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4/08/2017 Investigación: 5- Integración múltiples. 5.2 Integrales iteradas. 5.3 Integral doble en coordenadas rectangulares. 5.4 Integral doble en coordenadas polares. 5.5 Integrales triple de coordenadas rectangulares. 5.6 Integrales triple en coordenadas cilíndricas y esféricas. 5.7 Campos vectoriales. 5.8 La integral de línea. 5.9 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física. 5.10 Teoremas integrales, aplicaciones.

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Unidad 5: INTEGRALES MÚLTIPLES.

5.1 - Integrales iteradas.

Una integral iterada es una integral evaluada múltiples veces sobre una misma variable (en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluada con respecto a diferentes variables).

Es importante tomar en cuenta en qué posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en qué orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial dx o la diferencial dy o viceversa.

Ahora veremos cómo se pueden presentar este tipo e integrales:

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● Definición: Integral doble iterada en dominio simple respecto de x. Sea : d ɔ [a,b]x[c,d] un dominio simple respecto de x, y sea f(x,y) continua en D. Se llama integral doble iterada de f en el dominio D al número:

Que se denota:

● Definición: Integral triple iterada en dominio (tridimensional) simple respecto de x,y o de y,x. Sea: D C [a,b] x [c,d] x [e,h] un dominio simple respecto de x,y o de y,x , y sea f(x,y,z) continua en D. Se llama integral tiple iterada de f en el dominio D al numero:

Que se denota:

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EJEMPLO #1

Resolver:

Solución:

EJEMPLO #2

Calcular

en el dominio solido D del espacio x,y,z que tiene por ecuaciones:

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5.3 Integral doble en coordenadas rectangulares. Definición de integral doble: áreas y volúmenes. Si f esta definida en una región cerrada y acotada R del plano xy,entonces la integral doble de f sobre R está dada por

Siempre que el limite exista, en cuyo caso f es integrable sobre R.

Se debe enfatizar que las condiciones de esta definición son suficientes, pero no necesarias para la existencia de la integral doble. El cálculo del valor de una integral doble directamente de la definición es muy tedioso, por lo que existe un teorema para integrales dobles.

Teorema fundamental para integrales dobles. Si la integral doble

de f en R existe, y si la región R es de alguno de estos dos tipos: acotada cuya frontera es una curva cerrada simple y rectificable, y cada línea que pasa por un punto interior de R y perpendicular al eje x interseca a la frontera de R en solo dos puntos (región R tipoT1) o si cada línea que pasa por un punto interior de R y perpendicular al eje y interseca a la frontera de R solo en dos puntos (región R tipo T2). O si R es la unión de un número finito de regiones del tipo T1 o T2, las integrales iteradas se pueden usar para calcular la integral doble.

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Sea F {(x,y,z) | z=F(x,y),(x,y) región cerrada y acotada R.

R} una función que es continua en la

● Si R es del tipo T1 y es la gráfica de {(x,y) |G1(x) ≤ y ≤ G2(x), a≤x≤b}, donde G1 y G2 son continuas en [a,b] entonces

● Si R es del tipo T2 y es la gráfica de {(x,y) | H1(y) ≤x≤H2(y), c≤y≤d}, donde H1 y H2 son continuas en [c,d] entonces

Calculo de áreas.

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Consideramos la región R acotada por a≤x≤b y g1(x) ≤y≤g2(x). El área plana R esta dada por la integral

1. Si R esta definida por a≤x≤b y g1(x) ≤y≤g2(x),donde g1 y g2 son continuas en [a,b],entonces el área de R esta dada por

2. Si R esta definida por h1(y) ≤x≤h2(y) y c≤y≤d,donde h1 y h2 son continuas en [c,d],entonces el área de R esta dada por

Nota: En caso de que los cuatro límites de integración sean constantes, la región R es un rectángulo. Ejemplo. ● Utilizar una integral iterada para hallar el área de la región limitada por las gráficas de f(x)= sen xy , g(x)= cos x ; entre x=pi/4 y x=5pi/4.

Calculo de volúmenes.

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Si f está definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, entonces la integral doble de f sobre R está dada por

Siempre que el limite exista, en cuyo caso f es integrable sobre R.

Nota: Si f es integrable en una región plana R y f(x,y) ≥0 para todo (x,y)E R,entonces el volumen de la región solida que se encuentra sobre R y bajo la gráfica de f se define como

Ejemplo: Hallar el volumen de la región solida cotada por el paraboloide z=4-x^2 -2y^2 , y el plano xy. Haciendo z=0, se comprueba que el borde de la región sobre el plano xy es la elipse x^2 + 2y^2 = 4,luego nuestra región de la integración la constituyen los puntos sobre la elipse y en el interior de esta y queda descrita por

Por lo tanto, el volumen pedido es

Efectuando el cambio de variable x=2 sen Θ

5.4 Integral doble en coordenadas polares.

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Consideramos la región A determinada por las semirrectas Θ=ß, Θ=α y las curvas r=f1(Θ) , r= f2(Θ). Supongamos que A queda incluida por completo en el sector R:”r” a “Θ” Sean m y n dos enteros positivos y hagamos

Cubrimos ahora R por una red de arcos circulares de centro O y radios r,2r,….mr y trazamos rectas desde O tales que el ángulo formado por dos rectas consecutivas cualquiera sea siempre el mismo e igual a ∆ Θ,R queda dividido en tres tipos de sub regiones: a) exteriores de A; b) interiores de A, y c) atravesadas por el contorno de A. Prescindimos que todas las del primer tipo e incluimos todas las del segundo. En cuanto a las del tercero podemos, incluir algunas, todas o ninguna. Aquellas que hayan de incluirse se numeraran en cierto orden por 1,2,3,…,N ,eligiendo en cada una de ellas un punto(rk,k). Se multiplica el valor de F (función dada, definida sobre la región A) en cada punto (rk,k) por el área de la correspondiente subregión, y se suman los productos así obtenidos; es decir, consideramos la suma

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El radio del arco interior que limita Ak es rk-1/2r; el del exterior, rk1/2r; por consiguiente

Consideremos el límite de las unas cuando tienden a 0 las diagonales de todas las subregiones. Si la función F es continua y la región A esta limitada por curvas continuas rectificables, las sumas tienen como limite la integral doble de F extendida a A:

Este límite puede calcularse utilizando la siguiente integral iterada:

Es posible utilizar primero coordenadas cartesianas para escribir la integral doble y transformarla después a coordenadas polares.

Cambio de variables: coordenadas polares.

En una integral simple se puede efectuar un cambio de variable x=g(u),con lo que dx=g`(u) du, y obtener

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Donde a=g(c) y b=g(d). Nótese que el proceso de cambio de variable introduce en el integrando un factor adicional, g`(u).Esto también ocurre en el caso de integrales dobles

Donde el cambio de variables x=g(u,v) e y=h(u,v)introduce un factor llamado jacobiano.

Definición. Si x=g(u,v) e y=h(u,v),entonces el jacobiano de x e y con respecto de u y denotado por

, es Hallar el jacobiano para el cambio de variables que nos lleva de las coordenadas cartesianas a las polares. Es decir

Aplicaciones de la integral doble(geométricas y físicas)

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Las integrales dobles tienen múltiples aplicaciones en física y en geometría. 1.El área de una región plana R en el plano xy vienen dada por una integral doble

2.El volumen V encerrado entre una superficie z= f(x,y)(>0)y una región R en el plano xy es

3.Sea f(x,y)la función de densidad (=masa por unidad de área)de una distribución de masa en el plano xy. Entonces la masa total de un trozo plano R es

4.El centro de gravedad de la masa del trozo plano R anterior tiene coordenadas x,y donde :

5.Los momentos de inercia Ix e Iy de la masa de R con respecto a los ejes x e y respectivamente son:

5.5 Integrales triple de coordenadas rectangulares.

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Una integral triple es una generalización de una integral doble en el mismo sentido que una doble es una generalización de una integral sencilla. Esto es, una integral triple extiende el concepto de una integral al caso en que F es una función de tres variables independientes cuyo dominio es una región cerrada acotada en el espacio de 3 dimensiones. En este tipo de espacio los conceptos de conjunto abierto, conjunto cerrado, región, punto frontera, punto interior, región cerrada, y región cerrada acotada son definidos por extensiones de las definiciones en el espacio de dos dimensiones, con una adaptación de la terminología. Supongamos que

Es una función de tres variables independientes cuyo dominio es una región cerrada acotada R3. Sea N3k una red de R3 , sea Un aumento de N3k , formemos la suma

Si existe un numero I con la propiedad de que dado un numero ε>0 existe un numero &>0 tal que

Para todas las redes N3k y aumentos T3k ,con forma N3k Rn que asigna a cada punto x=(x1,x2,…xn) de su dominio A un vector F(X)=(F1(X),F2(X),…,Fn(x)). Si F:A R2->R2,entonces se denomina como campo vectorial en el plano, a esta función F(x,y)definida para puntos en R2 hacia el conjunto de vectores bidimensionales, y se escribe

En donde,F1(x,y) y F2(x,y) son funciones escalares. Si F:A R3->R3,entonces se denomina como campo vectorial en el espacio, a esta función F (x,y,z) definida para puntos en R3,hacia el

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conjunto de vectores tridimensionales,denotándose de la siguiente manera

En donde, F1(x,y,z),F2(x,y,z) y F3(x,y,z) son funciones escalares. En la figura se muestra una forma esquemática de representar un campo vectorial, de Rn->R

Sin embargo, para visualizar de una manera mejor lo que el campo representa en Rn, se es preferible dibujar el vector X∈A⊆ Rn como un punto sobre el espacio Rn y a F(x) ∈ Rn como un vector sobre ese mismo espacio, como se presenta en la siguiente figura.

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La representación de un campo vectorial bidimensional en el plano cartesiano, se realiza representando un conjunto de vectores F(x,y) para varios puntos (x,y) del dominio, representando el vector F(x,y)=(F1(x,y),F2(x,y)) de tal manera que el punto inicial del vector esté localizado en (x,y);este procedimiento también puede ser aplicado para la representación de un campo vectorial en el espacio.

Ejemplo.

Represente gráficamente los campos vectoriales definidos de la manera que se muestra a continuación: F:R2->R2/F(x,y)=(-y,x)

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Para representar este campo vectorial se evaluaría algunos puntos (x,y) en la función F(x,y),como por ejemplo F(1,1)=(-1,1),F(-1,1)=(1,1),F(-1,-1)=(1,-1) y F(1,-1)=(1,1). Luego tomamos, el primer vector resultante (-1,1) y se grafica teniendo como punto inicial al punto (1,1). Aplicado sucesivamente este procedimiento con los otros vectores se obtiene la representación grafica del campo vectorial.

5.8 La integral de línea. Una integral de línea acumula elementos a lo largo de una curva. El concepto de integral se puede extender a dominios de integración más generales, tales como las líneas curvas y las superficies. Estas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie respectivamente. Tienen importantes aplicaciones en la física cuando se trata con campos vectoriales. Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. En el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno. La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por

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un vector diferencial de la curva). Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos. Muchas fórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (en términos de cantidades vectoriales) como:

que tiene su paralelismo en la integral de línea

que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y así calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo, como por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio.

La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar. En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno. Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

• El cálculo de la longitud de una curva en el espacio; • El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;

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• Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

Una función vectorial definida en

diferenciable y acotada en la de una trayectoria en Se llama integral de línea de F sobre parametrización a la integral:

Una forma más utilizada para expresar la integral de línea teniendo en cuenta que el vector diferencial de curva también se pude expresar así:

Entonces después de resolver el producto punto obtenemos:

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5.9 Divergencia, rotacional, interpretación geométrica y física. Divergencia de un campo vectorial. Sea F un campo vectorial definido en un conjunto abierto

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y

consideremos sus coordenadas F=(F1,F2,…,Fn).Supongamos que F es diferenciable en un punto a

lo que sabemos equivale a que todos los campos escalares Fk,con k=1,2,…,n,sean

diferenciables en el punto a. De hecho cada vector gradiente es la k-esima fila de la matriz jacobiana de F en a.Pues bien,la traza de dicha matriz es,po definicion,la divergencia del campo F en el punto a,y se denota por div F(a). Asi pues,se tendra:

Cuando el campo vectorial F es diferenciable en todo punto de Ω tenemos una funion div F: Ω->R que en cada punto x Ɛ Ω toma el valor divF(x) de la divergencia en dicho punto. Tenemos entonces la siguiente igualdad entre funciones, valida en todo punto de Ω:

Para un campo vectorial plano (x,y)7->F(x,y)=P(x,y),Q(x,y),que sea diferenciable en un punto (x0,y0),tendremos

Cuando F sea diferenciable en un abierto Ω ⊆R2 podremos escribir

Análogamente, si F =P i + Q j + R k es un campo vectorial en el espacio, diferenciable en un punto (x0,y0,z0),tendremos

y cuando F sea diferenciable en un abierto Ω⊆R3 podremos escribir

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Vector simbólico “nabla”. Para operar con las nociones que estamos estudiando es útil introducir el simbolismo

y manejar ∇como si se tratase de un vector de Rn. Por ejemplo, si f es un campo escalar definido en un abierto Ω⊆Rny diferenciable en un punto a∈Ω, al multiplicar simbólicamente el “vector” ∇ por el escalar f (a) se obtiene la expresión correcta del vector gradiente:

Cuando f es diferenciable en todo punto de Ω podemos hacer el mismo cálculo simbólico con el “escalar variable” f , que multiplicado por ∇ nos da

Si ahora F = (F1, F2, · · · , Fn) es un campo vectorial definido en el abierto Ω y diferenciable en el punto a∈Ω, cuando calculamos simbólicamente el producto escalar del “vector”∇ por el vector F(a) = (F1(a), F2(a), . . . , Fn(a)) obtenemos:

Esto explica que frecuentemente se denote por ∇. F(a) a la divergencia del campo F en el punto a. Cuando F es diferenciable en Ω, tenemos igualmente

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Con las debidas precauciones, este cálculo simbólico con el “vector”∇ resulta útil. Destacamos como siempre los dos casos particulares que nos interesan:

Interpretación Geométrica De La Derivada

Sea P un punto fijo de la curva y sea Q ,un punto móvil de la curva y próximo a P. La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante. Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas:Q1 , Q2 , Q3 , ..., Qn ,..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se denomina: la recta tangente a la curva en P. Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son respectivamente:

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,entonces, la pendiente de la ,

secante

recta viene dada por: ,denotada por

En viene dada por:

consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical), es la recta cuya pendiente

De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en

es:

(Punto–Pendiente).

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Interpretación Física De La Derivada.

Velocidad promedia y velocidad instantánea. Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre si 100 Km., en un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 Km./h. Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado. Pero, durante el viaje, el velocímetro con frecuencia marcó lecturas diferentes de 50Km./h. Inicialmente marco 0; a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0. Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Qué es lo que en realidad marca el velocímetro? No marca la velocidad promedia, sino la llamada velocidad instantánea. Considere un ejemplo mas preciso. Sea P un objeto que cae al vacío. Los experimentos demuestran que si un objeto, parte del reposo en caida libre, la posición S del objeto, como función del tiempo viene dada por: S en pies t en segundos Asi,en el primer segundo,cae 16 pies. en el segundo segundo, cae 16(2)2= 64 pies. En el intervalo de t =1 seg a t =2 seg, P cae (64–16) pies. Asi que su velocidad promedio será:

En el intervalo de t =1seg a t =1.5seg, P cae (16(1.5)2 –16) pies. Su velocidad promedio será de:

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En forma similar, en los intervalos de tiempo: det =1 seg a t=1.1seg,y det =1seg a t =1.01 seg,P caerá respectivamente: (16(1.1)2 –16) pies y (16(1.01)2 –16)pies. Sus velocidades promedio serán respectivamente:

Lo que se ha hecho hasta ahora, es calcular la velocidad promedia sobre los intervalos de tiempo cada vez mas cortos pero próximos a 1 seg. Cuanto mas nos aproximamos at = 1seg, mejor será la aproximación a la velocidad (instantánea)en el instante t = 1seg. Los números: 48, 40, 33.6, 32.16 de las velocidades promedias, hacen "sospechar" que la velocidad instantánea es de 32 pies/seg. El ejemplo anterior nos permite definir de una manera mas precisa los conceptos de velocidad promedia y de velocidad instantánea. Supóngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma que su posición S en cada instante t es una función S = f (t). En el instante t = c , el objeto está en f (c). En el instante próximo t = c + h, el objeto está en f (c + h) Por lo tanto, la velocidad promedia durante este intervalo es:

Se define la velocidad instantánea V en el instante t = c asi:

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5.10 Teoremas integrales, aplicaciones.

Cálculo de áreas planas Tal cómo hemos visto antes, la integral definida es una generalización del proceso del cálculo de áreas. Ahora bien, el área de un recinto es siempre positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa o nula. Por tanto, en la aplicación de la integral al cálculo de áreas, debe tenerse en cuenta el signo de cada uno de los recintos limitados por el eje OX, y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el área. Cálculo de volúmenes. Al introducir la integración, vimos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos. Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY. Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución. Volúmenes de revolución: El Método de los discos. Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es: Volumen del disco = πR2ω

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Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, consideremos una función continua f(x) definida en el intervalo [a,b], cuya gráfica determina con las rectas x=a, x=b, y=0 , el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del eje OX, obtenemos un sólido de revolución. Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R.

Volúmenes de revolución: El Método de las arandelas. El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos de revolución con un agujero, reemplazando el disco representativo por una arandela representativa. La arandela se obtiene girando un rectángulo alrededor de un eje. Si R y r son los radios externos e internos de la arandela, y ω es la anchura de la arandela, entonces el volumen viene dado por: Volumen de la arandela = π (R2 – r2)ω Entonces, generalizando de forma análoga a como se hizo en el método de los discos, si tenemos dos funciones continuas f(x) y g( x) definidas en un intervalo cerrado [a,b], con 0≤g(x) ≤f(x), y las rectas x=a y x=b, el volumen engendrado se calcula restando los sólidos de revolución engendrados por los recintos de ambas funciones, Longitud de un arco. Podemos calcular la longitud de arco de una curva plana aplicando integrales. Lo que haremos será aproximar un arco (un trozo de curva) por segmentos rectos cuyas longitudes vienen dadas por la conocida fórmula de la distancia

Integrales impropias.

La definición de integral definida requiere que el intervalo [ a,b ]sea finito. Además, el teorema fundamental del cálculo, con el

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que hemos estado evaluando integrales, exige que f sea continua en [ a,b ]. En esta sección discutiremos un proceso de límite para calcular integrales que incumplan estos requisitos, bien sea, porque uno o ambos límites de integración son infinitos, o porque f tiene en [a , b]un número finito de discontinuidades infinitas. Las integrales que se enmarcan en uno de estos dos supuestos se llaman integrales impropias.

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Fuentes.

Calculo Integral, José Manuel Bayod. https://www.scribd.com/doc/45513701/4-11-Divergenciarotacionalinterpretacion-geometrica-y-fisica cursos.aiu.edu/matematicas superiores/pdf/

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