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BLOQUE II UTILIZAS MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES APUNTES Libro: Matemáticas I  Antonio Pulido Chiunti  Miguel Ángel Vélez Castillejos  Compañía Editorial Nueva Imagen, S.A. de C.V.  2ª Edición.  “Bloque 3 Realizas sumas y sucesiones de números” Pag.74

En cursos posteriores de matemáticas, como en el cálculo diferencial e integral, se aprecia la utilidad que tienen las sucesiones de números, de las que existen dos tipos, las aritméticas y las geométricas. A manera de introducción haremos mención a una nota histórica para destacar la importancia de las sucesiones de números. “Se dice que en su niñez, el destacado matemático Gauss era muy inquieto, por lo que en una ocasión su profesor de matemáticas le pidió que sumara los números del 1 al 100, con la intención de mantenerlo ocupado por un tiempo; sin embargo, y casi de manera inmediata, Gauss dio su respuesta: la suma es 5050”. El maestro le pidió al niño le explicara cómo había podido efectuar la suma de tantos números tan rápidamente; éste contestó lo siguiente: Sumé el primer número con el último y obtuve 101, esto es 1 con 100; sumé el segundo número con el penúltimo y obtuve 101, esto es 2 con 99; sumé el tercer número con el antepenúltimo y obtuve 101, esto es 3 con 98; y así sucesivamente. Como se ilustra a continuación:

Gauss continuó con la explicación. Todas las parejas formadas de esta manera, sumadas dan 101; como se pueden formar 50 parejas, para obtener la suma sólo multipliqué 50 por 101 y obtuve 5050. En las sucesiones o series, lo que se estudia es la forma de determinar cualquier término de ella sin tener que desarrollarla en su totalidad y cómo obtener la suma de algunos o todos los términos que la conforman de manera sencilla. Por ejemplo, conocidos los primeros 6 términos de las sucesiones: 3, 10, 17, 24, 31, 38, …

2, 6, 18, 54, 162, 486, …

¿Cuál es el valor del término que ocupa la posición número 32? ¿Cuál es la suma de los primeros 32 términos? La teoría de las sucesiones permite construir expresiones matemáticas con las que fácil y rápidamente puedes responder las preguntas anteriormente planteadas sin tener que escribir todos los términos hasta llegar al 32 y sin tener que sumar uno a uno esos 32 términos.

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Estas expresiones las obtendremos al desarrollar el tema de sucesiones aritméticas y geométricas, empezando por la siguiente definición. Una sucesión es un conjunto ordenado de números llamados términos que se obtienen mediante la aplicación de una “regla determinada”.

Sucesión lineal o aritmética Si la “regla” establecida para obtener los términos de una sucesión consiste en sumar, después del primer término, al precedente un número constante llamado razón (r), la sucesión se llama lineal o aritmética.

Ejemplo 1: En esta sucesión el número que se añade es 4:

6, 10, 14, 18, 22, … (la razón es 4) Por lo que la sucesión es lineal. En forma genérica la sucesión lineal o aritmética se puede expresar como: Términos precedentes ,

,

( ⏟

)

,

( ⏟

2 )

( ⏟

,

)

,

…

Donde t1 identifica al primer término, r es la razón o cantidad que sumada al primer término da el valor del segundo, cuya expresión es ; el tercer término se obtiene sumando la razón al término precedente, ) es decir, ( , cuya expresión es . Los demás términos se determinan de la manera descrita. Obtendremos a continuación la expresión que nos permitirá llegar al valor de cualquier término de la sucesión lineal o aritmética, que se identifica como tn y se le llama término n-ésimo. Para obtener dicha expresión identificamos con “n” al número del término, con “t1” al primer término y con “r” a la razón. Términos de la sucesión lineal.

2

4

…

Estos términos se pueden expresar como: Si→ El número del término “n” es

0 1

(primer término)

1 2

(segundo término)

2 3

(tercer término)

4 4

(cuarto término)

5

(quinto término)

Nos interesa expresar cualquier término de la sucesión en función del número del término “n” y de la razón “r”. como se aprecia en el cuadro anterior cualquier término se expresa como , esto es:   

Para el primer término, , la expresión de tn debe ser . Esto significa que , que , esto se logra sí hacemos que , ya que como tenemos que Para el segundo término, , la expresión debe ser . Esto significa que , como y tenemos que . Para el tercer término, , la expresión debe ser . Esto significa que , como y tenemos que .

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para . para que para que

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De lo anterior, la expresión

puede escribirse como: (

)

ya que

“El valor de cualquier término, identificado por tn , se puede obtener si se conoce el valor del primer término t1 y del número del término n y de la razón r”.

Ejemplo 2: De la sucesión 3, 10, 17, 24, 31, 38, … ¿Cuál es el valor del término que ocupa la posición número 32? Solución: Determinamos la razón restando dos términos consecutivos, es decir, el segundo del primero, el tercero del segundo, el cuarto del tercero, etc. 1

24

Forma 1: Continuamos la sucesión utilizando la razón encontrada: Términos

3

10

17

24

31

38

45

…

185

192

199

206

213

220

Número del término “n”

1

2

3

4

5

6

7

…

27

28

29

30

31

32

(¿Qué dificultades presenta este procedimiento?) Forma 2: Aplicamos la fórmula encontrada: (

) , para nuestro ejemplo

,

, (

,

, sustituyendo:

)

El valor del término que ocupa la posición 32 de la sucesión mostrada es 220

La suma de “n” términos de una sucesión lineal o aritmética Vamos a encontrar una expresión que nos permita obtener la suma de “n” términos de una sucesión lineal o aritmética sin tener que realizar la suma de los mismos. Esta suma se puede representar así: (

)

(

2 )

Donde es el último término, ( (¿por qué?).

(

)

(

)

(

) es el penúltimo término, (

2 )

(

)

(A)

2 ) es el antepenúltimo término, etc.

Al invertir los términos, es decir, el último se escribe como si fuera el primero, el penúltimo es ahora el segundo y así sucesivamente, tenemos: (

)

(

2 )

(

)

(

)

(

2 )

(

)

(B)

Si sumamos las expresiones (A) y (B) y agrupamos convenientemente los términos, tenemos: ( ( 2

(

)

(

) )

( ( )

(

2 ) ( 2 ) (

) )

( (

)

)

(

(

) ( ) ( )

(

2 ) 2 )

( (

) )

)

(

)

(

)

Observa que todos los términos son iguales, y como hay un total de “n” de estos términos, podemos escribir: 2

(

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De manera que la expresión para calcular la suma de “n” términos es: (

) 2

Ejemplo 3: De la sucesión 3, 10, 17, 24, 31, 38, … ¿Cuál es la suma de los primeros 32 términos? Solución: Forma 1: Realizando la suma de los 32 términos 10

1

24

1

8

18

1 2

1

206

21

220

68

(¿Qué dificultades presenta este procedimiento?) Forma 2: Aplicando la fórmula, donde Sustituyendo:

,

2(

2,

220)

,

16(22 )

2

220

(Ver ejemplo 2).

68

La suma de los 32 primeros términos de la sucesión 3, 10, 17, 24, 31, 38, … es 3568

Sucesiones o progresiones geométricas Una progresión geométrica es una sucesión de números llamados “términos”, en la cual después del primer término los demás se obtienen al multiplicar los precedentes por un número constante llamado razón o cociente común. La sucesión de números 2 , , 1, , … es una sucesión o progresión geométrica porque cada término después del primero se obtiene al multiplicar el precedente por un mismo número llamado razón o cociente común. La razón la obtenemos como el cociente que resulta de dividir cualquier término entre su precedente; así, tenemos: é é

é

é é

é

De acuerdo a la definición, una sucesión o progresión geométrica puede representarse como: ,

,

,

,

,

,

…

Puesto que cada término, después del primero, se obtiene al multiplicar el precedente por r. ¿Cuál es la expresión para el término n-ésimo?, es decir, aquella expresión que nos permite obtener el valor de cualquier término de la progresión. Recordemos que “n” es el número del término, de manera que en la progresión hacemos la identificación siguiente: Término de la sucesión Número de término (n)

→ →

… 1

2

3

4

5

Observa que cualquier término es el producto de por elevada a un determinado exponente, esto se ) como el exponente de . De manera que cualquier término de al obtiene utilizando la expresión ( progresión, identificado por , se escribe como

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Ejemplo 4: En la progresión geométrica , , 2 , 81, … determina el valor del término que ocupa la posición 10 Solución: La razón es:

é é

Identificando los elementos de la fórmula:

,

,

,

10

Sustituyendo y resolviendo la fórmula: (

)

( )

(1 68 )

04

El término que ocupa la posición 10 de la progresión geométrica es 59049

La suma de “n” términos de la sucesión o progresión geométrica Para obtener la suma de “n” términos de una progresión geométrica, sin tener que desarrollar ésta, y sumar todos los términos, encontraremos una expresión que permita realizar esta suma de manera sencilla. Expresando Sn la suma de “n” términos de la progresión, la podemos escribir así: (A) Una propiedad de las igualdades dice que si ambos lados del signo igual se multiplican todos los términos por la misma cantidad, la igualdad no se altera, y se obtiene una igual o equivalente. Al multiplicar todos los términos (A) por “-r” tenemos: (B) Ahora sumando las igualdades (A) y (B), tenemos que:

Factorizando y despejando Sn de la expresión anterior: (1 (

)

)

(1

)

Siempre que r≠1 (¿por qué?)

Ejemplo 5: Obtener la suma de los primeros 10 términos de la progresión geométrica , , 2 , 81, … Solución: Identificando los elementos que componen la fórmula

,

,

10,

(Ver ejemplo 4)

Sustituyendo y resolviendo la fórmula

(1 ) (1 ( 04 ) 048) 1 144 1 2 2 2 La suma de los 10 primeros términos de la progresión mostrada es 88572 MATEMÁTICAS I

88

2

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Sucesión geométrica infinita

La fórmula

(

)

Libro: Matemáticas I  Juan Antonio Cuéllar  McGraw Hill  Bloque 3 “Sucesiones y series” Pág. 92

nos permite hallar la suma de los primeros “n” términos de una

progresión geométrica. Analicemos el comportamiento de supongamos que

para -1