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Matemáticas I Grado en Ingeniería Eléctrica

UNIDAD DIDÁCTICA 3. ANÁLISIS VECTORIAL 1. CAMPOS VECTORIALES. 2. INTEGRALES DE LÍNEA. 3. INTEGRALES DE SUPERFICIE.

1. CAMPOS VECTORIALES. 1.1. DEFINICIÓN. •

EN EL PLANO.

Sean M(x,y), N(x,y) dos funciones definidas en una región R⊂R 2 r Se llama Campo Vectorial sobre R a toda función vectorial F definida por:

r r r F(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j •

EN EL ESPACIO.

Sean M(x,y,z), N(x,y,z), P(x,y,z) tres funciones definidas en una región Q⊂R Se llama Campo Vectorial sobre Q a toda función vectorial

3

r F definida por:

r r r r F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k Ejemplos: Para toda función f: R⊂ R 2 → R , su vector gradiente es un campo vectorial en el plano cuyas componentes son las derivadas parciales primeras de la función: r ∂f r ∂f r ∇f(x, y) = j i + ∂x ∂y Y análogamente en el espacio, para toda función f: R⊂ R gradiente es:

3

→ R , su vector

r ∂f r ∂f r ∂f r i+ j+ k ∇f(x, y, z) = ∂x ∂y ∂z

Definición. Un subconjunto R de R

2

(o de R

3

) es llamado convexo si tx+(1-

t)y∈R para cada x,y ∈R y para cada t∈[0,1]. Es decir, un conjunto R es llamado convexo siempre que los segmentos que unen puntos de R se quedan completamente en R. 1.2. CAMPO VECTORIAL CONSERVATIVO. r Diremos que un campo de vectores F es conservativo si existe una función f r r diferenciable tal que ∇f = F .

Pág. 1.

Matemáticas I Grado en Ingeniería Eléctrica

r

A la función f se la llama entonces FUNCIÓN POTENCIAL del campo F . 1.3. CRITERIO DE CAMPO CONSERVATIVO EN EL PLANO. r r r Teorema: Sea F ( x , y ) = M ( x , y )i + N ( x , y ) j un campo vectorial en el plano, tal que M(x,y) y N(x,y) tienen derivadas parciales primeras continuas en una región R convexa de R2, entonces

r ∂M ∂N = F es conservativo ⇔ ∂y ∂x Nota: En el teorema anterior se exige que la región R sea una región convexa. Si R es, simplemente, una región abierta, entonces la condición del teorema es necesaria pero no suficiente para producir un campo vectorial conservativo.

1.4. ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL. r r r r Sea F ( x , y , z ) = M ( x , y , z )i + N ( x , y , z ) j + P( x , y , z )k un campo vectorial en R

3

.

r r Se define el Rotacional de F como otro campo vectorial, denotado por ROT ( F ) , r r dado por el producto vectorial del operador gradiente ∇ y el campo F r r i j r r ∂ ∂ ROT ( F ) = ∇ × F = ∂x ∂y M N

r k ∂ = ∂z P

⎛ ∂P ∂N ⎞ r ⎛ ∂M ∂P ⎞ r ⎛ ∂N ∂M ⎟⎟ i + ⎜ = ⎜⎜ − − − ⎟j +⎜ ∂x ⎠ ⎜⎝ ∂x ∂y ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z

⎞r ⎟⎟ k ⎠

1.5. CRITERIO DE CAMPO CONSERVATIVO EN EL ESPACIO. r r r r Teorema: Sea F ( x , y , z ) = M ( x , y , z )i + N ( x , y , z ) j + P( x , y , z )k tal que M(x,y,z), N(x,y,z) y P(x,y,z) tienen parciales primeras continuas en una región Q abierta y convexa de R3 entonces r r ROT ( F ) =0 F es conservativo ⇔ es decir

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⎧ ∂P ∂N ⎪ ∂y = ∂z ⎪ r ⎪ ∂M ∂P F es conservativo ⇔ ⎨ = ∂x ⎪ ∂z ⎪ ∂M ∂N ⎪ ∂y = ∂x ⎩

Pág. 3.

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2. INTEGRALES DE LÍNEA. 2.1. INTEGRALES DE LÍNEA DE FUNCIONES. 2.2. INTEGRALES DE LÍNEA DE CAMPOS VECTORIALES. 2.3. TEOREMA DE GREEN. 2.4. INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA.

2.1. INTEGRALES DE LÍNEA DE FUNCIONES.

DEFINICIÓN EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. •

En el plano: 2

Sea f(x,y) una función definida en una región R⊂R

que contiene una curva C

suave de longitud finita, entonces la integral de línea de f sobre C viene dada por

∫

C

f(x, y)ds = lim

n

Δ →0

∑ f(x , y i =1

i

i

)Δsi

cuando tal límite exista. En la notación utilizada {( xi , y i ) : 1 ≤ i ≤ n + 1} es un conjunto de puntos de C, Δsi = ( xi +1 − xi ) 2 + ( y i +1 − y i ) 2 , y Δ es el máximo de los Δsi . •

En el espacio:

Sea f(x,y,z) una función definida en un sólido Q⊂ R3 que contiene una curva C suave de longitud finita, entonces la integral de línea de f sobre C viene dada por

∫

C

n

f(x, y, z)ds = lim ∑ f(xi , yi , z i )Δsi Δ →0

i =1

cuando tal límite exista. La notación es análoga a la usada para curvas en el plano.

Pág. 4.

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CÁLCULO DE UNA INTEGRAL DE LÍNEA DE UNA FUNCIÓN COMO UNA INTEGRAL DEFINIDA. TEOREMA. Si f es continua, entonces el límite de la integral de línea existe y es el mismo para todas las parametrizaciones de C. Sea f una función continua en una región que contiene una curva suave C. r r (1) En el plano: Si C está parametrizada por rr(t) = x(t)i + y(t)j donde a≤ t≤ b,

entonces b

∫

C

f(x,y)ds = ∫ f(x(t),y(t)) (x'(t))2 + (y'(t))2 dt a

b

2 2 ∫Cds =∫a (x'(t)) + (y'(t)) dt determina la longitud del arco

Si f(x,y)=1, entonces entre a y b.

r r r r (2) En el espacio: Si C está parametrizada por r (t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k donde a≤ t≤ b, entonces

∫

f(x, y, z)ds =

C

∫

b

f(x(t), y(t), z(t)) (x' (t))2 + (y' (t))2 + (z' (t))2 dt

a

En virtud del teorema anterior, estas integrales darán el mismo resultado si se utiliza otra parametrización. PROPIEDADES. 1.

Sea f continua en una curva C, que está formada por n curvas C1, C2 ,..., Cn entonces: ∫ f(x, y) ds = ∫ f(x, y) ds1 + ∫ f(x, y) ds 2 +... + ∫ f(x, y) ds n C

C1

C2

2.

∫

C

Kf(x, y)ds = K ∫ f(x, y)ds

3.

∫

C

(f(x, y) ± g(x, y))ds = ∫ f(x, y)ds ± ∫ g(x, y)ds

4.

∫

C

Cn

C

C

f(x, y)ds = ∫

−C

C

f(x, y)ds, siendo –C la misma curva C con orientación opuesta.

5. Independencia del parámetro: El valor de la integral de línea de una función f, es independiente del parámetro que se use para representar la curva C.

Pág. 5.

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LÍNEA DE FUNCIONES Como aplicaciones de las integrales de línea de funciones vamos a tratar:

•

MASA DE UN CABLE.

•

ÁREA DE SUPERFICIES LATERALES.

MASA DE UN CABLE. Supongamos un cable delgado de densidad lineal variable f(x,y,z), tal que el cable tiene la forma de una curva suave C. Se define la masa del cable como:

MASA de un cable =

∫ f ( x , y , z )ds

C

ÁREA DE SUPERFICIES LATERALES. Considérese una curva C en el plano XY. Si z= f(x,y) representa una superficie S situada sobre C, entonces la superficie lateral está formada por todos los puntos (x,y,z) situados por debajo de S y sobre la vertical de C. Para hallar el área de dicha superficie lateral, integramos la altura f(x,y) sobre la curva C,

∫

ÁREA DE SUPERFICIE LATERAL = C

f ( x, y )ds

2.2. INTEGRALES DE LÍNEA DE CAMPOS VECTORIALES.

DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL. r r Sea F un campo vectorial continuo definido sobre una curva suave C dada por r ( t ) r con a≤ t ≤ b. La integral de línea de F sobre C se define como:

•

En el plano:

∫

r r F ⋅ dr =

∫

r r F ⋅ dr =

C

•

En el espacio:

∫

r r F ⋅ Tds =

C

C

∫

∫

r r F ⋅ Tds =

C

r r F( x(t), y(t)) ⋅ r ' (t)dt b

a

∫

br r F( x(t), y(t), z(t)) ⋅ r ' (t)dt

a

Pág. 6.

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PROPIEDADES

r 1. Sea F un campo vectorial con funciones componentes continuas sobre una curva

C, que está formada por n curvas C1,C2 ,...,Cn entonces:

∫

r r F ⋅ dr =

C

2.

∫

r r F ⋅ dr1 +

C1

∫

Cn

∫ ∫

r r r (F ± G) ⋅ dr =

∫

r r r r F ⋅ dr = − F ⋅ dr , siendo –C la misma curva C con orientación opuesta.

∫

C

C

4.

C2

r r F ⋅ drn

r r r r K F ⋅ dr = K F ⋅ dr

C

3.

∫

r r F ⋅ dr2 + ... +

∫

r r r r F ⋅ dr ± G ⋅ dr

∫

C

C

C

∫

−C

5. Independencia del parámetro: El valor de la integral de línea de un campo vectorial, es independiente del parámetro que se use para representar la curva C, supuesto que la orientación no varíe.

APLICACIÓN

DE

LA

INTEGRAL

DE

LÍNEA

DE

CAMPOS

VECTORIALES.

• TRABAJO DE UN CAMPO DE FUERZAS. Una de las aplicaciones físicas más importantes de las integrales de línea de campos r vectoriales consiste en hallar el “trabajo” realizado por un campo de fuerzas F al mover una partícula a lo largo de una curva C. Para determinar dicho trabajo se necesita sólo la componente de la fuerza que actúa en la misma dirección en la que se mueve la partícula. Esto vectorialmente significa que en cada punto de C se r r considera sólo la proyección del vector fuerza F sobre el vector tangente unitario T , r r es decir, F ⋅ T (producto escalar). Se tiene entonces:

r r Si C es una curva suave en un campo de fuerzas F y T (x,y,z) es el vector tangente r unitario a C en el punto (x,y,z), entonces el trabajo realizado por F a lo largo de C es

Pág. 7.

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r r W = ∫ F ⋅T ds C

r r r r donde la curva C está parametrizada por r (t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k con a ≤ t ≤ b

(orientando esta parametrización en el sentido del camino),

r siendo ds= r ' (t) dt = (x' (t))2 + (y' (t))2 + (z' (t))2 dt r r r' ( t ) el vector tangente unitario a C. y T= r r' ( t ) La integral de línea para el trabajo admite una forma vectorial que es: r r W = ∫ F ⋅ T ds = C

Entonces

r r W = ∫ F ⋅ dr

r

r

∫ F ⋅ dr C

r r donde dr =r '(t)dt

FORMA VECTORIAL

C

y por supuesto esta forma vectorial induce una forma diferencial:

W = ∫ Mdx + Ndy + Pdz C

FORMA DIFERENCIAL

r r r r donde F (x,y,z)=M(x,y,z) i +N(x,y,z) j +P(x,y,z) k

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES DE LÍNEA.

• En el plano: Sea C una curva suave a trozos situada en una región abierta R y r r r dada por r (t) = x(t) i + y(t) j donde a≤ t≤ b,

r

r

r

si F(x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j es un campo conservativo en R y M(x,y) y N(x,y) son continuas en R, entonces: r r F ∫ ⋅ dr = f (x(b), y(b)) − f (x(a), y(a)) C

r siendo f(x,y) una función potencial de F . • En el espacio: Sea C una curva rsuave a trozos situada en una región Q de r r r R3,dada por r (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k donde a≤ t≤ b r r r r Si F (x,y,z)=M(x,y,z) i +N(x,y,z) j +P(x,y,z) k es conservativo y M(x,y,z), N(x,y,z) y P(x,y,z) son continuas en Q, entonces: r r F ⋅ dr = f ( x(b), y(b), z(b)) − f ( x(a), y(a), z(a))

∫

C

donde f(x,y,z) es una función potencial del campo. Por tanto, el teorema fundamental de las integrales de línea establece que si el campo es conservativo, entonces su integral de línea es independiente de la curva y por tanto de su parametrización, dependiendo sólo de la función potencial y de los puntos inicial y final. Pág. 8.

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DEFINICIÓN DE REGIÓN CONEXA.

Diremos que una región es conexa si dos puntos arbitrarios de la misma pueden unirse mediante una curva suave a trozos contenida en el interior de la región. INDEPENDENCIA DEL CAMINO. r Sea F un campo vectorial continuo en una región conexa abierta, entonces r r r F d r es independiente del camino ⇔ F es conservativo ⋅ ∫ C

CONSECUENCIA DEL TEOREMA FUNDAMENTAL

r Si F es un campo vectorial continuo y conservativo en una región conexa abierta R, entonces la integral de línea sobre toda curva cerrada C en R es cero, esto es,

r r r F es continuo y conservativo ⇒ ∫ F dr = 0 , ∀ C cerrada. C

CONCLUSIONES: r r Para calcular ∫ F dr tenemos varias opciones: C

1º Podemos calcular la integral sin más, buscando una parametrización de la curva C. 2º En el caso de que el campo sea conservativo, se puede proceder de dos formas: a) Buscar la función potencial y aplicar el teorema fundamental. b) Sustituir la curva C por un segmento de línea que una el punto inicial y el final, y calcular la integral de línea a lo largo de dicho segmento.

Pág. 9.

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2.3. TEOREMA DE GREEN. DEFINICIÓN DE REGIÓN SIMPLEMENTE CONEXA

Una región R del plano es simplemente conexa si su contorno consta de una única curva cerrada y simple. TEOREMA DE GREEN

Sea R una región simplemente conexa cuya frontera es una curva C orientada en sentido antihorario, es decir, C se recorre una vez de forma que la región siempre se r r r deja a la izquierda. Si F ( x, y ) =M(x,y) i +N(x,y) j es un campo vectorial para el que

M(x,y), N(x,y) y sus parcial es primeras son continuas en una región abierta que contiene a R, entonces

∫

Mdx + Ndy =

C

⎛ ∂N ∂M ⎜⎜ ∂y R ⎝ ∂x

∫∫

⎞ ⎟⎟dA ⎠

2.4. INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA.

Si R es una región plana limitada por una curva cerrada simple suave a trozos C, entonces el área de R viene dada por: A( R ) =

1 xdy − ydx 2 ∫C

Pág. 10.

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3. INTEGRALES DE SUPERFICIE. 3.1.

DEFINICIÓN Y CÁLCULO.

• Área de una superficie. • Masa de una superficie. 3.2.

INTEGRALES DE FLUJO.

• Superficies orientadas. Vector normal a una superficie. • Integrales de flujo. 3.3.

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA.

3.4.

TEOREMA DE STOKES.

3.1. DEFINICIÓN Y CÁLCULO

Sea φ(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) una parametrización de una superficie S y sea f(x,y,z): S → R una aplicación continua. Se define la integral de la función f sobre la superficie S como:

∫∫

→

S

→

f(x, y, z) dS = ∫∫ f (φ(u,v)) T u × T v du dv D

donde, recordando → ⎛ ∂x ∂y ∂z ⎞ T u = ⎜ , , ⎟ ≡ Vector tangente a la superficie S ⎝ ∂u ∂u ∂u ⎠ → ⎛ ∂x ∂y ∂z ⎞ T v = ⎜ , , ⎟ ≡ Vector tangente a la superficie S ⎝ ∂v ∂v ∂v ⎠

Si desarrollamos la expresión →

i → → ∂x T u×T v = ∂u ∂x ∂v

→

j ∂y ∂u ∂y ∂v

→

k ∂z = ∂u ∂z ∂v

⎛ ∂y ∂z ∂y ∂z ⎞ → ⎛ ∂x ∂z ∂x ∂z ⎞ → ⎛ ∂x ∂y ∂u ∂y ⎞ → =⎜ ⋅ − ⋅ ⎟ i +⎜ ⋅ − ⋅ ⎟ j +⎜ ⋅ − ⋅ ⎟k = ⎝ ∂u ∂v ∂v ∂u ⎠ ⎝ ∂v ∂u ∂u ∂v ⎠ ⎝ ∂u ∂v ∂v ∂u ⎠ ⎛ ∂(y, z) ∂(x, z) ∂(x, y) ⎞ ⎟⎟ . = ⎜⎜ ,− , ⎝ ∂(u,v) ∂(u,v) ∂(u,v) ⎠

Pág. 11.

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Nota. Recordemos que

∂x ∂(x, y) ∂u = ∂(u,v) ∂x ∂v

∂y ∂u . ∂y ∂v

En consecuencia, se tiene: 2

2

⎛ ∂(y, z) ⎞ ⎛ ∂(x, z) ⎞ ⎛ ∂(x, y) ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ Tu × Tv = ⎜⎜ ⎝ ∂(u,v) ⎠ ⎝ ∂(u,v) ⎠ ⎝ ∂(u,v) ⎠

2

,

y por lo tanto: 2

∫∫

S

2

⎛ ∂(y, z) ⎞ ⎛ ∂(x, z) ⎞ ⎛ ∂(x, y) ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ f(x, y, z) dS = ∫∫ f (φ(u, v)) ⎜⎜ D ⎝ ∂(u, v) ⎠ ⎝ ∂(u, v) ⎠ ⎝ ∂(u, v) ⎠

2

du dv

En el caso particular en que la superficie S venga dada en forma explícita, es decir: z = g(x,y) , (o bien x =g(y,z), y =g(x,z))

recordando que una parametrización es : x=u

⎫ ⎪ y = v ⎬,( u , v ) ∈ D ⊆ R 2 z = g(u, v)⎪⎭

Entonces la expresión anterior toma la siguientes forma:

∫∫

f(x, y, z) dS =

S

∫∫

f(x, y, z) dS =

S

∫∫

S

f(x, y, z) dS =

2

2

2

2

2

2

∫∫

D

⎛ ∂g ⎞ ⎛ ∂g ⎞ f(x, y, g(x, y) 1 + ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ dx dy ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

∫∫

D

⎛ ∂g ⎞ ⎛ ∂g ⎞ f(x, g(x, z), z) 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dx dz ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎠

∫∫

D

⎛ ∂g ⎞ ⎛ ∂g ⎞ f(g(y, z), y, z) 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟ dy dz ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠

Pág. 12.

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ÁREA DE UNA SUPERFICIE

Se define el área de una superficie S como A( S ) = ∫∫ dS S

•

Caso en el que la superficie puede considerarse como gráfica de una función. Sea z= f(x,y) una función definida en R región cerrada y acotada de R 2. Si f y sus derivadas parciales primeras ∂f , ∂f son continuas en R, entonces el

∂x ∂y

área de la superficie descrita por z = f(x,y) sobre R viene dada por:

Área (S)=

∫∫ dS = ∫∫ S

R

2

⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ 1 + ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ dA ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ 2

dS

•

Caso en el que se ha parametrizado la superficie S, mediante una parametrización φ(u,v), con (u,v)∈D

Definimos A(S) el área de superficie de una superficie parametrizada S mediante A( S ) =

A( S ) =

∫∫

∫∫

→

D

2

D

→

T u × T v du dv 2

⎛ ∂(y, z) ⎞ ⎛ ∂(x, z) ⎞ ⎛ ∂(x, y) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂(u, v) ⎠ ⎝ ∂(u, v) ⎠ ⎝ ∂(u, v) ⎠

2

du dv

MASA DE UNA SUPERFICIE.

Supongamos que tenemos una lámina bidimensional cuya forma viene determinada por una superficie parametrizada S, y la función f(x,y,z) determina la densidad en el punto (x,y,z). Entonces la masa de dicha lámina puede calcularse mediante la expresión: 2

M = ∫∫

R

2

2

⎛ ∂(x, y) ⎞ ⎛ ∂(x, z) ⎞ ⎛ ∂(y, z) ⎞ ⎟ du dv ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ f( φ(u,v)) ⎜⎜ ∂(u,v) ⎟⎠ ⎜⎝ ∂(u,v) ⎟⎠ ⎜⎝ ∂(u,v) ⎟⎠ ⎝ 14444444 4244444444 3 dS

En particular, si la superficie S puede expresarse explícitamente como S ≡ z =g(x,y), entonces se tiene

M = ∫∫

2

R

2

⎛ ∂g ⎞ ⎛ ∂g ⎞ f(x, y, g(x, y)) 1 + ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ dA ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ 1444424 444 3 dS

donde f(x,y,z) es la densidad de la superficie en el punto (x,y,z).

Pág. 13.

Matemática as I Grado en Inggeniería Eléctrrica

I ALES DE FLUJO. 3.2. INTEGRA

SUPERFICIES S ORIENTA ADAS. VE ECTOR NO ORMAL A UNA SUPE ERFICIE. Una superficie S se dice que es orieentable si se s puede ddefinir un vvector norm mal r unitaario N en todo t punto que no perttenezca a laa frontera de d S de form ma tal que los l vectoores normalles varíen dee forma conntinua sobree toda la supperficie S. Intuiitivamente, una superfficie orientaable es unaa superficiee con dos lados, uno de r r ellos se llama innterior y el otro exterioor; cada lad do tiene su vector norm mal ( N1 y N 2 r r respeectivamentee) cumpliéndose que N1 = − N 2 . Si φ(u,v)= (x(uu,v), y(u,v),, z(u,v)) es una paraametrizaciónn de una superficie S, entonnces se tiene: N=

T u ×T v T u ×T v

Para muchas suuperficies, el vector graadiente unittario, propoorciona un pposible vecttor norm mal unitario,, esto es: En el e caso partticular en que q S sea una u superficcie dada poor z =g(x,y) y), denotem mos G(x,yy,z)= z-g(x,,y). Entoncces S se puuede orienttar por cuaalquiera de los vectorres unitaarios:

N=

N=

∇G(x, y, z) ∇G(x, y, z)

− =

− ∇G ( x , y, z) ∇G ( x , y, z)

y r ∂g(x, y) y r r ∂g(x, y) j +k i− ∂x ∂y 2

⎛ ∂g ⎞ ⎛ ∂g ⎞ 1 + ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

=

2

∂g ( x , y) r ∂g ( x , y) r r j−k i+ ∂x ∂y ⎛ ∂g ⎞ ⎛ ∂g ⎞ 1 + ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ 2

2

NORMAL L UNITARIIO ↑

NORMAL L UNITARIIO ↓

Pág. 14.

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INTEGRALES DE FLUJO. r r r r Sea F(x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P(x, y, z)k , un campo vectorial, donde M, N

y P tienen primeras derivadas continuas sobre la superficie S, orientada por un vector r normal unitario exterior N . r La integral de flujo de F a través de S se define como

∫∫ F ⋅ N dS S

r Si f(x,y,z) es la densidad de un fluido y F su campo de velocidades, la integral de

flujo

∫∫

S

(

)

f ( x , y , z ) F ⋅ N dS

representa la masa del fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo.

Cálculo de la integral de flujo según la superficie ¾ Superficie S orientada y parametrizada mediante una parametrización φ(u,v), con

(u,v)∈D, entonces

∫∫

S

F ⋅ N dS = ∫∫

D

(T ×T ) r r F( φ(u,v))⋅ r r T × T dA r

r

u

v

u

v

Tu × Tv 14243 dS

¾ Si S es una superficie orientada de ecuación z = g(x,y) y R es su proyección en el r plano XY entonces la integral de flujo de F a través de S se puede calcular

mediante una de las expresiones siguientes, según la superficie esté orientada hacia arriba o hacia abajo, respectivamente

∫∫

⎛ ∂g(x, y) r ∂g(x, y) r r ⎞ F ⋅ N dS = ∫∫ F(x, y, g(x, y)) ⋅ ⎜⎜ − i− j + k ⎟⎟dA S R ∂x ∂y ⎝ ⎠

⎛ ∂g(x, y) r ∂g(x, y) r r ⎜⎜ ⋅ = ⋅ F N dS F(x, y, g(x, y)) i+ j −k ∫∫ S ∫∫ R ∂y ⎝ ∂x

⎞ ⎟⎟dA ⎠

Pág. 15.

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3.3. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA.

DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL

La divergencia de un campo vectorial es una función definida a partir del producto escalar del operador gradiente y el campo vectorial r r r • En el plano: La divergencia de F(x, y) = Mi + Nj es

div F (x, y) = ∇ ⋅ F (x, y) =

∂M ∂N + ∂x ∂y

r ∂ r ∂ r j es el operador gradiente que actúa sobre las componentes donde ∇ = i + ∂x ∂y del campo.

•

r r r r En el espacio: La divergencia de F(x, y, z) = Mi + Nj + Pk es

div F (x, y, z) = ∇ ⋅ F (x, y, z) =

∂M ∂N ∂P + + ∂x ∂y ∂z

r ∂ r ∂ r ∂ r j + k es un operador diferencial que actúa sobre las donde ∇ = i + ∂x ∂y ∂z componentes del campo vectorial. TEOREMA DE LA DIVERGENCIA

Sea Q una región sólida acotada por una superficie cerrada S, orientada por vectores normales unitarios dirigidos hacia el exterior de Q. Si F es un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas en Q, entonces:

∫∫

S

F ⋅ N dS = ∫∫∫ ∇ ⋅ F dV Q{ r divF

3.4. TEOREMA DE STOKES. r Sea S una superficie orientada con vector unitario normal N , acotada por una curva r r cerrada simple C, suave a trozos, orientada de forma positiva respecto a N . Si F es

un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a S, entonces:

∫

C

( )

F ⋅ d r = ∫∫ ROT F ⋅ N dS S

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