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• Alejandro

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Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

Unidad 4 Funciones de varias variables Una interpretación física será considerar al dominio D como la superficie del agua de una alberca y considerar al rango o imagen f(x,y) como la profundidad del agua bajo el punto (x,y). Una función de 2 variables se define como una expresión en “X” y en “Y” y especificar el rango o imagen f(x,y) osea que el dominio es el conjunto de todas las parejas ordenadas x, y para las cuales la expresión tiene sentido.

Para la función z= f(x,y) llamamos variables dependientes a “X” y “Y” siendo Z la variable independiente. 1. Dada la función f(x,y) =

2 xy +1 2 √ y−x 2

Encontrar el dominio de la función e

ilustrarlo gráficamente además evaluar el valor de los puntos (2,5), (1,1) y (2,0). x 2>¿

D={(x,y)/y – y–

x 2>¿

0

0}

P/(2,5)

f(2,5)=

2 ( 2 ) ( 5 ) +1 =¿ 2 √ 5−4 y–

x 2=¿

y=

x

2

0

21 =10.5 2

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

2. Encontrar el dominio de la función xy +1 f(x,y)= y −2 x se propone D={(x,y)/y – ≠ 0} Se sale de la barda. y - 2x ≠ 0 y = 2x (−2)( 1)+1 f(-2,1)= 1−[ ( 2 ) (−2 ) ]

[(1)(2)]+1 f(1,2)= 2−[ ( 2 ) (1 ) ]

= -1/5

= 3/0 No existe

(1)(−3)+1 f(1,-3)= −3−[ ( 2 ) (1 ) ]

= 2/5

3. Dada la función f(x,y)= 2

2

D= {(x,y)/ x + y −4

√ x2 + y 2−4

≥ 0}

x 2+ y 2 =4 x 2+ y 2 =r 2 C (0,0) y r=2 f(3,3)=

√ 32+ 32−4

=

f(2,0)=

√ 22+02−4

= 0

f(1,1)=

√ 12+12−4

=

√ 14

√ −2 No existe

Hay una isla

2x

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

4. Encontrar el dominio de la función

√ x 2 + y 2−9 x

En la bardita y en el

f(x,y) = eje y

2 2 D= {(x,y)/ x ≠ 0∧x + y ≥ 9 ≥ 0}

x 2+ y 2 −9 ≥0 2

2

x + y =9 x 2+ y 2 =r 2 C(0,0) & r=3 F(0,3)=

F(3,0)=

F(3,4)=

F(1,2)=

√0 2+3 2−9 0

√32 +0 2−9 3

√32 + 42−9 3

√12 +22−9 1

= 0/0 No existe

= 0/3=0

= 4/3

=

√−4 1

No existe

Hay agua afuera de la barda y en el círculo con excepción de la barda del eje “y” y el circulo por dentro. Nota: Dominio son los valores de la función en el plano (x,y) y el rango son los valores de la función en el eje z.

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

La grafica de una función de 2 variables z=f(x,y) es el conjunto de puntos x,y,z para los que z=f(x;y) y los puntos de x,y están en el dominio de la función. Esta grafica puede interpretarse geométricamente como la superficie en el espacio.

La grafica de z=f(x,y) es una superficie cuya proyección sobre el plano de y es el dominio de la función. En consecuencia a cada punto de x,y en el dominio le corresponde un punto x,y en la superficie y a la inversa a cada punto x,y,z en la superficie le corresponde un punto x,y en el domino.

Ejemplo: 1. Dibujar la gráfica para la función f(x,y) = dominio e imagen.

√ 4−x 2− y 2

obtener gráfica,

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables 2

2

D= {(x,y)/ x + y ≤ 4

}

P/rango: x=y=0 Z=

√ 4−x 2− y 2

Z=

√ 4−02 −02

Z=

√ 4 = +-2

Rango: 0 ≤ z ≤ 2 Gráfica: c (0,0,0) & r=2 La grafica es la mitad de la esfera de radio 2 con un centro en el origen. 2. Dibujar la gráfica para la función f(x,y) = 2

16−x −4 y

16 ≥

2

x 2+ 4 y 2

x 2 +4 y 2 ≤ 16 16 x2 y2 + a2 b2

≤1

≥0

x2 y 2 + 2 2 4 2

√ 16−x 2−4 y 2

≤1

x2 y2 D= {(x,y)/ 16 + 4

z= ≤1}

P/rango:

√ 16−0 2−4 (0)2

z= +- 4

Rango: 0 ≤ z ≤ 4

eje z: x=y=0

El dominio es en el conjunto de puntos en el interior o borde de la elipse, el rango es el conjunto de valores de “z” que varían de 0 a 4. La grafica es la mitad de la elipse de la ecuación:

x2 y2 z2 + + 16 4 16

=1

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

Gráficas y superficies de nivel para el funcionamiento de 2 variables.

La grafica de f(x,y) es por diferencia c=f(x,y) en un sistema coordenado rectangular de 3 dimensiones y por lo tanto una superficie “s” de nivel de cierto tipo. Si representamos al dominio “D” por una región en el plano x,y entonces la pareja ordenada x,y en el dominio queda representada por el punto (x,y,0) y el valor de f(x.y) de la función es la distancia dirigida del punto (x,y,0) a la superficie “s” medida sobre la recta paralela al eje “z” que pasa por este punto como se ilustra en la figura.

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

Representación geométrica Por definición f(x,y) representada por c=f(x,y) es la distancia que hay del plano (x,y) a la superficie “s” en el espacio. Ejemplo: Sea “f” la función definida por f(x,y) =

9−x2 − y 2 cuyo dominio es:

2 2 D= {(x,y)/ x + y ≤ 9 }

Dibujar la gráfica de la función “f” para los valores de c= 0,5 y 8

P/c=0 =

9−x2 − y 2

P/c=8 ;

x 2+ y 2 =9−8 x 2+ y 2 =9−c C(0,0) & r=3 P/c=5 ;

x 2+ y 2 =1 C(0,0) & r=1

x 2+ y 2 =9−5

x 2+ y 2 =4 x 2+ y 2 =√ 4 C(0,0) & r=2

Otra manera de describir (interpretar) el comportamiento de una función de 2 variables consiste en dibujar en el plano (x,y) las gráficas de las ecuaciones f(x,y) = c para varios valores de “c” las gráficas que se obtienen de esta manera se llaman curvas de nivel asociativas a la función “f” es importante constatar que cuando un punto (x,y) se mueve sobre una curva de nivel, los valores de la función permanecen constantes. Superficies de nivel para funciones de 3 variables

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

Sea la función “f” una función de 3 variables (x,y,z) entonces por definición las superficies de nivel asociativas a la función son graficas f(x,y,z) = c donde c toma los valores reales apropiados. Ejemplo: Dada la función determinada por f(x,y,z) =

2

2

x + y +z

2

representar gráficamente

las superficies de nivel que pasen por los puntos (2,2,1) & (6,3,2) P/(2,2,1)

P/(6,3,2)

2 2 2 C = 2 + 2 +1

2 2 2 C = 6 +3 +2

C=9 2

C=49 2

2

x + y + z =9 x 2+ y 2 + z 2=r 2 C(0,0,0) & r=3

2

2

2

x + y + z =49 x 2+ y 2 + z 2=r 2 C(0,0,0) & r=7

Dada la función f(x,y,z) = x+2y+3z representar gráficamente la superficie de nivel para c= 6,12

P/c=6

P/c=12

x+2y+3z=6

Eje x: y=z=0

Eje x: y=z=0

x=12

x=6 PI (6,0,0)

PI (12,0,0)

Eje y: x=z=0

Eje y: z=x=0

2y=6

2y=12

y=3

PI (0,3,0)

y=6

PI (0,6,0)

Eje z: y=x=0

Eje z: y=x=0

3z=6

3z=12

z=2

PI (0,0,2)

z=4

PI (0,0,4)

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

4.3 LÍMITES Y CONTINUIDAD (LIMITES DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES) y

w

(a,b) (x,y)

F(x,y)

X A cada punto (x,y) de la lámina le corresponde una temperatura f(x,y). Si la temperatura f(x,y) se acerca al punto fijo 1cuando (x,y) se aproxima cada vez más al punto fijo a,b entonces: Lim f(x,y) = L (x,y)  (a,b)

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

Si f y g son funciones de dos variables entonces f+g, f-g, f.g y f/g se definen de la siguiente manera: Por ejemplo si f(g) tiene límites cuando (x,y) tiende a (a,b) entonces:

lim

[f (x , y ) ± g( x , y)]

lim

[f ( x , y ) . g(x , y)]

1)

(x , y)→(a , b)

2)

(x , y)→(a , b)

3)

(x , y)→(a , b)

lim lim

(x , y)→(a , b)

[f ( x , y ) / g(x , y )] g(x , y)

lim

=

(x , y)→(a , b)

=[ =

lim

f (x , y )

(x , y)→(a , b)

lim

(x , y)→(a , b)

±

f (x , y )¿

f (x , y )

/

lim

(x , y)→(a , b)

.[

g(x , y)

lim

(x , y)→(a , b)

lim

(x , y)→(a , b)

g( x , y) ¿

g( x , y)

, sí

≠0

Se dice una función de so variables es un polinomio si se puede expresar de la m n forma ex y dónde c es un número real y, m y n son enteros positivos. C=2

m=-3

n=4

2 y4 x3

Una función racional es un cociente de los dos polinomios. Los límites de una función de dos variables a veces se puede calcular directamente sustituyen directamente en lugar de x y y, como por ejemplo: 

=

Dada la función f(x,y)= 4xy + 2x – 3y + 4 calcular el

lim

(x , y)→(1,0 )

( 4 xy +2 x −3 y + 4)

=

lim

(x , y)→(1,0 )

lim

(x , y)→(1,0)

4 ( 1 ) ( 0 ) +2 ( 1 )−3 ( 0 ) + 4

f (x , y)

= 6

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables 2

2

lim



(

(x , y)→(1,2)

2x y ) 2 2 x +y

lim

=

2 ( 1 ) (2) ) = 2 2 (1) +(2)

4 5

(

2 ( 0 )2 (0) ) (0)2 +( 0)2

0 0

(x , y)→(1,2)

2 x2 y lim ( 2 2 ) = (x , y)→(0,0 ) x + y



(

lim (x , y)→(1,2)

=

solución no aceptable

Cuando tenemos este problema lo analizaremos por trayectorias utilizando la siguiente regla: Si los límites de una función a lo largo de dos trayectorias distintas que van del punto P de coordenadas (a,b) son diferentes, entonces el límite de f(x,y) cuando (x,y)  (a,b) no existe. lim

(x , y)→(a , b)

f (x , y )

↔

∃

lim

(x , y)→ (a , b)

f ( x , y)

Por una trayectoria

=

lim

(x , y)→(a , b)

Por una trayectoria

Y=x (lim existe)

2



lim

y=x

(

(x , y)→(0,0)

2x y ) = 2 2 x +y 2

y=

x

2x x lim ( 2 2 ) = (x)→(0) x + x

2

(2(0)2 ) lim ( ) = (x)→(0) (1+(0))

0 1

f (x , y )

y=

x

2

2

lim ( (x)→(0)

2x x ) = 2 2 x +x

x 2 (2 x 2) lim ( 2 ) 2 (x)→(0) x (1+ x )

(lim no existe)

3

lim ( (x)→(0)

2x ) =0 2 2x

(2 x 2) lim ( ) = (x)→(0) (1+ x 2)

=

=0

Continuidad de funciones en dos Variables En particular los polinomios de 2 variables son funciones continuas en todas partes y las funciones racionales son continuas con excepción de los puntos donde el dominador se anula. a o ,

0 0

 Descontinua

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

En general una función de 2 variables es continua en (a,b) si el

lim

(x , y)→(a , b)

f (x , y )

= f(a,b) Definición La función f de dos variables (x,y) se dice que es continua en (a,b) si y solo si se cumplen las 3 condiciones siguientes: 1) f(a,b) ∃ lim f (x , y )∃ 2) (x , y)→(a , b) 3)

lim

(x , y)→(a , b)

f (x , y )ii=2

Ejemplo

{

Sea la función f(x,y) =

}

2 x4 Si ( x , y ) ≠(0,0) x 2+ y 2 4 Si ( x , y )=(0,0)

en (0,0).

i ¿ f ( 0,0 )=4 ii ¿

lim

(x , y)→(0,0)

f ( x , y )=

lim

(x , y)→(0,0)

(

2 x4 ) x2 + y 2

y=x

(

2 x4 2 x4 =¿ lim = lim ( x 2 )=0 2 2 2 (x)→(0) 2 x (x)→(0) x +y lim ¿

)

( )

(x)→(0)

y=x 2

analizar si la función es continua

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

x x +(¿¿ 2)2 2 x4 ¿ ¿ ¿ ¿ lim ¿ 2

(x)→(0)

0=0 el límite existe iii ¿ 0 ≠ 4 f ( x , y ) es descontinua en (0,0)

Redefinición si existe el límite.

f (x,y) =

{

}

2 x4 Si ( x , y ) ≠(0,0) x 2+ y 2 0 Si ( x , y )=(0,0)

i ¿ f ( 0,0 )=0 ii ¿

lim

(x , y)→(0,0)

f ( x , y )=0

iii ¿ 0=0 → continuaen (0,0)

Ejemplo

Dada la función

{

2

2

2

2

x +2x y + y Si ( x , y ) ≠(0,0) x2+ y2 1 Si ( x , y ) =(0,0)

i¿ f ( 0,0 )=1 2

ii ¿

lim

(x , y)→(0,0)

y=x

f ( x , y )=

lim

(x , y)→(0,0)

(

2

2

2

x +2 x y + y ) 2 2 x +y

}

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

lim ( (x)→(0)

y=x

(

2

1+ ( 0 ) x 2 +2 x ❑ x2 + x 2 2 x 2 +2 x 3 1+ x )= lim ( )= lim ( )= =1 2 2 2 1 1 (x)→(0) (x)→(0) x +x 2x

(

)

2

❑

2

2 2

2

3

2

2 5 4 x +2 x ( x )+( x ) x (1+2 x + x ) 1+0+0 1 x +2 x +x =¿ lim = lim = = =1 2 2 2 2 4 1+ 0 1 (x )→ (0 ) (x)→(0) x +(x ) x +x x 2( 1+ x 2 ) lim ¿

)

(

)

(

)

(x)→(0)

iii ¿ 1=1 → continua en(0,0)

4.4 Derivadas parciales de funciones de varias variables

Definiciones de derivadas parciales para una función de 2 variables. Si z=(f,x) es una función de 2 variables, las primeras derivadas parciales de la función con respecto a x,y son las funciones: f x ( x , y )= lim (

f ( x +h , y )−f (x , y ) df )=utilizar h dx

f y ( x , y ) = lim (

f ( x , y +h ) −f ( x , y) df )=utilizar si ellimite existe h dy

(h )→ (0 )

(h)→(0)

Esta definición indica que si z= x,y entonces para calcular la derivada parcial de la función con respecto a x, consideramos a y como una constante y derivamos respecto a x. De forma similar para obtener la derivada de la función consideramos a x como constante y derivamos con respecto a y. Ejemplo: f ( x , y ) =4 x 2 y 3+ 2 x 2+ 3 y 3+ 4

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

df ¿ 8 x ❑ y 3+ 4 x ❑ dx

df ¿ 12 x 2 y2 + 9 y 2 dy

d ( 4 x2 y3 ) ¿ 4 y 3 ( 2 x ❑)=8 xy 3 dx 1

f ( x , y ) =4 x 2 y❑ √ x+ 2 y 2=4 x 2 y ❑ (x +2 y 2) 2 x+ 2 y 2 ¿ x √( ¿ +2 y 2 ) 1 2 2

1 2 2

1 2 2

8 xy ( x+ 2 y ) 8 xy ( x +2 y ) 2 x 2 y +8 xy+ 16 x y 3 1 ( ¿ −1 ( 1+ 0 ) ] ( 2x y 2 ¿ + x +2 y ) . ( 8 xy )= + =2 x y + = = 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 ( x+ 2 y ) ( x +2 y ) df =4 x 2 y .¿ dx 2

x+2 y 2 ¿ 1

1

4 x 2 ( x +2 y 2 ) 2 8 x 2 y 2 +4 x3 +8 x 2 y 2 16 x 2 y 2 +4 x3 1 ( ¿ −1 ( 4 y ) ] ( 8 x2 y2 ¿ + x+ 2 y 2 ) 2 . ( 4 x 2 )= + = = 1 1 2 2 1 x +2 y 2 √ 2 2 2 2 ( x+ 2 y ) ( x+2 y ) df =4 x2 y .¿ dy

Ejemplo: 2 x2 y +4 y ¿ ¿ 4 x2 f ( x , y )= =4 x 2 ¿ 2 √2 x y +4 y

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables 2

2x y+4 y ¿ 2 2x y+4 y ¿ ¿ 2 2x y+4 y ¿ ¿ ¿ −1 ( ¿ −3 ( 4 xy ) ] ¿ +¿ 2 2 df =4 x . ¿ dx

−8 x 2 y + 4 ( 2 x2 y +4 y )

=

(2 x2 y + 4 y )

3 2

=

16 y √ ( 2 x2 y +4 y )

3

2 x 2 y +4 y ¿ −2 x ( 2 x 2+ 4 ) −1 −4 x 3−8 x ¿= = 1 2 √(2 x 2 y + 4 y ) 2 2 (2x y+4 y) df =4 x . ¿ dy

Derivadas parciales de funciones de 3 o más variables Las derivadas parciales de 3 o más variables se definen de la misma manera que la de 2 variables, como por ejemplo: w = (x, y, z). Se tiene lo siguiente: f ( x+ h , y , z )−f ( x , y , z ) df dw = = lim si el limite existe dx dx (h)→(0) h

(

)

f ( h , y , z +h )−f ( x , y , z ) df dw = = lim si ellimite existe dy dy (h)→(0) h

(

)

f ( h , y , z +h )−f ( x , y , z ) df dw = = lim si ellimite existe dz dz (h )→ (0 ) h

(

Ejemplo: f ( x , y , z )=4 yz e 2 xy

)

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

df 2 xy 2 2 xy =4 yz ( e ( 2 y ) ) =8 y z e dx df 2 xy 2 xy 2 xy 2 xy =4 yz ( e ( 2 x ) ) + e ( 4 z )=8 xyz e + 4 z e dy df =4 y e 2 xy dz

Derivadas Parciales de orden Superior. Las derivadas parciales de orden superior se definen de la misma manera que la del cálculo diferencial ordinal. dy

df dx

Y’=f(x) = dx

d 2 f d df = . dx 2 dx dy d2 y 2 Y’’=f(x) = dx 2

d f d df = . dy 2 dy dy d3 y Y’’’=f(x) = dx 3 d2 f d df = . dxdy dx dy d3 f d df ( ) dy dz ) d3 f d = ¿ dxdydz dx

2

d f d df = . dydx dy dx df dy 2

2

d f d f = dxdy dydx df dz

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

df dz d ¿ )) dx 3 d f d = ¿ dydxdz dy df dx d ¿ )) dy d3 f d = ¿ dzdydx dz 2 2 2 Ejemplo. Dada la función f(x,y,z)= 4 x yz+ 4 x +3 y + 2 x +xz encontrar:

a)

df dx

b)

d f dxdy

c)

d2 f dxdy 3 d f d = ¿ dxdydz dz

)= 8x

d)

d4 f 2 d x dydz

d d3 f ( 2 ) dx d x dydz

= 8xyz+8x+0+2+z

2

=

d df =¿ dy dx

( )

=

8xz+0+0

=8

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables 2 2 yz Ejemplo. Dada f(x,y,z)= 4 x y e senx encontrar:

a.

df dx

=

4 x 2 y e2 yz (cos x)+(sen x)( 8 x y e 2 yz ) 2 2 yz 2 yz = 4 x y e cosx+ 8 x y e senx

b.

d2 f dxdy

=

d df =(4 x 2 y e 2 yz cosx +8 x y e 2 yz senx) dy dx

( )

2 2 yz 2 yz 2 2 yz = 4 x y ( e ( 2 z ) cosx ) +(e cosx ( 4 x )) +8xy ( e ( 2 z ) ( senx)¿ + (

e 2 yz (senx)(8 x ) 2 2 yz 2 2 yz 2 yz 2 yz = 8 x yz e cosx+4 x e cosx+ 16 xyz e senx+ 8 x e senx

c.

d3 f dxdydz

d d2 f ( ) dz dxdy

=

2 2 yz

(¿¿ 2 y)+ 4 x e

=

8x ( 2 y ) cosx+ ( 16 xyz ) ( e ( 2 y ) senx ) +e 2 yz senx ( 16 xy ) +8 xe2 yz (2 y) senx ( 8 x 2 yz ) ( e 2 yz ( 2 y ) ( cosx ) ) + e2 yz cosx ¿ 2 yz

=

16 x 2 y 2 z e 2 yz cosx+8 x 2 y e 2 yz cosx+8 x 2 y e 2 yz cosx+32 xy 2 z e 2 yz senx+ 16 xy e 2 yz senx +16 xy e 2 y

d.

d4 f dxdydzdt

=

d d3 f ( ) dt dxdydz

=0

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables 2z 2 Ejemplo. Dada f(x,y,z)= 4 xy e cosz encontrar:

a)

df =4 y e 2 z cosz 2 dx

b)

d2 f dxdy

c)

d3 f dxdydz

=

d df =4 xy y e2 z cosz 2 dy dx

( )

2

=

( )

d d f dz dxdy

=

4 e2 z−senz2 ( 2 z )+ cosz 2 ( 4 e 2 z ( 2 ) ) 2z 2 2z 2 =-8z e −senz +8 e cosz

Incrementos, diferenciales y regla de la cadena. DIFERENCIALES (Curso de cálculo diferencial) Anteriormente vimos que si y=f(x) se define a la diferencial de y(dy) como el producto de la derivada para la diferencial de la variable independiente Dy=f’(x) dx dy 2 ' 3 x entonces y =6 x= Y= dx

Dy=6x dx Diferenciales para funciones de dos o más variables. Para funciones de dos variables dada por z=f(x,y) usamos una terminología similar ,llamamos Ax y Ay a los incrementos de las variables independientes de x y y y el incremento de z viene dado por Az=f(x)+Ax,y+Ay)-F(x,y) Las diferenciales de dx ,dy y dz se definen como sigue: Definición de diferencial total.

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

Si z=f(x,y) y Ax y Ay son los incrementos de x y dy entonces las diferenciales de las variables independientes son dx=Ax y dy=Ay y la diferencial total de la variable independiente z viene dada por la ecuación: dz

dz

Dz= dx dx + dy dy

Esta definición puede extenderse a 3 o más variables como por ejemplo si se obtiene w en 4 variables. W=f(x,y,z,u) Su fórmula quedaría de la siguiente manera. Dx=Ax DY=Ay Dz=Az Du=Au

dw dw dw dw Dw= dx dx + dy dy + dz dz + du du

Ejemplo. Dada la función diferencial total de z dz=

2

2

z=4 x y + 2 x

2

encontrar la

dz dz dx + dy dx dy

dz=( 8 x y 2+ 4 x ) dx + ( 8 x 2 y +0 ) dy 2

2

w=4 x +2 x y +3 z dw=( 8 xz +2 y2 +0 ) dx+ ( 0+4 xy + 0 ) dy+ ( 4 x 2 +0+3 ) dz 2

2

Ejemplo. Dada la función f(x,y)= 4 x y+ 5 y encontrar la diferencial total de z y usarla para encontrar aproximadamente el cambio de variable z cuando x,y varían de (1,2) a (0.99,2.01). dz=( 8 xy ) dx + ( 4 x2 +10 y ) dy

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

X=1

Y=2

X+Ax=0.99

Y+Ay=2.01

Ax=0.99 – X

Ay=2.01 – Y

Ax=0.99 – 1 = -0.01

Ay=2.01 – 2.00 =0.01

dz=( 8 (1 ) ( 2 ) ) (−0.01 ) +(4 (1 )2 +10 ( 2 ) )(0.01) dz=16 (−0.01 ) +24 ( 0.01 )

=-0.16+0.24 =0.8 variación de la diferenciación total Ejemplo. Usar aproximadamente 2

2

x −2 xy + 4 x y +6

diferenciales la variación

para calcular de z=(x,y) =

cuando x,y varia de (1,2) a (1.01,2.01).

dz=( 2 x−2 y +8 xy+ 6 ) dx+ ( o−2 x + 4 x 2) dy

X=1

Y=2

X+Ax=1.01

Y+Ay=2.01

Ax=1.01 – X

Ay=2.01 – Y

Ax=1.01 – 1

Ay=2.01 – 2

Ax= 0.01

Ay=0.01

dz=( 2 ( 1 )−2 ( 2 ) +8 ( 1 ) (2 )+6 ) ( 0.01 )+(2 ( 1 )+ 4 ( 1 )2 )(0.01) dz=0.2+.06 dz=0.16

Ejemplo. Se mide un triángulo y se encuentra que dos de sus lados miden 2 y 6 cm de longitud siendo el triángulo entre ellos A=2 c=

π 4

π (45) . 4

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

b=6

Los posibles errores de medida son 0.01 cm en los lados y 0.02 rad. Aproxime el error porcentual máximo

da a al calcular su 1

área. si se sabe que el área del rectángulo = 2 absenc . dA=

dA dA dA da+ db+ dc da db dc

1 1 1 dA= bsenc da+ asenc db+ ab coscd c 2 2 2

A=2

da=0.01 π

b=6

C= 4

db=0.01 dc=0.02

1 1 1 bsenc da a sen c db a b cos c dA 2 2 2 = + + a 1 1 1 absenc a b senc a b senc 2 2 2 da db = a + b +cot c dc

=

1

()

sen

π 4

cos

0.01 o . o 1 π + + cot ( 0.02 ) 2 6 4

π 4

π 4

π π 4 1 cot = = =1 4 π 1 sen 4

=0.005+0.0016+0.02 =0.0266

cos

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

da =2.66 a

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables 4.6 regla dela cadena y derivada implícita Regla de la cadena

Sean f,g,k tres funciones de dos variables tales que w=f(u,v) , u=g(x,y) y v=(k(x,y)) donde f, g, k son diferenciales, entonces la derivada de : dw dw du dw dv = + dx du dx dv dx

y

dw dw du dw dv = + dy du dy dv dy

Para recordar la regla de la cadena se puede usar el diagrama de árbol siguiente. Para construir el diagrama se trazan ramas de w a u y v para indicar que w es función de dos variables. Como u es función de x y y se trazan ramas de v a x y de v a y.

Use

la

regla

de

la

cadena

para

encontrar

w=uv +v 2 ,u=xcosy y v= ysenx . dw dw du dw dv = + dx du dx dv dx

=(v+2u)(cosy)+(u)(ycosx) =vcosy+2ucosy+uycosx =(ysenx)cosy+2(xcosy)cosy+(xcosy)ycosx W = ysenxcosy+2 x c os 2 y + xycosycosx dw =( v +2 u ) ( x (−seny ) ) +(u)(senx) dy =-vxseny-2uxseny+usenx =-(ysenx)(xseny)-2(xcosy)(xseny)+(xcosy)(senx)

dw dw y dx dy

si

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables 2

=-xysenxseny -2 x cosyseny + xcosysenx w=xcosy ( ysenx ) +(xcosy )2 =xycosy senx

Derivación parcial implícita. Si la ecuación f(x,y)=0 define a y implícitamente como una función implícita

derivable de x entonces

f (x , y) ¿ ¿ dx ¿ f (x , y) ¿ d¿ d¿ ¿ dy =−¿ dx

si

f (x , y ) ¿ . d¿ ¿

Si la ecuación f(x,y,z)=0 define a z implícitamente como función diferenciable de x, y entonces

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

f (x , y , z ) ¿ ¿ dx ¿ f (x , y , z ) ¿ ¿ dz ¿ f (x , y , z ) ¿ ¿ dy ¿ f (x , y , z ) ¿ ¿ dz ¿ f (x , y , z ) ¿ d¿ d¿ d¿ d¿ ¿ dz =−¿ dx Este teorema puede extenderse a funciones diferenciales definidas explícitamente con un número cualquiera de variables. Ejemplo. Dada la función

f ( x , y , z )=4 x3 y 2 z +2 x2 y +3xyz+4x-2y=0

a)

dz −12 x 2 y2 z+ 4 xy +3 yz + 4 = dx 4 x 3 y 2+ 3 xy

b)

dz −4 x 3 yz +2 x 2 +3 xz−2 = 3 2 dy 4 x y + 3 xy 3

Ejemplo. f(x,y)= 4 x ysenx +2 xy+4 x− y =0

a)

dy −4 x 3 cosx + senx 12 x 2 y +2 y+ 4 = 3 dx 4 x +2 x−1

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables 4.8 gradiente, derivada direccional, divergencia y rotacional. Derivadas parciales de vectores Las reglas de derivación parcial de vectores son análogas a las del cálculo diferencial ordinario para funciones escalares. Ejemplo. Sea el vector A=cosxi+

4 x 2 yzj+ x y 2 k encontrar la derivada parcial de

dA dx .

dA =−senxy ( y ) i+ 8 xyzj+ y 2 k dx ¿− ysenxyi+8 xyzj+ y 2 k −y ( cosxy )( x ) +senxy (−1 ) i+8 xzj+2 yk dA d dA = =¿ dxdy dy dx Operador vectorial diferencial. Este operador diferencial goza de propiedades análogas a la de los vectores ordinarios y es de gran utilidad en la aplicación de 3 magnitudes muy importantes en la práctica denominadas gradiente, divergencia y se define por:

v=

d d d i+ j+ k dx dy dz

Gradiente

v ∅=vector

Divergente v . A=escalar Rotacional VXA =vector Gradiente. Sea la función de

∅( x , y , z)

definida y derivable en cada uno de los puntos

(x,y,z) de una cierta región en el espacio el gradiente de

V∅

y se define por:

V ∅=(

d d d i + j+ k ) dx dy dz

Ejemplo

∅ se representa por

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables 2

∅ ( x , y , z )=4 x yz +2 xy+ 4 x− y a ¿ ∇ ∅=( 8 xyz+ 2 x +4 ) i+ ( 4 x 2 z +2 x−1 ) j+ ( 4 x 2 y ) k 1 ¿ 1 ¿ ( 4 ¿¿ 2 ( 2 ) ) k 4 ( ¿ ¿2 ( 0 )+2 ( 1 ) (−1 ) ) j+ ¿ b ¿ ∇ ∅ ( 1,2,3 )=( 8 (1 )( 2 ) ( 0 ) +2 ( 2 )+ 4 ) i+¿ ¿ 8 i+ j +8 k

Ejemplo f=

2z x+ y

y x+ ¿ ¿ ¿2z ¿ y x +¿ y x +¿ −1 2( x + y ¿ ] k 2 z (−1 ) ( ¿ ¿−2 ( 1 ) ] j+¿ ∇ f = [ 2 z 8−1 ) ( ¿¿−2 (−1 ) ] i+ ¿ x + y ¿2 2 x+y¿ 2 (¿¿) j+ k x+ y −2 z ¿ (¿¿)i+¿ −2 z ¿ ¿¿

( )

Derivada direccional

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

La componente de gradiente de f en la dirección de un vector unitario es igual a ∇ ∅ ∙ u^ y se llama derivada direccional de ∅ en la dirección de u. D u^ ∅=∇ ∅ ∙ u^ Ejemplo Encontrar la derivada direccional de

∅

∅=4 x 2 yz +2 xy+ 4 z En el punto (1, 1, 2) en dirección a

⃗u=i 8+2 j+2 k

∇ ∅(x , y , z )=( 8 xyz+2 y ) i+ ( 4 x 2 z+2 x ) j+ ( 4 x 2 y +4 ) k 4 ( 1¿ 2+ 4 ) k 4 ( 1 ¿2 ( 2 ) +2 ( 1 ) ) j+¿ ∇ ∅ ( 1,2,3 )=( 8 (1 ) ( 1 ) (2 )+2 ( 1 ) ) i+¿ ¿ 18i+10 j+8 k u^ =

u⃗ i+2 j+2 k = 3 |u⃗|

∇ ∅ ∙ u= ^ ( 18 i+ 10 j+ 8 k ) ∙

¿

( i+2 3j+2 k )

18+20+ 16 54 = =18 3 3

Divergencia Sea el vector

⃗ A = Ai+ A 2 j+ A 3 k

una función derivable en cada uno de los puntos

(x, y, z) de una cierta región en el espacio. La divergencia de A se representa como: ∇∙⃗ A=

∂ A1 ∂ A2 ∂ A 3 + + ∂x ∂ y dz

Ejemplo

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

⃗ A =( 2 x 2 y ) i+ ( 2 xyz ) j+ ( 4 y ) k a¿∇∙⃗ A( x , y , z)=4 xy +2 xz +0 b¿∇∙⃗ A ( 1,0,2 )=[ 4 ( 1 )( 0 )+2 ( 1 ) ( 2 ) ]=4 Ejemplo Sea

∅=4 x 2 yz

encontrar la divergencia de

∅ para cualquier valor de (x, y,

z) 2

∇ ∅=∇ ∙ ∇ ∅ ∇ ∅=( 8 xyz ) i+ ( 4 x2 z ) j+ ( 4 x2 y ) k ∇ ∙ ∇ ∅=8 yz +0+0=8 yz Rotacional ⃗ A ( x , y , z )= A 1 i+ A2 j+ A3 k

Si el

Es un campo vectorial derivable, el rotacional de A se representa por

( ∂∂x i+ ∂∂y j+ dz∂ ) X ( A i+ A j+ A k )

∇X⃗ A=

|

i ∂ ∇∙⃗ A ∂x A1

1

j ∂ ∂y A2

|(

2

3

k ∂ A 3 ∂ A2 ∂ A 1 ∂ A3 ∂ =i − +j − +k ∂y ∂z ∂z ∂x ∂z A3

) (

Ejemplo A = (2 xy ) i+ ( 4 x z 2 ) j+ ( 4 xy z2 ) k Sea el ⃗ Encontrar la rotacional

|

|

i j k ∂ ∂ ∂ ∇X⃗ A (x , y , z )= ∂x ∂y ∂z 2 2 xy 4 x z 4 xy 2

)

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

∇X⃗ A =i ( 4 x z 2−8 xz ) + j ( 0−4 y z 2) + k ( 4 z 2−2 x ) ∇X⃗ A (1,1,1)= ( 4−8 ) I −4 j+ ( 4−2 ) k ¿−4 i−4 j+2 k

Nota: Un

⃗ V

se llama irrotacional

⃗ =0 ¿∇ XV

Ejemplo Encontrar el valor de las constantes a, b, c, d de forma que el vector ⃗ V =( x +2 y+ az ) i+ ( bx−3 y −z ) j+ ( 4 x+ cy +2 z ) k Sea irrotacional

|

|

i j k ∂ ∂ ∂ ⃗ ∇ XV ∂x ∂y ∂z x +2 y+ az bx−3 y −z 4 x +cy +2 z ¿ i ( c +1 ) + j ( a−4 ) +k ( b−2 )=0

c +1=0, c=−1 ; a−4=0, a=4 ; b−2=0,b=2 Valores extremos para funciones de dos variables Definición Suponga que

f (x , y , z ) está definida en una región n que contiene el punto

(a, b) entonces: 1.

f ( a , b ) max local de f si f ( a ,b ) ≥ f (x , y )

2.

f ( a , b ) min local de f si f ( a , b ) ≤ f ( x , y)

Los máximos locales corresponden a los picos de montañas en la superficie z=f (x , y ) y los mínimos locales corresponden al fondo de los valles de la superficie

z=(x , y)

como se muestra en la figura.

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

Criterios de la primera derivada Si

f (x, y)

tiene un valor máximo o mínimo local en un punto inferior (a,

b) de su dominio y si las primeras derivadas parciales existen en ese punto entonces la primera derivada parcial con respecto (a, b). f X ( a , b )=0 y f y ( a ,b )=0 Puntos críticos El punto crítico de una función

z=f ( x , y ) es un punto (a, b) en el dominio

de la función para el cual

f x ( a ,b )=0 y f y ( a , b )=0

derivadas parciales no existe en ese punto. Ejemplo Encontrar los puntos críticos para la función f ( x , y ) =x3 + y 3 −27 x−12 y ∂f 2 =f =3 x −27=0 ∂x x ∂f =f y =3 y 2−12=0 ∂y 2

3 x −27=0 3 x2 =27 x 2=

27 3

o si una de sus

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables 2

x =√ 9 x=± 9

3 y 2−12=0 3 y 2=12 y 2=

12 3

y 2=√ 4 y=± 4 Puntos críticos (3,2), (3,-2), (-3,2), (-3,-2)

Ejemplo Determinar los extremos relativos máximos y mínimos locales usando el criterio de 2 2 la primera derivada para z=f ( x , y )=2 x + y +8 x−6 y +20 f x =4 x+ 8=0 4 x =−8 x=

−8 4

x=−2

f y =2 y−6 2 y=6 y=

6 2

y=3

Punto critico (-2,3)

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables 2

3 ¿ +8 (−2 )−6 ( 3 ) +20=3 f (a , b)=f (−2,3)=2 (−2 ) +¿ Para saber si

f ( a , b ) ≥ 0 ó ≤ f ( x , y) completamos cuadrados en la función original

para hacer la comparación. 2

2

2 x +8 x + y −6 y +20=0 2 ( x2 + 4 x+ 4 )−8+ ( y 2−6 y +9 ) −9+20=¿ y−3 ¿2 +3>3 x+ 2¿ 2+¿ 2¿ Como f ( a , b )< f ( x , y ) existe un minimo local igual a 3 Teorema Prueba de la segunda derivada parcial para extremos relativos Sea (a, b) un punto crítico y z=f ( x , y ) y supongan que existen las segundas f xx , f yy , f xy son continuas en un disco abierto centrado derivadas parciales ∃ en (a, b) se cumple lo siguiente: f xy ¿ 2 D(x, y)=f xx f yy −¿ 1.

Si el discriminante D ( a ,b ) >0 y f xx ( a , b )> 0 f ( a , b ) es un minimo relativo

2.

Si D ( a ,b ) >0 y f xx < 0 es un maximo relativo

3.

si D ( a , b ) 0 ( a , b , f ( a , b ) ) no es extremo relativo se ≤conoce como puntode silla

4.

si D ( a , b )=0la prueba no es contundente

Ejemplo Encontrar extremos relativos f ( x , y ) =x2 + y 2 +5

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables

0 f x =2 x=0 x= =0 2 0 f y =2 y=0 y= =0 2 f xx =2 f xy=0 2

0 ¿ =4 f xy ¿ =( 2 )( 2 ) −¿ D ( a , b )=f xx f yy−¿ 2

D ( 0,0 )=4>0 f xx =2>0 minimo relativo 0 ¿2 +5=5 ∴ minimo relativo=5=f (0,0 ) 0 ¿2 +¿ f ( 0,0 )=¿ Ejemplo Encontrar los extremos relativos f ( x , y ) =−x 3 +2 y 3+ 27 x−24 y +3 f x =−3 x2 +27=0−3 x2 =−27, x 2= f y =6 y 2−24=0 6 y 2=24, y 2=

−27 = √ 9=x=± 3 −3

24 = √ 4= y=± 2 6

Puntos críticos (3,2), (3,-2), (-3,2), (-3, -2) f xx =−6 x f yy =12 y f xy=0 0 ¿2=−72 xy D ( x . y )=(−6 x ) ( 12 y )−¿

( 3,2 )=−72 ( 3 )( 2 )=−432< 0 No hay extremo

Unidad 4 Funciones Reales de Varias Variables 2

2 ¿ + 27 ( 3 )−24 ( 2 ) +3=25 punto silla 2 3 ¿ +2 ¿ f (3,2) =¿

Coordenadas (3, 2, 25) D (3,−2 )=72 ( 3 ) (−2 ) =432>0 f xx =−6 x=−6 ( 3 )=−180 f xx =6 x=−6 (−3 )=18> 0 minimo relativo 2 ¿3+ 27 (−3 )−24 ( 2 ) +3=−83minimo relativo −3 ¿3 +2¿ f (−3,2) =−¿

(−3,−2 ) D (−3,−2 ) =−72 (−3 )(−2 )=−432< 0 no hay extremo 3

−2 ¿ +27 (−3 )−24 (−2 ) +3=−19 punto silla −3¿ 2+ 2¿ f (−3,−2)=−¿ coordenadas(−3,−2,−19)