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DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA CARRERA DE ING. EN ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN

ASIGNATURA: SISTEMAS DE CONTROL

Unidad III

Responsable de la Asignatura: Ing. FRANKLIN SILVA. Nombre del Estudiante  

Christian Chasi Alex Tipantuña

DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA CARRERA DE ING. EN ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN 1. TEMA CAPITULO 7: ERROR EN ESTADO ESTABLE. 2. OBJETIVOS GENERAL  Realizar los ejercicios propuesta del capítulo 7: Error en estado estable de Norman S. Nise ESPECÍFICOS • • • •

Realizar un análisis acerca de los errores en estado estable que se puede presentar en un sistema en lazo cerrado. Determinar los tipos de sistemas que existen, y también conocer sus respuestas de error en estado estable en cada uno de ellos. Determinar la manera de encontrar la función de transferencia en lazo cerrado para sistemas con realimentación unitaria y no unitaria. Aprender a calcular los parámetros que se necesitan para encontrar el error en estado estable

3. RESUMEN

En el presente documento, se va a proceder a determinar la definición del error en estado estable para sistemas en lazo cerrado con realimentación unitaria y no unitaria, además de poder calcular los parámetros que se necesita para el diseño, y los diferentes tipos de sistemas que existen, entre ellos tipo cero, uno y dos, se tomara de base el libro de Norman Nise, para dicho objetivo de aprendizaje y se realizará los ejercicios del capítulo 7, con lo que se busca obtener un mejor entendimiento del error en estado estable, y la importancia de este tema en los sistemas de control. 4. ABSTRACT

Herein, it will proceed to determine the definition of steady-state error for systems closed unitary and non-unitary feedback loop, as well as to calculate the parameters needed for the design, and the different types of systems there, including zero-onetwo, was taken from a book written by Norman Nise, for that purpose learning and exercises of chapter 7 shall be taken, which seeks to gain a better understanding of the steady-state error, and the importance of this issue in the control systems

5. MARCO TEÓRICO

ERROR EN ESTADO ESTABLE El error en estado estacionario es una medida de la exactitud de un sistema de control para seguir una entrada dada, después de desaparecer la respuesta transitoria. Se analizará el error en estado estacionario provocado por la incapacidad del sistema de seguir determinados tipos de entradas. El que un sistema dado presente o no un error en estado estacionario ante determinado tipo de señal de entrada, depende del tipo de función de transferencia de lazo abierto del sistema. Clasificación de los sistemas de control Los sistemas de control se clasifican de acuerdo con su capacidad de seguir entradas escalón, rampa, parábola, etc. Considere el sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo abierto G(s):

Este sistema contiene el término s N en el denominador, que representa un polo de multiplicidad N en el origen. El esquema de clasificación se basa en la cantidad de integraciones (términos 1 s ) indicadas por la función de transferencia en lazo abierto. Un sistema se denomina de tipo 0, si N = 0, de tipo 1, si N = 1, de tipo 2, si N = 2,…etc.

6. DESARROLLO PREGUNTAS DE REPASO

1. Mencione dos fuentes de errores en estado estable.  

La no linealidad La configuración del sistema.

2. ¿Cuánto sería el error de posición en estado estable de un control de posición, que rastrea con una diferencia constante en velocidad? 

Infinito

3. Mencione las entradas de prueba empleadas para evaluar error en estado estable.

Paso (posición), rampa (velocidad), parábola (aceleración) 4. ¿Cuántas integraciones en la trayectoria directa se necesitan para que haya error en estado estable para cada una de las entradas de prueba que aparecen en la pregunta 3?  Paso (posición) -1 integral.  Rampa (velocidad) -2 integrales.  Parábola (aceleración) -3 integrales. 5. ¿Qué efecto tiene aumentar la ganancia de un sistema sobre el error en estado estable? Disminuye el error de estado estacionario 6. Para una entrada escalón, el error en estado estable es aproximadamente el recíproco de la constante de error estático. ¿Qué condición debe cumplirse para esto? Coeficiente estático de error es mucho mayor que la unidad. 7. ¿Cuál es la relación exacta entre las constantes de error estático y los errores en estado estable para entradas rampa y parabólicas? Ellos son recíprocos exactas. 8, ¿Qué información está contenida en la especificación K = 10 000? Se utiliza una entrada de prueba de un paso; el sistema no tiene integraciones en el camino a seguir; el error para una entrada escalón es 1/10001. 9. Defina el tipo de sistema. El número de integraciones puras en el camino a seguir. 10. La función de transferencia directa para un sistema de control tiene tres polos en -1, -2 y -3. ¿Cuál es el tipo de sistema? Es de tipo 0 ya que no hay polos en el origen 11. ¿.Qué efecto tiene la realimentación en las perturbaciones? Minimiza su efecto 12. Para una perturbación de entrada escalón en la entrada a la planta, describa el efecto de ganancia de controlador y planta en la minimización del efecto de la perturbación. Si cada función de transferencia no tiene integraciones puros, a continuación, la perturbación se reduce al mínimo la disminución de la ganancia de la planta y el aumento de la ganancia del controlador. Si alguna función tiene una integración, entonces no hay control sobre su efecto a través de ajuste de ganancia. 13. ¿Es la señal de actuación en trayectoria directa el error del sistema, si el sistema tiene realimentación no unitaria? No 14, ¿Cómo se analizan y diseñan los sistemas con realimentación no unitaria para errores en estado estable?

Una realimentación unitaria se crea restando uno de H(s). G(s) con H(s)-1 como retroalimentación forman función de transferencia de la trayectoria directa equivalente con realimentación unitaria. 15. Defina la sensibilidad, verbalmente, y describa la meta de la ingeniería en sistemas de control realimentados cuando se aplica a la sensibilidad. El cambio fraccional en una función causada por un cambio fraccional en un parámetro. 16. Mencione dos métodos para calcular el error en estado estable para sistemas representados en el estado estable Teorema del valor final y los métodos de sustitución de insumos.

PROBLEMAS 7.1 Para el sistema con realimentación unitaria que se muestra en la figura, encuentre los errores en estado estable para las siguientes entradas de prueba 25u(t), 37tu(t),47t 2u(t).

  

Para 25u(t),e(∞)=0 Para 37t u(t); R(s)=37/s2,e(∞)=6.075x10-2 Para la entrada parabólica e(∞)=0

7.3 Para el sistema que se ilustra en la figura ¿Qué error en estado estable puede esperarse para una entrada de 15 u(t).

Procedemos a reducir el sistema hasta obtener Ge(s) donde

7.5 Para que el sistema que se ilustra en la figura: a) ¿Qué valor de K producirá un error en estado estable en la posición de 0.01 para una entrada de (1/10) t? b) Cual es la Kv para el valor de K encontrado en a c) ¿Cuál es el mínimo error posible de posición en estado estable para la entrada en el inciso a?

7.7 ¿Cuál es el error en estado estable para una entrada escalón de 15 unidades aplicado al sistema con relación unitaria dónde?

(

( )

)(

(

)(

)(

)(

(

)

( )

( (

)( )(

)( )(

) )

) )

( ) 7.9 ¿Para el sistema con realimentación unitaria que se ilustra dónde? ( ) 

(

)

¿Cuál es el sobrepaso en porcentaje esperado para una entrada unitaria? ωn=√ 2ζωn = 75. ζ = 0.53 √

%OS= 

= 14.01%.

¿Cuál es tiempo de asentamiento para una entrada escalón unitario?

Ts = 4/(ζωn)= 4/ (75/2)= 0.107 segundos.  



¿Cuál es el error en estado estable para un entrada de 5u(t)? Para este caso sería cero ¿Cuál es el error en estado estable para un entrada de 5tu(t)? Kv =5000 /75= 66.67 ess =5/Kv= 0.075 ¿Cuál es el error en estado estable para un entrada de 5t2u(t)? ess = ∞,

7.11 ¿Para el sistema con realimentación unitaria que se ilustra dónde? 

Encuentre el valor de K para obtener una constante de error estático 10 000 (

( )

)( (

( )

(

)( )(

) )

)( )( ) ( )( )

7.13 Un sistema con realimentación unitaria tipo=3 tiene r(t)= aplicada a su entrada. Encuentre el error de posición en estado estable para esta entrada si la función de transferencia es:

(

( )

)(

(

)(

)(

)

)(

)

E(s)= R(s)/1+G(s) ( )

( )

(

(

)(

)(

)(

)(

)

)

7.15 el error en estado estable se define como la diferencia en posición entre la entrada y salida cuando el tiempo tiende al infinito. Definamos un error de velocidad en estado estable, que es la diferencia en velocidad entre la entrada y salida. Deduzca una expresión para el error en ( ) velocidad ( ) ( ), y complete la tabla para el error de velocidad. ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Escalón Rampa Parábola

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0 0 1/(1+Kp) ∞

( ) ( ) ( )

1 0 0 1/Kv

2 0 0 0

7.17 Dado el sistema con realimentación unitaria donde ( )

( (

) )(

)

Encuentre el valor de Ka de modo que una entrada rampa de pendiente de un error de 0.003 en el estado estable cuando se compre con la salida ( ) 7.19 Encuentre el valor de K para el sistema con realimentación unitaria que se ilustra donde

( (

( ) Si la entrada es

) )

( ), y el error deseado en estado estable es 0.01 para esta entrada.

( )

21. Para el sistema con realimentación unitaria donde (

( )

(

) )

) (

a. Encuentre el tipo de sistema b. ¿Qué error se puede esperar para una entrada de 10u(t)? c. ¿Qué error se puede esperar para una entrada de 10tu(t)? a) Es de tipo 0 b) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (

(

) (

( ) c) ( )

, por ser un sistema de tipo 0.

23. Dado el sistema con realimentación unitaria, donde ( )

( (

)

)(

)

Encuentre el valor de K para obtener un error en estado estable de 5% ( ) ( )

25. El sistema con realimentación unitaria, donde ( )

( (

) )

) )

Se va a diseñar para satisfacer las siguientes especificaciones: error en estado estable para una entrada escalón unitario = 0.1; factor de amortiguamiento relativo = 0.5; frecuencia natural no amortiguada = √ . Encuentre K, .

( ) ( )

( )

(

( )

(

(

)

)

)

( )

(

( )

(

) (

)

)

√ Para

27. Dado el sistema con realimentación unitaria de la figura

Se va a diseñar para satisfacer los siguientes requerimientos: el error de posición en estado estable para una entrada rampa es igual a 1/10, los polos en lazo cerrado están ubicados en -1+1j encuentre K,a yβ para satisfacer las necesidades. ( )

( ) ( )

(

)

(

)

(

(

)

)

( )

29. Dado el sistema con realimentación unitaria de la figura, donde:

Encuentre lo siguiente: a) K y a para obtener K v=1000 y un sobrepaso de 20% b) K y a para obtener un error de 1% en el estado estable y un sobrepaso de 10%. a. Para el 20%

( ) ( )

√ √

b. Para el 10%

( ) ( )

√ √

31. Dado el diagrama de la figura, encuentre lo siguiente. a. La función de transferencia en lazo cerrado. b. el tipo de sistema. c. El error en estado estable para una entrada de 5u(t) d. El error en estado estable para una entrada de 5tu(t) e. Realizar un análisis para las respuestas c y d

a.

(

( )

)( (

( )

)(

)(

)

)(

)

(

( ) ( )

)

)

b. Sistema tipo 1 c. Sistema tipo 1 ess=0

(

( ))

( ) d. Se puede observar que el sistema es estable para la parte c y d.

ANÁLISIS DE RESULTADOS 

Con la resolución del capítulo 7 de Norman Nise, se pudo obtener el conocimiento de los tipos de sistemas que existen en nuestro caso tipo cero, uno y dos, además se

aprendió a obtener los parámetros que se necesita en cada uno de ellos así como también a calcular el error en estado estable, a continuación se presenta un resumen de lo mencionado anteriormente.

CONCLUSIONES     

Se puede realizar el cálculo del error en estado estable para sistemas tipo cero, uno y dos, además de obtener los parámetros para cado uno de ellos. Se puede reducir las perturbaciones en el sistema, realizando un ajuste a la ganancia La entrada del sistema no es la función T(s) se debe calcular esta función, dependiendo si el sistema es realimentado unitario o no unitario. Con la obtención de función de transferencia total se puede conocer de manera inmediata los parámetros y el error para posición velocidad y aceleración Se puede reducir el error aumentando el tipo del sistema pero no es viable debido a que esto ocasionaría un gasto económico muy elevado.

RECOMENDACIONES 

Se debe identificar el tipo de sistema para conocer los parámetros y el error en estado estable.



Conocer las fórmulas para el cálculo del error en estado estable y además conocer cómo se obtiene el T(s) en un sistema no realimentado.

BIBLIOGRAFIA 

Sistemas de control para ingeniería. Norman Nise (2006). México: Compañía Editorial Continental. Tercera Edición.