,39 90,53 91,67 92,81 93,95 95,08 96,22 97,35 98,48 99,62 100,75 101,88 103,01 104,14 105,27 106,39 107,52 108,65 109,77 110,90 112,02 113,15 114,27 115,39 116,51 117,63 118,75 119,87 120,99 122,11

91,52 92,69 93,86 95,02 96,19 97,35 98,52 99,68 100,84 102,00 103,16 104,32 105,47 106,63 107,78 108,94 110,09 111,24 112,39 113,54 114,69 115,84 116,99 118,14 119,28 120,43 121,57 122,72 123,86 125,00 126,14 127,28

96,83 98,03 99,23 100,43 101,62 102,82 104,01 105,20 106,39 107,58 108,77 109,96 111,14 112,33 113,51 114,69 115,88 117,06 118,24 119,41 120,59 121,77 122,94 124,12 125,29 126,46 127,63 128,80 129,97 131,14 132,31 133,48

100,55 101,78 103,00 104,21 105,43 106,65 107,86 109,07 110,29 111,50 112,70 113,91 115,12 116,32 117,52 118,73 119,93 121,13 122,32 123,52 124,72 125,91 127,11 128,30 129,49 130,68 131,87 133,06 134,25 135,43 136,62 137,80

172 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

173 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

174 Capacidad de Procesos según ISO 9000 o Ing Angel Francisco Arvelo

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