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Presupuesto de Producción

Escuela de Ingeniería Industrial

Universidad de El Salvador

Facultad de Ingeniería y Arquitectura

Catedrático: Ing. Saúl Alfonso Granados

Integrantes: • Hernández Gil, Claudia Raquel • Romero Guillén, Wilson Elías

HG08009 RG07006

GRUPO N° 15

Ciudad Universitaria, 23 de abril de 2013.

Modelo de pronósticos Box Jenkins. PRP-115 FIA- UES

Contenido INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 3 OBJETIVOS ........................................................................................................................................... 4 Objetivo general: ............................................................................................................................. 4 Objetivos específicos:...................................................................................................................... 4 ANTECEDENTES ................................................................................................................................... 5 Componentes de una serie temporal.............................................................................................. 5 Clasificación descriptiva de las series temporales .......................................................................... 6 Modelo autorregresivo ................................................................................................................... 7 Modelo promedio móvil.................................................................................................................. 7 MODELO BOX-JENKINS ........................................................................................................................ 8 Definición ........................................................................................................................................ 8 Ventaja y desventaja del modelo .................................................................................................... 9 CARACTERÍSTICAS DE LAS PREDICCIONES UTILIZADAS CON MODELO BOX JENKINS ....................... 11 Autocorrelaciones Parciales .......................................................................................................... 11 Modelos de promedio móvil ......................................................................................................... 14 Modelos autorregresivos de promedio móvil ............................................................................... 15 METODOLOGÍA DEL MODELO BOX JENKINS ..................................................................................... 17 ETAPA 1: Identificación del modelo .............................................................................................. 17 ETAPA 2: Estimación del modelo y prueba de adecuación. .......................................................... 18 ETAPA 3: Pronóstico con el modelo .............................................................................................. 20 EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL MODELO BOX-JENKINS. .................................................................... 21 CONCLUSIONES ................................................................................................................................. 24 BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................... 25

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INTRODUCCIÓN En presente informe se centra en el método utilizado para la naturaleza incierta de la tendencia de una serie de datos en los negocios, el método es llamado comúnmente modelo Box Jenkins. El modelo Box Jenkins puede analizar y predecir pronósticos precisos con base en la descripción de datos o patrones históricos en una serie. Los modelos de promedio autorregresivo integrado (ARIMA, por sus siglas en inglés) son una clase de modelos lineales que pueden ser estacionarios y no estacionarios. Este modelo no involucra variable dependiente en su construcción, en lugar de eso utiliza información que se encuentra en la serie misma para generar pronósticos mediante iteraciones. Se presentan algunas definiciones que giran en torno al tema, la metodología que se utiliza como es la adaptación a los modelos por medio de gráficas, para luego ver un ejemplo práctico utilizando el software Minitab 16.0

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OBJETIVOS Objetivo general: -

Conocer el método de pronósticos Box Jenkins.

Objetivos específicos: -

Conocer que modelos integran el método Box Jenkins Conocer la metodología para desarrollar modelos Box Jenkins Conocer las ventajas y desventajas de estos modelos Determinar el criterio de selección de un modelo Box Jenkins Realizar y analizar un ejemplo de aplicación

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ANTECEDENTES Una serie tiempo es una secuencia de observaciones, medidos en determinados momentos del tiempo, ordenados cronológicamente y, espaciados entre sí de manera uniforme, así los datos usualmente son dependientes entre sí. El principal objetivo de una serie de tiempo 𝑋𝑡 , donde t = 1,2,…,n es su análisis para hacer pronóstico. Algunos ejemplos donde se puede utilizar series temporales Economía y Marketing    

Proyecciones del empleo y desempleo. Evolución del índice de precios de la leche. Beneficios netos mensuales de cierta entidad bancaria. Índices del precio del petróleo.

Demografía  

Número de habitantes por año. Tasa de mortalidad infantil por año.

Medioambiente    

Evolución horaria de niveles de óxido de azufre y de niveles de óxido de nitrógeno en una ciudad durante una serie de años. Lluvia recogida diariamente en una localidad. Temperatura media mensual. Medición diaria del contenido en residuos tóxicos en un río.

Componentes de una serie temporal El análisis clásico de las series temporales se basa en la suposición de que los valores que toma la variable de observación es la consecuencia de tres componentes, cuya actuación conjunta da como resultado los valores medidos, estos componentes son: a.- Componente tendencia. Se puede definir como un cambio a largo plazo que se produce en la relación al nivel medio, o el cambio a largo plazo de la media. La tendencia se identifica con un movimiento suave de la serie a largo plazo. b.- Componente estacional. Muchas series temporales presentan cierta periodicidad o dicho de otro modo, variación de cierto período (semestral, mensual,

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etc.). Por ejemplo las Ventas al Detalle en Puerto Rico aumentan por los meses de noviembre y diciembre por las festividades navideñas. Estos efectos son fáciles de entender y se pueden medir explícitamente o incluso se pueden eliminar de la serie de datos, a este proceso se le llama desestacionalización de la serie. c.- Componente aleatoria. Esta componente no responde a ningún patrón de comportamiento, sino que es el resultado de factores fortuitos o aleatorios que inciden de forma aislada en una serie de tiempo. De estos tres componentes los dos primeros son componentes determinísticos, mientras que la última es aleatoria. Así se puede denotar la serie de tiempo como: Xt = Tt + Et + It Donde Tt es la tendencia, Et es la componente estacional e It es la componente aleatoria.

Clasificación descriptiva de las series temporales Las series temporales se pueden clasificar en: a.- Estacionarias.- Una serie es estacionaria cuando es estable a lo largo del tiempo, es decir, cuando la media y varianza son constantes en el tiempo. Esto se refleja gráficamente en que los valores de la serie tienden a oscilar alrededor de una media constante y la variabilidad con respecto a esa media también permanece constante en el tiempo. b.- No estacionarias.- Son series en las cuales la tendencia y/o variabilidad cambian en el tiempo. Los cambios en la media determinan una tendencia a crecer o decrecer a largo plazo, por lo que la serie no oscila alrededor de un valor constante. Procesos Estocásticos Desde un punto de vista intuitivo, un proceso estocástico se describe como una secuencia de datos que evolucionan en el tiempo. Las series temporales se definen como un caso particular de los procesos estocásticos. -Proceso estocástico estacionario Un proceso estocástico se dice que es estacionario si su media y su varianza son constantes en el tiempo y si el valor de la covarianza entre dos periodos depende

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solamente de la distancia o rezago entre estos dos periodos de tiempo y no del tiempo en el cual se ha calculado la covarianza. En resumen si una serie de tiempo es estacionaria, su media, su varianza y su autocovarianza (en diferentes rezagos) permanecen iguales sin importar el momento en el cual se midan es decir, son invariantes respecto al tiempo.

-Ruido blanco(“white noise”) Un ruido blanco es un caso simple de los procesos estocásticos, donde los valores son independientes e idénticamente distribuidos a lo largo del tiempo con media cero e igual varianza. .- Camino aleatorio (“Random Walk”) Es camino aleatorio o camino al azar en un proceso estocástico, donde la primera diferencia de este proceso estocástico es un ruido blanco. -Autocorrelación En ocasiones en una serie de tiempo acontece, que los valores que toma una variable en el tiempo no son independientes entre sí, sino que un valor determinado depende de los valores anteriores.

Modelo autorregresivo Una forma de resolver el problema de correlación serial consiste en aprovechar la correlación entre observaciones adyacentes. A este método se le conoce como modelo autorregresivo. Se retrasa la variable dependiente uno o más periodos y se utiliza como una variable independiente. “Un modelo autorregresivo expresa un pronóstico como una función de valores previos de esa serie de tiempo.”

Modelo promedio móvil Se puede especificar como un conjunto de números de puntos de datos y calcular la media para las observaciones más recientes. Para describir este enfoque, se emplea el término promedio móvil. Al estar disponible cada nueva observación, se puede calcular una nueva media eliminando el valor más antiguo e incluyendo el más reciente. Entonces, se usa este promedio móvil para pronosticar el siguiente periodo. Un promedio móvil se obtiene encontrando la media de un conjunto específico de valores y empleándolo después para pronosticar el siguiente periodo.

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MODELO BOX-JENKINS Los modelos de promedio móvil autorregresivo integrado (ARIMA: Autoregressive Integrated Moving Average) son una clase especializada de técnicas de filtración que ignoran por completo a las variables independientes en la formulación de pronósticos. ARIMA es un dispositivo altamente refinado de ajuste de curvas que utiliza valores reales y anteriores de Ia variable dependiente, para producir pronósticos precisos de corto plazo. Por ejemplo, un modelo ARIMA para las ventas mensuales proyectaría un patrón histórico de ventas para producir un pronóstico para las ventas del mes siguiente, esto hace que dependa mucho de los patrones de autorrelación que existe entre los datos. Otro ejemplo es la predicción de precios del mercado de valores, creados por analistas corredores de bolsa y que se basan por completo en patrones anteriores del movimiento de los precios de acciones. Los modelos ARIMA fueron popularizados en los años 70 por George Box y Gwilym Jenkins, y sus nombres se utilizan, frecuentemente, como sinónimos de la metodología ARIMA aplicada a análisis y predicción de series. Esta familia de modelos ha sido utilizada ampliamente a partir de los 80, debido a los avances de recursos de cálculo y de optimización. Los estadísticos Box y Jenkins lograron grandes avances en la metodología para identificar, ajustar y verificar los modelos ARIMA adecuados. Por esto, los modelos ARIMA para producir pronósticos suelen ser llamados metodología Box-Jenkins. La metodología ARIMA es apropiada si las observaciones de una serie histórica son dependientes estadísticamente o si están relacionadas entre sí.

Definición El método Box Jenkins de pronóstico es diferente de la mayoría de los métodos. Esta técnica no asume ningún patrón particular en los datos históricos de la serie a pronosticar. Utilizan un enfoque iterativo de identificación de un modelo útil a partir de modelos de tipo general. El modelo elegido se verifica contra los datos históricos para ver si describe Ia serie con precisión. El modelo se ajusta bien si los residuos entre el modelo de pronóstico y los puntos de datos históricos son reducidos, distribuidos de manera aleatoria e independientes. Si el modelo especificado no es satisfactorio, se repite el proceso utilizando otro modelo diseñado para mejorar el original. Este proceso se repite hasta encontrar un modelo satisfactorio. La fig. 1 ilustra el enfoque. Los modelos ARIMA o modelos de promedio móvil autorregresivo integrado son un tipo general de los modelos de Box-Jenkins para series de tiempo estacionarias. Una serie histórica estacionaria es aquella cuyo valor promedio no cambia a través del tiempo. Este grupo incluye a los modelos AR solo con términos autorregresivos, los modelos MA solo con términos de promedio móvil y los modelos ARIMA que comprenden tanto términos autorregresivos como de promedio móvil. La

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metodología de Box Jenkins permite al analista seleccionar el modelo que mejor se ajuste a sus datos. Se puede efectuar la selección del modelo apropiado comparando la distribución de los coeficientes de autocorrelación de la serie histórica que se está ajustando, con las distribuciones teóricas para los distintos modelos. “Las técnicas de Box Jenkins aplican métodos autorregresivos y de promedio móvil a los problemas de pronóstico de series de tiempo.”

Figura 1. Diagrama de flujo del método Box-Jenkins

Ventaja y desventaja del modelo La principal ventaja de esta metodología es que proporciona predicciones óptimas en el plazo inmediato y en el corto plazo. Esto se debe a que la metodología BoxJenkins nos permite elegir entre un amplio rango de distintos modelos según represente mejor el comportamiento de los datos. El sentido de predicciones óptimas significa que ningún modelo univariante puede ofrecer mejores predicciones que un modelo ARIMA. Esto no se cumple si ampliamos el modelo ARIMA con regresión múltiple o utilizamos metodología multivariante.

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La principal desventaja de estos modelos es que la determinación del modelo que mejor se adecua a la serie de datos no es trivial y, por tanto, se requiere que la persona que realice predicciones tenga amplios conocimientos sobre esta metodología. Esto ha inhibido el uso de esta metodología para realizar predicciones en el mundo de la empresa, ya que el aumento de precisión de las mismas no compensaba el coste de implantación. No obstante, es posible manejar algoritmos automáticos, que permiten que la persona que utilice estas técnicas no tenga que tener conocimientos extensos sobre esta materia. Así se lograrán mejores modelos y, por tanto, mejores predicciones, sin necesidad de ese aumento del coste de implantación. Otras desventajas El enfoque de Box Jenkins al análisis de series de tiempo es una muy poderosa herramienta para proporcionar pronósticos de corto plazo más precisos. Combina las fuerzas de los métodos autorregresivo y de promedio móvil sin hacer suposiciones acerca del número de términos en la ecuación de pronóstico o sobre las intercorrelaciones de sus coeficientes. Además, se proporciona una prueba estadística para determinar lo adecuado del modelo ajustado, así como un medio para construir intervalos de confianza sobre los pronósticos. Sin embargo, el enfoque de Box Jenkins tiene sus desventajas. Algunas de ellas son las siguientes. 1. Se requiere una cantidad de datos relativamente grande. Debe reconocerse si los datos son estacionales, como en los datos con estacionalidad anual, entonces las observaciones mensuales para un año constituyen por lo general 1 punto de datos y no 12. Makridakis y colegas estiman que 72 puntos de datos es el mínimo requerimiento para un uso confiable del método de Box Jenkins, asumiendo un patrón estacional de 12 meses de duración. En muchos casos de este tipo, simplemente no hay disponibles datos históricos suficientes para utilizar el método de Box Jenkins, y se deberá utilizar algún otro método de series de tiempo. En general, se considera aplicable el método de Box Jenkins cuando los datos ocurren en un periodo relativamente corto. Algunas de las aplicaciones apropiadas para este método serian el análisis de precios de acciones sobre una base diaria o semanal de datos, y los datos de un proceso químico o de manufactura en el que se pudieran tomar muestras a menudo. 2. No hay formas fáciles de actualizar los parámetros del modelo al haber disponibles nuevos datos, como las hay en los modelos directos de

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atenuación. El modelo debe reajustarse periódicamente o, peor aún, debe desarrollarse un modelo nuevo. 3. La construcción de un modelo satisfactorio requiere de una gran inversión del tiempo del analista y en otros recursos. Los costos del desarrollo del modelo, el tiempo de ejecución en la computadora y los requerimientos de almacenamiento son sustancialmente mayores para los modelos de Box Jenkins que para las técnicas más tradicionales como la atenuación.

CARACTERÍSTICAS DE LAS PREDICCIONES UTILIZADAS CON MODELO BOX JENKINS - Modelos AR(p): la predicción tiende a m (media del proceso) a medida que aumenta el horizonte temporal de la predicción. - Modelos MA(q): dada la memoria limitada que caracteriza a estos procesos, la predicción es igual a m (media del proceso) cuando el horizonte temporal de la predicción es mayor que el orden del proceso (q). - Modelos ARMA(p,q): a partir de "q" períodos futuros la predicción tiende a m (media del proceso) a medida que aumenta el horizonte temporal de la predicción. - Modelos ARI(p,d) e IMA(d,q): la predicción ya no tiende a m sino que será una línea recta que parte deY(1) ˆ 88 con pendiente igual a la media del proceso wT (serie resultante de las transformaciones necesarias para hacerla estacionaria).

Autocorrelaciones Parciales Al principio, el analista pudiera no darse cuenta del orden apropiado del proceso autorregresivo para ajustarlo a una serie histórica. A este mismo tipo de problema se enfrentó al decidir el número de variables independientes a incluir en un modelo de regresión múltiple. Las autocorrelaciones parciales se emplean para ayudar a identificar el grado de relación entre los valores reales de una variable y valores anteriores de Ia misma, mientras que se mantienen constantes los efectos de las otras variables (periodos retrasados). Modelo autorregresivo Un modelo autorregresivo toma Ia forma:

En donde: 𝑌𝑡 = variable dependiente

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𝑌𝑡−1 , 𝑌𝑡−2 , 𝑌𝑡−𝑝 = variables independientes que son variables dependientes desfasadas un número específico de periodos

ø0 , ø1 , ø2 , ø𝑝 = coeficientes de regresión ∈𝑡 = término de residuo que representa sucesos aleatorios no explicados por el modelo En esta ecuación los coeficientes de regresión se encuentran por medio de un método de mínimos cuadrados no lineal. Por lo regular el método de mínimos cuadrados no lineal utiliza una técnica de solución iterativa para calcular los parámetros en vez de usar un cálculo directo. Se emplean estimaciones preliminares como puntos iniciales; luego estas estimaciones se mejoran sistemáticamente hasta encontrar valores óptimos. Además, la varianza para la ecuación se calcula de una forma distinta que toma en cuenta el hecho de que las variables independientes están relacionadas entre sí. Por último, la ecuación pudiera o no contener un término constante. No se emplea el término constante cuando los valores de la variable dependiente (las Y) se expresan como derivaciones de su media (Y' = Y = Ῡ). La fig. 2 muestra las ecuaciones de un modelo AR de orden 1, modelo AR(1) y de un modelo AR de orden 2, modelo AR(2). Se pueden agregar términos para representar un modelo AR(p), en donde p es el número de observaciones anteriores a incluir en el pronóstico del siguiente periodo. Las figs. 2(a) (b) ilustran el comportamiento de las funciones teóricas de autocorrelación y autocorrelación parcial para un modelo AR(1). Nótese qué tan diferente se comportan las funciones de autocorrelación y de autocorrelación parcial. Los coeficientes de autocorrelación descienden a cero en forma gradual, mientras que los coeficientes de autocorrelación parcial caen a cero después del primer periodo de retraso. Las figs. 2(c) y (d) muestran un modelo AR(2). De nuevo, los coeficientes de autocorrelación descienden a cero, mientras que los coeficientes de autocorrelación parcial caen a cero, después del segundo periodo de retraso. En general, este tipo de patrón se mantendrá para cualquier modelo AR(p). Sin embargo, debe recordarse que las funciones de autocorrelación de la muestra diferirán de estas funciones teóricas debido a la variación de Ia muestra.

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Figura 2. Coeficientes de autocorrelación y de autocorrelación parcial de los modelos AR(1) y AR(2).

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Modelos de promedio móvil Un modelo de promedio móvil toma la forma:

En donde: 𝑌𝑡 = variable dependiente

𝑤0 , 𝑤1 , 𝑤2 , 𝑤𝑞 = peso específico ∈𝑡 = residuo o error ∈𝑡−1 , ∈𝑡−2, ∈𝑡−𝑞 = valores previos de residuos Esta ecuación es similar a Ia ecuación del modelo autorregresivo excepto que la variable dependiente 𝑌𝑡 depende de los valores previos de los residuos, en vez de Ia misma variable. Los modelo de promedio móvil (MA) proporcionan pronósticos de 𝑌𝑡 con base en una combinación lineal de errores anteriores, mientras que los modelos autorregresivos (AR) expresan 𝑌𝑡 como una función lineal de cierto número de valores anteriores reales de 𝑌𝑡 . Es una costumbre presentar los pesos específicos con coeficientes negativos, aun cuando los pesos pueden ser positivos o negativos. La suma de 𝑤1 + 𝑤2 + . . . + 𝑤𝑞 no necesita ser igual a 1, y los valores de 𝑤1 no se "mueven" con las nuevas observaciones. Nótese que el nivel promedio µ de una serie MA(q) es igual a un término constante, 𝑤0 , en el modelo, ya que E(∈𝑡 ) = 0 para todos los valores de t. El nombre promedio móvil pudiera parecer inadecuado ya que de hecho el modelo es similar a la atenuación exponencial. La fig. 3 muestra las ecuaciones de un modelo MA de orden 1, MA(1) y de un modelo MA(2). Se pueden incorporar términos para representar un modelo MA(q), en donde q es el número de términos de error anteriores a incluir en el pronóstico dcl siguiente periodo. Las figs. 3(a) y (b) ilustran también el comportamiento de los coeficientes de autocorrelación teóricos del modelo MA(1). Nótese que afortunado es que las funciones de autocorrelación y de autocorrelación parcial se comporten muy diferente en los modelos AR y MA. Los coeficientes de autocorrelación del modelo MA(1) caen a cero después del primer periodo de retraso, mientras que los coeficientes de autocorrelación parcial descienden a cero en forma gradual. Además, los coeficientes de autocorrelación del modelo MA(2) caerán a cero después del segundo periodo de retraso, mientras que los parciales descenderán gradualmente a cero. [Véase figs. 3(c) y (d)]. Una vez más, se debe mencionar que las funciones de autocorrelación de Ia muestra diferirán de estas funciones teóricas debido a Ia variación de Ia muestra.

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Figura 3. Coeficientes de autocorrelación y de autocorrelación parcial de los modelos MA(1) y MA(2).

Modelos autorregresivos de promedio móvil Además de los modelos AR y MA, ambos se pueden combinar en un tercer tipo de modelo general denominado ARIMA. Las ecuaciones del modelo autorregresivo y del promedio móvil se combinan para formar:

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Los modelos ARIMA (p, q) utilizan combinaciones de errores anteriores y valores anteriores y ofrecen un potencial para ajustar modelos que no pudieron ajustarse en forma adecuada mediante los modelos AR y MA por sí solos. La fig. 4 muestra la ecuación de un modelo ARIMA(1, 1) y el comportamiento teórico de los coeficientes de autocorrelación y de autocorrelación parcial. Box-Jenkins no hace suposiciones acerca del número de términos o de los pesos específicos a asignar a los términos. El analista selecciona el modelo apropiado, incluyendo el número de términos; después el programa calcula los coeficientes, utilizando un método no lineal de mínimos cuadrados. Se pueden hacer pronósticos de periodos futuros y se pueden construir intervalos de confianza para estas estimaciones.

Figura 4. Coeficientes de autocorrelación y de autocorrelación parcial de un modelo mixto ARIMA(1,1).

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METODOLOGÍA DEL MODELO BOX JENKINS Como se muestra en la fig. 1, el enfoque de Box Jenkins comprende tres etapas separadas. Estas son: identificación del modelo, estimación y prueba del modelo y aplicación del modelo.

ETAPA 1: Identificación del modelo 1. El primer paso en la identificación del modelo consiste en determinar Si la serie es estacionaria, es decir, si el valor de la media varía a través del tiempo. Si la serie no es estacionaria, en general se puede convertir a una serie estacionaria mediante el método de diferenciación. El analista especifica el grado de diferenciación y el algoritmo de Box Jenkins convierte los datos en una serie estacionaria y realiza los cálculos subsecuentes utilizando los datos convertidos. 2. Una vez obtenida una serie estacionaria, el analista debe identificar la forma del modelo a utilizar. Este paso se logra mediante la comparación de los coeficientes de autocorrelación y de autocorrelación parcial de los datos a ajustar con las correspondientes distribuciones de los diversos modelos ARIMA. Para ayudar en la selección de un modelo apropiado, en las figs. 2,

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3 y 4, se muestran las distribuciones teóricas para los modelos ARIMA más comunes. Cada modelo tiene un conjunto único de autocorrelaciones y de autocorrelaciones parciales, y el analista debe ser capaz de poder ubicar los coeficientes correspondientes a los datos, a una de las distribuciones teóricas. Aun cuando en general no será posible hacer coincidir exactamente los datos con las distribuciones teóricas, se pueden efectuar pruebas durante la etapa 2 para determinar si el modelo es adecuado. Entonces, si el modelo no es satisfactorio, se puede intentar un modelo alternativo. Después de un poco de práctica, el analista se hará más apto en la identificación de un modelo adecuado. En términos generales, el analista debe identificar las autocorrelaciones que caen exponencialmente a cero. Si las autocorrelaciones descienden exponencialmente a cero, el proceso indicado es el AR; si son las autocorrelaciones parciales las que descienden a cero, entonces el proceso indicado es el MA; y, si tanto los coeficientes de autocorrelación como los coeficientes de autocorrelación parcial descienden a cero, el indicado es un proceso mixto ARIMA. El analista puede determinar ci orden de los procesos AR y b MA contando el número de coeficientes de autocorrelación y de autocorrelación parcial que son diferentes de cero en forma significativa.

ETAPA 2: Estimación del modelo y prueba de adecuación. 1. Una vez seleccionado un modelo tentativo, se deben estimar los parámetros para ese. Por ejemplo, suponga que se eligió un modelo ARIMA (1, 1). La fórmula matemática y la formula de pronóstico del modelo respectivamente son:

Y

Para utilizar la ecuación de pronóstico, el analista debe calcular los valores para ø1 y w1. Estos cálculos se realizan mediante el programa de cómputo Box Jenkins, utilizando como criterio de selección de valores óptimos el error medio cuadrado. Suponga que los valores calculados de Ø y w1 fueron .25 y .5. Ahora, el modelo tentativo es:

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2. Antes de usar el modelo para pronosticar, el analista debe verificar si es adecuado. Este paso se realiza revisando los términos de error, ∈𝑡 = 𝑌𝑡 − Ŷ𝑡 para asegurarse de que son aleatorios. Esta verificación puede hacerse revisando que las autocorrelaciones de los términos de error para estar seguros de que no son diferentes de cero en forma significativa. Si algunos retrasos de orden menor o estacionales son diferentes de cero de manera significativa, entonces el modelo resulta inadecuado. El analista debe regresar a la etapa 1, paso 2, seleccionar un modelo alternativo y después continuar el análisis. También se puede revisar lo adecuado del modelo haciendo una prueba de ji cuadrada (𝜒 2 ), conocida como Ia estadística Ǫ de Box Pierce, sobre las autocorrelaciones de los residuos. La estadística de prueba es:

La cual está distribuida aproximadamente como una distribución de ji cuadrada con k – p - q grados de libertad. En esta ecuación: N = longitud de la serie histórica k = primeras k autocorrelaciones que se verifican m = número máximo de retrasos verificados 𝑟𝑘 = función de autocorrelación de la muestra del k-ésimo término de residuo d = grado de diferenciación para obtener una serie estacionaria Si el valor calculado de Ǫ es mayor que la 𝜒 2 para k - p - q grados de libertad, entonces se debe considerar que el modelo es inadecuado. El analista debe regresar a la etapa 1, paso 2, seleccionar otro modelo y continuar el análisis hasta encontrar un modelo satisfactorio. Ninguna de estas dos pruebas de adecuación debe considerarse como la última palabra, aunque en general deben utilizarse juntas, además de un juicio considerable por parte del analista. Por ejemplo si se pueden explicar algunas desviaciones mayores por circunstancias no usuales, se pueden ignorar estas desviaciones si el resto del modelo es adecuado.

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Es posible que se puedan juzgar dos o más modelos como aproximadamente iguales, aunque ninguno de ellos se ajuste exactamente a los datos. En este caso, debe prevalecer el principio de parsimonia (principio de simplicidad) y elegir el modelo más sencillo.

ETAPA 3: Pronóstico con el modelo 1. Una vez que se encontró un modelo adecuado, se pueden realizar pronósticos para uno o varios periodos a futuro. También se pueden formular intervalos de confianza sobre estas estimaciones. En general, entre más a futuro se pronostica, mayor será el intervalo de confianza. Estos pronósticos e intervalos de confianza se calculan mediante el programa de Box Jenkins a solicitud del analista. 2. Al haber más datos disponibles, se puede utilizar el mismo modelo para revisar los pronósticos, seleccionando otro periodo de origen. 3. Si la serie parece cambiar a través del tiempo, pudiera ser necesario recalcular los parámetros, o incluso desarrollar un modelo nuevo por completo Si se aprecian pequeñas diferencias en los errores de pronóstico, pudieran indicar que es necesario recalcular los parámetros, y el analista deberá regresar a la etapa 2, paso 1. Cuando se aprecian grandes diferencias en la dimensión de los errores de pronóstico, pudieran indicar que se requiere un modelo completamente nuevo, y el analista deberá regresar a la etapa 1, paso 2, o inclusive a la etapa 1, paso 1 y repetir el proceso de ajustar un nuevo modelo a la serie histórica. La siguiente notación se utiliza con frecuencia en las técnicas de Box-Jenkins. Se identifica un modelo como ARIMA (p, d, q), en donde p es el orden del término autorregresivo, d es el nivel de diferenciación y q es el orden del término del promedio móvil. En la práctica, cuando no hay diferenciación, el modelo apropiado es ARIMA (p,q).

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EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL MODELO BOX-JENKINS. Un analista de Atron Corp. Tuvo una serie de tiempo de las lecturas de un proceso que necesitaba ser pronosticado. Los datos se muestran a continuación: 60 81 72 78 61.5 78 57 84 72 67.8

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Lecturas para el proceso Atron Corp. (léase por columnas) 99 75 79.5 61.5 88.5 72 25.5 78 64.5 81 51 66 93 66 99 76.5 85.5 73.5 75 97.5 72 84 58.5 66 57 60 78 57 90 73.5 88.5 97.5 63 84 60 103.5 76.5 61.5 66 73.5 78 60 82.5 96 84 78 66 81 72 79.5 66 49.5 97.5 87 76.5 72 87 78 64.5 73.5

90 78 87 99 72

Lecturas para el proceso Atron Corp.

100 80 60 40 20 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75

Aparentemente al ver la gráfica de los datos recopilados, se observa que las lecturas varían en torno a un nivel fijo de alrededor de 80. Se concluye que la serie de tiempo es estacionaria y autocorrelacional. Utilizaremos el software de aplicación Minitab 16.0 para la resolución del ejercicios. El interfaz del programa se muestra a continuación:

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Interfaz de Minitab 16.0

Se procede a analizar los gráficos de autocorrelación y autocorrelación parcial.

Se observa como la autocorrelación del periodo 2 es significativa de 5% y es de signo opuesto a partir de la primera autocorrelación. Las demás autocorrelaciones son pequeñas y correctas dentro de sus límites de error individual. De igual forma la primera autocorrelación parcial es significativa -0.53 pero ninguna de las demás autocorrelaciones parciales es significativa.

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Resultados en Minitab para los modelos AR (1) para las lecturas de Atron

Resultados en Minitab para los modelos MA (2) para las lecturas de Atron:

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CONCLUSIONES 

La metodología Box Jenkins posee una gran precisión a la hora de determinar pronósticos, debido a que no estima variables de forma subjetiva.

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No es buena práctica incluir parámetros AR y MA para cubrir todas las posibilidades, tratar de empezar siempre por modelos sencillos para luego ir hacia los más complejos (con más variables)

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BIBLIOGRAFIA  “PRONOSTICO EN LOS NEGOCIOS”. John Hanke, 8va Ed. Editorial Pearson Education, México 2006

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