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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE-L 1. TEMA: Resolución de ejercicios sobre funciones de transferencia para afianzar los conocimientos de conceptos básicos.

2. OBJETIVOS: Generales: Resolver correctamente los ejercicios propuestos en el capítulo 2, y que permitan reforzar los conocimientos adquiridos. Específicos:   

Resolver satisfactoriamente los ejercicios propuestos. Analizar los resultados y conocimientos obtenidos. Afianzar los conocimientos recibidos en clase por medio de la resolución de ejercicios.

3. RESUMEN: Este trabajo trata sobre la resolución de ejercicios de las funciones de transferencia de una red eléctrica, de un sistema mecánico traslacional, de un sistema mecánico rotacional, y de un sistema con engranes.

Abstrac: This paper deals with solving exercises of the transfer functions of an electrical network, a translational mechanical system, a rotational mechanical system, and a system with gears.

4. MARCO TEÓRICO:

Función de transferencia: Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada

o excitación (también modelada). En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo (Función de transferencia, 2014).

Tabla 1.Relaciones de voltaje-corriente, voltaje-carga e impedancia para capacitores, resistores e inductores

Tabla 2- Relación de fuerza-vectorial, fuerza-desplazamiento e impedancia para resortes, amortiguadores viscosos y masa traslacionales

Tabla 3. Relaciones de par velocidad angular, par desplazamiento angular e impedancia para resortes, amortiguadores viscosos e inercia rotacional

5. DESARROLLO PREGUNTAS DE REPASO 1. ¿Qué modelo matemático permite una fácil interconexión de los sistemas físicos? La función de transferencia.

2. ¿A qué clasificación de sistemas se puede aplicar mejor la función de transferencia? A los sistemas de lazo abierto.

3. ¿Qué transformación convierte la solución de ecuaciones diferenciales en manipulaciones algebraicas? La transformada de Laplace.

4. Defina la función de transferencia. Es la relación de la salida de un sistema sobre su entrada.

9. ¿Qué función realizan los engranes? Los engranes proporcionan ventajas mecánicas a los sistemas rotacionales.

10. ¿Cuáles son las partes componentes de las constantes mecánicas de la función de transferencia de un motor? Inercia del motor, amortiguamiento en la armadura, inercia de la carga, amortiguación de la carga.

11. La función de transferencia de un motor relaciona el desplazamiento de armadura con el voltaje de armadura. ¿Cómo puede determinarse la función

de transferencia que relación el desplazamiento de carga y el voltaje de armadura? Multiplicando la función de transferencia por relación de transmisión relativa a la posición del inducido o armadura para cargar.

12. Resuma los pasos para hacer lineal un sistema no lineal.      

Reconocer el componente no lineal. Escribir la ecuación diferencial no lineal. Utilizamos la solución en estado estable o equilibrio. Hacemos lineal la ecuación diferencial no lineal Utilizamos la transformada de Laplace de la ecuación diferencial linealizada. separamos variables de entrada y salida, y formamos la función de transferencia.

PROBLEMAS. 5. Utilice el MATLAB y las rutinas de matemáticas simbólicas para hallar la transformada de Laplace de las siguientes funciones de tiempo. 2

a) f ( t )=5 t cos (3 t+ 45° ) Código en Matlab syms t ang=45*pi/180 f=8*t^2*cos(3*t+ang); pretty(f) F=laplace(f); F=simple(F); pretty(F)

b)

f ( t )=5 t e−2 t sin(4 t+ 60° )

Código en Matlab a=60*pi/180 f=5*t*exp(-2*t)*sin(4*t+a); pretty(f) F=laplace(f); F=simple(F); pretty(F)

Matlab: 13. Repita el problema 12 para la siguiente función de trasferencia:

4

G ( S )=

3

2

S +25 S +20 S +15 S +42 5 S +13 S 4 +9 S 3 +37 S 2+ 35 S+ 50

Gtf=tf([1 25 20 15 42],[1 13 9 37 35 50]) Gzpk=zpk(Gtf) Transfer function: s^4 + 25 s^3 + 20 s^2 + 15 s + 42 ----------------------------------------s^5 + 13 s^4 + 9 s^3 + 37 s^2 + 35 s + 50

Zero/pole/gain: (s+24.2) (s+1.35) (s^2 - 0.5462s + 1.286) -----------------------------------------------------(s+12.5) (s^2 + 1.463s + 1.493) (s^2 - 0.964s + 2.679)

14. Utilice Matlab para generar la expansión en fracciones parciales de la siguiente función: 104 (s+10)( s+60) R ( s )= s (s +40)(s+50)( s2 +7 s+100)(s2 +6 s+90) Código en Matlab numg=[-10 -60]; deng=[0 -40 -50 (roots([1 7 100]))' (roots([1 6 90]))']; [numg,deng]=zp2tf(numg',deng',1e4); Gtf=tf(numg,deng) G=zpk(Gtf) [r,p,k]=residue(numg,deng)

19. Repita el problema 18. usando ecuaciones de nodos.

a)

Nodo a

Va ( S ) −Vi(S) Va(S) Va ( S )−Vb(S) + + =0 2S 1 3s Va ( S ) Vi ( S ) Va(S) Va ( S ) Vc ( S ) − + + − =0 2S 2S 1 3s 3s

( 5+ 6 S ) Va(S) Vc ( S ) Vi ( S ) − = 6S 3s 2S Nodo b

Vb ( S )−0 Vb ( S )−Va( S) + =0 1 3S 1 S 2 −Va(S) SVb ( S ) Vb ( S ) + + =0 3s 2 3S

−Va(S) 3 S 2+ 2 + Vb ( S )=0 3s 6S

(

)

[ ][ Vi ( S ) 2S = 0

][

( 5+6 S ) 6S −1 3S

−1 Va( S) 3S 2 3 S + 2 Vb(S) 6S

]

2 3 (5+ 6 S ) 3 S 2+ 2 1 15 S +10+ 18 S +12 s 1 ∆= × − 2= − 2 2 6S 6S 9S 36 S 9S

∆=

Va ( S )=

[

6 S 3+5 S2 + 4 S +2 12 S 2

Vi ( S ) 2S 0

−1 3S 3 S 2+ 2 6S

]

6 S3 +5 S2 +4 S +2 12 S2

Vb ( S )=

[

( 5+ 6 S ) 6S −1 3S 3

Vi ( S ) 2S 0 2

=

]

6 S +5 S +4 S+ 2 12 S2

Vi ( s ) ( 3 S 2+ 2 )

( 6 S3 +5 S 2 +4 S+ 2 )

=

2 Vi ( s ) 6 S +5 S 2+ 4 S+2 3

3 S2 +2−2 ¿ Vi ( s ) ¿ V 0 ( s ) Va ( S )−Vb(S) = =¿ Vi ( s ) Vi ( s )

b)

Va ( S ) −Vi(S) ( S2 +1 ) Va ( S )−0 Va ( S ) −Vo(S) + + =0 S S 1

(

Vi(S) S 2+ S+ 2 Va ( S ) −Vo ( S )= S S

)

nodo b Vo ( S ) −Va(S) Vo ( S )−Vi(S) + SVo ( S ) + =0 1 S

Va ( S )+

Vi (S) S2 + S+1 Vo (S )= S S

Va ( S )=

(

Vi ( S ) S2 + S+1 − Vo ( S ) S S

)[

]

Vi( S) S 2+ S+ 2 Vi ( S ) S 2 +S +1 − Vo ( S ) −Vo ( S )= S S S S

[

2

]

S+ 2 ( ) S +2 S+ 1 Vi S = Vo ( S ) 2 S S

2 Vo ( S ) S +2 = 3 Vi ( S ) S +2 S 2+ 2

21. Encuentre la función de transferencia,

G ( s )=

V o (s ) V i ( s ) , para cada uno de los

circuitos amplificadores operacionales que se ilustran en la figura. a)

3

Z 1=500∗10 +

1 1∗10−6 s

Z 1=5∗105 +

106 s

Z 2=1∗105 +

106 s

10 6 V ( s ) −Z 2 ( s ) s G(s )= o = = V i( s ) Z1 ( s ) 106 5∗105 + s 1∗105 +

5

6

10 s+10 1 − s +1 s 10 G ( s )= = 5 6 1 5∗10 s +10 s +1 2 s −

G ( s )=

−1 s+10 5 s+2

b)

Z 1=10 5+

106 s

10 5∗106 s Z eq = 106 105 + s 11

1∗10 s 1∗1011 10 6 106 Z eq = 5 = = = 10 s +106 10 5 s+106 s +10 s +10 s Z 2=10 5+

6

10 s+10

5

Z 2=

6

6

10 s +10 +10 s+ 20 =105 s+10 s+ 10

−Z 2 G ( s )= = Z1

s+20 s+10 6 5 10 10 + s

−10

5

s+20 s+10 −s ( s +20 ) G ( s )= = s+10 ( s+10 )2 s −

G ( s )=

−s ( s+20 ) ( s+ 10 )2

23. Encuentre la función de transferencia, G(s)=X1(s)/F(s), para el sistema mecánico de translación que se ilustra en la figura P2.9.

[ ][

][ ]

F (S) 1 −1 X2 = 2 0 −1 1+ S+ S X 1 ∆=1+S + S2−1=S +S 2

X 1=

[

1 F (s ) 1 0 S+ S

2

]

=

F(S) X1 1 1 → = = 2 2 F ( S ) S+ S S ( 1+S ) S+ S

24. Encuentre la función de transferencia G(S)=X2(S)/F(S), para la red mecánica traslacional que se muestra en la figura P2.10.

[ ][

][ ]

2 F ( s ) = s +1 −1 ∗ X 1 ( s ) 2 −1 s +1 X 2 ( s ) 0

∆=( s4 + 2 s2 +1 ) −1 4

2

∆=s +2 s 2

2

∆=s ( s +2)

[

]

s 2 +1 F (s) −1 0 F (s) X 2 ( s )= = 2 2 ∆ s (s +2) X 2 ( s) 1 = 2 2 F ( s ) s ( s +2)

26. Para el sistema de la figura P2.12, encuentre la función de transferencia G(S)=X1(S)/F(S).

[ ][

][ ]

2+ S 2+ 3 S −(1+ S) X 1 0 = F (S) −(1+S ) 1+2 S+ S 2 X 2 2 ∆=( 2+ S2 +3 S ) ( 1+2 S+ S 2 )−( 1+ S )

4

3

2

3

2

2

2

∆=S +2 S + S +3 S +6 S +3 S +2 S + 4 S+2−1−2 S−S ∆=S 4 +5 S3 +8 S2 +5 S +1

X 1=

→

[ 4

0 −(1+ S ) F ( s ) 1+2 S + S2 3

2

]

S +5 S +8 S +5 S +1

=

F ( s ) (1+S )

( S+1 ) ( S3 + 4 S 2 +4 S+ 1 )

(1+ S) X1 1 = = 3 3 2 2 F( S) ( S +1 ) ( S + 4 S + 4 S +1 ) ( S +4 S + 4 S+1 )

27. Encuentre la función de transferencia G(s)=X3(s)/F(s), para el sistema mecánico traslacional que se muestra en la figura P2.13.

][ ]

[ ][

x1 ( s ) s 2+ s+ 1 −1 0 0 2 F ( s ) = −1 s +s +2 −s x2 ( s ) 2 0 0 −s s + s+1 x 3 ( s )

∆=( s2 + s+1 ) ( s2 + s+1 ) ( s2 +s +2 ) −( s 4 + s3 +2 s2 +s +1 ) ∆=s 6 + s5 +2 s 4 + s 4+ s 3 +2 s2 + s2 + s+2+2 s5 +2 s 4 + 4 s 3 +2 s 4 +2 s 3+ 4 s2 +2 s 3 +2 s 2+ 4 s−s 4−s 3−s2−s2 −s−1 6

5

4

3

2

∆=s +3 s +6 s + 8 s +7 s + 4 s +1

x 3 ( s )=

x 3 ( s )=

[

s2 + s+1 −1 0 2 −1 s + s+ 2 F( s) 0 −s 0

]

s6 +3 s5 +6 s4 + 8 s 3+ 7 s 2+ 4 s+1

( s 2+ s 2+ s ) F ( s ) 6

5

4

3

2

s +3 s +6 s + 8 s + 7 s + 4 s+1

x3 (s ) ( s 2 +s 2 +s ) = F ( s ) s6 +3 s5 +6 s 4 +8 s 3 +7 s 2+ 4 s+1

31. Para el sistema mecánico rotacional que se muestra en la figura P2.17, encuentre la función de transferencia G(S)=�2(S)/T(S).

[ ][

][ ]

T (S) ( S 2 +2 S+ 1 ) −(1+ S) θ 1 = 0 −(1+ S) 1+ 2 S θ 2

∆=( S2 +2 S +1 ) (1+2 S )− (1+2 S )

2

∆=2 S 3+ 4 S2 +2 S=2 S(S2 +2 S +1)

θ 2=

[

( S2 +2 S +1 ) T ( S ) −( 1+ S ) 2

0

2 S ( S +2 S +1 )

]

=

T ( S ) ( 1+S ) θ2 1 → = ( )( ) ( ) ( 2 S S +1 S+1 T S 2 S S +1 )

33. Para el sistema rotacional que se muestra en la figura, encuentre la función de transferencia, G ( s )=θ2 (s)/T ( s)

36. Para el sistema rotacional que se muestra en la figura P2.22, encuentre la función de transferencia, G(S)=�l(S)/T(S).

Grafico equivalente:

[ ][

][ ]

10 T (S) S (S +1) −S 0 θ2 = −S 0 S +1 −1 θ 3 0 0 −1 S+1 θ 4 2

∆=S ( S+ 1 ) −[ S ( S +1 )+ S 2 ( S+1 ) ] ∆=S ( S+ 1 )3−S ( S +1 )( S+1 ) =S ( S+1 )2 [ ( S +1 )−1 ] ∆=S 2 ( S+ 1 )2

θ 4=

[

S ( S +1 ) −S 10 T ( S ) −S S+1 0 0 −1 0 2

S ( S+ 1 ) →

2

]

=

S 10 T ( S ) 10 T ( S ) = 2 2 S2 ( S+ 1 ) S ( S+1 )

θ4 10 = T ( S ) S ( S+ 1 )2

θL=

50θ 4 =5 θ 4 10

θL=5

10 50 = 2 S ( S+1 ) S ( S+1 )2

6. ANÁLISIS DE RESULTADOS

7. CONCLUSIONES  

 

Realizar las preguntas de repaso fue bastante enriquecedor para afianzar los conocimientos de la materia respecto a los temas tratados en clase. Se recordó la resolución de la transformada de Laplace y su utilización en ejercicios de circuitos eléctricos y de movimiento mecánicos, recordando que facilita el análisis de sistemas en el dominio s, mediante la utilización de las funciones de transferencia. Se realizó efectivamente los ejercicios propuestos demostrando que los temas fueron asimilados correctamente. Además se aprendió la utilización de ciertos comandos en Matlab, útiles a la hora de trabajar con las funciones de transferencia de los sistemas.

8. BIBLIOGRAFÍA Función de transferencia. (23 de Noviembre de 2014). Obtenido de http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_transferencia FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE SISTEMAS FÍSICOS. (s.f.). Recuperado el 23 de NOVIEMBRE de 2014, de http://ciep.ing.uaslp.mx/njjccontrol/images/pdf/c_tema_2.2.pdf Nise, N. (2006). Sistemas de control para ingeniería (Tercera Edición ed.). México: Editorial Continental.