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• AaronAlejandroKiwakiAlvarez

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Para diseñar apropiadamente el rizo de esta montaña rusa, es necesario asegurarse de que los carros tengan suficiente energía para completar el rizo sin que se salgan de los rieles.

inética de na partícula: rabajo y energía BJETIVOS DEL CAPíTULO Desarrollar el principio de trabajo y energía y aplicarlo para resolver problemas que implican fuerza, velocidad y desplazamiento. Estudiar problemas que implican potencia y eficiencia Presentar el concepto de fuerza conservadora y aplicar el teorema de la conservación de la energía para resolver problemas de cinética.

14.1

Trabajo de una fuerza

En este capítulo analizaremos el movimiento de una partícula por medio de los conceptos de trabajo y energía. La ecuación resultante servirá para resolver problemas que impliquen fuerza, velocidad y desplazamiento. Pero primero tenemos que definir el trabajo de una fuerza. Específicamente, una fuerza F realizará trabajo en una partícula ólo cuando ésta sufra un desplazamiento en la dirección de la fuerza. Por ejemplo, si la fuerza F en la figura 14-1 hace que la partícula se mueva a lo largo de la trayectoria s de la posición r a una nueva posición r', el desplazamiento es entonces dr = r' - r. La magnitud de dr es ds, la longitud del segmento diferencial a lo largo de la trayectoria. Si el ángulo entre las colas de dr y F es e, figura 14-1, entonces el trabajo realizado por F es una cantidad escalar, definida por dU = F ds cos

e

F

s

Fig.14-1

17O

CAPfTULO

14

CiNÉTICA DE UNA PARTfCULA: TRABAJO y ENERGfA

Por definición del producto punto esta ecuación también puede escribirse como

F

dU

F·df

Este resultado puede interpretarse en una de dos maneras: o como el producto de F y el componente de desplazamiento ds cos e en la dirección de la fuerza, o como el producto de ds por el componente de fuerza, F cos e, en la dirección del desplazamiento. Observe que si 0° :::;e < 90°, entonces el componente de fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, de modo que el trabajo es positivo; en tanto que si 90° < e:::; 180°, estos vectores tendrán sentido opuesto, y por consiguiente el trabajo es negativo. Además, dU = O si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, puesto que cos 90° = O, o si la fuerza se aplica en un punto fijo, en cuyo caso el desplazamiento es cero. La unidad de trabajo en unidades SI es el joule (J) el cual es la cantidad de trabajo realizada por una fuerza de un newton cuando recorre una distancia de un metro en la dirección de la fuerza (1 J = 1 N . m). En el sistema FPS, el trabajo se mide en unidades libra-pie (pie . libra), que es el trabajo realizado por una fuerza de una libra que actúa a lo largo de una distancia de un pie en la dirección de la fuerza. *

s

I

=

Fig.14-1

Trabajo de una fuerza variable.

Si la partícula en la que actúa una fuerza F sufre un desplazamiento finito a lo largo de su trayectoria de f1 a f2 o de SI a S2, figura 14-2a, el trabajo de la fuerza F se determina mediante integración. Siempre que F y e puedan expresarse en función de la posición, entonces

(14-1)

En ocasiones, esta relación se obtiene por medio de datos experimentales para trazar la gráfica de F cos e vs. s. Entonces, el área bajo la gráfica limitada por SI y S2 representa el trabajo total, figura 14-2b.

Fcos

e Ecos

e

s L-----~--~WL----L------S SI

--i

1-

S2

ds

(b)

(a)

Fig.14-2

*Por convención, las unidades del momento de una fuerza o par de torsión se escriben como lb • pies, para distinguirlas de aquellas que significan trabajo, pies lb. >

14.1

TRABAJO DE UNA FUERZA

1 71

Feos 8

SI•

A

Fe eos 8

F,'~' [---S-I

S2•

(a)

S

----~S2---

(b)

Fig.14-3

- abajo de una fuerza constante que se mueve a lo 90 de una línea recta. Si la magnitud de la fuerza Fe es tante y actúa a un ángulo constante 8 con respecto a su trayeca de línea recta, figura 14-3a, entonces el componente de Fe en la rección del desplazamiento siempre es Fe cos 8. El trabajo realizado Fe cuando la partícula se desplaza de SI a S2 se determina con la ación 14-1, en cuyo caso

(14-2) uí Fe representa el área del rectángulo en la figura 14-3b.

abajo de un peso. Considere una partícula de peso W, el cual ~ desplaza a lo largo de la trayectoria mostrada en la figura 14-4 de la ición SI a S2. En un punto intermedio, el desplazamiento dr = dxi + j + dzk. Como W = - Wj, al aplicar la ecuación 14-1 tenemos

¡

Y2

-W dy

=

- y¡)

-W(Y2

y

YI

w

I UI-2

=

-W Ily

I

S2

(14-3) S

Por tanto, el trabajo es independiente de la trayectoria y es igual a la magnitud del peso de la partícula por el desplazamiento vertical. En el aso mostrado en la figura 14-4 el trabajo es negativo, puesto que W actúa hacia abajo y Il Y es hacia arriba. Observe, sin embargo, que si la partícula se desplaza hacia abajo (-Il y), el trabajo del peso es positivo. ¿Por qué?

)J'-~-

z Fig.14-4

----,.--x

172

CAPfTULO

14

ClN~TICA DE UNA PARTfCULA: TRABAJO y ENERGfA

Trabajo de una fuerza de resorte.

Si un resorte elástico se alarga una distancia ds, figura 14-5a, entonces el trabajo realizado por la fuerza que actúa en la partícula adjunta es dU = - Fsds = - ks ds. El trabajo es negativo puesto que F, actúa en el sentido opuesto a ds. Si la partícula se desplaza de SI a S2, el trabajo de F, es por tanto

(14-4)

Este trabajo representa el área trapezoidal bajo la línea F, = ks, figura 14-5b. Para no cometer errores en el signo cuando se aplica esta ecuación, basta fijarse en la dirección de la fuerza de resorte que actúa en la partícula y compararla con el sentido del desplazamiento de ésta; si ambos actúan en el mismo sentido, el trabajo es positivo; si lo hacen opuestos entre sí, el trabajo es negativo.

Posición sin que el resorte esté alargado, s = O

r,

L,-.,

C=kS

/Fs

k

~----~--------~-----S S¡ S2

Fuerza en la partícula

(b)

(a)

Fig.14-5

Las fuerzas que actúan en la carretilla al jalarla cuesta arriba una distancia s, se muestran en su diagrama de cuerpo libre. La fuerza en el remolque T realiza un trabajo positivo U¡ = (T cos cJ>)s, el peso realiza trabajo negativo Uw = -(W sen !J)s, y la fuerza normal N no realiza trabajo puesto que no se desplaza a lo largo de su línea de acción.

14.1

EJEMPLO

TRABAJO DE UNA FUERZA

1 73

14.1

El bloque de 10 kg de la figura 14-6a descansa sobre el plano inclinado. Si el resorte originalmente está alargado 0.5 m, determine el trabajo total realizado por todas las fuerzas que actúan en el bloque cuando una fuerza horizontal P = 400 N lo empuja cuesta arriba s = 2 m.

•

SOLUCiÓN

Primero se traza el diagrama de cuerpo libre del bloque con todas las fuerzas que actúan en e'l bloque, figura 14-6b. Como esta fuerza es constante, el trabajo se determina con la ecuación 14-2. El resultado puede calcularse como la fuerza por el componente del desplazamiento en la dirección de la fuerza, es decir, Fuerza horizontal P.

Up

=

400 N (2 m cos 30°)

=

692.8 J

o el desplazamiento por el componente de fuerza en la dirección del desplazamiento, es decir, Up

=

400 N cos 30°(2 m)

=

(a)

692.8 J

98.~N

30°

~

P=400N 30° Fs

NB

(b)

Fuerza del resorte Fs' En la posición inicial el resorte está alargado Sl = 0.5 m y en la posición final está alargado S2 = 0.5 m +

2 m = 2.5 m. Requerimos que el trabajo sea negativo puesto que la fuerza y el desplazamiento se oponen entre sí. El trabajo de F, es por tanto U¿

= -[!(30 Nzm) (2.5 m)2 - ~(30 N/m)(O.5 mf] = -90 J

Peso W. Como el peso actúa en el sentido opuesto a su desplazamiento vertical, el trabajo es negativo; es decir,

Uw

= -(98.1 N) (2 m sen 30°) = -98.1 J

Observe que también es posible considerar el componente del peso en la dirección del desplazamiento, es decir, Uw

= -(98.1 sen 30° N) (2 m) = -98.1 J

Fuerza normal Na. Esta fuerza no realiza trabajo puesto que siempre es perpendicular al desplazamiento.

El trabajo de todas las fuerzas cuando el bloque se desplaza 2 m es por consiguiente

Trabajo total.

UT

=

692.8 J - 90 J - 98.1 J

=

505 J

Resp.

Fig.14-6

174

CAPiTULO

14

CiNt:TICA

DE UNA PARTíCULA: TRABAJO y ENERGíA

14.2 2 s

I

1

FR =:tF

n

Fig.14-7

Principio de trabajo y energía

Considere la partícula que aparece en la figura 14-7, localizada en la trayectoria definida con respecto a un sistema de coordenadas inercial. Si la partícula tiene una masa m y se somete a un sistema de fuerzas externas, representado por la fuerza resultante F R = LF, entonces la ecuación de movimiento de la partícula en la dirección tangencial es LFr = mar' Si aplicamos la ecuación cinemática a, = v dulds e integramos ambos lados y suponemos que inicialmente la partícula tiene una posición s = Sl Yuna rapidez v = Vl Ydespués s = S2 Yv = V2, tenemos

L

S2

1 51

F; ds

¡V2 =

mv dv

VI

(14-5)

En la figura 14-7, observe que LF( = LF cos B y puesto que la ecuación 14-1 define el trabajo, el resultado final se escribe como

(14-6)

Esta ecuación representa el principio de trabajo y energía para la partícula. El término del lado izquierdo es la suma del trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan en la partícula cuando ésta se mueve del punto 1 al punto 2. Los dos términos del lado derecho, cuya forma es T = rmr , definen la energía cinética final e inicial, respectivamente. Como el trabajo, la energía cinética es un escalar y sus unidades son joules (J) y lb . pie. Sin embargo, a diferencia del trabajo, que puede ser o positivo o negativo, la energía cinética siempre es positiva, sin importar la dirección del movimiento de la partícula. Cuando se aplica la ecuación 14-6, a menudo se expresa como

!

(14-7)

la cual establece que la energía cinética inicial de la partícula, más el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan en ella cuando se mueve de su posición inicial a su posición final, es igual a la energía cinética final de la partícula. Como se señaló en la derivación, el principio de trabajo y energía representa una forma integrada de LFt = ma.; con que se obtuvo por la ecuación cinemática a, = v dufds. Por consiguiente, este principio constituye una sustitución conveniente de LFt = ma¡ cuando se resuelven problemas cinéticos que implican fuerza, velocidad y desplazamiento, puesto que estas cantidades intervienen en la ecuación 14-7. Para su aplicación, se sugiere el siguiente procedimiento.

14.2

Trabajo (Diagrama de cuerpo libre). • Establezca el sistema de coordenadas inercial y trace un diagrama de cuerpo libre donde aparezcan todas las fuerzas que realizan trabajo en la partícula cuando se mueve a lo largo de su trayectoria.

Principio de trabajo y energía. • Aplique el principio de trabajo y energía, TI

+ LU}

-

2 =

T2.

• La energía cinética en los puntos inicial y final siempre es positiva, puesto que implica la velocidad al cuadrado (T = mv2).

!

• Una fuerza realiza trabajo cuando se desplaza en la dirección de la fuerza. • El trabajo es positivo cuando el componente de fuerza actúa en el mismo sentido de dirección como su desplazamiento, de lo contrario es negativo. • Las fuerzas que son funciones del desplazamiento deben integrarse para obtener el trabajo. Gráficamente, el trabajo es igual al área bajo la curva de fuerza-desplazamiento. • El trabajo de un peso es el producto de su magnitud por el desplazamiento vertical, Uw = ± Wy. Es positivo cuando el peso . se mueve hacia abajo.

!

• El trabajo de un resorte tiene la forma U, = ks", donde k es la rigidez del resorte y s es su alargamiento o compresión.

La aplicación numérica de este procedimiento se ilustra en los ejemlos dados después de la sección 14.3.

i un automóvil choca con estos barriles de protección, su energía cinética se transformará en trabajo, lo que hace que los barriles, y hasta cierto grado el automóvil, se deformen. Si conocemos la cantidad de energía que puede absorber ada barril, es posible que diseñemos un parachoques como éste.

PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGIA

175

1 76

•

CAPíTULO

14

ClNÉTICA DE UNA PARTíCULA: TRABAJO y ENERGíA

14.3

Principio de trabajo y energía para un sistema de partículas

El principio de trabajo y energía puede ampliar se para incluir un sistema de partículas aislado adentro de un espacio cerrado como se muestra en la figura 14-8. Aquí la partícula i-ésima arbitraria, de masa mi, está sometida a una fuerza externa resultante F¡ y a una fuerza interna resultante f¡ que todas las demás partículas ejercen en la partícula i-ésima. Si aplicamos el principio de trabajo y energía a ésta y a cada una de las demás partículas que componen el sistema, entonces, puesto que el trabajo y la energía son cantidades escalares, las ecuaciones se suman algebraicamente, lo que da

(14-8)

En este caso, la energía cinética inicial del sistema, además del trabajo realizado por todas las fuerzas externas e internas que actúan en el sistema, es igual a la energía cinética final del sistema. Si el sistema representa un cuerpo rígido en movimiento, o una serie de cuerpos en movimiento conectados, entonces todas las partículas de cada cuerpo experimentarán el mismo desplazamiento. Por consiguiente, el trabajo de todas las fuerzas internas tendrá lugar en pares colineales iguales pero opuestos y por tanto se cancelan. Por otra parte, si se supone que el cuerpo es no rígido, sus partículas pueden desplazarse a lo largo de trayectorias diferentes, y una parte de la energía producida por las interacciones de las fuerzas se disipará y perderá como calor o se almacenará en el cuerpo si ocurren deformaciones permanentes. Analizaremos estos efectos brevemente al final de esta sección y en la sección 15.4. A lo largo de este texto, sin embargo, se aplicará el principio de trabajo y energía a problemas en los que no se tienen que considerar tales pérdidas de energía.

S¡

,,

t\ \ \

f¡~ J /

/

O / ///

Sistema de coordenadas inercial

Fig.14-8

14.3

177

PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGfA PARA UN SISTEMA DE PARTfcULAS

abajo de fricción originado por deslizamiento.

A concuación investigaremos una clase especial de problemas que requie• una cuidadosa aplicación de la ecuación 14-8. Estos problemas lican casos en los que un cuerpo se desliza sobre la superficie de "'0 cuando hay fricción. Considere, por ejemplo, un bloque que se lada una distancia s sobre una superficie áspera como se muestra la figura 14-9a. Si la fuerza aplicada P apenas balancea la fuerza fricción resultante J.LkN, figura 14-9b, entonces, debido al equilio. se mantiene una velocidad constante v y esperaríamos que se licara la ecuación 14-8 como sigue:

-

-

v

v

(a)

w '21 mv

2

+, P s

- J.LkN S _1 - '2 mv

2

- obstante, esta ecuación se satisface si P = J.LkN;sin embargo, como abe por experiencia, el deslizamiento generará calor, una forma energía que parece no estar considerada en la ecuación de trabaenergía. Para explicar esta paradoja y de esa manera representar • n más precisión la naturaleza de la fricción, en realidad tendríamos e modelar el bloque de modo que las superficies en contacto sean ormables (no rígidas).* Recuerde que las partes ásperas en la parte ferior del bloque actúan como "dientes" y cuando el bloque se desliza es os dientes se deforman un poco y o se rompen o vibran al ser jalados r "dientes" en la superficie de contacto, figura 14-9c. Por consiguiene. las fuerzas de fricción que actúan en el bloque en estos puntos se _ plazan ligeramente a causa de las deformaciones localizadas y más elante las reemplazan otras fuerzas de fricción cuando se forman tros puntos de contacto. En todo momento, la F resultante de todas • stas fuerzas de fricción en esencia permanece constante, es decir, ; sin embargo, debido a las muchas deformaciones localizadas, el esplazamiento real s' de J.LkNno es el mismo que el desplazamiento s e la fuerza aplicada P. En lugar de eso, s' será menor que s (s' < s), y r consiguiente el trabajo externo realizado por la fuerza de fricción resultante será J.LkNs' y no J.LkNs. La cantidad de trabajo restante, kN(S - s'), se manifiesta como un incremento de la energía interna, a cual hace en realidad que se eleve la temperatura del bloque. En suma entonces, la ecuación 14-8 se aplica a problemas que implican fricción producida por deslizamiento; sin embargo, hay que entender que el trabajo de la fuerza de fricción resultante no está representada por J.LkNs;antes bien, este término representa tanto el trabajo externo producido por fricción (J.LkNs') como el trabajo interno [J.LkN(S- s')] el ual se convierte en varias formas de energía interna, como calor.]

*Vea el capítulo 8 de Ingeniería Mecánica: Estática. tVea B.A. Sherwood y W.H. Bernard, "Work and Heat Transfer in the Presence of Sliding Friction", Am. J. Phys. 52, 1001,1984.

P

N

(b)

(c)

Fig.14-9

p

1 78

CAPfTULO

EJEMPLO

14

CiNÉTICA DE UNA PARTfCULA: TRABAJO y ENERGfA

14.2 El automóvil de 3500 lb de la figura 14-10a viaja cuesta abajo de la carretera inclinada 10° a una rapidez de 20 pies/s. Si el conductor aplica los frenos y hace que las ruedas se bloqueen, determine qué distancia s patinan las llantas en la carretera. El coeficiente de fricción cinética entre las llantas y la carretera es JLk = 0.5. (a)

SOLUCIÓN

Este problema se resuelve por medio del principio de trabajo energía puesto que implica fuerza, velocidad y desplazamiento.

y

Trabajo (Diagrama de cuerpo libre). Como se muestra en la figura '14-10b, la fuerza normal NA no realiza trabajo puesto que

nunca se desplaza a lo largo de su línea de acción. El peso, 3500 lb, se desplaza s sen 10° y realiza trabajo positivo. ¿Por qué? La fuerza de fricción FA realiza tanto trabajo externo como interno cuando experimenta un desplazamiento s. Este trabajo es negativo puesto que se opone al desplazamiento. Aplicamos la ecuación de equilibrio normal a la carretera y tenemos

Fig.14-10

+'LFIl

=

O;

N A - 3500 cos 10° lb

=

O

NA

=

3446.8 lb

Por tanto, FA

= JLk

NA

=

0.5 (3446.8 lb)

=

1723.4 lb

Principio de trabajo y energía. TI

1( -2

3500. lb) 2 (20ples/s)2 . 32.2 pies zs

+ LUI-2

=

T2

+ 3500 Ib(s sen 10°) - (1723.4lb)s = O

Al despejar s resulta s

= 19.5 pies

Resp,

si este problema se resuelve por medio de la ecuación de movimiento, se requieren dos pasos. Primero, según el diagrama de cuerpo libre, figura 14-10b, la ecuación de movimiento se aplica a lo largo del plano inclinado. De esto resulta NOTA:

3500 sen 10° lb - 1723.4 lb a =

Segundo, como v2

=

v2o

a

=

3500 lb 32.2 pies/s

2a

-10.3 pies/s''

es constante, tenemos

+ 2ae (s - sO )., (0)2

=

(20 pies/s)?

s

=

19.5 pies

+ 2( -10.3 pies/s2)(s - O) Resp,

14.3

PRINCIPIO DE TRABAJO Y ENERGfA PARA UN SISTEMA DE PARTfCULAS

Durante un breve tiempo la grúa de la figura 14-11a levanta la viga de 2.50 Mg con una fuerza F = (28 + 3s2) k . Determine la velocidad de la viga cuando alcanza s = 3 m. También, ¿cuánto tiempo se requiere para que alcance esta altura a partir del punto de reposo? SOLUCiÓN

Podemos resolver una parte del problema con el principio de trabajo y energía puesto que implica fuerza, velocidad y desplazamiento. Debe utilizarse cinemática para determinar el tiempo. Observe que cuando s = O, F = 28(103) > W = 2.50(103)(9.81)N, por lo que habrá movimiento. • de cuerpo libre). Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre, figura 14-11b, la fuerza F realiza trabajo positivo, que se determina mediante integración puesto que esta fuerza es variable. Además, el peso es constante y realizará trabajo negativo ya que el desplazamiento es hacia arriba. Trabajo (Diagrama

(a)

Principios de trabajo y energía.

+

1

Tl

=

"2.Ul-2

T2

5

0+

(28+ 3s2)(103) ds - (2.50)(103)(9.81)s

28(103)s

+ (103)s3 V =

Cuando s

=

24.525(103)s

=

+ 0.8S3)~

(2.78s

= !(2.50)(103)V2

1.25(103)V2 (1)

3 m, 2.50 (1