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• Santiago Vega

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CAPÍTULO 31 Método del elemento finito Hasta aquí hemos empleado métodos por diferencias finitas para resolver ecuaciones diferenciales parciales. En estos métodos, el dominio de la solución se divide en una malla con puntos discretos o nodos (figura 31.1b). Entonces, se aplica la EDP en cada nodo, donde las derivadas parciales se reemplazan por diferencias finitas divididas. Aunque tal aproximación por puntos es conceptualmente fácil de entender, tiene varias desventajas. En particular, es difícil de aplicar a sistemas con una geometría irregular, con condiciones de frontera no usuales o de composición heterogénea. El método del elemento finito ofrece una alternativa que es más adecuada para tales sistemas. A diferencia de las técnicas por diferencias finitas, la técnica del elemento finito divide el dominio de la solución en regiones con formas sencillas o “elementos” (figura 31.1c). Se puede desarrollar una solución aproximada de la EDP para cada uno de estos elementos. La solución total se genera uniendo, o “ensamblando”, las soluciones individuales, teniendo cuidado de asegurar la continuidad de las fronteras entre los elementos. De este modo, la EDP se satisface por secciones. Como se observa en la figura 31.1c, el uso de elementos, en lugar de una malla rectangular, proporciona una mejor aproximación para sistemas con forma irregular. Además, se pueden generar continuamente valores de las incógnitas a través de todo el dominio de la solución en lugar de puntos aislados.

FIGURA 31.1 a) Un empaque con geometría irregular y composición no homogénea. b) Un sistema así es muy difícil de modelar con la técnica por diferencias finitas. Esto se debe al hecho de que se necesitan aproximaciones complicadas en las fronteras del sistema y en las fronteras entre las regiones de diferente composición. c) Una discretización por elementos finitos es mucho más adecuada para tales sistemas.

Material A

Material B Material C

a)

b)

c)

MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

906

Debido a que una descripción completa va más allá del alcance de este libro, el presente capítulo ofrece sólo una introducción general al método del elemento finito. Nuestro objetivo principal es familiarizar al lector con esta técnica y darle a conocer sus capacidades. Por lo tanto, la siguiente sección ofrece una visión general de los pasos para la solución de un problema, usando el elemento finito. Después se analizará un ejemplo sencillo: una barra calentada unidimensional en estado estacionario. Aunque este ejemplo no usa EDP, nos permite desarrollar y demostrar los principales aspectos de la técnicas del elemento finito, evitando llegar a factores complicados. Después podemos analizar algunos problemas con el empleo del método del elemento finito para resolver EDP.

31.1

EL ENFOQUE GENERAL Aunque las particularidades varían, la implementación del método del elemento finito usualmente sigue un procedimiento estándar paso a paso. A continuación se presenta un panorama general de cada uno de estos pasos. La aplicación de tales pasos a problemas de ingeniería se desarrollará en las siguientes secciones. 31.1.1 Discretización Este paso consiste en dividir el dominio de la solución en elementos finitos. En la figura 31.2 se muestran ejemplos de los elementos empleados en una, dos y tres dimensiones. Los puntos de intersección de las líneas que forman los lados de los elementos se conocen como nodos, y los mismos lados se denominan líneas o planos nodales. 31.1.2 Ecuaciones de los elementos El siguiente paso consiste en desarrollar ecuaciones para aproximar la solución de cada elemento y consta de dos pasos. Primero, se debe elegir una función apropiada con coeficientes desconocidos que aproximará la solución. Segundo, se evalúan los coeficientes de modo que la función aproxime la solución de manera óptima. Elección de las funciones de aproximación. Debido a que son fáciles de manipular matemáticamente, a menudo se utilizan polinomios para este propósito. En el caso unidimensional, la alternativa más sencilla es un polinomio de primer grado o línea recta. u(x) = a0 + a1x

(31.1)

donde u(x) = la variable dependiente, a 0 y a1 = constantes y x = la variable independiente. Esta función debe pasar a través de los valores de u(x) en los puntos extremos del elemento en x1 y x2. Por lo tanto, u1 = a0 + a1x1 u2 = a 0 + a1x2 donde u1 = u(x1) y u2 = u(x2). De estas ecuaciones, usando la regla de Cramer, se obtiene a0 =

u1 x 2 − u2 x1 x 2 − x1

a1 =

u2 − u1 x 2 − x1

31.1

EL ENFOQUE GENERAL

907

Elemento línea

a) Unidimensional

Nodo Línea nodal Elemento cuadrilateral

Elemento triangular

b) Bidimensional

Elemento hexaédrico Plano nodal

c) Tridimensional FIGURA 31.2 Ejemplos de los elementos empleados en a) una, b) dos y c) tres dimensiones.

Estos resultados se sustituyen en la ecuación (31.1) la cual, después de reagrupar términos, se escribe como u = N1u1 + N2u2

(31.2)

donde N1 =

x2 − x x 2 − x1

(31.3)

N2 =

x − x1 x 2 − x1

(31.4)

y

La ecuación (31.2) se conoce como una función de aproximación, o de forma, y N1 y N2 se denominan funciones de interpolación. Una inspección cuidadosa revela que la ecuación (31.2) es, en realidad, el polinomio de interpolación de primer grado de Lagrange. Esta ecuación ofrece un medio para predecir valores intermedios (es decir, para interpolar) entre valores dados u1 y u2 en los nodos.

MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

908

Nodo 1

Nodo 2

a) u

u1

u2

du dN1 dN = u1 + 2 u2 dx dx dx

(31.5)

De acuerdo con las ecuaciones (31.3) y (31.4), las derivadas de las N se calculan como sigue

b) 1

La figura 31.3 muestra la función de forma junto con las funciones de interpolación correspondientes. Observe que la suma de las funciones de interpolación es igual a uno. Además, el hecho de que estemos tratando con ecuaciones lineales facilita las operaciones como la diferenciación y la integración. Tales manipulaciones serán importantes en secciones posteriores. La derivada de la ecuación (31.2) es

dN1 1 =− dx x 2 − x1

N1

dN2 1 = dx x 2 − x1

(31.6)

y, por lo tanto, la derivada de u es

c) N2

x1

1

x2

d) FIGURA 31.3 b) Una aproximación lineal o función de forma para a) un elemento lineal. Las funciones de interpolación correspondientes se muestran en c) y d).

du 1 = ( −u1 + u2 ) dx x 2 − x1

(31.7)

En otras palabras, es una diferencia dividida que representa la pendiente de la línea recta que une los nodos. La integral se expresa como

∫

x2

x1

u dx =

∫

x2

x1

N1u1 + N2 u2 dx

Cada uno de los términos del lado derecho es simplemente la integral de un triángulo rectángulo con base x2 – x1 y altura u. Es decir,

∫

x2

x1

Nu dx =

1 ( x 2 − x1 )u 2

Así, la integral completa es

∫

x2

x1

u dx =

u1 + u2 ( x 2 − x1 ) 2

(31.8)

En otras palabras, esto es simplemente la regla del trapecio. Obtención de un ajuste óptimo de la función a la solución. Una vez que se ha elegido la función de interpolación, se debe desarrollar la ecuación que rige el comportamiento del elemento. Esta ecuación representa un ajuste de la función a la solución de la ecuación diferencial de que se trate. Existen varios métodos para este propósito; entre los más comunes están el método directo, el método de los residuos ponderados y el método variacional. Los resultados de todos estos métodos son análogos al ajuste de curvas. Sin embargo, en lugar de ajustar funciones a datos, estos métodos especifican relaciones entre las incógnitas de la ecuación (31.2) que satisfacen de manera óptima la EDP.

31.1

EL ENFOQUE GENERAL

909

Matemáticamente, las ecuaciones del elemento resultante a menudo consisten en un sistema de ecuaciones algebraicas lineales que puede expresarse en forma matricial, [k]{u} = {F}

(31.9)

donde [k] = una propiedad del elemento o matriz de rigidez, {u} = vector columna de las incógnitas en los nodos y {F} = vector columna determinado por el efecto de cualquier influencia externa aplicada a los nodos. Observe que, en algunos casos, las ecuaciones pueden ser no lineales. Sin embargo, en los ejemplos elementales descritos aquí, así como en muchos problemas prácticos, los sistemas son lineales. 31.1.3 Ensamble Una vez obtenidas las ecuaciones de elementos individuales, éstas deben unirse o ensamblarse para caracterizar el comportamiento de todo el sistema. El proceso de ensamble está regido por el concepto de continuidad. Es decir, las soluciones de elementos contiguos se acoplan, de manera que los valores de las incógnitas (y algunas veces las derivadas) en sus nodos comunes sean equivalentes. Así, la solución total será continua. Cuando finalmente todas las versiones individuales de la ecuación (31.9) están ensambladas, el sistema completo se expresa en forma matricial como [K]{u′} = {F′}

(31.10)

donde [K] = la matriz de propiedades de ensamble y {u′} y {F′} = vectores columna de las incógnitas y de las fuerzas externas, marcadas con apóstrofos para denotar que son ensamble de los vectores {u} y {F} de los elementos individuales. 31.1.4 Condiciones de frontera Antes de resolver la ecuación (31.10) debe modificarse para considerar las condiciones de frontera del sistema. Dichos ajustes dan como resultado (31.11) [k]{u′} = {F ′} donde la barra significa que las condiciones de frontera se han incorporado. 31.1.5 Solución Las soluciones de la ecuación (31.11) se obtienen con las técnicas que se describieron en la parte tres, tal como la descomposición LU. En muchos casos, los elementos pueden configurarse de manera que las ecuaciones resultantes sean bandeadas. Así, es posible utilizar los esquemas de solución altamente eficientes para estos sistemas. 31.1.6 Procesamiento posterior Una vez obtenida la solución, ésta se despliega en forma tabular o de manera gráfica. Además, pueden determinarse las variables secundarias y también mostrarse. Aunque los pasos anteriores son muy generales, son comunes a la mayoría de las implementaciones del método del elemento finito. En la siguiente sección ilustraremos

MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

910

cómo se aplican para obtener resultados numéricos de un sistema físico simple (una barra calentada).

31.2

APLICACIÓN DEL ELEMENTO FINITO EN UNA DIMENSIÓN En la figura 31.4 se muestra un sistema que puede modelarse mediante la forma unidimensional de la ecuación de Poisson d 2T = − f ( x) dx 2

(31.12)

donde f(x) = una función que define una fuente de calor a lo largo de la barra, y donde los extremos de la barra se mantienen a temperaturas fijas, T(0, t) = T1 y T(L, t) = T2 Observe que ésta no es una ecuación diferencial parcial, sino una EDO con valor en la frontera. Se usa este modelo sencillo porque nos permitirá introducir el método del elemento finito sin algunas de las complicaciones de una EDP, bidimensional por ejemplo. EJEMPLO 31.1

Solución analítica para una barra calentada Planteamiento del problema. Resuelva la ecuación (31.12) para una barra de 10 cm con las siguientes condiciones de frontera, T(0, t) = 40 y T(10, t) = 200 y una fuente de calor uniforme de f(x) = 10.

FIGURA 31.4 a) Barra larga y delgada sujeta a condiciones de frontera fijas y una fuente de calor continua a lo largo de su eje. b) Representación del elemento finito que consta de cuatro elementos de igual longitud y cinco nodos.

f(x)

T(0, t)

T(L, t)

x=0

x=L

a) 1

2 1

3 2

4 3

b)

5 4

x

31.2

APLICACIÓN DEL ELEMENTO FINITO EN UNA DIMENSIÓN

Solución.

911

La ecuación a resolver es

d 2T = −10 dx 2 Suponga una solución de la forma T = ax2 + bx + c la cual se deriva dos veces para obtener T″ = 2a. Sustituyendo este resultado en la ecuación diferencial da a = –5. Las condiciones de frontera se utilizan para evaluar los coeficientes restantes. Para la primera condición en x = 0, 40 = –5(0)2 + b(0) + c o c = 40. De manera similar, para la segunda condición, 200 = –5(10)2 + b(10) + 40 de donde se obtiene b = 66. Por lo tanto, la solución final es T = –5x2 + 66x + 40 Los resultados se grafican en la figura 31.5.

FIGURA 31.5 Distribución de temperatura a lo largo de una placa calentada sujeta a una fuente de calor uniforme y mantenida a temperaturas fijas en los extremos.

T

200

100

0

5

10

x

MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

912

31.2.1 Discretización Nodo 1

Nodo 2

Una configuración simple para modelar el sistema consiste en una serie de elementos de igual longitud (figura 31.4b). Así, el sistema se trata como cuatro elementos de igual longitud y cinco nodos.

a) ~ T

T2

T1

x1

x2

b) FIGURA 31.6 a) Un elemento individual. b) Función de aproximación usada para caracterizar la distribución de temperatura a lo largo del elemento.

31.2.2 Ecuaciones de los elementos En la figura 31.6a se muestra un elemento individual. La distribución de temperatura para el elemento se representa por la función de aproximación ⬃ (31.13) T = N1T1 + N2T2 donde N1 y N2 = funciones de interpolación lineales especificadas por las ecuaciones (31.3) y (31.4), respectivamente. De esta manera, como se ilustra en la figura 31.6b, la función de aproximación corresponde a una interpolación lineal entre las dos temperaturas nodales. Como se presentó en la sección 31.1, existen diferentes métodos para desarrollar la ecuación del elemento. En esta sección empleamos dos de ellos. Primero, se usará un método directo para el caso sencillo donde f(x) = 0. Posteriormente, debido a su aplicabilidad general en ingeniería, dedicamos la mayor parte de la sección al método de los residuos ponderados. El método directo. En el caso donde f(x) = 0, se utiliza un método directo para generar las ecuaciones de los elementos. La relación entre el flujo de calor y el gradiente de temperatura puede representarse mediante la ley de Fourier: q = −k ′

dT dx

donde q = flujo [cal/(cm2 · s)] y k′ = coeficiente de conductividad térmica [cal/(s · cm · °C)]. Si se utiliza una función de aproximación lineal para caracterizar la temperatura del elemento, el flujo de calor hacia el elemento a través del nodo 1 se representa por q1 = k ′

T1 − T2 x 2 − x1

donde q1 es el flujo de calor en el nodo 1. De manera similar, para el nodo 2, q2 = k ′

T2 − T1 x 2 − x1

Estas dos ecuaciones expresan la relación de la distribución de la temperatura interna de los elementos (determinada por las temperaturas nodales) con el flujo de calor en sus extremos. En consecuencia representan nuestras ecuaciones de los elementos deseadas. Se simplifican aún más reconociendo que la ley de Fourier se puede utilizar para expresar los flujos de los extremos en términos de los gradientes de temperatura en las fronteras. Es decir, q1 = − k ′

dT ( x1 ) dx

q2 = k ′

dT ( x 2 ) dx

31.2

APLICACIÓN DEL ELEMENTO FINITO EN UNA DIMENSIÓN

913

que se sustituyen en las ecuaciones de los elementos para dar 1 x 2 − x1

⎧− dT ( x1 ) ⎫ ⎡ 1 −1⎤ ⎧T1 ⎫ ⎪⎪ dx ⎪⎪ ⎢−1 1 ⎥ ⎨T ⎬ = ⎨ dT ( x ) ⎬ ⎣ ⎦ ⎩ 2⎭ ⎪ 2 ⎪ ⎪⎩ dx ⎪⎭

(31.14)

Observe que la ecuación (31.14) se presentó en el formato de la ecuación (31.9). Así, logramos generar una ecuación matricial que describa el comportamiento de un elemento típico de nuestro sistema. El método directo resulta muy intuitivo. Se utiliza en áreas como la mecánica, para resolver problemas importantes. Sin embargo, en otros contextos a menudo es difícil, si no es que imposible, obtener directamente las ecuaciones del elemento finito. En consecuencia, como se describe a continuación, se cuenta con técnicas matemáticas más generales. El método de los residuos ponderados. sa como 0=

La ecuación diferencial (31.12) se reexpre-

d 2T + f ( x) dx 2

La solución aproximada [ecuación (31.13)] se sustituye en esta ecuación. Como la ecuación (31.13) no es la solución exacta, el lado izquierdo de la ecuación resultante no será cero, sino que será igual a un residuo, d 2 T˜ R = 2 + f ( x) (31.15) dx El método de los residuos ponderados (MRP) consiste en encontrar un mínimo para el residuo, de acuerdo con la fórmula general

∫

D

RWi dD = 0

i = 1, 2,…, m

(31.16)

donde D = dominio de la solución y Wi = funciones de ponderación linealmente independientes. Aquí, se tienen múltiples opciones para las funciones de ponderación (cuadro 31.1). El procedimiento más común para el método del elemento finito consiste en emplear las funciones de interpolación Ni como las funciones de ponderación. Cuando éstas se sustituyen en la ecuación (31.16), el resultado se conoce como el método de Galerkin,

∫

D

RNi dD = 0

i = 1, 2,…, m

En nuestra barra unidimensional, la ecuación (31.15) se sustituye en esta formulación para dar

∫

x2

x1

⎡ d 2 T˜ ⎤ ⎢ 2 + f ( x )⎥ Ni dx i = 1, 2 ⎢⎣ dx ⎥⎦

MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

914

que se pueden reexpresar como sigue:

∫

x2

x1

d 2 T˜ Ni ( x ) dx = − dx 2

∫

x2

x1

f ( x ) Ni ( x ) dx

i = 1, 2 (31.17)

Ahora, se aplicarán varias manipulaciones matemáticas para simplificar y evaluar la ecuación (31.17). Una de las más importantes es la simplificación del lado izquierdo usando la integración por partes. Del cálculo, recuerde que esta operación se expresa como

∫

b

a

Cuadro 31.1

u dv = uv a − b

b

∫ v du a

Esquemas de residuos alternativos

Se puede elegir entre varias funciones de ponderación para la ecuación (31.16). Cada una representa un procedimiento alternativo para el MRP. En el método de la colocación, elegimos tantas posiciones como coeficientes desconocidos existan. Después, se ajustan los coeficientes hasta que los residuos desaparezcan en cada una de estas posiciones. En consecuencia, la función de aproximación dará resultados perfectos en las posiciones elegidas, pero en las posiciones restantes tendremos un residuo diferente de cero. Así, este método es parecido a los de interpolación del capítulo 18. Observe que la colocación corresponde a usar la función de ponderación W = d (x – xi)

para i = 1, 2,..., n

xi

R dx = 0

∂R ∂ai

Wi =

al sustituir las Wi en la ecuación (31.16), se obtiene

∫

R

D

∂R dD = 0 ∂ai

i = 1, 2,…, n

o

donde n = el número de coeficientes desconocidos y d (x – xi) = la función delta de Dirac, que es igual a cero en todas partes excepto en x = xi, donde es igual a 1. En el método del subdominio, el intervalo se divide en tantos segmentos, o “subdominios”, como coeficientes desconocidos existan. Después, se ajustan los coeficientes hasta que el valor promedio del residuo sea cero en cada subdominio. Así, en cada subdominio, la función de ponderación será igual a 1, y la ecuación (31.16) se convierte en

∫

En el caso de mínimos cuadrados, los coeficientes se ajustan hasta minimizar la integral del cuadrado del residuo. De manera que las funciones de ponderación son

para i = 1, 2,…, n

x i –1

donde xi–1 y xi son las fronteras del subdominio.

∂ ∂ai

∫

R2 dD = 0

i = 1, 2,…, n

D

La comparación de esta formulación con la del capítulo 17 muestra que ésta es la forma continua de la regresión. El método de Galerkin emplea las funciones de interpolación Ni como funciones de ponderación. Recuerde que estas funciones siempre suman 1 en cualquier posición en un elemento. En muchos problemas, el método de Galerkin da los mismos resultados que los que se obtienen con los métodos variacionales. En consecuencia, ésta es la versión del MRP que se emplea con más frecuencia en el análisis del elemento finito.

Si u y v se eligen adecuadamente, la nueva integral en el lado derecho será más fácil de evaluar que la integral original del lado izquierdo. Esto se puede hacer para el término del lado izquierdo de la ecuación (31.17), escogiendo Ni (x) como u, y (d2T/dx2) dx como dv, se obtiene

∫

x2

x1

d 2 T˜ dT˜ Ni ( x ) 2 dx = Ni ( x ) dx dx

x2

− x1

∫

x2

x1

dT˜ dNi dx dx dx

i = 1, 2

(31.18)

31.2

APLICACIÓN DEL ELEMENTO FINITO EN UNA DIMENSIÓN

915

Así, hemos dado el importante paso de bajar el orden en la formulación: de una segunda a una primera derivada. A continuación, se evalúa cada uno de los términos que hemos creado en la ecuación (31.18). Para i = 1, el primer término del lado derecho de la ecuación (31.18) se evalúa como sigue dT˜ N1 ( x ) dx

x2

= N1 ( x 2 ) x1

dT˜ ( x 2 ) dT˜ ( x1 ) − N1 ( x1 ) dx dx

Sin embargo, de la figura 31.3 recuerde que N1(x2) = 0 y N1(x1) = 1 y, por lo tanto, N1 ( x )

dT˜ dx

x2

=− x1

dT˜ ( x1 ) dx

(31.19)

De manera similar, para i = 2, dT˜ N2 ( x ) dx

x2

= x1

dT˜ ( x 2 ) dx

(31.20)

Así, el primer término en el lado derecho de la ecuación (31.18) representa las condiciones de frontera naturales en los extremos de los elementos. Ahora, antes de continuar, reagrupemos sustituyendo en la ecuación original los términos correspondientes por nuestros resultados. Empleamos las ecuaciones (31.18) a (31.20) para hacer las sustituciones correspondientes en la ecuación (31.17); para i = 1,

∫

x2

x1

dT˜ dN1 dT˜ ( x1 ) dx = − + dx dx dx

∫

x2

x1

f ( x ) N1 ( x ) dx

(31.21)

y para i = 2,

∫

x2

x1

dT˜ dN2 dT˜ ( x 2 ) dx = + dx dx dx

∫

x2

x1

f ( x ) N2 ( x ) dx

(31.22)

Observe que la integración por partes nos llevó a dos importantes resultados. Primero, ha incorporado las condiciones de frontera directamente dentro de las ecuaciones del elemento. Segundo, ha bajado la evaluación de orden superior, de una segunda a una primera derivada. Este último resultado tiene como consecuencia significativa que las funciones de aproximación necesitan preservar continuidad de valor, pero no pendiente en los nodos. Observe también que ahora podemos comenzar a darles significado físico a cada uno de los términos que obtuvimos. En el lado derecho de cada ecuación, el primer término representa una de las condiciones de frontera del elemento; y el segundo es el efecto de la función de fuerza del sistema, en este caso, la fuente de calor f(x). Como ahora será evidente, el lado izquierdo representa los mecanismos internos que rigen la

MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

916

distribución de la temperatura del elemento. Es decir, en términos del método del elemento finito, el lado izquierdo será la matriz de propiedad del elemento. Para ver esto nos concentramos en los términos del lado izquierdo. Para i = 1, el término es x2 dT ˜ dN 1 dx (31.23) x1 dx dx

∫

Recordemos de la sección 31.1.2 que la naturaleza lineal de la función hace que la diferenciación y la integración sean sencillas. Si empleamos las ecuaciones (31.6) y (31.7) para hacer las sustituciones correspondientes en la ecuación (31.23), obtenemos

∫

x1

x2

T1 − T2 1 dx = (T1 − T2 ) 2 ( x 2 − x1 ) x1 − x 2

(31.24)

De manera similar para i = 2 [ecuación (31.22)],

∫

x1

x2

− T1 + T2 1 dx = ( − T1 + T2 ) 2 ( x 2 − x1 ) x1 − x 2

(31.25)

Una comparación con la ecuación (31.14) nos muestra que éstas son similares a las relaciones obtenidas con el método directo usando la ley de Fourier, lo cual se aclara más al expresar las ecuaciones (31.24) y (31.25) en forma matricial como sigue: 1 x 2 − x1

⎡ 1 −1⎤ ⎧T1 ⎫ ⎢−1 1 ⎥ ⎨T ⎬ ⎣ ⎦ ⎩ 2⎭

Si este resultado se sustituye en las ecuaciones (31.21) y (31.22), y después se expresa en forma matricial, obtenemos la versión final de las ecuaciones de los elementos. x ⎧− dT ( x1 ) ⎫ ⎧ 2 f ( x ) N ( x ) dx ⎫ 1 ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ 1 1 − 1 ⎡ ⎤ ⎪ dx ⎪ ⎪ x1 T = + { } ⎨ ⎬ ⎨ x2 ⎬ ⎢ ⎥ dT ( x 2 ) ⎪ ⎪ x − x1 ⎣−1 1 ⎦ ⎪ 2   ⎪ f x N x dx ( ) ( ) 2 ⎪⎩ dx ⎪⎭ ⎪⎩ x1 ⎪ Matriz de rigidez del elemento   ⎭

∫ ∫

Condición de frontera

(31.26)

Efectos externos

Observe que las ecuaciones del elemento pueden obtenerse no sólo mediante los métodos directo y de los residuos ponderados, sino también usando el cálculo de variaciones (por ejemplo, véase Allaire, 1985). En el caso presente, este método proporciona ecuaciones idénticas a las deducidas arriba. EJEMPLO 31.2

Ecuación del elemento en una barra calentada Planteamiento del problema. Emplee la ecuación (31.26) para desarrollar las ecuaciones del elemento dada una barra de 10 cm, con condiciones en la frontera de T(0, t) = 40 y T(10, t) = 200 y una fuente de calor uniforme con f(x) = 10. Utilice cuatro elementos del mismo tamaño con longitud = 2.5 cm.

31.2

APLICACIÓN DEL ELEMENTO FINITO EN UNA DIMENSIÓN

917

Solución. El término de la fuente de calor en el primer renglón de la ecuación (31.26) se evalúa sustituyendo la ecuación (31.3), e integrando para obtener

∫

2.5

10

0

2.5 − x dx = 12.5 2.5

De manera similar, la ecuación (31.4) se sustituye en el término de la fuente de calor del segundo renglón de la ecuación (31.26), el cual también se integra para obtener

∫

2.5

0

10

x−0 dx = 12.5 2.5

Estos resultados, junto con los valores de los otros parámetros, se emplean para sustituirse en la ecuación (31.26) y así obtener 0.4T1 − 0.4T2 = −

dT ( x1 ) + 12.5 dx

–0.4T1 + 0.4T2 =

dT ( x 2 ) + 12.5 dx

y

31.2.3 Ensamble Antes de que se ensamblen las ecuaciones del elemento, se debe establecer un esquema de numeración global que especifique la topología o el arreglo espacial del sistema. Como en la tabla 31.1, esto define la conectividad de los elementos en la malla. Debido a que este caso es unidimensional, el esquema de numeración parecerá tan predecible que resulta trivial. Sin embargo, en problemas para dos y tres dimensiones, tal esquema es el único medio para especificar qué nodos pertenecen a qué elementos. Una vez que se ha especificado la topología, la ecuación del elemento (31.26) se puede escribir para otros elementos usando las coordenadas del sistema. Después, éstas se agregan (una por una) para ensamblar la matriz de todo el sistema (este proceso se continuará explorando en la sección 32.4). El proceso se ilustra en la figura 31.7. TABLA 31.1 Topología del sistema para el esquema de segmentación del elemento finito de la figura 31.4b. Número de nodos Elemento

Local

Global

1

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 2 3 3 4 4 5

2 3 4

918

FIGURA 31.7 Ensamble de las ecuaciones de todo el sistema.

MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

⎡ 0.4 ⎢ ⎢ –0.4 a) ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣

–0.4 0.4

⎡ 0.4 ⎢ ⎢ –0.4 b) ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣

–0.4 0.4

⎡ 0.4 ⎢ ⎢ –0.4 c) ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣

–0.4 0.8 –0.4 0 0

0 0

⎡ 0.4 ⎢ ⎢ –0.4 d) ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣

–0.4 0.8 –0.4 0 0

0 0 –0.4 0.8 –0.4

⎡ 0.4 ⎢ ⎢ –0.4 e) ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣

–0.4 0.8 0 0 0

0 0 0 +0.4 –0.4

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0

0

–0.4 0.4 0 0 0

0

0 –0.4 0.4

0

0 ⎤ ⎧T1 ⎫ ⎧–dT (x 1) /dx + 12.5⎫ ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎥ ⎪T 2 ⎪ ⎪ dT (x 2 ) /dx + 12.5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ 0 0 ⎨0⎬ = ⎨ ⎬ ⎥ ⎪ 0 0 ⎥ ⎪⎪ 0 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎭ 0 0 ⎥⎦ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎪⎩

0 0 0 0

+0.4 –0.4

0 –0.4 0.4 0 0 0 –0.4 0.4

+0.4 –0.4

0 0 –0.4 0.8 –0.4

0 –0.4 0.8 –0.4 0

0⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0 ⎥⎦

⎧T1 ⎫ ⎧–dT (x 1) /dx + 12.5⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪T 2 ⎪ ⎪ 12.5 + 12.5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨T 3 ⎬ = ⎨ dT (x 3 ) /dx + 12.5 ⎬ ⎪0⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ 0

0⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0 ⎥⎦

⎧T1 ⎫ ⎧–dT (x 1) /dx + 12.5⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 25 ⎪ ⎪T 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨T 3 ⎬ = ⎨ 12.5 + 12.5 ⎬ ⎪T ⎪ ⎪ dT (x ) /dx + 12.5 ⎪ 4 ⎪ ⎪ 4⎪ ⎪ ⎪⎭ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎪⎩ 0

0⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ –0.4 ⎥ 0.4 ⎥⎦

⎧T1 ⎫ ⎧–dT (x 1) /dx + 12.5⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 25 ⎪ ⎪T 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 25 ⎬ ⎨T 3 ⎬ = ⎨ ⎪T ⎪ ⎪ 12.5 + 12.5 ⎪ ⎪ ⎪ 4⎪ ⎪ ⎪⎩T 5 ⎪⎭ ⎪⎩ dT (x 5 ) /dx + 12.5 ⎪⎭

0⎤ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ –0.4 ⎥ 0.4 ⎥⎦

⎧T1 ⎫ ⎧–dT (x 1) /dx + 12.5⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 25 ⎪T 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 25 ⎨T 3 ⎬ = ⎨ ⎬ ⎪T ⎪ ⎪ ⎪ 25 4⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎪T 5 ⎭⎪ ⎪⎩ dT (x 5 ) /dx + 12.5 ⎪⎭

31.2.4 Condiciones en la frontera Observe que conforme se emsamblan las ecuaciones, se cancelan las condiciones de frontera internas. Así, el resultado final de {F} en la figura 31.7e tiene condiciones de frontera sólo para el primero y el último nodos. Ya que T1 y T5 están dados, dichas condiciones de frontera naturales en los extremos de la barra, dT(x1)/dx y dT(x5)/dx, representan incógnitas. Por lo tanto, las ecuaciones se reexpresan como sigue: dT ( x1 ) −0.4T2 dx 0.8T2 –0.4T2

–0.4T3 +0.8T3 –0.4T3

–0.4T4 +0.8T4 –0.4T4

–

=

– 3.5

= =

41 25

=

105

dT ( x5 ) = dx

– 67.5

(31.27)

31.3

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES

919

31.2.5 Solución De la ecuación (31.27) se obtiene dT ( x1 ) = 66 dx

T2 = 173.75

T4 = 253.75

dT ( x5 ) = −34 dx

T3 = 245

31.2.6 Proceso posterior Los resultados se representan gráficamente. En la figura 31.8 se muestran los resultados del método del elemento finito, junto con la solución exacta. Observe que el cálculo del elemento finito capta la tendencia general de la solución exacta y, además, da una coincidencia exacta en los nodos. Sin embargo, existe una discrepancia en el interior de cada elemento debido a la naturaleza lineal de las funciones de forma.

31.3

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES Aunque la “contabilidad” matemática aumenta de forma notable, la extensión del método del elemento finito a dos dimensiones es similar, conceptualmente, a los problemas

FIGURA 31.8 Resultados al aplicar el método del elemento finito a una barra calentada. También se muestra la solución exacta.

T

200

Analítica

Elemento finito

100

0

5

10

x

920

MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

unidimensionales analizados hasta ahora. De manera que se siguen los mismos pasos señalados en la sección 31.1. 31.3.1 Discretización Comúnmente se emplean elementos sencillos, como triángulos o cuadriláteros, en la malla del elemento finito para dos dimensiones. En este análisis, nos limitaremos a elementos triangulares del tipo ilustrado en la figura 31.9. 31.3.2 Ecuaciones del elemento Tal como en el caso unidimensional, el siguiente paso consiste en desarrollar una ecuación para aproximar la solución del elemento. Para un elemento triangular, la aproximación más sencilla es el polinomio lineal [compare con la ecuación (31.1)] u(x, y) = a0 + a1,1x + a1,2y

(31.28)

donde u(x, y) = la variable dependiente, las a = coeficientes, x y y = variables independientes. Esta función debe pasar a través de los valores de u(x, y) en los nodos del triángulo (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3). Por lo tanto, u1(x, y) = a0 + a1,1x1 + a1,2y1 u2(x, y) = a0 + a1,1x2 + a1,2y2 u3(x, y) = a0 + a1,1x3 + a1,2y3 o, en forma matricial, ⎡1 x1 ⎢1 x 2 ⎢ ⎢⎣1 x3

y1 ⎤ ⎧ a0 ⎫ ⎧u1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y2 ⎥⎥ ⎨ a1,1 ⎬ = ⎨u2 ⎬ y3 ⎥⎦ ⎪⎩a1,2 ⎪⎭ ⎪⎩u3 ⎪⎭

FIGURA 31.9 Un elemento triangular.

y 2 3 1 x

31.3

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES

921

de donde se obtiene a0 =

1 [u1 ( x 2 y3 − x3 y2 ) + u2 ( x3 y1 − x1 y3 ) + u3 ( x1 y2 − x 2 y1 )] 2 Ae

a1,1 =

1 [u1 ( y2 − y3 ) + u2 ( y3 − y1 ) + u3 ( y1 − y2 )] 2 Ae

(31.30)

a1,2 =

1 [u1 ( x3 − x 2 ) + u2 ( x1 − x3 ) + u3 ( x 2 − x1 )] 2 Ae

(31.31)

(31.29)

donde Ae es el área del elemento triangular, Ae =

1 [( x 2 y3 − x3 y2 ) + ( x3 y1 − x1 y3 ) + ( x1 y2 − x 2 y1 )] 2

Las ecuaciones (31.29) a (31.31) se sustituyen en la ecuación (31.28). Después de reagrupar términos semejantes, el resultado se expresa como sigue: u = N1u1 + N2u2 + N3u3

(31.32)

donde N1 =

1 [( x 2 y3 − x3 y2 ) + ( y2 − y3 ) x + ( x3 − x 2 ) y] 2 Ae

N2 =

1 [( x3 y1 − x1 y3 ) + ( y3 − y1 ) x + ( x1 − x3 ) y] 2 Ae

N3 =

1 [( x1 y2 − x 2 y1 ) + ( y1 − y2 ) x + ( x 2 − x1 ) y] 2 Ae

La ecuación (31.32) permite predecir valores intermedios en el elemento, con base en los valores de sus nodos. En la figura 31.10 se muestra la función de forma junto con las funciones de interpolación correspondientes. Observe que la suma de las funciones de interpolación es siempre igual a 1. Como en el caso unidimensional, hay varios métodos para desarrollar las ecuaciones del elemento, basados en la EDP y en las funciones de aproximación. Las ecuaciones resultantes son considerablemente más complicadas que la ecuación (31.26). Sin embargo, como las funciones de aproximación son normalmente polinomios de grado inferior como la ecuación (31.28), los términos de la matriz final del elemento consistirán de polinomios de grado inferior y de constantes. 31.3.3 Condiciones en la frontera y ensamble La incorporación de condiciones en la frontera y el ensamble de la matriz del sistema también se hacen un poco más complicados cuando la técnica del elemento finito se aplique a problemas en dos y tres dimensiones. Sin embargo, como en la deducción de

922

MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO

u u1

a) x u3

u2

y N1 1

b)

x 0 y

0 N2

c) 0

x 1

0 y N3

d) 0

x

1 y

0

FIGURA 31.10 a) Una función de aproximación lineal para un elemento triangular. Las funciones de interpolación correspondientes se muestran en los incisos b) a d).

la matriz del elemento, la dificultad está más relacionada con la mecánica del proceso que con la complejidad conceptual. Por ejemplo, el establecimiento de la topología del sistema, que fue trivial para el caso unidimensional, se convierte en un asunto de gran importancia en los casos de dos y tres dimensiones. En particular, la elección de un esquema de numeración determinará el bandeado de la matriz del sistema resultante y, por lo tanto, la eficiencia con la que puede resolverse. En la figura 31.11 se muestra el esquema desarrollado antes para una placa calentada, y que se resolvió con los métodos por diferencias finitas en el capítulo 29.

31.4

RESOLUCIÓN DE EDP CON BIBLIOTECAS Y PAQUETES DE SOFTWARE

21

22 26

23 28

25

27

32 29

31

16

17

18

19

18

20

22

24

17

19

21

12

13

14

10

12

14

16

11

13

7

8

9

2

4

6

8

3 2

5 3

15 15

6

1

20 23

11

9

1

25

24 30

923

10 7

4

5

FIGURA 31.11 El esquema de numeración de los nodos y los elementos de una aproximación por elemento finito de la placa calentada, que se caracterizó previamente por diferencias finitas en el capítulo 29.

31.3.4 Solución y procesamiento posterior Aunque los mecanismos de solución son complicados, la matriz del sistema es tan sólo un conjunto de n ecuaciones simultáneas que pueden usarse para encontrar los valores de la variable dependiente en los n nodos. En la figura 31.12 se muestra una solución que corresponde a la solución por diferencias finitas de la figura 29.5.

31.4

RESOLUCIÓN DE EDP CON BIBLIOTECAS Y PAQUETES DE SOFTWARE Bibliotecas y paquetes de software pueden ayudarnos a resolver directamente las EDP. Sin embargo, como se describe en las siguientes secciones, muchas de las soluciones están limitadas a problemas sencillos, lo cual es particularmente cierto para los casos de dos y de tres dimensiones. En tales situaciones, los paquetes genéricos (es decir, los no desarrollados expresamente para resolver EDP, como los paquetes para el elemento finito) a menudo están limitados a simples dominios rectangulares. Aunque esto podría parecer una limitante, los problemas sencillos llegan a tener gran utilidad desde el punto de vista pedagógico. Ocurre así cuando las herramientas de visualización de los paquetes se utilizan para desplegar los resultados de los cálculos. 31.4.1 Excel Aunque Excel no tiene la posibilidad de resolver directamente EDP, es un buen ambiente para desarrollar soluciones sencillas para las EDP elípticas. Por ejemplo, la presenta-