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Instituto Tecnológico de Minatitlán. Ingeniería Industrial. Calculo Vectorial. Luis Humberto Morales Investigación unidad 3,4 y 5. Alumnos: Antonio Cobix Margiel Kristel. Bartolo Garcia Ambar Lizbeth. Jimenez Bante Diana Madai. Pino Valdes Dania Isabel. Rodriguez Salome Néstor.

Funciones vectoriales de una variable real.

3.1 Definición de función vectorial de una variable real. La derivada de una función vectorial r se define como: r’ (t)=lim t0

Para todo t para el cual existe el límite. Si r’ (t) existe, entonces r es derivable en t. si r’(t) existe para toda t en un intervalo abierto I, entonces r es derivable en el intervalo I.La derivabilidad de funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados considerado limites laterales.

3.2. Graficación de curvas en función del parámetro T. Las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por: r(t) = r(t) = Debe quedar clara la distinción entre la función vectorial r y las funciones de variable real f, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f (t),g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de t).

 Ejemplos de graficación de curvas en función del parámetro T. 1.

2.

3.3

Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades.

Derivación de funciones vectoriales

1. Si r(t)=f(t)i + g(t)j, donde f y g son funciones derivables de t, entonces r’(t)= f’(t)i + g’ (t)j

Plano

2. Si r(t)=f(t)I + g(t)j + h(t)k, donde f,g y h son funciones derivables de t, entonces r’(t) = f’(t)i + g’(t)j + h’(t)k

Espacio

 Ejemplos de las derivaciones de funciones vectoriales

Propiedades de las derivadas Sean r y u funciones vectoriales derivables de t, w una función real derivable de t y c un escalar.  1. Dt crt=cr’(t)  2. Dt r(t)u(t)=r’(t)u’(t)  3. Dt w(t)r(t)=w(t)r’(t)+w’(t)r (t)  4. Dt r(t).u(t)=r(t).u’(t)+r’(t).u(t)  5. Dt r(t) x u(t)=r(t) x u’(t)+r’(t) x u(t)  6. Dt r(w(t))=r’(w(t))w’(t)  7. si r(t) . r(t)= c, entonces r (t) . r’ (t)=0  Ejemplo de propiedades de la derivada.

3.4. Integración de funciones vectoriales. La siguiente definición es una consecuencia lógica de la definición de la derivada de una función vectorial. Definición de la integral de una función vectorial 1. Si r(t)= f(t)i + g(t)j, donde f y g son continuas en a,b, entonces la integral indefinida (o antiderivada) de r es

Y su integral definida en el intervalo a  t  b es

2. Si r(t)=f(t)i + g(t)j + h(t)k, es donde f,g y h son continuas en la integral indefinida (o antiderivada) de r es

Y su integral definida en el intervalo a  t  b es  Ejemplos: Integración de una función vectorial.

, entonces

 Ejemplo de integrales de una función vectorial.

3.5 longitud de arco Si C es una curva suave dada por r(t) =x(t)i+ y(t)j + z(t)k en un intervalo la longitud de arco de C en ese intervalo es

s=

dt =

 Ejemplos: De longitud de arco.

dt

3.6. Vector tangente, normal y binomial Definición del vector tangente unitario Sea C una curva suave representada por r en un intervalo abierto I. El vector tangente unitario T(t) en t se define como T(t) = Definición del vector normal principal (unitario) Sea C una curva suave representada por r en un intervalo abierto I, si T’(t)0, el vector normal principal en t se define como N(t) =  Ejemplos: de vector tangente, normal y binomial.

3.7.curvatura Definición de la función longitud de arco Sea C una curva suave dada por r(t) en un intervalo cerrado b, la función longitud de arco viene dada por

s(t) =

du

La longitud de arco s se denomina parámetro longitud de arco.

. Para a  t 

 Ejemplo de curvatura

2.

Funciones reales de varias variables.

4.1 Definición de una función de varias variables. Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordenado (x, y) en D le corresponde un único número real f(x, y), se dice que f es función de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f(x, y) es el recorrido de f. Una función de varias variables reales que

a

cada

le

es una correspondencia asigna

a

lo

mas

una

imagen

. La notación para las funciones de dos o tres variables es similar a la utilizada para funciones de una sola variable:

Dos variables

Tres variables Definiciones análogas se aplican a funciones de tres, cuatro o donde los dominios constan de triadas

tetradas

variables, o n-

adas (x1, x2…xn). En todos los casos, el recorrido esta constituido por números reales.

 Ejemplo de funciones de varias variables.

4.2 Graficas de una función de varias variables La grafica de una función de dos variables es el conjunto de puntos (x,y,z) tales que

es decir;

La grafica de una función de dos variables

z

=

f(x,

y)

puede

interpretarse geométricamente como una superficie S en el espacio de tal forma que su proyección sobre el plano xy

es

D,

el

dominio

de

f.

En

consecuencia, a cada punto (x,y) en D le corresponde un punto (x,y,z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (x,y,z) en la superficie le corresponde un punto (x,y) en D.

 Ejemplo de una graficas de varias variables.

4.3 Curvas y superficies de nivel La grafica de una función h de una sola variable es la representación de un conjunto de puntos de la forma (x, y) tales que y = h(x). Cuando tenemos una función f de dos variables, la grafica tiene que representar conjuntos de puntos de la forma (x, y, z) tales que z = f(x, y). Por este motivo, para representar la grafica de una función de dos variables necesitamos tres dimensiones. En el caso de la grafica tridimensional, partimos de tres ejes perpendiculares entre sí: en los dos ejes horizontales representamos las variables x e y, y en el eje vertical representamos los valores z que toma la función.

Hemos denominado los ejes con las letras X, Y y Z, respectivamente. A cada valor de las variables x e y le corresponde un punto (x, y) del plano que se encuentra en la base. Por ´ ultimo, la función f asocia un valor z = f(x, y) al punto (x, y).  Ejemplo de curvas y superficie de nivel

4.4 Derivadas parciales de varias variables y su interpretación geométrica. Las derivadas parciales

pueden interpretarse geométricamente como

las pendientes de las rectas tangentes a las curvas respectivamente.  Ejemplos de derivadas parciales

y C2 en el punto P,

4.5 Derivada direccional Sirve para determinar la pendiente en cualquier dirección para determinar la pendiente en un punto de una superficie se define un nuevo tipo de derivada ala que llamaremos derivada direccional

Sea

una función escalar y sean

un vector unitario, entonces la derivada direccional de dirección del vector

, está dada por:

y en

en la

 Ejemplo de derivada direccional.

4.6 Derivadas parciales de orden superior Si tenemos z f = (x, y), sabemos que las derivadas parciales de la función respecto de las dos variables independientes son, en general, funciones a su vez de las mismas variables. Esto es:

Siendo las derivadas parciales funciones de las mismas variables, estas funciones pueden derivarse

nuevamente respecto de

x y de

y y les llamamos derivadas

parciales de segundo orden. Hay que hacer notar que ahora tendremos que la primera derivada parcial respecto de de

puede ser derivada parcialmente respecto

y también respecto de x y de y . De igual manera, la primera derivada

parcial respecto de

y , puede ser derivada parcialmente respecto a esa misma

variable y también respecto de . De manera que las segundas derivadas, o derivadas de segundo orden, pueden ser estas cuatro derivadas parciales:

 Ejemplo de derivadas parciales de orden superior

4.7 Incrementos diferenciales, regla de la cadena Para una función real de una variable independiente:

Entonces, la diferencial de Y(

) es una aproximación del incremento Ay =

para una Ay para un incremento en x(Ax)

Ay =dy para una Ax pequeña (AX=dx) para una función de dos variables Z=f(x,y) Dz= fx(x,y) dx+ fy (x,y) dy (aproximación lineal del cambio) Az=dz para incrementos pequeños en (Ax=dx, Ay=dy) Regla de la cadena Si W= f(X1, X2, … Xn) Y a su vez

X1= Y1 (t1,t2,…tn) X2= Y2 (t1,t2,…tn)

X3= Y3 (t1,t2,…tn)Xn=Yn (t1, t2, tn)

 Ejemplo de regla de cadena

4.8 Derivadas parciales iteradas Definiendo los términos necesarios: Sea

de clase C1. Recordar que esto significa que

,

y

existen y

son continuas; y la existencia de derivadas, a su vez, tienen derivadas parciales continuas implica que f es diferenciable. Si estas derivadas a su vez, tienen derivadas parciales continuas, decimos que f es de clase C2, o que es dos veces continuamente diferenciable. Así mismo decimos que

f es de clase C3,

significa que f tiene derivadas parciales iteradas continuas de tercer orden, y así sucesivamente. A continuación, unos ejemplos de cómo se describen estas derivadas de orden superior: =

,

=

),

=

(

, etc.

Por supuesto que el proceso pude repetirse para las derivadas de tercer orden y así sucesivamente. Si f es una función de solo X y Y y

son

continuamente diferenciables, al tomar las segundas derivadas parciales, obtenemos las cuatro funciones: ,

Y

Todas estas se llaman derivadas parciales iteradas, mientras que se llaman derivadas parciales mixtas.

y

 Ejemplo de derivadas parciales iteriadas

4.9 Gradiente La dirección del vector gradiante en un P(x0, yo) es la dirección en la que la derivada direccional tiene su valor máximo, siendo la direccion opuesta del gradiante la del máximo decrecimiento. En cooerdenadas rectangulares Sea el operador.

Cuando se aplica sobre una función de tres variables f(x,y,z), se denomina gradiante de la función f. gradiente Para una función de dos variables

Relación con la gradiente con la derivada direccional. La derivada direccional en la dirección del vector unitario u se define: Du f(x,y)cos ( ) + fy(x,y)sen ( ) Donde u= cos ( )i +sen ( )j

 Ejemplo de gradiente

4.10 Divergencia de un campo vectorial y rotacional Definición: Un campo vectorial en

es una función F: A C

que asigna

a cada punto X en su dominio A un vector F(x). Podemos ilustrar gráficamente F adhiriendo una flecha a cada punto (fig.) De manera análoga, una función f: A C

que asigna un número a cada

punto se llama campo escalar. Por ejemplo, un campo vectorial F (x, y, z) en tiene 3 campos escalares componentes (

de modo que F (x, y, z)=

Si cada campo

decimos que el campo vectorial F es de clase vectoriales son al menos de clase

es una función

,

. Se supone que los campos

, a no ser que se diga lo contrario.

Es conveniente trazar la flecha que representa F(x) de modo que comience en X, no en el origen (que es como se acostumbra trazar vectores). Consideramos este

vector

desplazado

con

su

correspondiente que comienza en 0.

cola

X

como

equivalente

al

vector

“Campo vectorial” significara un campo vectorial en diga lo contrario.  Ejemplos divergencia de un campo vectorial

o

, a menos que se

Integración

5.2 Integral de línea Se dice que si una fuerza constante de medida vectorial F mueve una partícula a lo largo de una recta de un punto A a un punto B, y si W es la medida del trabajo realizado, entonces W= F. V Suponga ahora que el vector de fuerza no es constante, y en lugar de que el movimiento sea a lo largo de una recta, es a lo largo de una curva. Considere que la fuerza ejercida sobre la partícula ubicada en el punto (x,y), de algún disco B de R², está dada por el campo vectorial F(x,y)= M(x,y) i + N(x,y) j Donde M y N son continuas en B. Sea C la curva, contenida en B, que tiene la ecuación vectorial R (t) =f (t) i + g (t) j

a≤t≤b

Se requiere que las funciones f y g sean tales que f´ y g´ resulten continuas [a,b] y en que cualquier punto de [a,b] al menos una de ellas sea diferente de cero. La curva C es suave [a,b]. Se desea definir el trabajo realizado por la fuerza variable de medida vectorial F al desplazar la partícula a lo largo de C del punto (f(a), g(a)) al punto (f(b), g(b)). En cualquier punto (f (t), g (t)) de C el vector fuerza es F(f(t), g(t)) = M(f(t), g(t))i + N(f(t), g(t))j Considere que Δ es una partición del intervalo [a,b] tal que a = t₀ < t₁