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INTERACCIÓN GRAVITACIONAL

GRAVITACIÓN UNIVERSAL •Las leyes de Kepler y el movimiento de los planetas. •Ley de Newton de gravitación universal. •El campo gravitacional. •Aceleración en caída libre y fuerza gravitacional. •Consideraciones energéticas en el movimiento planetario y de satélites.

LAS LEYES DE KEPLER Y EL MOVIMIENTO DE LOS PANETAS Comprender el movimiento planetario ha sido uno de los procesos más interesantes en la evolución del conocimiento. Griegos: Suponen que la tierra es el centro geométrico del universo y los cuerpos celestes se movían alrededor de ella describiendo círculos concéntricos con ella.

LAS LEYES DE KEPLER Y EL MOVIMIENTO DE LOS PANETAS De acuerdo con la distancia promedio a la tierra, los cuerpos fueron ordenados de la siguiente forma: La Tierra, la Luna, Mercurio, Venus, el Sol, Marte, Júpiter y Saturno.

LAS LEYES DE KEPLER Y EL MOVIMIENTO DE LOS PANETAS En el siglo II D.C. Ptolomeo de Alejandría desarrolla la teoría de los epiciclos.

LAS LEYES DE KEPLER Y EL MOVIMIENTO DE LOS PANETAS Siglo XVI, Nicolás Copérnico, propone describir el movimiento de los planetas, incluyendo la Tierra, en órbitas circulares concéntricas con el Sol. El nuevo orden de las órbitas: El Sol, Mercurio, Venus, la Tierra y la luna girando alrededor de ella, Marte, Júpiter y Saturno.

LAS LEYES DE KEPLER Y EL MOVIMIENTO DE LOS PANETAS Johannes Kepler, a partir de los resultados experimentales de Tycho Brahe, propone tres leyes que son la descripción cinemática del movimiento planetario.

LAS LEYES DE KEPLER Y EL MOVIMIENTO DE LOS PANETAS I. II.

Los planetas describen órbitas elípticas estando el sol en uno de sus focos. El vector de posición de cualquier planeta con respecto al sol barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales (Ley de áreas).

LAS LEYES DE KEPLER Y EL MOVIMIENTO DE LOS PANETAS III. Los cuadrados de los periodos de revolución son proporcionales a los cubos de las distancias promedio de los planetas al Sol.

T  kr 2

3 prom

LA LEY DE LA GRAVITACIÓN La ley de gravitación es la descripción de la interacción entre dos cuerpos, sean planetas o partículas pequeñas, que producen un movimiento que puede ser descrito por las leyes de Kepler.

LA LEY DE LA GRAVITACIÓN Considere un sistema de dos masas m1 y m2 separadas una distancia r. La interacción entre las dos partículas tiene las siguientes características: La fuerza asociada con la interacción gravitacional debe ser central.

LA LEY DE LA GRAVITACIÓN La intensidad de la fuerza es directamente proporcional a la cantidad de materia que interactúa. La intensidad de la fuerza varia inversamente con el cuadrado de la distancia entre los dos cuerpos y es atractiva.

LA LEY DE LA GRAVITACIÓN

m1

 F21

r

m2  F12

 Gm1m2 ˆ F12   r 12 2 r12

ACELERACIÓN EN CAIDA LIBRE Y FUERZA GRAVITACIONAL La fuerza gravitacional que ejerce una distribución de masa esféricamente simétrica de tamaño finito sobre una partícula afuera de la distribución se concentra en el centro. Para una partícula de masa m cerca de la superficie de la tierra, la magnitud de la fuerza es:

GM T m F 2 RT

ACELERACIÓN EN CAIDA LIBRE Y FUERZA GRAVITACIONAL Obtener una descripción más fundamental de g. Fg

RT

r

ACELERACIÓN EN CAIDA LIBRE Y FUERZA GRAVITACIONAL Para un objeto en caída libre cerca de la superficie de la tierra, se tiene de la segunda ley de Newton:

GM T m mg  2 RT De aquí:

GM T g 2 RT

ACELERACIÓN EN CAIDA LIBRE Y FUERZA GRAVITACIONAL Si el cuerpo se encuentra a una distancia del centro de la tierra, dada por: r  RT  h

entonces: GM T m GM T m F  2 2 r RT  h 

ACELERACIÓN EN CAIDA LIBRE Y FUERZA GRAVITACIONAL Luego:

GM T g 2 RT  h 

LEY DE GRAVITACIÓN Y LAS LEYES DE KEPLER • Segunda ley de Kepler. • Cantidad de Movimiento angular:

LEY DE GRAVITACIÓN Y LAS LEYES DE KEPLER Se define la cantidad de movimiento angular como:    Lrp

El momento de torsión o torque es:     r F 

Para el caso de fuerzas centrales: 

 0

LEY DE GRAVITACIÓN Y LAS LEYES DE KEPLER Derivando el momento angular con respecto al tiempo, se tiene:   dL   dt

Para fuerzas centrales:     0  L  cte

LEY DE GRAVITACIÓN Y LAS LEYES DE KEPLER Para un desplazamiento infinitesimal,

LEY DE GRAVITACIÓN Y LAS LEYES DE KEPLER El área que barre el radio vector en ese tiempo es:  1  dA  r  dr 2

llegando a:   rp

 L

dA    cte dt 2m 2m

LEY DE GRAVITACIÓN Y LAS LEYES DE KEPLER • Tercera Ley de Kepler: Consideremos el movimiento de un planeta alrededor del sol en una órbita circular. Aplicando la segunda ley de Newton:

LEY DE GRAVITACIÓN Y LAS LEYES DE KEPLER Teniendo en cuenta que el planeta experimenta una aceleración centrípeta: GM s m mv 2  2 r r

Para un movimiento circular uniforme: v  wr

LEY DE GRAVITACIÓN Y LAS LEYES DE KEPLER Y además que:

Se llega a:

2 w T

4 T  r3 GM s 2

2

T 2  kr3

PROBLEMAS Un cuerpo de 200 kg y uno de 500 kg están separados por 0.400 m. (a) Encuentre la fuerza gravitacional neta ejercida por esos cuerpos sobre un cuerpo de 50.0 kg colocado a la mitad entre ellos. (b) ¿En qué posición(que no sea infinitamente remota) puede el cuerpo de 50.0 kg estar colocado de modo que experimente una fuerza neta de cero.

PROBLEMAS Tres esferas uniformes de masa 2.00 kg, 4.00 kg y 6.00 kg se colocan en las esquinas de un triángulo recto. Calcule la fuerza gravitacional resultante sobre el cuerpo de 4.00 kg, suponiendo que las esferas están aisladas del resto del universo.

CAMPO GRAVITACIONAL

Para describir las interacciones entre dos cuerpos que no están en contacto, se usa el concepto de campo gravitacional que existe en todo punto del espacio

CAMPO GRAVITACIONAL

Campo gravitacional debido a una masa M

Campo gravitacional en una porción cerca de la superficie terrestre

CAMPO GRAVITACIONAL Se define el campo gravitacional como  g 

 Fg m0

 GM g  rˆ 2 r

CAMPO GRAVITACIONAL Calcule la magnitud y dirección del campo gravitacional en un punto P sobre la bisectriz perpendicular de la recta que une dos cuerpos de igual masa y separados una distancia 2a

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL Es la energía asociada con la configuración de un sistema de cuerpos que interactúan por medio de la fuerza gravitacional. Para el sistema partícula – Tierra:

U  mgy es válida cuando

y  RT

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL Mostremos que la fuerza gravitacional es conservativa. Basta probar que cualquier fuerza de la forma:    F ( r )  F ( r ) rˆ

es conservativa

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL De la definición de trabajo:

  dW  F  ds

Como la fuerza es central

 dW  F (r )dr

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL luego

W 

rf

r0

 F (r )dr

El resultado sólo depende de los valores inicial y final, el trabajo realizado por la fuerza es el mismo sobre cualquier trayecto y la fuerza es conservativa.

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL Sistema tierra partícula

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL

W  U rf

U   F (r )dr r0

1 1 U  GmM T    r r  0   f

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL Tomando como punto de referencia el infinito  GM T m U (r )   r

Generalizando para un sistema de dos partículas  Gm1m2 U (r )   r12

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL Un agente externo debe realizar trabajo para aumentar la separación entre las partículas, lo cual se traduce en un aumento en la energía potencial. A la cantidad GM T m  r

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL Es la energía de amarre del sistema. Si el agente externo proporciona una energía mayor, el exceso de energía se manifiesta en forma de energía cinética de las partículas cuando la separación entre ellas sea infinita.

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL Para un sistema de tres o más partículas interactuando gravitacionalmente U TOTAL  U i , j i, j i j

U TOTAL  G  i, j i j

mi m j rij

CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS EN EL MOVIMIENTO PLANETARIO

CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS EN EL MOVIMIENTO PLANETARIO Suponiendo que M está en reposo en un marco de referencia inercial, la energía mecánica del sistema 1 2 GmM E  K  U  mv  2 r

CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS EN EL MOVIMIENTO PLANETARIO De acuerdo con la segunda ley de Newton GmM mv F   2 r r

Luego

GmM E 2r

2

CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS EN EL MOVIMIENTO PLANETARIO E0 E 0

Para órbitas cerradas, circulares o elípticas Para órbitas parabólicas

E 0

Para órbitas hiperbólicas

CONSIDERACIONES ENERGÉTICAS EN EL MOVIMIENTO PLANETARIO Suponiendo que el sistema es aislado, la energía mecánica del sistema es constante 1 GmM 1 GmM 2 2 mv 0   mv  2 r0 2 r

RAPIDEZ DE ESCAPE

RAPIDEZ DE ESCAPE Aplicando el principio de conservación de la energía 1 GmM GmM 2 mv 0   2 RT rmáx

v0 

 1 1 2GM T    RT rmáx

  

RAPIDEZ DE ESCAPE Cuando

rmáx  , v0  vesc

2GM T vesc  RT

Resultado que no depende de la masa del objeto.

RAPIDEZ DE ESCAPE En general vesc 

2GM R

PROBLEMAS El sistema binario de Plaskett consiste de dos estrellas que dan vueltas en una órbita circular en torno a un centro de masa a la mitad del camino entre ellas. Este enunciado implica que las masas son iguales. Suponga que la rapidez orbital de cada estrella es 220 km/s y que el periodo orbital de cada una es de 14.4 días. Encuentre la masa de cada estrella

PROBLEMAS

Dos planetas X y Y se desplaza en sentido contrario a las manecillas del reloj en órbitas circulares alrededor de una estrella. Los radios de las órbitas están en la razón 3:1. En algún instante, están alineados, formando una recta con la estrella. Durante los siguientes cinco años, el desplazamiento angular del planeta X es a 90°, ¿dónde está el planeta Y en ese momento?

PROBLEMAS

Una nave espacial en forma de un largo cilindro tiene una longitud de 100 m, y su masa con ocupantes es de 1000 kg. Se ha desviado demasiado cerca de un agujero negro que tiene una masa 100 veces más que el sol. La nariz de la nave apunta hacia el agujero negro y la distancia entre la nariz y el agujero negro es de 10.0 km. (a) Determine la fuerza total sobre la nave espacial. (b) ¿Cuál es la diferencia de los campos gravitacionales que actúan sobre los ocupantes de la nariz de la nave y la parte trasera de la nave, más alejada del agujero negro?

PROBLEMAS Dos esferas que tienen masas M y 2M y radios R y 3R respectivamente, se sueltan desde el reposo cuando la distancia entre sus centros es 12R. ¿Con qué rapidez se moverá cada esfera cuando chocan?