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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE Facultad De Ingeniería

Materia: METODO DE LAPLACE

Fecha de entrega 30/06/2017 DERFORMACIONES EN ELEMENTOS ESTRUCUTRALES POR METODO DE LAPLCE

Se resolverá la deflexión de una viga con valores en la frontera por medio de la transformada de Laplace.

DOCENTE: Marquina Ventura Elmer Moisés

 

ALUNNOS

CODIGO

Alejandro Vilcas Caccha Walter Zuta Mena

380324 380914

Contenido RESUMEN ........................................................................................................................................ 3 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................... 3 PROBLEMÁTICA ................................................................................................................................... 4 OBJETIVO .......................................................................................................................................... 4 OBJETIVO GENERAL .................................................................................................................. 4 OBJETIVO ESPECIFICOS ............................................................................................................ 4 JUSTIFACION ................................................................................................................................... 5 FUNDAMENTO TEORICO............................................................................................................... 5 Vigas ............................................................................................................................................... 6 Deflexión de una viga ..................................................................................................................... 6 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA........................................................................................ 9 RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA .............................................................................................. 12 VIGA SELECCIONADA PARA ANALIZAR ............................................................................ 13 IDEALIZACIÓN DE LA VIGA ................................................................................................... 13 RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA .............................................................................................. 14

RESUMEN En este informe se mostrará las aplicaciones de la transformada de Laplace, en la cual se aplicara los diferentes teoremas y de la transformada de Laplace en la cual también veremos cómo se utiliza este tipo de operaciones en el cálculo de la deformación de una viga, en la cual se aplican la técnica elementales de transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales para encontrar la ecuación de la elasticidad de una viga en voladizo INTRODUCCIÓN La transformada de Laplace es un operador lineal sumamente útil a la hora de resolver de manera más eficaz las ecuaciones diferenciales de orden superior las cuales tienen una gran aplicación en diversas ramas de las matemáticas y de la física. En esta ocasión abordaremos una de sus aplicaciones en ingeniería civil, la cual se centra en las vigas. Estas últimas son un elemento fundamental en la construcción, no solo soportan presión y peso, sino también flexión y tensión, además han ayudado a construir muchas estructuras incluso en el mundo antiguo. El problema que resolveremos se trata sobre la deflexión de una viga con valores en la frontera, por lo tanto para iniciar necesitamos saber más sobre estos elementos estructurales lineales o unidimensionales de la construcción. Después nos adentraremos en el modelo matemático del fenómeno que analizaremos (deflexión de una viga), veremos los métodos con los cuales vamos a solventar el problema que se nos plantea. Por último nos centraremos en la resolución del problema en particular, realizando los cálculos necesarios y explicándolos de manera detallada, una vez hecho esto mostraremos la gráfica que se genera con el ejercicio caso particular que se nos ha planteado, para así pasar a la conclusión del problema. En la cual tomaremos como muestra una vivienda informar en la cual lo analizaremos con la misma vivienda construida siguiendo las normas de construcción

PROBLEMÁTICA La problemática se basa en analizar la deflexión máxima de un voladizo en una vivienda construida con normas de edificación gráficas,

y compararla con una informal a través de

mediante el modelo matemático se desarrollara la vivienda edificado con

normas y en otro cuestión se usara software en el caso de la informal . El cual nos interesa estudiar la variedad de métodos que nos permitan calcular las medidas que debe tener una viga para que resista las cargas que soporta, sin que se vaya a romper o flexionar demasiado. También nos interesa el problema contrario, es decir si tenemos una viga como por ejemplo el utilizado en nuestro proyecto es una viga construida según el reglamento nacional de edificación versus una viga autoconstruida , de unas medidas que ya conocemos y queremos determinar cuanta es la deflexión en ambos casos . Aunque la teoría de vigas se hace uso de la matemática especializada, lo cierto que las formulas deducidas nos ayudara a resolver los problemas de deflexión en cual se sustenta en nuestro proyecto. Con lo dicho anteriormente podemos concluir que, necesitamos estudiar y comprender los fenómenos que ocurren durante la flexiona si como las formulas presentadas en la teoría, pero lo más significativo es saber aplicarlas cuando se nos presente un caso práctico.

OBJETIVO

OBJETIVO GENERAL Determinar la deflexión máxima en una viga en voladizo OBJETIVO ESPECIFICOS Determinar la máxima deflexión que puede generar el propio peso de una viga en voladizo, utilizando e método de Laplace. Dar a entender que los fenómenos físicos son calculados mediantes funciones y ecuaciones matemáticas Demostrar el desarrollo del tema con la carrera de ingeniería civil y aplicativa de software

JUSTIFACION Este estudio permitirá dar solución a un problema de ingeniería a través de la construcción de una viga sujeto a cargas. Para lo cual se aplicarán cálculos matemáticos usando la Transformada de Laplace. Una viga es un elemento estructural, que al someterse a cargas (vivas, muertas) se deforma según la carga aplicada, esta deformación según los códigos esta preestablecido cuanto puede ser lo máximo permitido según sea el caso; ya que puede ocasionar molestias al presentarse y ocasionar grietas si es muy excesiva o inclusive puede ocasionar el colapso de la estructura si es demasiado grande. Hay que tener presente que lo abstracto de las matemáticas no permite que se puedan ver y manipular entes matemáticos, generándose confusiones y problemas para interpretar la información que un determinado elemento pueda proporcionar. Siendo así, con mayor dificultad podrán emplear los resultados obtenidos para predecir alguna situación. Pero si lo aplicamos a situaciones reales los resultados van hacer más significativos.

FUNDAMENTO TEORICO

Modelamiento de los elementos estructurales de la vivienda

Vigas La viga es una estructura horizontal que puede sostener carga entre 2 apoyos sin crear empuje lateral en estos. El uso más importante de estas, es quizás el que se aplica a la estructura de puentes. Son un elemento estructural, es decir, forma parte del diseño de una estructura rigiéndose por los principios de la resistencia de materiales y de la ingeniería. Son elementos lineales, los cuales también son llamados prismas mecánicos o unidimensionales. Estos son alargados y son sometidos a un estado de tensión plana. Por lo anterior dicho se sabe que las vigas estas sometidas a una tensión por lo tanto con los distintos materiales se comportara de una forma diferente por ejemplo el acero hace a las vigas mas rígidas, las de aluminio son más flexibles y las de madera tienen mayor elasticidad, no obstante cualquier viga se romperá cuando se aplica una cantidad de presión excesiva. El uso de vigas está sumamente extendido por lo cual se utilizan en la construcción desde rascacielos a estadios, aunque también se pueden utilizar en la construcción residencial por lo tanto existe una gran variedad de tipos y clasificación de las vigas, que van desde el tipo de material, forma en que se colocan hasta el tipo de soporte necesario para cada estructura.

Deflexión de una viga Se entiende por deflexión a la deformación que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas, tornándose en una curvatura o desviación de un curso o línea horizontal.

La problemática de la deflexión de vigas y ejes en una determinada estructura, es un tema muy importante para los ingenieros y en especial para los ingenieros civiles que al construir una edificación pueden presentar inconvenientes debido a la deflexión de las vigas de la obra que se esté realizando.

Para prevenir daños como la deflexión de las vigas es necesario identificar adecuadamente cada uno de los factores que pueden llegar a tener un gran impacto en una edificación en el futuro, lo que ocasionaría un colapso de la edificación.

La deflexión, matemáticamente es una función 𝑦(𝑥) que está gobernada por una ecuación diferencial lineal de cuarto orden. Considérese una viga de longitud 𝐿 de un material homogéneo y que también es uniforme en su sección transversal tal como se muestra en la figura a. El eje de simetría se indica por la línea punteada. Si se aplica una carga a la viga en un plano vertical que contiene al eje de simetría, la viga experimenta una distorsión y la curva que conecta los centroides de las secciones transversales se llama curva de deflexión o curva elástica, esto se muestra en la figura b.

La curvatura de deflexión se aproxima a la forma de una viga. El eje x coincide con el eje de simetría de la viga y que la deflexión 𝑦(𝑥), medida desde este eje es positiva si es hacia abajo. En la teoría de elasticidad se muestra que el momento de flexión 𝑀(𝑥) en un punto x lo largo de la viga se relaciona con la carga por unidad de longitud 𝑤(𝑥) mediante la ecuación: 𝑑2𝑀 = 𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 2 Además, el momento de flexión 𝑀(𝑥) es proporcional a la curvatura de 𝜅 de la curva elástica. 𝑀(𝑥) = 𝐸𝐼𝜅 Donde E e I son constantes; E es el modulo de Young de elasticidad del material de la viga e I es el momento de inercia de una sección transversal de la viga. El producto se llama rigidez flexional de la viga. 3

La curvatura está dada por 𝜅 = 𝑦 ′′ /[1 + (𝑦 ′ )2 )2 . Cuando la deflexión y(x) es pequeña, la 3

pendiente se acerca a cero, y por tanto 𝑦 ′′ /[1 + (𝑦 ′ )2 )2 se acerca a uno. Si se permite que

𝜅 ≈ 𝑦 ′′ , la ecuación 𝑀(𝑥) = 𝐸𝐼𝜅 se convierte en 𝑀 = 𝐸𝐼𝑦 ′′ . La segunda derivada de esta última expresión es: 𝑑2𝑀 𝑑 2 ′′ 𝑑4𝑦 = 𝐸𝐼 2 𝑦 = 𝐸𝐼 4 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Por lo tanto la deflexión y(x) satisface la ecuación diferencial de cuarto orden. 𝐸𝐼

𝑑4𝑦 = 𝑤(𝑥) 𝑑𝑥 4

Las condiciones de frontera (contorno o región donde está definida la ecuación diferencial) asociadas con esta ultima ecuación depende de los apoyos extremos de la viga.

Empotrada en ambos extremos

Las condiciones en la frontera en 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝐿 son 𝑦 = 0, 𝑦 ′ = 0 Libres

Las condiciones en la frontera del lado en voladizo son 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝐿 son 𝑦 ′′ = 0, 𝑦 ′′′ = 0 Apoyados

Las condiciones en la frontera en 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝐿 son 𝑦 = 0, 𝑦 ′′ = 0

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA El problema que se nos plantea en el proyecto es el siguiente: Una viga esta empotrada en su extremo izquierdo y simplemente apoyado en el derecho. Encuentre la deflexión 𝑦(𝑥) cuando la carga está dada por:

𝑤(𝑥) = {

𝐿 2} 𝐿