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INSTITUC ION EDUCATIVA TECNICA ATANASIO GIRARDOT

Cristian David mateus garcia

CALCULO

1102

2020

Semana 1 Pagina 13 Ejercicio #3 De 40 estudiantes de undécimo grado, 14 toman clases de piano y 29 de violín.

A. Si 5 estudiantes toman ambas clases, ¿cuantos estudiantes no asisten a ningunas de las dos? R/= Estudian solo piano p = 14 - 5= 9 Estudian solo violín v = 29 - 5 = 24 Estudian ambos 5 Total de estudiantes que toman clases de esos instrumentos: 9 + 24 + 5 = 38 Por tanto, hay 40 - 38 = 2 estudiantes que no toman clases de piano ni violín. B. ¿Cuantos estudiantes toman clase de piano o violín?

R/= 9 + 24 + 5 = 38. C. ¿Cuantos estudiantes toman únicamente clase de violín?

R/= 29 - 5 = 24

En un grupo de 60 personas, 27 toman bebidas frías y 42 toman bebidas calientes, y a cada persona le gusta al menos alguno de esos tipos de bebidas. ¿A cuántos les gustan ambos tipos de bebidas? R/=

Como a cada persona le gusta por lo menos un tipo de bebida: 27 + 42 = 69 69-60 = 9 a 9 personas les gustan ambos tipos de bebida. En un grupo de 100 personas 72 hablan inglés y 43 hablan francés a. representa los datos en un diagrama de ven b. cuántos hablan ingles c. cuántos hablan francés d. Cuantos hablan ambos idiomas R/= a.

b. hablan solo Ingles 57 personas

c. solo Francés 28 personas d. 15 personas hablan los dos idiomas. Personas que hablan los dos idiomas = x Personas que hablan solo Ingles = 72 - x Personas que hablan solo Francés = 43 - x 72 - x + x + 43 - x = 100 Reducimos términos semejantes. 115 - x = 100 115 - 100 = x 15 = x Hablan solo Ingles = 72 - 15 = 57 Personas Hablan solo Francés = 43 - 15 = 28 Personas Hablan los dos idiomas = x = 15 Personas Evaluación de aprendizaje Cada uno de los 40 estudiantes de un curso practica al menos uno de estos deportes: futbol, baloncesto o voleibol. Se sabe que 18 juegan futbol, 20 practican baloncesto, 27 juegan voleibol, 7 prefieren futbol y baloncesto, 12 juegan

baloncesto y voleibol y 4, los tres deportes. A. Dibuja un diagrama de ven para interpretar el enunciado. Llama F al conjunto de los estudiantes que juegan futbol, V al de quienes juegan voleibol y B a quienes practican baloncesto.

B. De acuerdo con el diagrama, ¿cuantos estudiantes practican futbol y voleibol?, ¿cuantos juegan futbol y voleibol pero no baloncesto?. 40 estudiantes Fútbol = 18 Baloncesto = 20 Voleibol = 27 6 practican futbol y voleibol

7+15 = 22 juegan futbol y voleibol pero no baloncesto.

Pagina 15 Ejercicio #6 El valor del número pi se obtiene cuando se divide la longitud de una circunferencia entre su diámetro elige varios objetos redondos como latas de conserva monedas platos pocillos etc. y toma la medida del contorno y del diámetro en cada caso determina el cociente de la primera media entre la segunda y escribe una conclusión R/= OBJETO Tapa Anillo posillo

CIRCUNFERENCIA 1.72 119.5 18.7

DIAMETRO 0.547 34.8 6.5

C/D (π) 3.1992 3.1947 3.1803

CONCLUSION - Instrumento de medida poco precisas - Medidas sujetas a error tanto instrumental como operacional

Ejercicio #8 un reloj adelanta 3/7 de minuto cada hora ¿cuánto adelantara en 5 horas en medio día en una semana? R/= El reloj adelanta 3/7 de minuto de cada hora o sea que en 1 hora adelanta 3/7 de minuto 1 Hora > 3/7 Min 5 Horas > (3/7) × 5 = 15/7 Mins. 1/2 Día = 12 Horas > (3/7) × 12 = 36/7 Mins. 7 Días = 7 × 24 = 168 Horas > (3/7) × 168 = 504/7 = 72 Minutos. Lo que adelanta en 5 horas en medio dia en una semana es:

72 Minutos (1 Hora y 12 Minutos)

Para construir un metro de una obra, un albañil emplea 6 horas 1 ¿Cuánto empleará para hacer 14 enteros 2/3 metros? 2 ¿Cuánto para 18 enteros 11/33 metros? R/= Con regla de tres podemos calcular el problema: Fracciones mixta: a*(b/c) = (a*c + b) / a 6 horas → 1 entero x(horas) → 14 (2/3 m) 14*(2/3) = (14*3 + 2) / 3 = (42 + 2) / 3 = 44/3 x(horas) = (44/3)*(6 horas) / (1) x(horas) = 44*2 x(horas) = 88 En 88 horas realiza el trabajo de 14 enteros 2/3 metros 6 horas → 1 entero x(horas) → 18*(11/33) (18 11/33) = (18*33 + 11) / 33 = (594 + 11) / 33 = 605 / 33 = 18,3 x(horas) = (6 horas)*(18,3) x(horas) = 110 En 110 horas realiza el trabajo de 18 enteros 11/33 metros : Respuesta a la pregunta 1= 88 horas Respuesta a la pregunta 2= 110 horas

Se quiere cercar un campo rectangular. Se sabe que uno de sus lados mide tres quintas partes de la medida del otro y la diagonal mide 30m. Calcula el precio que se deberá pagar por hacer la cerca si cada metro cuesta $75 000 y se desperdicia un 10% del material empleado R/= Calculamos primero las medidas de los lados. Usamos el teorema de pitágoras con : cateto a = x ; cateto b = 3/5 x ; hipotenusa = 30 m ( 3/5 x ) ² + ( x ) ² = 30² 9/25 x² + x² = 900 9/25x² + 25/25 x² = 900 34/25 x² = 900 34 x² = ( 900 ) ( 25 ) 34 x² = 22 500 x² = 22 500/34 x² = 661.765 x = √ 661.765 x = 25.725 calculamos 3/5 x 3 ( 25.725 ) / 5 = 77.175/5 = 15.435 m Entonces los lados del campo miden cateto a = x = 25.725 m cateto b = 3/5 x = 15.435 m Calculamos el perímetro para cercar P = 2 a + 2 b = 2 ( 25.725 ) + 2 ( 15.435 ) P = 51.45 + 30.87 P = 82.32 m como se desperdicia el 10 % , calculamos este porcentaje y se lo agregamos 10 % de 82.32 es ( 0.10 ) ( 82.32 ) = 8.232 sumamos 82.32 + 8.232 = 90.552 m multiplicamos por el precio del metro de cerca ( 75 000 ) ( 90.552 ) = $ 6 791 400.00

$ 6 791 400.00= precio que se debera pagar por hacer la cerca Página 17 Escribe una desigualdad para interpretar está pregunta: A ¿Qué número tiene que multiplicarse por 17 y al producto sumarle 34 para obtener como mínimo 68? B ¿Existe una única solución para este problema? Si la respuesta es afirmativa, indica cuál es; si la respuesta es no, explica la razón . R/= La desigualdad al interpretar la pregunta se puede escribir de la siguiente manera 17x+34 ≥ 68 A) 17x+34 ≥ 68 17x ≥ 68-34 17x ≥ 34 x ≥ 34/17 x≥2 Comprobación : 17x+34≥68 17(2)+34≥68 34+34≥68 68≥68 Respuesta Se tiene qué multiplicar por 2. B) No existe una única solución para este problema Porque es un desigualdad o inecuación lineal, de la cual resulta un intervalo de valores, comprendidos desde el número 2 hasta el infinito, como se muestra: 17x ≥ 68-34 17x≥ 34 X≥34/17 x≥ 2 = [2, ∞ )

Mike powell tiene el record mundial de salto largo con 8.95m, el cual logro en el mundial de atletismo de tokio, en 1991. en anterior record mundial lo tenía Bob beamon, con 8.9m.¿cuáles distancias puede lograr un atleta que no supere el actual record mundial y sea mayor o igual que el anterior ? R/= Record mundial de Mike Powel 8,95 m Record mundial de Bob Beamon 8,90 m. Al comparar amos registros se aprecia que la diferencia es: Diferencia = 8,95 m – 8,90 m = 0,05 m = 0,5 dm = 5 cm La diferencia es de 5 centímetros (5 cm) Cualquier atleta que iguale o supere a Bom Beamon pero no rompa el record de Mike Powel, debe registrar un salto entre 8,9 m y 8,949999 m. Durante cierto periodo ,la temperatura en grados Celsius (C)De una ciudad varió entre 25°Y 30° .¿en grados Fahrenheit entre que valores varió la temperatura? Ten en cuenta que la temperatura Celsius y en grados Fahrenheit se relaciona mediante la expresión F=1,8C+32. R/= Aplicándola al problema planteado se tiene: Para 25 °C, se realiza la conversión: °F = 1,8 (25) + 32 = 45 + 32 = 77 °F = 77 Convirtiendo 30 °C: °F = 1,8 (30) + 32 = 54 + 32 = 86 °F = 86 En conclusión, la temperatura de la ciudad varió entre 77 °F y 86 °F.

Para determinar el coeficiente intelectual de una persona se usa a formula:/ 100m/c donde /es el coeficiente intelectual, M es la edad mental (determinada mediante un test) y c es la edad cronológica. encuentra una desigualdad que muestre entre que valores esta la edad mental de un grupo de niños de 11 años, teniendo en cuenta que la variación de / está dada por 80 2

Vamos a resolver esta última inecuación para obtener una cota inferior para el asta más corta (cuya medida es x) y comparamos con la cota superior que dice que x ≤ 20. (2x + 3) / 3 - x / 2 > 2 multiplica todo por 6: 2(2x + 3) - 3x > 12 aplica propiedad distributiva 4x + 6 - 3x ≥ 12 Traspón el 6 a la derecha y suma términos semejantes x ≥ 6, por tanto el límite inferior para x es 6. c). La información, entonces, significa que la medida del asta más corta está en el intervalo [6, 20). b). Y la respuesta es que el valor mínimo que puede medir el asta más corta es 6. Página 27 Ejercicio #1 en un grupo de 38 aspirantes a un cargo en una empresa extranjera, 19 hablan inglés, 14 hablan francés y 15 hablan alemán. Si 5 hablan inglés u francés, 7 inglés y alemán, 3 francés y alemán y dos personas hablan los tres idiomas, ¿cuántas personas hablan solo un idioma? R/=

Total aspirantes = 38 Hablan ingles(I) = 19 Hablan Frances(F) = 14 Hablan Aleman(A) = 15 Hablan los 3 idiomas = (I∩F∩A) = 2 Hablan (IUF) = 5 Hablan solo(I∩F) = 5 - (I∩F∩A) = 5 - 2 = 3 Hablan (IUA) = 7 Habla solo(I∩A) = 7 - 2 = 5 Habla(FUA) = 3 Hablan solo (F∩A) = 3 - 2 = 1

Hablan solo Ingles = 19 - 5 - 2 - 3 = 9 Habla solo frances = 14 - 3 - 2 - 1 = 8 Habla solo Aleman = 15- 5 - 2 - 1 = 7 Hablan solamente un idioma = 9 + 8 + 7 = 24 Respuesta. Hablan solo un idioma 24 aspirantes

la expresión ×=200 +5t representa la distancia en metros recorrida por un móvil que realiza un movimiento lineal (t en segundos) ¿cuánto tiempo mínimo debe transcurrir para que el móvil recorra una distancia no menor a 500 m? R/= Plantear la desigualdad: 200 + 5t ≥ 500 5t ≥ 500 - 200 5t ≥ 300 t ≥ 300/5 t ≥ 60

Semana 3 Página 29 a un estudiante le califican sus evaluaciones sobre 100 puntos. si en seis evaluaciones ha obtenido 97,98,89,80,99 y 95 ¿Cuál debe ser la nota mínima en su siguiente evaluación para obtener un promedio igual o superior a 93 R/= (97+98+89+80+99+95+a)/7 ≥ 93 a = séptima evaluación (651+a)/7 ≥ 93 558+a ≥ 93*7 558+a ≥ 651 a ≥ 651-558 a ≥ 93 la suma de dos números enteros es menor que 100. si uno de los números es el triple que el otro cuales son los valores enteros máximos que satisfacen esta condición? R/= Números x 3x Inecuación x+3x < 100 4x < 100 x < 100/4 x < 25 El valor máximo de x es 24 Por lo tanto x=24 y 3x= 3(24)= 72, Los números son 24 y 72

Página 33 Escribe la expresión analítica de las funciones definidas en los siguientes enunciados.. a. A cada número real se le asigna el triple de su cuadrado menos el doble de su cubo. b. A cada número se le asocia la raíz cuadrada negativa de la suma de su cuadrado con el mismo. R/= a): f(x): al valor resultante o función de x x: al número real o variable independiente La condición dada se traduce en operaciones: "el triple de" significa multiplicar por el número 3 "su cuadrado" significa elevar el número a la potencia 2 "menos" es plantear una diferencia o sustracción "el doble de" significa multiplicar por el número 2 "su cubo" significa elevar el número a la potencia 3 Entonces: f(x) = 3x² - 2x³ b) f(x): al valor resultante o función de x x: al número real o variable independiente La condición dada se traduce en operaciones: "la raíz cuadrada negativa" significa calcular la raíz cuadrada y multiplicar su resultado por un signo negativo "suma" es plantear una suma de términos "su cuadrado" significa elevar el número a la potencia 2 "el mismo" significa usar el número dado Entonces: f(x)= - √x2 – x Evaluación de aprendizaje Se requiere construir un rectángulo de 12 m2 de área. El área depende de las medidas que tengan la base x y la altura y, por ejemplo si la base es 6cm, la altura será 2cm Completa la tabla que da la medida de la altura Y, para distintos valores de X

Base x Altura y

1 12

1.5 8

2 6

3 4

4 3

5 2.4

6 2

R/= a). Sabemos que el área se define como base por altura, entonces: A = x·y 1- Ahora, sabemos que el área debe ser de 12 m², entonces: 12 = x·y y = 12/x b). grafica correspondiente:

c). Dominio: (−∞,0) Rango: (−∞,0)

Pagina 35 Las funciones de oferta y demanda en función del precio p de un producto son respectivamente : q=2p-10

q=2800/p

A. Encuentra el punto de equilibrio y da el precio y el número de unidades correspondientes B. ¿Dónde corta la gráfica el eje de las abscisas? Explica que significado económico tiene ese punto. C. Describe el comportamiento de las funciones oferta y demanda en término d e los puntos de corte y los signos. R/=

Página 37 Una piscina tarda 3 horas en llenarse si se abren sus cinco grifos a. escribe la función que relaciona el número de grifos x con el tiempo y, que se emplea para llenar la piscina b. Representa la función obtenida C.¿ la función es par o impar? R/= a). La función lineal de la piscina que tarda 3 horas en llenarse con cinco grifos es y = (0.6)·x siendo una función impar. b). Asumiremos que el proceso de llenado es lineal, por lo que diremos que 5 grifos lo llena en tres horas, entonces: y = (3h/5grifos)·x y = (0.6)x → función lineal

c). Ahora, esta función es impar, veamos por qué

f(-x) = -f(x) (0.6)·(-x) = -(0.6)·(x) → cumple condición Entonces, esta función es impar. Semana 4 Página 41 Un tenista ha lanzado una pelota que sigue una trayectoria dada por la formula Y = 8t – t2 + 1,6 donde t es el tiempo (en segundos) transcurrido desde el Lanzamiento Y y es la altura (en metros) a la que se encuentra la pelota. a) ¿A qué tipo de gráfica corresponde la trayectoria que describe la formula? b) ¿Cuándo alcanzara la pelota su máxima altura? c) ¿Cuál es la altura máxima conseguida? R/= a). Y = 8t – t2 + 1, Como la función dada contiene solo una variable cuadrática, estamos en presencia de función parábola

b.- Al saber que estamos en presencia de un tiro parabólico y tenemos la función, sabemos que el punto más alto estará en el vértice a = -1 ; b=8; c = 1.6

Aplicamos la fórmula: x = -b/2a t = - 8/ 2* -1 t = 4s

c.- Para calcular la altura máxima, sustituimos los 4s en la variable t de la función: y = 8(4) - (4)² + 1.6 y = 32 - 16 + 1.6 y = 17.6 Página 45 Se ha comprobado empíricamente que las ganancias que obtiene un casino en la ruleta dependen del tiempo que se permanezca jugando. Esta relación entre el tiempo y las ganancias se modela con la función G(t) = 10.000t / t2 + 40.000, donde t representa el tiempo de juego en minutos y G(t), las ganancias en miles de pesos. a) ¿Por qué se puede afirmar que este casino siempre obtiene ganancias? b) ¿Qué ganancias obtiene el casino si la ruleta esta ocupada durante media hora? c) ¿la función G(t) tiene alguna asíntota? R/= a).Por que como el tiempo es positivo, entonces si nos fijamos 10.000*t será positivo y el denominador siempre es positivo también por lo tanto la función es siempre positiva, a menos que t = 0, en el caso de que t = 0 no se obtienen ganancias. b). Como t debe estar en minuto y como una hora son 60 minutos, entonces media hora son 30 minutos. Por lo tanto la ganancia será: g(t) = (10.000*30)/(30²+ 40000) = 300.000/(900+40.000) = 300.000/40.900 = 7.3349 miles de pesos. c). No tiene asíntotas verticales, pues no existe "a" tal que limite cuando t tiende a "a" de G(t) sea infinito. Asíntotas horizontales veamos si existe b tal que el limite cuando t tiende a infinito de G(t) de b limt → ∞ ( 10000t / t2 + 40000 = limt → ∞ 10000 / 2t = 0

Tiene asíntotas horizontal en y = 0 Asíntotas oblicuas: limt → ∞ 10000t / t2 + 40000 / t = limt → ∞ 10000 / t2 + 40000 = 0 limt → ∞ ( 10000t / t2 + 40000 – 0* x) = 0 Hay asíntota oblicua en y = 0 Educación para la sexualidad y la ciudadanía El índice de masa corporal (IMC) asocia la masa y la talla de un individuo. Se calcula usando la expresión; IMC = masa / estatura2, donde la masa se expresa en Kg y el cuadrado de la estatura en m2 Si dos personas tienen la misma mas pero una mide 1.73 m y la otra 1.5 m ¿cuál de ellas tiene mayor IMC? Explica. R/= la persona que tiene más IMC es la de menor estatura ya si comparamos el IMC de la persona de mayor estatura(23,38) con la de menor estatura(31,11) vemos que la de menor estatura presenta mayor IMC si le colocamos un peso a cada individuo de 70 kg y como sabemos que el IMC se calcula: masa/estatura2 hacemos el cálculo. 70/1,732= 70/2,9929 =23,38 y así hacemos con el otro individuo 70/1,52= 70/2,25 =31,11

Página 49 Ejercicio 11 Un elemento radiactivo que decae en su crecimiento f(t) después de un tiempo t en años, satisface la formula f(t)=60*2-0.02t a) cual es la cantidad de este elemento al inicio del proceso? b) Que cantidad queda después de 500 años?

c) Que cantidad queda después de 1.000 años? d) Que cantidad queda después de 2.000 años? R/= Se debe remplazar la constante t por el número de años a) f(0)=60*2-0.02(0)= 0 b) f(500)=60*2 -0.02(500) c) f(1000)=60*2-0.02(1000) d) f(2000)=60*2-0.02(2000) Ejercicio 12 Una población de conejos crece un 1,04% por día. Define una función que describa el número de conejos después de t días con una población inicial de 500 conejos. R/= Tasa de crecimiento: i= 1.04% /100 = 0.0104 pi= población inicial= 500 Uso de la fórmula. f(t) = Pi( 1+ i)t f(t) = 500( 1+ 0.0104)t f(t) = 500( 1.0104)t => R/. Ejercicio 13 La fórmula de interés continuo compuesto es A(t)=Pe rt en donde A(t) es el interés obtenido después de T años , P es la cantidad inicial invertida y r es la tasa de interés. ¿Cuál es el dominio y punto de corte con el eje de eje Y y de A(t)? R/= El dominio de la función de interés continuo compuesto son todos los reales, y el corte con el eje -y- viene siendo P, es decir la inversión inicial. Explicación: Tenemos la siguiente expresión de interés continuo compuesto. A(t) = Pe^(rt) El dominio de la función son todos los reales, pues no hay restricción. Pero desde el punto de vista de aplicación se utilizaría desde (0,+∞) para valores de 't', debido a que el tiempo es positivo.

Ahora, el corte con -y- es cuando t = 0, tal que: A(0) = Pe^(r·0) A(0) = P Entonces, el corte con el eje -y- equivale a la cantidad inicial invertida. Ejercicio #14 La tabla 2.7 muestra el numero de peces ,P, que hay en un estanque al cabo de t meses T

0

1

2

3

4

5

P

25

43

75

130

224

387

A. Encuentra la función que modela esta situación? B. ¿Cuánto tiempo aproximadamente se necesita para duplicar en cualquier momento en la población de peces que hay en el estanque? C. Al cabo de cuánto tiempo aproximadamente se llegara a una población de 1000 peces? R/= a ) La función que modela esta situación Se toma dos puntos de la tabla P₁ (0,25) P₃ (2,75) Determinamos la pendiente de la recta: m = y₂-y₁/x₂-x₁ m = 75-25 /2-0 m = 25

Ecuación de la recta: y -y₁ = m(x-x₁) y- 25 = 25(x-0) y = 25x+25 Ecuación en función de P y t:

P = 25t+25 b) tiempo aproximadamente se necesita para duplicar en cualquier momento en la población de peces que hay en el estanque Estamos en el quinto día y la población de peces es 387 387*2 = 25t+25 774 -25 = 25t t = 31 meses se requiere para duplicar la población c). Al cabo de 39 meses se llegara a una población de 10000 peces 1000 = 25t +25 1000-25= 25t T = 39 meses Ejercicio #15 La ley de enfriamiento de newton establece que un objeto caliente se enfría siguiendo una ley exponencial de acuerdo con la siguiente expresión: Y(t) = L + (L0 – L) e-kt Donde y(t) es la temperatura del objeto después de haber transcurrido t minutos; L, la temperatura ambiente; L0, la temperatura inicial del cuerpo y k, una constante que depende de la naturaleza del objeto. Con base en lo anterior, si una taza de café en una habitación a 20 oC. se enfría de 80oC a 60oC en tres minutos ¿Cuánto tiempo tardara en enfriarse a 30 oC ?. ¿Cuánto tiempo tardara en alcanzar la temperatura ambiente? R/=

Evaluación de aprendizaje Las amebas son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos. Supongamos que las condiciones de un cultivo son tales que las amebas se duplican aproximadamente cada hora, y que inicialmente solo hay una ameba. Calcula el número de amebas que habrá después de 1, 2, 3, 4 horas. Construye la tabla de datos correspondiente, escribe la expresión analítica de la función que

define el crecimiento de la población de amebas, traza el bosquejo de su gráfica y describe tres de sus características. R/= Es un problema de exponentes. Puedes hacer una tabla. N . de horas (x) N. de amebas (2^x) F(x)= 1x

1 2

2 4

3 4 5 6 7 8 9... 8 16 32 64 128 256 512