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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO- I DEFINICIÓN: Son los resultados que se obtienen al dividir los lados de un triángulo rectángulo. En el triángulo adjunto, tenemos:

C b

A

a y c : catetos b : hipotenusa

a

B:

c2

b2

recto

A y C :

c

a2

A + C = 90º

s agudos

B

A los resultados así obtenidos se les asigna un nombre asociado a uno de los ángulos agudos del triángulo. Así en el gráfico; ˆ tenemos: para A a : cateto opuesto (CO) b : hipotenusa (H) c : cateto adyacente (CA) Luego se definen : CO H

a b

CscA

H CO

b a

CosA

CA H

c b

SecA

H CA

b c

TanA

CO CA

a c

CotA

CA CO

c a

1

SenA

Por ejemplo:

5 13 12 13

Sen

13 5

Cos

;

Tan

;

Cot

5 12 12 5

12 *

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en los cuales conociendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la proporción en la que se encuentran los lados de dicho triángulo. Dos de los más usados son :

2

60º

45º

2 1

1

45º

30º 1 3 Mientras que uno aproximado, pero reconocido por sus diversas aplicaciones es el de 37º y 53º. 53º

5 37º

3 4

A partir de estos se determinarán otros adicionales como:

67º30'

4+2 2

75º 4

1

22º30' 2 +1

18º30' 6+2

63º30'

5

6- 2

15º

82º

5 2

1

26º30'

1 3 74º

25

1

8º

7

16º

24

7

2

71º30'

10

No olvide además:

*

30º

37º

45º

53º

60º

Sen

1 2

3 5

2 2

4 5

3 2

Cos

3 2

4 5

2 2

3 5

1 2

Tan

3 3

3 4

1

4 3

3

Cot

3

4 3

1

3 4

3 3

Sec

2 3 3

5 4

2

5 3

2

Csc

2

5 3

2

5 4

2 3 3

PR OPI ED ADE S: I . Las razones trigonométricas de un ángulo; dependerán de la medida de dicho ángulo y no de los lados del triángulo rectángulo en que se ubique. Por ejemplo: C Sen

M Sen

Q

Sen

A

P

N

B

PQ AQ MN Iguales AN BC AC

II . R. T. Recíprocas: Se nota claramente, de las definiciones de las razones trigonométricas de un ángulo agudo, que existen tres parejas que son una la recíproca inversa de la otra, por lo que su producto es siempre igual a 1. Estas parejas son las siguientes: Sen Csc

1 Cos Sec

1 Tan Cot

1

Note que los ángulos agudos, deben ser iguales. Por ejemplo si nos dicen que : Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1; para calcular "x" diremos : Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1 3x - 10º = x + 30º x = 20º III. R. T. de Ángulos Complementarios: Cuando se calculan las razones trigonométricas de los 2 ángulos agudos de un triángulo rectángulo, se puede notar que existen ciertas parejas de éstas que toman el mismo valor. Esta característica la vamos a indicar de la siguiente manera:

Si: son agudos; tales Si: que: + = 90º que: entonces: Sen Sen = Cos Tan Tan = Cot Sec Sec = Csc entonces:

son agudos; tales = Cos = Cot = Csc = 90º 07.

01. Si: Tgx . Tgy = 1 Determinar:

E 6 a) 3 d)

x y Sen 2

x y Tan 3

6 b) 6

5 3

02. Calcular: a) 12 d) 6

e)

d)

d)

2Rr (R r)2

e)

Rr (R r)2

Se tiene un triángulo rectángulo con catetos a y b. Hallar su área en términos de "m" si:

e)

t2

b

c)

c) 8

2

tSec

tCsc

08.

m

4

b)

m2 1 2

d)

(m 2 1)2 2

2

6

3 2

2

En la figura, calcular el valor de x, si se cumple la siguiente condición: Tan(30º

) Ctg (30 º 3 )

0

2

2 y

35 º )

x

tales que:

Ctg (90 º

)

15º

20m

b) 15º y 13º d) 35º y 25º

05.Siendo: Sen(2x+y) . Sen(x-y+10º) = Cos (x+2y) . Cos (80º x + y) Calcule: K = Cot(x+y) . Cot(5x-2y) . Cot(5y-2x) b) 2

m2 1 2

2Cos

6

2mt Tan

2Sen

3

e) m 2 1

c) 3

a) 11º y 10º c) 20º y 17º30' e) 17º y 16º

e)

t2

a

t

Sec10º Sec 20º Sec 30º ... Sec 80º Csc10º Csc 20º Csc 30º ... Csc 80º

2

3

2Rr (R r)2

E = 4Sen20º (Csc20º + 2Sec70º)

Tan(3

d)

c)

a) m 2 1

04. Hallar los ángulos agudos

a) 1

4Rr (R r)2

2 6

b) 2 3

b)

x y Sec2 3

03. Calcule el valor de la expresión:

a) 1

4Rr (R r)2

c) 1

b) 10 e) 16

W

a)

09.

c) 3 3 3

06. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriormente con radios R y r. Calcular el cuadrado de la cotangente del ángulo formado por la recta tangente a ambas circunferencias y la recta que une los centros.

a) 10 2 m

b) 10 m

d) 5 m

e) 10 3 m

c) 5 3 m

Una semicircunferencia de radio (1 3 ) cm. se divide en treinta arcos iguales. Calcular la proyección del arco comprendido entre la quinta y décima división sobre el diámetro horizontal en centímetros. 5 1 1 b) c) 1 d) e) 2 4 4 2 Si para un observador en la Tierra, el Sol aparece bajo un ángulo de 32' y si la distancia del observador a la superficie de Sol es 150 millones de kilómetros. Determinar el radio del Sol en millones de kilómetros sabiendo que: Sen16' = 0,00465 a)

10.

a) 0,70

b) 0,819 c) 1,395

d) 2,629

e) 1,402

11. En el cuadrado ABCD; calcular: K

3 Tan E

14.

9 Tan

Sabiendo que:

B

C

Tan

A

D

b) 4 e) 7

a) 4 d) 10

c) 5

12. Sabiendo que: Tan(40º+x) . Sen(50º-x) = Cos(10º+x) ..... (1) Tan(2x-5º) . Tany = Tan1º . Tan2º . Tan3º ...... Tan 89º Calcule:

15.

b) 5 e) 11

x 4

3y

1

W

Csc 2 (x y) Csc 2 3y

b) 6 e) 5

c) 8

O1

1)(Csc

1)(Csc

O2

1)

O3

c) 7 a) 4 d) 81

13. En el cuadrado ABCD, calcular: W 2 2Cos 5 Cos Si: AE = AF; CM = CN y CF = 3FD

B

3y Tan

Del gráfico calcular: W (Csc 1)(Csc

W Sec 2(2x 5º ) Tan2(y 5º ) Csc 2 (y x 5º ) a) 3 d) 9

x 2

2y

Calcule:

8º

a) 3 d) 6

Cos 3x 2

Sen(2x y 20º )

C

E

16.

b) 9 e) 100

c) 16

Del gráfico calcule: W (Sec 1)(Sec 1) Cos Siendo "A" centro del arco BD. B

Cos

O

M F A A a)

11

b)

13

d)

19

e)

17

N c) 4 6

D

a) 1 d) 3

D b) 0 3 e) 2

c) 2

T

C