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Transferencia de Calor

Dr. Víctor Roberto Parra Sánchez

Fenómenos de Transporte •

Cantidad de movimiento: flujo viscoso

•

Energía: conducción del calor, convección y radiación

•

Materia: difusión

Ley de Fourier de la Conducción de Calor T0

T0

y

t=0 T1 > T0

t0 pequeño

y

T(y)

t>0 grande

T(y, t)

x

T1

T1 Debe suministrarse un flujo de calor constante para mantener la diferencia de temperaturas T = T1 – T0

Ley de Fourier de la Conducción de Calor (2) Se ha encontrado que para valores pequeños de T, se cumple que: Constante de proporcionalidad Flujo de calor Área

Q T k A Y

Diferencia de temperaturas Distancia

¿Qué expresa esta ecuación? ¿Qué significa k? ¿Qué unidades tiene cada término? ¿Es Q un escalar o un vector? Si es un vector, ¿hacia dónde fluye Q? Esta relación, ¿es válida solo para sólidos?

Ley de Fourier de la Conducción de Calor (3) Para el caso en que la separación entre placas es muy pequeña (Y0): Densidad de flujo de calor

dT q y  k dy

Forma unidimensional de la ley de Fourier de la conducción de calor Válida solo para T = T(y) Para medios isótropos en los cuales la temperatura varía en las tres direcciones:

T qx   k x

T q y  k y

T qz   k z

Ley de Fourier de la Conducción de Calor (4) Expresando lo anterior a través de una ecuación vectorial:

q  kT Forma tridimensional de la ley de Fourier de la conducción de calor Para un material isotrópico con gradientes de temperatura en las tres direcciones, ¿hacia donde se conducirá el calor preferentemente?

¿Qué similitudes y diferencias existen entre:

 yx

Vx   y

T q y  k y

Ley de Fourier de la Conducción de Calor (5) Además de k la facilidad de conducir el calor puede expresarse a través de:

k   Cˆ p Difusividad térmica

¿Qué unidades tiene α? ¿Qué cantidad para el transporte de movimiento es similar a α? ¿De dónde se obtienen los valores de k?

Ley de Fourier de la Conducción de Calor (6) Valores experimentales de k para gases comunes a presión atmosférica: Gas

100 K

200 K

300 K

H2

1625

3064

4227

O2

216

438

635

CO2

-

227

398

CH4

254

522

819

NO

-

425

619

k  107 cal  cm 1  s 1  K 1

Ley de Fourier de la Conducción de Calor (7) Valores experimentales de k para algunos líquidos a presión atmosférica: Sustancia

T (°C)

k

22.5

0.000378

60

0.000363

CCl4

20

0.000247

Éter

30

0.000328

C2H5OH

20

0.000400

Glicerina

20

0.000703

20

0.00143

60

0.00156

100

0.00160

C6H6

Agua

k[]cal  cm 1  s 1  K 1

Ley de Fourier de la Conducción de Calor (8) Valores experimentales de k para algunos metales líquidos a presión atmosférica: Sustancia Al Cd

Pb

Hg

T (°C)

k

200

0.1073

400

0.0956

0.106

600

0.0846

435

0.119

100

0.2055

330

0.039

300

0.1809

500

0.037

500

0.1596

700

0.036

100

0.0617

0

0.0196

300

0.0648

120

0.0261

500

0.0675

222

0.0303

T (°C)

k

700

0.247

790

0.290

355

Sustancia K

Na

Aleación Na-K 56 wt-% Na 44 wt-% K

k[]cal  cm 1  s 1  K 1

Ley de Fourier de la Conducción de Calor (9) Valores experimentales de k para algunos sólidos: Sustancia Al

Cd Cu

T (°C)

k

100

0.492

300

0.640

600

1.01

0

0.220

100

0.216

18

0.918

100

0.908

18

0.112

100

0.107

Ladrillo (rojo)

-

0.0015

Hormigón (bloque)

-

0.0022

Acero

Sustancia

T (°C)

k

Capa de tierra

-

0.004

Vidrio

200

0.0017

Grafito

-

0.0012

Arena (seca)

-

0.00093

Paralela al eje

-

0.00030

Perpendicular al eje

-

0.00009

Madera (pino)

k[]cal  cm 1  s 1  K 1

Problema Un panel de material plástico de área A = 0.01 m2 y espesor Y = 0.650 cm conduce el calor en estado estacionario con una velocidad de 3.0 watt, siendo las temperaturas de las superficies externas T0 = 24.00 °C y T1 = 26.00 °C. ¿Cuál es el valor de la conductividad calorífica, expresada en cal s-1 cm-1 K-1, a 25 °C? Para calcular la conductividad calorífica, Se utilizará la relación de flujo de calor por unidad de área para medios finitos:

Q T k A Y Convirtiendo las unidades para hacerlas consistentes: Q = 3.00 watt (1 J s-1/1 watt)(0.239 cal/1 J) = 0.717 cal/s A = 0.01 m2 (10000 cm2/1 m2) = 100 cm2 ΔK = (26.00 – 24.00) °C = 2 K

Problema Despejando para k:

QY k AT

 0.717cal / s 0.650cm  k 100cm2 2 K  k  0.00233cal  s 1  cm 1  K 1

Variación de k de Gases y Líquidos con T y P • Debido a la escasez de datos validados de k para fluidos, es preciso y frecuente estimar esta propiedad a partir de otros datos de la sustancia en cuestión. • Se analizarán dos correlaciones para estimar el valor de k (paralelamente nos permite deducir la variación de esta propiedad con T y P). • Se basan en el principio de estados correspondientes y son análogos a los presentados para la viscosidad.

Variación de k de Gases y Líquidos con T y P (2) k kr  kc

T Tr  Tc

P Pr  Pc

• Aun cuando fue desarrollada para gases monoatómicos, puede utilizarse como una aproximación para gases poliatómicos. Para líquidos saturados, ¿qué le sucede a k ante un incremento de T? Para gases, ¿qué le sucede a k ante un incremento de T? Generalmente NO se dispone experimentales de kc ¿entonces?

de

valores

Variación de k de Gases y Líquidos con T y P (3)

1.- Si se conoce el valor de k para el fluido para otras condiciones de T y P (cercanas a la que se está buscando) se lee la kr y se determina kc. 2.- Se utiliza el método para determinar k para gases a baja densidad y se procede como en el paso anterior.

Variación de k de Gases y Líquidos con T y P (4)

Variación de k de Gases y Líquidos con T y P (5)

Variación de k de Gases y Líquidos con T y P (6) Capacidad calorífica reducida

k k  0 k #

Tr 

T Tc

Pr 

Capacidad calorífica a ciertas T y P Capacidad calorífica a misma T y P ambiente

P Pc

k0 puede ser un valor experimental o determinado por alguna correlación de gases a baja densidad Ambos métodos introducen un error significativo en la determinación de k para gases poliatómicos.

Ejercicio Estímese la conductividad calorífica del etano a 67.2 °C y 191 atm sabiendo que a esta temperatura y a la presión atmosférica, k0 = 0.0237 kcal h-1 m-1 °C-1.

T Tr  Tc

Tr

P Pr  Pc

 67.2  273K  305.4 K

 1.11

191atm Pr   3.96 48.2atm

Localizando estas condiciones en la gráfica k# vs pr

k #  4.7

k k  0 k #

k  k #k 0

Ejercicio Sustituyendo los valores:

k  4.70.0237kcal  h 1m 1 C 1  k  0.111kcal  h 1m 1 C 1 ¿Es posible utilizar la primer gráfica para el cálculo de k para estas condiciones?

Ejercicio A partir del valor de kc de la tabla:

Tr  1.11

kk kkrr  kkcc

Pr  3.96

kr  2.3 k  k r kc

k  2.3203  106 cal  s 1cm 1K 1 

k  467  106 cal  s 1cm 1K 1

Ejercicio A partir del valor conocido de k0 :

Tr  1.11

kr  0.36

1atm Pr  48.2atm k kr  kc

Pr  0.02 k kc  kr

0.0237kcal  h 1m 1 C 1 kc  0.36 kc  0.0658kcal  h 1m 1 C 1

Ejercicio A partir del valor conocido de k0 :

Tr  1.11

k kr  kc

Pr  3.96

kr  2.3 k  k r kc

k  2.30.0658kcal  h 1m 1 C 1  k  0.1534kcal  h 1m 1 C 1

Teoría de la Conductividad Calorífica de los Gases a Baja Densidad Deducción de la conductividad calorífica desde un punto de vista molecular: Perfil de Temperatura T(y)

y T

d Gas puro, moléculas esféricas, rígidas y que no se atraen. • Diámetro, d; masa, m; concentración, n moléculas/unidad de volumen. • El gas en conjunto se mantiene en reposo, sin embargo las _ moléculas se mueven a una velocidad u

Molécula típica procedente del plano situado en (y-a) con • energía 3  T

y a

a T

2

y a

y

λ

a T

y a

x

8T u m

R  NA

Teoría de la Conductividad Calorífica de los Gases a Baja Densidad (2) Deducción de la conductividad calorífica desde un punto de vista molecular: Superficie estacionaria en contacto con el gas con área unitaria

λ

1 Z  nu 4 frecuencia de bombardeo

Camino libre medio

y λ y-a

1 2nd 2



_ u

a

2 a  3

Teoría de la Conductividad Calorífica de los Gases a Baja Densidad (3) y

_ u

a

y-a La única forma que pueden intercambiar energía dos moléculas rígidas es por la energía de traslación, que está dada por: Energía cinética media de las moléculas

1 2 3 mu  T 2 2

El calor específico molar a volumen constante del gas (monoatómico e ideal): C

1 dQ m dT

d 1 2 3 ~ ~ Cv  N  mu   R dT  2  2

Teoría de la Conductividad Calorífica de los Gases a Baja Densidad (4) y+a

y

_ u

a

y-a La densidad de flujo de calor qy en el plano y resulta de la suma de las energías cinéticas medias de las moléculas que cruzan este plano en la dirección positiva de y y restando las energías cinéticas de las que cruzan en dirección negativa, es decir:



1 2 1 2 3 q y  Z mu  Z mu  Z T y  a y  a 2 2 2

y a

T

y a



¿Válida bajo que suposiciones?

Teoría de la Conductividad Calorífica de los Gases a Baja Densidad (5) De acuerdo a las suposiciones anteriores puede escribirse: T

y a

2 dT T y   3 dy

T

y a

2 dT T y   3 dy

Combinando las ecuaciones anteriores: 1 dT q y   n u 2 dy

Esta expresión ¿Es similar a cuál otra? dT q y  k dy

1 dT q y   n u 2 dy

k

1 1 n u  Cˆ v u monoatómicos 2 3

Teoría de la Conductividad Calorífica de los Gases a Baja Densidad (6) Sustituyendo las definiciones de u y de λ en la expresión para k se tiene:

1 k 2 d

 3T  3m

monoatómicos

Conductividad calorífica para un gas diluido y de esferas rígidas De acuerdo a esta expresión: ¿Cómo es la relación entre k y P? ¿Cómo es la relación entre k y T? ¿Es satisfactoria la relación entre k y T? Si no, ¿qué puede hacerse?

Teoría de la Conductividad Calorífica de los Gases a Baja Densidad (7) La fórmula de Chapman-Enskog para k (gases monoatómicos a baja densidad a la temperatura T (K):

k  1.9891  10 k [=] cal cm-1 s-1 K-1

4

T M 2  k

σ [=] Å

monoatómicos

Ωk = Ωµ

¿De dónde se obtienen los valores de Ω y σ?

Teoría de la Conductividad Calorífica de los Gases a Baja Densidad (8)

Teoría de la Conductividad Calorífica de los Gases a Baja Densidad (8)

T  *

T



T T   / *

Teoría de la Conductividad Calorífica de los Gases a Baja Densidad (9) k  1.9891  10

4

T M  2 k

MT   2.6693 10  2 

15 R 5 ˆ k   Cv  4 M 2

5

monoatómicos

¿Sirven las relaciones anteriores para el cálculo de k para gases poliatómicos?, ¿por qué?, ¿entonces?

Teoría de la Conductividad Calorífica de los Gases a Baja Densidad (10) Método semiempírico de Eucken para el intercambio de energía en gases poliatómicos. Con este método, k se define como:

5 R ˆ k  Cp   4M 

Poliatómicos

¿puede usarse esta ecuación para gases monoatómicos?

~ ˆ Cp Cp Pr   ~ k C p  1.25R

Poliatómicos

Teoría de la Conductividad Calorífica de los Gases a Baja Densidad (12) Comparación de valores de Pr para diversos gases :

Teoría de la Conductividad Calorífica para Mezclas Gaseosas Se ha extendido la teoría anterior para mezclas gaseosas, siendo kmezcla: n

kmezcla   i 1

xi ki n

x  j 1

j

ij

Siendo:

1  M i   ij  1  8  M j 

1 2

   1   i     j  

12

14

Mj    Mi 

   

2

error aproximado en el cálculo de k de mezclas gaseosas del 4%

Problema Calcular la conductividad calorífica del neón a 373.2 K y 1 atm De acuerdo a la Tabla, los valores de M, σ y ε/Κ son:

  2.820

 /   32.8K

M  20.183g / mol

y:

T 373.2 K T    11.37  /  32.8K *

A partir de los valores de la segunda tabla e interpolando se obtiene:

k  0.8096

Problema Sustituyendo los valores en la ecuación de Chapman-Enskog:

k  1.9891  10

4

T M 2  k

373.2 20.183 k  1.9891  10 2 2.820 0.8096 4

k  1.3285  104 cal  s 1cm 1K 1

Problema Calcular la conductividad calorífica del oxígeno molecular a 300 K y baja presión.

El uso de la ecuación de Chapman-Enskog en el cálculo de la conductividad calorífica para un gas poliatómico conduce a errores significativos; sin embargo la ecuación correspondiente a la viscosidad puede ser utilizada para el cálculo de µ y relacionar esta propiedad con la conductividad calorífica del gas.

MT   2.6693 10  2  5

De acuerdo a la tabla, los valores de M, σ y ε/Κ son:

  2.820

 /   32.8K

M  20.183g / mol

Problema Sustituyendo los valores en la ecuación de Chapman-Enskog:

  2.6693  10

5

32  300 3.4672 1.0591

  2.055  10 g  cm s 4

1 1

A partir de la relación de Eucken entre µ y k, se tiene que:

5 R ˆ k  Cp   4M 

7 C~p  R 2 C~p  7.027cal  mol 1K 1

Problema Sustituyendo los valores:

 2.055  10  k  7.027  2.484  4

32

k  6.11  105 cal  cm 1s 1K 1

Problema Predecir la conductividad calorífica de la siguiente mezcla gaseosa a 1 atm y 293 K, a partir de los datos que se indican para los componentes puros a 1 atm y 293 K: Componentes

i

Fracción molar, Xi

Peso Molecular, Mi

µi x 107 (g cm-1 s-1)

ki x 107 (cal cm-1 s-1 K-1)

CO2

1

0.133

44.010

1462

383

O2

2

0.039

32.000

2031

612

N2

3

0.828

28.016

1754

627

Teoría de la Conductividad Calorífica de Líquidos Bridgman (1923) propuso una teoría para el transporte de energía en líquidos puros.



La energía se transfiere de un plano a otro contiguo a la velocidad del sonido vs.



~ ~ 13 V N

V~ N~

La teoría se basa en una nueva interpretación de la correspondiente a la de gases de esfera rígida:

1 ˆ k  Cv u  Cˆ v u a 3

Teoría de la Conductividad Calorífica de Líquidos (2) Se conoce que el calor específico a volumen constante de un líquido monoatómico es el mismo que el de un sólido a temperatura elevada, es decir:

~ N   ˆ Cv  3 ~  V  La velocidad media molecular en la dirección y es sustituida por la velocidad del sonido y la distancia a que recorre la energía en cada colisión se toma igual a la separación de la red e igual a a  V~ N~  entonces: 13

k  Cˆ v u a

23 ~ N k  3 ~  vs V 

Ecuación de Bridgman

Teoría de la Conductividad Calorífica de Líquidos (3) Los datos experimentales muestran una buena concordancia con los obtenidos a partir de la ecuación de Bridgman; sin embargo el coeficiente 3 resulta muy elevado, siendo una forma más apropiada: 23 ~ N k  2.80 ~  vs V 

Esta ecuación es válida para la condición de que la densidad es bastante mayor que la densidad crítica (se supone que las moléculas viajan en una “jaula compacta” formada por las moléculas próximas). Para fluidos poliatómicos la suposición de que Cv = 3Κ es insuficiente para este tipo de líquido a temperatura ambiente y más elevadas.

Teoría de la Conductividad Calorífica de Líquidos (4) La velocidad del sonido de baja frecuencia, vs viene dada por la ecuación:

C p  P  vs    Cv   T ¿De dónde se obtiene ¿Cómo es

Cp Cv

 P      T

?

en la mayoría de los líquidos?

Problema La densidad del CCl4 líquido a 20 °C y a 1 atm es 1.595 g cm-3 y su compresibilidad  1  P T es 90.7 x 10-6 atm-1 . ¿Cuál es su conductividad calorífica?

La compresibilidad en la forma requerida para el cloroformo, es:  P  1 1     1 6           /  P 1 . 595 90 . 7  10  T T





 P     6.91  103 atm  cm 3  g 1   T 1 2

1atm  1.0133  10 g  cm s 6

 P     7.00  109 cm 2  s 2   T

Problema Suponiendo que Cp/Cv = 1.0 y sustituyendo en la ecuación de vs:

vs 

1.007.00  109   8.37  104 cm / s

El volumen molar del cloroformo es: V~  M /   153.84 / 1.595  96.5cm 3mol 1

Sustituyendo los valores en la ecuación de Bridgman, resulta:  6.023 10 k  2.80 96.5 

23

  

23

1.3805 10 8.37 10   1.10 10 cm 16

4

4

2

ergK 1cm  s 1

Problema 1erg  2.389  108 cal 4

1

1

k  2.62  10 cal  s cm K

1

Teoría de la Conductividad Calorífica de Sólidos Las conductividades de sólidos deben ser determinadas experimentalmente, dado que dependen de numerosos factores que son difíciles de medir o predecir: • Sólidos porosos: fracción del sólido ocupado por los huecos, tamaño de poro y fluido contenido en ellos. • Materiales cristalinos: tipo de fases y tamaño de los cristales.

• Materiales amorfos: grado de orientación molecular.

Teoría de la Conductividad Calorífica de Sólidos (2) En general:

• Los metales son mejores conductores de calor que los no metales. • Sólidos porosos secos son muy malos conductores del calor (buenos aisladores). • Materiales cristalinos son mejores conductores de calor que los materiales amorfos. • La conductividad calorífica de los metales disminuye con la temperatura. Los no metales se comportan en sentido inverso.

Teoría de la Conductividad Calorífica de Sólidos (3) La relación más sobresaliente para la conductividad calorífica es la ecuación de Wiedemann, Franz y Lorenz:

k L keT Donde L es la constante de Lorenz varía entre 22 y 29 x 10-9 V·K-2. Aumenta entre 10 y 20% por cada 1000 °C. Para temperaturas muy bajas, los metales se vuelven superconductores de la electricidad pero no del calor (L depende directamente de T) ¿Es aplicable esta ecuación para todo tipo de sólidos?