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“Año de la lucha contra la corrupción e impunidad”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN “RESOLUCION DE EJERCICIOS” CURSO: CAMPOS MAGNETICOS TEMA: “CAMPOS” DOCENTE: ING. RUSSEL ALLIDREN LOZADA VILCA ALUMNO: Condori Chambi Luis Enrique

AREQUIPA – PERU 2019

3.13 DETERMINE EL GRADIENTE DE LOS CAMPOS SIGUIENTES Y CALCULE SU VALOR EN EL PUNTO ESPECIFICADO. ¿¿

A)V =e

B} T¿ 5 ρe

C) Q=

−2 z

sen ϕ (2 ,

π , 0) 3

senθ senϕ r2

(1 ,

π π , ) 6 2

SOLUCIÓN A) V =e(2 x+3 y) cos 5 z ,(0.1 ,−0.2 , 0.4)

∇V =

dV dV dV ax + ⃗ ay + ⃗ a ⃗ dx dy dz z

∇ V =2 e(2 x+3 y) cos 5 z ⃗ a x + 3 e(2 x+ 3 y) cos 5 z ⃗ a y −5 e(2 x+ 3 y) sen 5 z ⃗ az Punto especificado: (0.1 ,−0.2, 0.4)

∇ V =2 e(0.2−0.6) cos 2 ⃗ a x + 3 e(0.2−0.6 ) cos 2⃗ a y −5 e(0.2−0.6) sen 2 ⃗ az ∇ V =2 e−0.4 cos 2 ⃗ a x + 3 e−0.4 cos 2 ⃗ a y −5 e−0.4 sen 2 ⃗ az

∇ V =2(0.67032)(−0.41614)⃗ a x + 3(0.67032)(−0.41614) ⃗ a y −5( 0.67032)(0.90929)⃗ az ∇ V =−0.5579 ⃗ a x −0.8368 ⃗ a y −3.0476 ⃗ az

B} T¿ 5 ρe

∇T=

−2 z

sen ϕ (2 ,

π , 0) 3

dV 1 dV dV up + uϕ + u ⃗ ⃗ ⃗ dρ ρ dϕ dz z

∇ T =5 e−2 z sen ϕ ⃗ u p + (5 e−2 z cos ϕ) ⃗ uϕ + (−10 ρe−2 z sen ϕ)⃗ uz Punto especificado: (2 ,

π ,0) 3

π π π ∇ T =5 e0 sen ( ) u⃗p + (5 e 0 cos ) u⃗ϕ + (−20 e 0 sen ) u⃗z 3 3 3

π π π ∇ T =5 sen( ) ⃗ u p + (5 cos ) u⃗ϕ -20 sen ⃗ u 3 3 3 z 1 3 3 ∇ T =5 ( √ )⃗ u p + (5( )) u⃗ϕ -20( √ )⃗ u 2 2 2 z ∇ T =4.33 ⃗ u p + 2.5 ⃗ uϕ -17.32 u⃗z

C) Q=

senθ senϕ r2

∇ Q=

dV 1 dV 1 dV ur + uθ + u ⃗ ⃗ ⃗ dr r dθ rsenθ dφ φ

∇ Q=(

(1 ,

−2 sen θ senϕ cos θ senϕ cosϕ u⃗θ + u⃗φ )⃗ ur + 3 3 r r r3

(

Punto especificado: (1 ,

) ( )

π π , ) 6 2

π π π π π cos sen cos sen 6 2 6 2 2 )⃗ ur + u⃗θ + u⃗φ 3 3 3 1 1 1

(

−2 sen ∇ Q=(

∇ Q=(

π π , ) 6 2

−2(0.5)(1) )⃗ ur + 1

) ( )

√ 3 (1)

( ) 2

1

u⃗θ

+

( 01 ) ⃗u

φ

∇ Q=−⃗ ur + 0.866 ⃗ uθ

3.15. La temperatura en un auditorio está dada por T =x 2+ y 2−z .Un mosquito ubicado en (1,1,2) en el auditorio desea volar en la dirección que le permita calentarse lo mas pronto posible. ¿En qué dirección debe volar? SOLUCION:

∇ T =2 x a x +2 y a y −az At (1,1,2), ∇ T = ( 2,2,−1 ) . El mosquito debería moverse en la dirección de:

∇ T =2 x a x +2 y a y −az

SOLUCION: a)

∇ xA =(

d A 3 d A2 d A1 d A3 d A2 d A1 − )⃗ ax + ( − )⃗ ay + ( − )⃗ az dx dz dz dx dx dy

Reemplazando

a y + (0−x 2) ⃗ ∇ x A=¿(0− y 2) ⃗ a x + (0+ 2 z )⃗ az

a y + (−x 2) ⃗ ∇ x A=¿(− y 2 ) ⃗ a x + (2 z)⃗ az

b)

dP A P d A z P d PA ∅ d A P 1 ∇ xA = ¿ + ( − )⃗ ay + ( − )⃗ a ] p dz dP dP d∅ z Reemplazando

1 ∇ xA = ¿ + ( P3−3 PZ 2) ⃗ a∅ + ( 4 P3−0) ⃗ az ] p ∇ xA =¿ ( P2−3 Z 2) ⃗ a∅ + ( 4 P 2 ) ⃗ az

c)

∇ xA =

d A ∅ sin θ d Aθ 1 1 d A r d rA ∅ 1 1 d rA θ d A r [ − ]⃗ ar + ( − )⃗ aθ + ( − )⃗ a r sin θ d ∅ r sin θ dθ d∅ dr r dr dθ ∅

Reemplazando

(

)

θ cos ∅ ( −cosr sinθ ) ⃗a + 1r ( rcossin∅θ + cosr θ ) ⃗a + 1r (0−0) ⃗a

∇ xA =

r

2

θ

2

∅

∅ θ cos ∅ + cos θ) ⃗ a ( −cosr sinθ ) ⃗a + r1 ( cos sin θ

∇ xA =

r

θ

3

3.19 A) Compruebe que

∇ ∙ ( VA ) =V ∇ ∙ A+ A ∙ ∇ V Donde V es un campo escalar y A es un campo escalar: SOLUCIÓN:

∇ ∙ ( VA ) =¿

¿( A ¿ ¿ x

¿V

d d d VA + V A y + V Az dx x dy dz

d Ax d Ay d Az dV dV dV +V )+( A ¿ ¿ y +V )+(A ¿ ¿ z +V )¿ ¿ ¿ dx dx dy dy dz dz

( ddxA + ddyA + ddzA )+ A ddxV + A ddyV + A ddzV x

y

z

x

y

z

¿V ∇∙ A+ A∙∇V B) EVALÚE ∇ ∙ (VA) CUANDO A=2 x a x +3 y a y −4 z a z Y SOLUCIÓN:

∇ V = yz ⃗ a x+ xz ⃗ a y + xy ⃗ az ∇ ∙ A=¿2 + 3 – 4 = 1 ∇ ∙ ( VA ) =V ∇ ∙ A+ A ∙ ∇ V ∇ ∙ ( VA ) =xyz+ 2 xyz +3 yxz – 4 zxy = 2xyz

V =xyz

3.21. Si U =xz−x 2 y + y 2 z2, evalué div grad U .

grad U =

δU δU δU a x+ a y+ a δx δy δz z

¿ ( z−2 xy ) ax + ( 2 y z 2−x 2 ) a y +( x−2 y 2 z) a z ¿ gradU=∇ . ∇ U =

∂ ∂ ( z−2 xy ) + ( 2 y z 2−x 2 ) + ∂ (x−2 y 2 z) ∂x ∂y ∂z

¿−2 y +2 z 2−2 y 2 ¿ 2( z 2− y 2− y )

3.23 Demuestre que ∇ ∅=∇ x (

∇ ∅=

r ∇θ ) sin θ

1 x a´ r sin ∅ θ

1 ∇ θ= x a´θ r

a´θ r ∇θ = sin θ sin θ

∇x

( rsin∇ θθ )= 1r x sin θ x a´

∇ ∅=∇ x (

θ

r ∇θ ) sin θ

3.25 Si

r  xax  ya y  zaz

y

T  2 zyax  xy 2 a y  x 2 yza z

Determine

a) (  r )T b) (  r )T c)

  r (r  T )

2 d) ( r ) r

A-.

(  r )  3T  6 yza x  3 xy 2 a y  3 x 2 yza z

B-.

x

T T T y z  x( y 2 a y  2 xyza z )  y (2 za x  2 xya y  x 2 za x )  z (2 ya x  x 2 a z ) x y z

x

T T T y z x y z  4 yza x  3 xy 2 a y  4 x 2 yza z

C-.

  r (r  T )  3(2 xyz  xy 3  x 2 yz 2 )   r (r  T )  6 xyz  3 xy 3  3 x 2 yz 2

D-.

(r )r  ( x

    y  z )( x 2  y 2  z 2 ) x y z

(r )r  x(2 x )  y (2 y )  z (2 z ) (r )r  2( x 2  y 2  z 2 )  2r 2

3.27 Si r y r son como se les definió en el problema anterior, compruebe que:

a) V =lnr=ln √ x 2 + y 2+ z2

dV 1 1 1 x = ( 2 x ) ( x2 + y 2 + z 2 )− = 2 dx r 2 2 r ∇V =

xax + ya y + za z r −¿ dV dV dV ax + a y+ a z= = 2¿ dx dy dz r2 r

b) ∇ V = A=

r −¿ 1 = ax ¿ r2 r

∇ 2 ( lnr )=∇ ∇ ( lnr )=∇ A=

¿

1 d 2 ( r Ar ) = 12 d ( r ) 2 r dr r dr

1 r2

3.29 Encuentre el laplaciano de los campos escalares siguientes y calcule su valor en el punto especificado.

3 2 xz a) U  x y e , (1, 1,1)

U  x 3 y 3 e xz  2U 

   (3x 2 y 2 e xz )  (2 x 2 ye xz )  ( x 4 y 2 e xz ) x y z

 2U  6 xy 2 e xz  2 x 2 e xz  x 5 y 2 e xz  (6 xy 2  2 x 2  x 5 y 2 )e xz En los puntos (1, 1,1)  2U  e(6  2  1)  9e  24.46 2 b) V   z (cos   sen ), (5,  / 6, 2)

V   2 z (cos   sen ) 1   2V  (2  2 z (cos   sen )  z (cos   sen ))  0    2V  4 z (cos   sen )  z (cos   sen )  2V  3z (cos   sen )  En los puntos (5, , 2),  2V  6(0.866  0.5)  8.196 6

r c) W  e sen cos  , (1,  / 3,  / 6)

W  e  r sen cos  1  e r  e  r sen cos  2 r (  r e sen  cos  )  cos  ( sen  cos  )   r 2 r r 2 sen r 2 sen 2 1 e  r cos  e  r cos   2W  2 (2r 2 e  r sen cos  )  e  r sen cos   2 (cos 2   sin 2  )  2 r r sen r sen 4  2W  e  r sen cos  (1  ) r o o En los puntos (1, 60 , 30 )  2W 

 2W  e 1 sen60 cos 30(1  4)  2.25e 1  0.8277

❑

3.33. Si F=x 2 a x + y 2 a y + ( z 2−1 ) a z, halle∮ F ∙ dS , donde S está definida por ρ = 2.0 < z < 2, 0 ≤ ф ≤ S

2π 2 Fρ cos ϕ sin ϕ 0 x Fϕ = −sin ϕ cos ϕ 0 y2 Fz 0 0 1 z 2−1

][ ]

[ ][

F ρ=x 2 cos ϕ+¿ y 2 sin ϕ=¿ ρ2 cos 3 ϕ+ ρ2 sin3 ϕ , F z =z2 −1¿ ¿ F ϕ =−x 2 sin ϕ+¿ y 2 cos ϕ=¿−ρ2 cos2 ϕ sin ϕ+ ρ2 sin 2 ϕ cos ϕ ¿ ¿ ∇ ∙ F=

1 ∂ ¿ ρ ∂ρ

¿ 2 ρcos3 ϕ+4 ρ sin3 ϕ−2 ρ sin2 ϕ cos ϕ+2 ρ cos 2 ϕ sin ϕ+ 2 z Debido al factor que estamos integrando, todos los términos involucrados desapareces 2/π

2

2

∫ FdS=∫∫∫ 2 zρdρdϕdz=2 ∫ dϕ∫ zdz ∫ ρdρ 0

¿ 2 (2 π )

22 ❑2 =16 π 2 ❑0

( ) =50.26

0

0

3.35 Comprueba el teorema de divergencia ❑

❑

∮ A . ds=∫ ∇ . Adv S

v

En cada uno de los casos siguientes: a) A=x y 2 a x + y 3 a y + y 2 z a zy S es la superficie del cuboide definido por 0< x