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CÁLCULO ALGEBRAICO Y TRIGONOMETRICO EN DESARROLLO DE CALDERERIA EN CAÑERIAS

DEPARTAMENTO CONTROL DE CALIDAD SECCION CAPACITACION LABORAL ILUSTRADOR: HERIBERTO GONZALEZ BRITO.

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1.- El álgebra es la parte de la matemática que estudia a la cantidad en su forma más general obteniendo generalizaciones sobre el comportamiento operacional de los números. Estudia de esta manera, funciones numéricas; para lo cual se emplea números, letras y signos de operación. Como el estudio de una función conduce finalmente al planteamiento de una ecuación o igualdad, se dice también que el álgebra es la ciencia que estudia las ecuaciones. Utiliza conceptos y leyes propias. Estos son analizados a continuación:

EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es el conjunto de números y letras unidos entre sí por los signos de operación de la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potenciación y la radicación.(*) Ejemplos: Son expresiones algebraicas las siguientes: i) x ii) 4x iii) 4x2 + 5y2 + 7z2 iv) 3x5 + 7 √ x2 - 5xy4 3x2y - 3xy7 No son expresiones algebraicas: i) 5x ii) loga x iii) sen x Es necesario aclarar que todas las expresiones que tienen números y letras son expresiones algebraicas; a excepción de las últimas tres, que reciben el nombre de funciones trascendentes y que son utilizadas muy a menudo en el cálculo superior. Para una mayor ilustración, indicaremos la definición de las siguientes funciones trascendentes: Función exponencial.- Representada por una base numérica y un exponente literal, como por ejemplo: 7 ⁿ (base = 7, exponente = n). Función logarítmica.- Representada por el símbolo “log.” y que se toma en una cierta base a un determinado número. Ejemplo: logb N y se lee logaritmo en base b del número N. Función trigonométrica.- Representada por las funciones seno, coseno, tangente y sus complementos aplicados sobre un número real. Ejemplo: sen x, que se lee: “seno de x”.

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POTENCIAS Las potencias son una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe a n, y se lee: « a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente: Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

a n = a • a • a • a • → n veces. Por ejemplo: 2² = 2 x 2 = 4. 

cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo. a -n = 1 / a n



cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz: m

a

m/n

=

an

Cualquier número elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de 00 que, en principio, es una indefinición. La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales. Propiedades de las potencias Potencia de exponente 0 Cualquier número elevado a 0, distinto de 0, es igual a 1

a 0= 1 Potencia de exponente 1 Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.

a 1= a ejemplo:

54 1 = 54

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Multiplicación de potencias de igual base El producto de dos o más potencias de igual a base «a» es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):

a mx a n = a m+n ejemplos:

9 3• 9 2 = 9 3+2= 9 5

División de potencias de igual base La división de dos potencias de igual base a es igual a la base a y elevada a la resta de los exponentes respectivos.

a m/ a n = a m–n

ejemplo: 9 5 / 9 2 = 9 5 - 2 = 9 3 Potencia de un producto La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n"

(a • b) n = a n • b n Potencia de una potencia La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

(a m ) n = a m • n Propiedad distributiva La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

(a • b) n = a n • b n

(a / b) n = a n / b n

pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta. Propiedades que no cumple la potenciación No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

(a + b) n ≠ a n + b n

(a - b) n ≠ a n - b n

no cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes.

En general:

ab≠ ba

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Tampoco se cumple la propiedad asociativa: c

c

a b = a (b )

≠ ( a b) c =

a (b x c) = ab x c

Potencia de base 10 En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas posiciones hacia la izquierda o hacia la derecha como indica el exponente. Con un exponente positivo se desplaza hacia la izquierda y con un exponente negativo se desplaza hacia la derecha. Ejemplos: 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5

= 0,00001 = 0,0001 = 0,001 = 0,01 = 0,1 =1 = 10 = 100 = 1.000 = 10.000 = 100.000

EJERCICIOS DE EXPONENTE

01) 02) 03) 04) 05) 06) 07) 08) 09) 10)

2² = 2 • 2 = 4.

83 = 8 • 8 • 8 = 512. 26 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 64. 44 = 4 • 4 • 4 • 4 = 256. 57 = 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 78125. 28 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 256. 34 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81. 93 = 9 • 9 • 9 = 729. 62 = 6 • 6 = 36. 75 = 7 • 7 • 7 • 7 • 7 = 16807.

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EJERCICIOS DE MULTIPLICACION DE IGUAL BASES

01) 02) 03) 04) 05) 06) 07) 08) 09) 10)

92 • 92 = 92+2 = 4 = 94 = 6561. 69 • 62 = 69+2= 11 = 611 = 362797056. 23 • 25 = 23+5 = 8 = 28 = 256. 54 • 56 = 54+6=10 = 510 = 9765625. 32 • 36 = 32+6 = 8 = 38 = 6561. 61/4 • 63/4 = 61/4+3/4=1 = 61 = 6. 42 • 42 • 42 = 42+2+2=10 = 410 = 65536. 72 • 73 = 72+3=5 = 75 = 16807. 86 • 82 = 86+2=8 = 88 =16777216. 23 • 21 • 22 • 24 • 25 • 21 = 23+1+2+4+5+1=16 =216 = 65536.

EJERCICIOS DE DIVISION DE IGUAL BASES

01) 02) 03) 04) 05) 06) 07) 08) 09) 10)

43 / 42 = 43-2=1 = 41 = 4 45 / 47 = 45-7=-2 = 4-2 = 16 42 / 45 = 42-5=-3 = 4-3 = - 64 334 / 340 = 334-40=-6 = 3-6 =729 56 / 52 = 56-2=4 = 54 = 625 83 / 8-2 = 83-(-2)=4 = 84 = 4096 6-3 / 62 = 6-3-2=-5 = 6-5 = -7776 22/4 / 22/4 = 22/4-2/4=0 = 20 = 1 45x / 47x = 45x-7x=-2x = 4-2x Y2x-3x / Y4x+2x = Y(2x-3x)-(4x+2x) = -1x-2x = -3x = Y-3x

EJERCICIOS, CALCULAR 01)

(34)2 = 34•2 = 38 = 6561

02)

(-2)34 = (-2)3•4 = -212 = 4096

03) 04) 05) 06) 07) 08) 09) 10)

(-5)32-1 = (-5)3•2•-1 = -5-6 = 15625 (20)713 = 20•7•13 = 20= 4096 (3x)y = 3x•y = 3xy (X2)Y = X2•Y = X2Y (4)X2-X = (4)X•2•-X = 42 =16 (-8a2b3c5)2 = (-8a2•-8a2)(b3• b3)(c5•c5)=64a4•b6•c10 (2xy3)3 = (23=2•2•2= 8) x3y3•3 = 8x3y9 (a-b)2 =(a-b) (a-b) = a2-ab+b2-ab = a2-2ab+b2

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RAÍDICACION En las ciencias matemáticas, se llama raíz cuadrada (√) de un número a aquel otro que siendo mayor o igual que cero, elevado al cuadrado, es igual al primero. La raíz cuadrada de x se expresa: n X o bien: 1 / X2 Donde

n = se denomina el índice de la raíz. X = cantidad sub radical.

Por ejemplo: √ 16 = 4 ya que 42 = 4 • 4 = 16 √ 2 = 1.414213562, puesto que 1.4142135622 = 1.414213562 • 1.414213562 = 2 Propiedades de las raíces 1) Multiplicación de raíces de igual índice: n√ a • n√ b = n√ ab n√ a • n√ b = a 1/n • b 1/n = (ab)1/n = n√ ab 2) División de raíces de igual índice: n√ a / n√ b = n√ a/b 3) Raíz de raíz: n√ m√ a = n m√ a 4) Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice: n√ a n = a 5) Propiedad de amplificación: n√ a r = n m√ ar m n√ a r = a r/m = a r m/n m = n m√ a r m 6) Ingreso de un factor dentro de una raíz: a n√ b = n √ an b (con la restricción que a>0 si n es par) Observación: las propiedades anteriores son válidas solamente en el caso de que las raíces estén definidas en los números reales. Es un error muy común considerar como iguales los ejercicios : √a2 +b2 ≠ √a2 +√b2 √a2 -b2 ≠ √a2 -√b2

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TEOREMA DE PITÁGORAS, “En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. La demostración clásica del teorema de Pitágoras es la que se representa gráficamente por medio de tres cuadrados formando un triángulo rectángulo con un lado de cada uno de ellos. Cuadrados que están formado, a su vez, por 9, 16 y 25 cuadrados interiores respectivamente. En dicha representación se carece de referencias visuales validas, sobre todo por estar el cuadrado de 25 cuadrados interiores en oblicuo con respecto a los otros dos cuadrados. Por lo que resulta, en dicha representación, imposible de computar visualmente los tres cuadrados en relación con la unidad de referencia que se usa, es decir, es imposible saber visualmente si los cuadrados interiores de los tres cuadrados son idénticos entre sí.

DESARROLLO:

√ 32 + 42 = √ 3x3 + 4x4 = √ 9 + 16 = √ 25

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TRIGONOMETRÍA, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.

Trigonometría plana

trigonometría esférica

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.

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La palabra trigonometría, en su sentido primario, significa medición de triángulos. Desde tiempos remotos también abarco la ciencia el establecimiento de las relacione que subsisten entre lados, ángulos y área de un triángulo.

Relación entre los lados, teorema de Pitágoras. Observar el triángulo rectángulo de la figura, los lados son la hipotenusa

c y los catetos a y b, la relación entre

los lados es el teorema de Pitágoras

c2= a2 + b2 Relación entre sus ángulos, la suma de los 3 ángulos de un triángulo es siempre 180°

α+ β+ γ= 180° En un triángulo rectángulo siempre hay un ángulo de 90°, ángulo recto, en la figura es el

γ= 90°, en la suma de los otros dos ángulos también es de 90°.

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Funciones trigonométricas, las razones entre los lados del triángulo ABC, rectángulo en C, son funciones de los ángulos agudos α y

β.

La razón a:c, se llama seno del ángulo α. El seno es igual al cateto opuesto dividido por la hipotenusa, se representa por:

sen α = a:c = a/c. (seno de alfa). La razón a:b, se llama tangente del ángulo α. La tangente es igual al cateto opuesto dividido por cateto adyacente, se representa por:

tg α = a:b = a/b. (tangente de alfa). La razón b:c, se llama coseno del ángulo α. El coseno es igual al cateto adyacente dividido por la hipotenusa, se representa por:

cos α = b:c = b/c. (coseno de alfa). La razón b:a, se llama cotangente del ángulo α. La cotangente es igual al cateto adyacente dividido por el cateto opuesto, se representa por:

cot α = b:a = b/a. (cotangente de alfa).

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APLICACIÓN DE TEORÍAS. Desplazamiento de ejes en una direcciones. Figura N°1. Se muestra un desplazamiento de 30°, de los ejes horizontales (proyección) de la cañería. Si se conoce la longitud y la altura, se puede hallar el largo del Spool y por consiguiente del Niple.

Figura N°2. Es el mismo triangulo anterior, pero la cañería está en posición vertical y se desplaza 60°.

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Figura N°3. Se muestra un recipiente (estanque) con una tobera que forma un ángulo de 30° con la línea de referencia. Si se conoce la distancia desde la cuadrante del codo a la línea de centro del recipiente, se restara longitud del radio, también la colocación de un codo soldable de 30° (restar avance).

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Desplazamiento de ejes en dos direcciones. Un desplazamiento de ejes en dos direcciones no es más que un desplazamiento en una dirección y un giro del Spool, debemos de tener una perspectiva tridimensional para poder ubicar el verdadero triangulo rectángulo que nos ayudara a poder obtener los datos precisos para la fabricación de la pieza en cuestión. Figura N°4. Para calcular un cambio de ejes y también de elevación debemos de tener en cuenta dos medidas su altura y su desplazamiento.

Para la solución se debe aplicar la formula algebraica para obtener el valor de la hipotenusa, luego de tener la medida restar el avance de los codos según su diámetro.

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Figura N°5. Ahora se presenta un movimiento de ejes y elevación además de un avance del eje transversal, o sea un desplazamiento en tres direcciones.

Figura N° 5.1. Triangulación de los espacios.

Desarrollo

√ (b² + c²) = H √ (H² + a²) = trazo. Página 15

Figura N° 5.2. Triangulación de los espacios.

Desarrollo

√ (a² + c²) = H √ (H² + b²) = trazo. Figura N° 5.3. Triangulación de los espacios.

Desarrollo

√ (b² + a²) = H √ (H² + c²) = trazo.

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Problemas trigonométricos en triángulos rectángulos. Resolver un triángulo es decir lo que valen sus 3 ángulos y sus 3 lados. 1.- Sabiendo que el lado b = 102,4 metros y el ángulo β=55°. 2.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 metros y el cateto a=20 metros. Resolver el triángulo. 3.- Para un estanque de combustible hay que fabricar una corona con cañería la base de un triángulo isósceles mide 10 metros y el ángulo opuesto 72°, hallar el grado de cada codo y dimensionar la cañería a utilizar. Figura N° 6.

Figura N° 6.1.

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4.- Para la altura del edificio h es el segmento CD, nos situamos en el punto B y medimos el ángulo de elevación. El ángulo de elevación esta formado por los lados BC y BD, en nuestro caso vale 45°, nos situamos en el punto A alejándonos 30 metros del punto B, medimos su ángulo de elevación formando por los lados AC y AD, en nuestro caso 30°. Calcular h y x. Figura N° 7.

Teorema del seno La aplicación del teorema de los cosenos se aplica cuando tenemos un acutángulo para cuando el ángulo es agudo, y obtusángulo para cuando el ángulo es obtuso. Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Aplicaciones: 1.- resolver un triángulo cuando conocemos dos ángulos y un lado. 2.- resolver un triángulo cuando conocemos dos lados y un ángulo apuesto a uno de ellos.

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Resolver la subida de una cañería por un talud, es formado un triángulo con los siguientes datos: a= 4 metros, b= 5 metros y β= 30°. Figura N° 8.

a /sen a = b / sen b 4 / sen a = 5 / sen 30° Sen a = 4 x 0.5 / 5 = 0.4 Sen -1 0.4 = 23.58° Aplicación en cuaderno.

Teorema del coseno

Aplicaciones: 1.- cuando conocemos los 3 lados. 2.- cuando conocemos 2 lados y el angulo opuesto a uno de ellos. 3.- cuando conocemos 2 lados y el angulo que forman.

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Resolver un triángulo con los datos siguientes: a= 1200 metros, c= 700 metros y β= 108°. Figura N° 9.

b2 = a2 + c2 – 2 ac cos β / √ b = √ 12002 + 7002 -2 x 1200 x 700 x cos 108° b = 1564,97 m Continuar desarrollo en cuaderno.

Despejando los cosenos.

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Resolver y calcular una altura desconocida a cuyo pie no se puede llegar, calcular la altura del talud. Figura N° 10.

1.- fijamos dos puntos B y C y medimos su distancia d= 200 metros. 2.- medimos con el teodolito los ángulos ABD= 50°, DBC= 75° y BCD= 60°. 3.- triangulo BCD calculamos α, donde α= 180°-(60°+75°)= 45° 4.- aplicamos el teorema del seno para calcular c. C = 200 x sen 60°/ sen 45°= 245 metros. 5.- calculamos x en el triángulo ABD. Desarrollar en cuaderno. Figura N°11. Calculo de codo girado, desarrollo en cuaderno.

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Figura N°12. Calculo de un vértice 45° de cañería Ø 8”.

Todos los cálculos de VÉRTICES, CODOS MITRADOS, INTERSECCIONES Y BIFURCACIONES se darán en desarrollo en clases por motivo de aplicaciones expresas.

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